MATEMÁTICA INGRESO

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1 MATEMÁTICA INGRESO 017 1

2 NÚMEROS REALES El conjunto de números reales, que simbolizaremos con R, es un conjunto que descubriste a partir de un proceso constructivo que comenzó con el conjunto de los números naturales, y se fue ampliando con el los enteros, de los racionales, delos irracionales, debido a la necesidad de resolver diferentes problemas. En cada conjunto numérico se definen operaciones y se analizan sus propiedades. El conjunto de los números naturales: N = {1,,,...} En este conjunto N, se pueden realizar sumas y multiplicaciones sin salirse de él, (se dice que la suma y la multiplicación son cerradas), pero no ocurre lo mismo con la resta, por ejemplo si queremos restar 5 9, surge la necesidad de otro conjunto de números... De aquí se definen los números negativos, que junto a los naturales y el cero forman el conjunto de los números enteros que designaremos Z,. En este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas. Es necesario considerar el conjunto de números enteros para poder resolver problemas como el siguiente: Existe un número natural que verifique que sumado a 8 de por resultado? En símbolos: x N / 8 + x =? El conjunto de los números enteros: Z = {...,-,-,-1, 0, 1,,,...} Evidentemente, el conjunto de números naturales está contenido en el conjunto de números enteros, por eso se dice que los números enteros son una "ampliación" de los naturales. Pero, también hay problemas que no se pueden resolver en Z, como por ejemplo el siguiente: Existe un número entero tal que multiplicado por 5 de por resultado? La respuesta es no. Es necesario considerar una "ampliación" del conjunto de números enteros para poder resolverlo. Surge así el conjunto de números racionales o fraccionarios. Un número racional es aquél que puede escribirse como el cociente de dos números enteros p y q siendo q 0. p Q = { / p Z, q Z y q 0 } q Por ejemplo, 5 puede expresarse como 0 1 es un número racional porque y 5 son números enteros. 0 es racional porque y ambos son enteros Qué significa que dos números racionales son iguales? Sean p, p Z, q, q Z {0}, p = p q q p. q = p. q Notar que los enteros son racionales, pues pueden escribirse en forma de fracción. Resulta: N Z Q

3 Sea ahora el siguiente problema: Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 1 unidad? Utilizando el Teorema de Pitágoras resulta que la respuesta es. Y este número no es racional, pues no puede expresarse como fracción. ( = 1, ) Surge un nuevo conjunto de números, los irracionales. Se definen como aquellos números que no son racionales. Se simboliza I. Los números,, e son irracionales. Notar que Q I = Otros ejemplos de números irracionales son: ; ; 5 ; e =, ; ; 4 ; 5 El conjunto de los números racionales unido al de los irracionales constituyen el conjunto de los números reales. En símbolos: R = Q I Se puede usar la representación decimal para representar a los números reales. Los números racionales pueden expresarse con una representación decimal finita o con una expresión decimal periódica. Por ejemplo: = 1,5 1 = 0, = 0, En una expresión decimal periódica el grupo de cifras decimales que se repiten se llama período. Pueden representar todos los números que conocemos mediante una expresión decimal finita o periódica? No, todo número cuya expresión decimal es infinita no periódica constituye un número irracional. Por ejemplo: 5, , Nota: El sistema numérico que usamos se llama decimal, o sistema de base 10, porque en este sistema cada entero positivo está representado como una suma de potencias de 10. Ejemplo: 105= Operaciones con números reales: Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La aplicación correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números reales.

4 Suma: Propiedades: Sean a, b y c números reales cualesquiera. Se cumplen: 1- Propiedad de cierre o clausura: La suma de dos números reales es un único número real. En símbolos: a R, b R a + b R - Propiedad conmutativa: a + b = b + a a, b R - Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c R 4- Existencia del elemento neutro: Existe 0 R tal que a + 0 = 0 + a = a a R 5- Existencia de opuesto: Para cada a R existe su opuesto, -a R que verifica a + (-a) = 0. Diferencia: La existencia de un único opuesto para cada número real justifica la definición de diferencia o resta de números reales de la siguiente manera: a - b = a + (-b) siendo a R, b R Propiedades: Sean a, b y c números reales cualesquiera. 1- Propiedad de cierre o clausura: a R, b R a - b R - Propiedad conmutativa: No se cumple. Pues, por ejemplo: Sean a=6 y b=7, resulta a-b = 6-7 = -1 y b-a = 7-6 = 1. - Propiedad asociativa: No se cumple. (Buscar un ejemplo para probar esto) 4- La resta no tiene elemento neutro. 5- Como no tiene elemento neutro, no se puede analizar la existencia de opuesto. Producto: Propiedades: 1- Propiedad de cierre o clausura: a R, b R a.b R - Propiedad conmutativa: a. b = b. a a, b R - Propiedad asociativa: (a. b). c = a. (b. c) a, b, c R 4- Existencia del elemento neutro: Existe 1 R tal que a. 0 = 0. a = a a R 5- Existencia de inverso multiplicativo: Para cada a R - {0} existe inverso, 1/a, que verifica a. (1/a) = 1 El inverso multiplicativo, si existe, es único. Cociente o división: La existencia de un único inverso multiplicativo para cada número real distinto de cero justifica la definición de cociente de números reales de la siguiente manera: a b = a. 1 b siempre que b0 4

5 Propiedades: Sean a, b y c números reales cualesquiera. 1- Propiedad de cierre o clausura: a R, b R -{0} a b R - Propiedad conmutativa: No se cumple. - Propiedad asociativa: No se cumple. 4- La división no tiene elemento neutro. 5- Como no tiene elemento neutro, no se puede analizar la existencia de opuesto. Observaciones: Sean a R, b R 0.a = 0 a R a.b = 0 ( a = 0 ó b = 0 ) 1 b = 1 b = 1. b-1 = b -1 b 0 0 b = 0 b = 0. b-1 = 0 b 0 Propiedad distributiva (del producto con respecto a la suma): a. (b + c) = a. b + a. c para todo a, b, c R Potenciación de un número real y exponente entero Sean a R y n N, n a = a.a.a...a (n veces) a 0 = 1 si a 0 a -n = ( 1/a) n si a 0 el número a se llama base y n exponente. Propiedades de la potenciación Sean m, n números enteros y a, b números reales, se cumplen: - Distributiva respecto al producto: (a.b) n = a n. b n - Distributiva respecto al cociente: (a/b) n = a n / b n con b0 - Productos de potencias de igual base: a n. a m = a m+n - Cociente de potencias de igual base: a n / a m = a m-n con a0 - Potencia de otra potencia: ( a m ) n = a m.n Nota: Si algún exponente es negativo o cero, deben ser a y b distintos de cero. La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la diferencia. 5

6 Radicación Dados n N, n y a R se llama raíz n-ésima de a, a cualquier número real que verifique b n =a El número n se denomina índice y a radicando. En símbolos: n a b b n a Observaciones: Cuando el índice n es impar el valor de b es único y del mismo signo que el radicando. Ejemplos: Se quiere calcular 5. Se busca un b R / b 5 =. Se ve que 5 = y es el único que cumple esta condición. Luego 5 =. Se quiere calcular 5. Se busca un b R / b 5 = -. Se ve que (-) 5 =- y es el único que cumple esta condición. Luego 5 = -. Cuando el índice n es par y el valor de a es negativo, no existe la raíz n-ésima de a. (Se quiere calcular 9. Se busca un b R / b = -9. Se ve que no existe tal b.) Cuando el índice n es par y el valor de a es positivo, existen dos posibles valores de b. Se elige la positiva y recibe el nombre de raíz aritmética n-ésima de a. (Se quiere calcular 5. Se busca un b R / b = 5. Se ve que hay dos valores de b, el 5 y el -5. Se usará 5 = 5) Nota: n 0 = 0 Propiedades de la radicación: Sean a, b R Distributiva respecto al producto: n n n a. b a. b Distributiva respecto al cociente: n n a a b 0 n b b Raíz de otra raíz n m a n. m a Nota: Si a ó b son negativos, estas propiedades valen cuando n es impar. Combinando la potenciación y la radicación se definen las potencias de exponentes racionales m/n con m Z y n N, de la siguiente manera: a a m n m n n m n m a a con a R + si n es par y a R si n es impar. 1 a m n Valen las propiedades citadas anteriormente. a 1 m n con a 0 6

7 Ejercicio 1: Dada la siguiente tabla: -5 8, 5-5/ π 0 55/11 N Z R I a) Marcar, si es posible, a que conjunto/s pertenecen los números de la primera columna. b) Escribir el número como racional, de tres maneras distintas. c) Convertir cada número en notación decimal expresándolos con uno, dos, tres y cinco decimales.(pensar que, en algunos casos, no es exactamente el mismo número) d) Ordenar todos los números en forma creciente. e) Marcar, de ser posible, su ubicación en la recta real. Ejercicio : Unir cada expresión con su resultado (4 5) + ( + 7 1) [5 + ( + 7) 1] (4 5 + ) ( ) 1 Ejercicio : Colocar en cada caso paréntesis donde sea necesario para que obtener e resultado indicado a) : - 1 = 0 b) : - 1 = 6 c) : - 1 = 0 Ejercicio 4: Suprimir llaves, corchetes y paréntesis: a) b) 1 a 6a b a b a 5b a y z x yz x y z yz x 7

8 Ejercicio 5: Calcular. Luego realizar la misma operación con calculadora a ) 10 b) c) Ejercicio 6: Transformar en fracción y resolver. Luego realizar la misma operación con calculadora a) b) 4 8 :,1 1,09 : 8, , ,784 0,. 0,4 0, 0,9 0,4 Ejercicio 7: Evaluar las siguientes expresiones: a ). b). 5 c) 4. d) ) a b e f) 5 a Ejercicio 8: Resolver aplicando las propiedades de radicación y potencia: n x y z x y 400x 5 900x 6 8m n xy.. m x y 4 Ejercicio 9: Resolver, suponiendo que a 0 a) a 5a + 4a 7a = c) a a a 5 + a 10 b) a 5 a + a d) [(0 5a) : a ] 5 8

9 ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contienen uno o más valores desconocidos (incógnita) Una solución es un valor de la(s) incógnita(s) para los cuales la igualdad se verifica. El conjunto solución de la ecuación es el conjunto de todas las soluciones. Resolver una ecuación significa encontrar todas las soluciones, o sea hallar el conjunto solución. Una identidad es una ecuación que se verifica para todos los valores posibles de la(s) incógnita(s). Una expresión es algebraica si en ella aparecen variables y números, llamados coeficientes, relacionados por operaciones suma, producto, división, potenciación y radicación Ejemplos: a) x + 5 = 0 c) x + y = 8 e) log y = 6 g) a - 4b + 10c = 9 b) a + a - 4 =0 d) e x = 0 f) sen(p) = 0.45 Dos ecuaciones se dicen equivalentes cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda, y, viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también soluciones de la primera. Ejemplos: a) Las ecuaciones x + 1 = y x + = 4 son equivalentes. Pues x=1 es la única solución de ambas ecuaciones. b) Las ecuaciones x - = 0 y x - = 0 no son equivalentes. Pues x= es solución de ambas, pero la segunda tiene una solución, x=-, que no es solución de la primera Las ecuaciones pueden clasificarse, teniendo en cuenta el conjunto solución, en: Compatible Determinada: cuando tienen un número finito de soluciones. Compatible Indeterminada: cuando tienen infinitas soluciones. Incompatible: cuando no existe ninguna solución. Ejemplos: a) x + 1 = 0 tiene una solución x = -1 b) x = x tiene infinitas soluciones ( es una identidad) c) x = -1 no tiene ninguna solución real. Teniendo en cuenta el número de incógnitas, una ecuación puede clasificarse en: ecuación de una incógnita, ecuación de dos incógnita, etc. 9

10 Ejercicio 1: Clasificar las ecuaciones dadas en los ejemplos anteriores según el número de incógnitas. Cuando el número de ecuaciones es igual o mayor a dos se llama sistema de ecuaciones. x y 1 Ejemplos: a) x y 0 log( x) b) x y x 4y y 5 Metodología para resolver ecuaciones: Como dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, cuando se quiere resolver una ecuación se puede resolver cualquiera que sea equivalente a ella, de ahí la idea de buscar ecuaciones equivalentes más simples. El procedimiento es transformar una ecuación en otra equivalente pero más simple, y así sucesivamente hasta llegar a una ecuación equivalente a la dada, de la cual se encuentra con facilidad su conjunto solución. Las transformaciones qué se pueden hacer sobre una ecuación para obtener una equivalente son: 1- Intercambiar los dos miembros de la ecuación - Simplificar los miembros de la ecuación reduciendo a términos semejantes, eliminando los paréntesis, etc. - Sumar o restarla misma expresión a ambos miembros de la ecuación (ver nota a) 4- Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma expresión distinta de cero. (ver nota b) 5- Si un miembro de la ecuación es 0 y el otro puede ser factorizado, entonces se puede usar la ley del producto y hacer cada factor igual a cero. Notas: a) Si la expresión que se suma no se puede calcular para cada valor de la incógnita entonces puede ocurrir que las dos ecuaciones no sean equivalentes: b) Si la expresión que se multiplica no es distinta de cero entonces puede ocurrir que las dos ecuaciones no sean equivalentes:. 10

11 Ecuación lineal en una incógnita: Una ecuación es lineal en la incógnita x si mediante transformaciones equivalentes puede reducirse a la siguiente expresión: a.x + b = 0 a R, b R, a 0 Ejemplos 1) 5x - 4 = x -. 5x - 4 = x - 5x - 4 x = x - -x x - 4 = - se opera se suma a cada miembro el opuesto de (-x) x = se suma a cada miembro el opuesto de (-x) x = se opera x = se divide a cada miembro por x/ = / x = 1 Luego el conjunto solución es S={1] ) ( t -1) 1 t t t t 11 t t 1-11 t -1 t (1-1) t (1-1) t 0 t 0 t t 1 ( t) 1 ( t) Cualquiera sea el valor que demos a t, la igualdad se verifica, por lo tanto, esta ecuación es satisfecha por todos los reales, el conjunto solución es R. Se trata de una identidad. S = R 1 ( ) t 1 ( ) t 1. t 1. t t t 11

12 ) ( t -1) t t -.1 t t 1 t t 1-1 t -1 t (1-1) t -1 t 0 t -1 No existe valor de t que verifique esa igualdad pues, 0. t = 0 t R t t -1 S = t - t (-t t) -1 ( ). t t -1 Ejercicio : Buscar en los ejemplos anteriores las ecuaciones de primer grado en una variable y resolverlas. Analizando la ecuación a.x + b = 0 con a, b R, se puede clasificar, teniendo en cuenta las soluciones de la misma, en: a) compatible a solución única: cuando a 0, En este caso, la solución queda x = - b/a b) indeterminada cuando a = 0 y b = 0 queda 0.x = 0 se verifica para todo x R c) incompatible cuando a = 0 y b 0 queda 0.x = b no se verifica para ningún x R Ejemplos: a) x + = 0 ==> x = -/ b) x - x = 0 ==> 0.x = 0 ==> se verifica para todo x R c) x - x = 5 ==> 0.x = 5 ==> no se verifica para ningún x R Ejercicio : Resolver las siguientes ecuaciones lineales: i) 7 1 x 54 9x x 5 ii) 45x x 6 15x x 4x iii) 10x x

13 Ecuación lineal en dos incógnitas: Se llama ecuación lineal en las incógnitas x e y si mediante transformaciones equivalentes puede reducirse a la siguiente expresión: a.x + b.y + c = 0 a,b,c R, a 0, b 0 Analizando la ecuación a.x + b.y + c = 0 soluciones de la misma es la siguiente manera: a,b,c R, se puede concluir que la clasificación según las a) nunca es compatible determinada. b) incompatible cuando a = 0, b = 0 y c 0 0.x + 0.y = b no se verifica para ningún par de valores x,y R c) indeterminada el resto de los casos Ejemplos: a) x + y = 1 ==> x = (1 -y)/ ; y R b) 0x + 0y = 0 ==> se verifica para todo x R y todo y R c) 0x - 0y = 5 ==> no se verifica para ningún x R Generalizando, se dice que una ecuación lineal en las incógnitas x 1, x,, x n, si mediante transformaciones equivalentes puede reducirse a la siguiente expresión: a 1. x 1 + a. x + + a n. x n + b = 0 con a 1, a,, a n, b R Una ecuación se dice no lineal si no es lineal. Ejemplos: x +1 = lineal x - y + 4 = 0 lineal x + y - z = 4 lineal x +1 = no lineal x log(y) + 4 = 0 no lineal x +sen(y) - z = 4 no lineal x.y + x = 6 no lineal 1

14 Ecuación de segundo grado en una variable: Una ecuación es de segundo grado en la incógnita x si mediante transformaciones equivalentes puede reducirse a la siguiente expresión: a.x + b.x + c = 0 a R, b R, c R, a 0 Para resolver esta ecuación se utiliza la resolvente: b b 4ac x1, a La expresión b -4ac recibe el nombre de discriminante de la ecuación. Se simboliza: b 4ac Analizando la resolvente de la ecuación de segundo grado, se puede concluir que las soluciones de la misma depende del discriminante, de la siguiente manera: a) si > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. b) si = 0 la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales. (una solución doble) c) si < 0 la ecuación no tiene ninguna solución real. En los casos a y b la ecuación resulta compatible y en el caso c resulta incompatible. Ejemplos: a) x 1 + x - = 0 x 1 1 x 1, ( ) b) x x + 1 = 0 x 1, 1.1 x c) x + x + = 0 x 1,.1 14

15 Propiedad: Si x 1 y x son las soluciones de una ecuación de segundo grado en la incógnita x, entonces se puede factorizar la expresión ax +bx+c de la siguiente manera: ax + bx + c = a (x - x 1 ) (x x ) Ejercicio 4: Analiza los casos particulares de la ecuación cuadrática Ejercicio 5: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas deduciendo previamente la cantidad de soluciones de acuerdo al discriminante: i) ii) iii) 4x 4x 5x x x x x 6x 6 5x x 1 4x 7x Ejercicio 6: Calcular m tal que las siguientes ecuaciones cuadráticas tengan: i) mx x 0 ; tenga raíces reales ii) iii) x mx 4 0 ; x x m 0 ; tenga 1 raíz real carezca de raíces reales Ejercicio 7: Resolver las siguientes ecuaciones 1) y 11 8 ) x -18 ) x 9-6 4) -1 y 117 5) 1. 5 y 8 6) - 4x ) 7y -1-5y 8) 8-5x x -16 9) 5-4 a a -1 10) - 4 x ) 1 y - y ) x 5 1 x - x

16 1) 0. x 0 14) 4 x 0 15) 0 x 5 16) 7 y 7 y 17) 7 w - 7 w 18) 4x - x - x 19) x 4 x 4 x 0) t -11- t 1) 5y - y 1 y ) 80 10( t - ) ) 5y - ( y -10 ) 5 4) a ( a - ) ( a ) - ( a -1) 5) ( x )( x - 5 ) 0 6) ( t - )( t - 7 ) 0 7) (y - 4 )( 4y -1) 0 8) m ( m - 8 ) 0 9) (x - )( x - ) 0 0) x ( x -1)(x - ) 0 9) 1 ( a - )( 7a 7 4 ) 0 1) x x ) x( - x) 0 x -1 4) x - 6 x 0 5) x. x. x 6) x ( x -1) x 7) x ( x -1) x ( x 1) Ejercicio 8: Resolver las siguientes ecuaciones: a) x - 5x + 6 = 0 b) p - 5p = -1 c) y - y + = 4y - y d) 5c +9c - 1 = -7c +1c - 8 e) i - 4i = 0 f) b - 64 = 0 g) -5x - 0 = - 10x h) (x-) + (x+) = 6 i) 6x (x+1) = x - (x+) Ejercicio 9: Escribir una ecuación cuadrática que tenga por raíces los siguientes números: a) ; 5 b) ; 1/ c) 1 d) 0 ; 1 Ejercicio 10: Escribe una ecuación que tenga como soluciones los números 7 y 8. 16

17 INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones que contienen uno o más valores desconocidos (incógnita) Una solución es un valor de la(s) incógnita(s) para los cuales la desigualdad se verifica. El conjunto solución es el conjunto de todas las soluciones. Resolver una inecuación significa encontrar todas las soluciones, o sea hallar el conjunto solución. Propiedades: Sean x, y, z R Si x < y entonces x + z < y + z ( igual para >,, ) Si x < y y z > 0 entonces x. z < y. z ( igual para ) Si x < y y z < 0 entonces x. z > y. z ( igual para ) Ejercicio 1 Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta. En todos los casos a, b y c son números reales. 1) b c b c ) c a a c ) - b - a a b 4) a c c b a b 5) - a c - c b a b 6) a c b c a b Cómo se puede averiguar si un número es solución de una inecuación?. Ejemplo: x = 5 es solución de la inecuación x + < 5 - x? ; x = -1 es solución? Reemplazamos la incógnita x por el valor 5. Luego: x = 5 no es solución de la inecuación. x = -1 x + < 5 - x ( 8 > 0) x + < 5 - x (-1) (-1) (4<6) Luego, x = -1 sí es solución de la ecuación. Habrá otras soluciones? Cómo se pueden encontrar? Lo importante aquí es que para decidir si un número dado es o no solución, no hace falta resolver la inecuación. 17

18 Ejercicio : Determinar si el número indicado es solución de la desigualdad: a) y y b) 6 - y 9 y - c) x( x 5 ) 8 x 1 d) ( t - )( t ) 0 t e) ( t - )( t ) 0 t f) x - x 1 x 0 g) - 4 x x - x 5 x h) x x -1 0 x Ejercicio : Representa gráficamente (para repasar los operadores lógicos): 1)1 x 6 4) x 7) x -1 x x 5 ) 0 y 5) t -10 t -5 8) x 4 x 1 ) - 7 y - 6) x - x 0 Existen distintos métodos para resolver inecuaciones. Se usará el método algebraico. Según el caso hay uno omás métodos que resultan apropiados, más simpli o más fácil de reconocer las soluciones o más conocido. Ejemplos: 1) Encuentra el conjunto solución de x >0, exprésalo como intervalo y represéntalo sobre las recta real. x - 0 x - 0 (sumamos el opuesto de-, propiedad ) x 0 (A 5) x ( A 4) 1 (x) 1 ( mulltiplic amos por el inverso de, propiedad ) 1 ( ) x (A) 1. x (A 6) x ( A 4) 18

19 Resulta entonces el conjunto solución S x R / x, ( -1 0 / 1 ) Encuentra el conjunto solución de (x )(x + 1) 0, exprésalo como intervalo y represéntalo sobre las recta real. Para que el producto de los dos factores ( x ) y ( x + 1 ) sea menor o igual que cero, tenemos dos posibilidades: (I) x 0 x (II) x 0 x S(I) S(II) S (I) x x -1 resulta S(I) = (II) x x -1 resulta S(II) = [ -1, ] S = S(I) S(II) = [ -1, ] = [ -1, ] = Ejercicio 4: x R / _1 x Resuelve las siguientes inecuaciones, si es posible con distintos métodos, expresa el conjunto solución como intervalo y represéntalo en la recta real.: a) x 4 5 x - b) 4 - x 5 c) 7-5 x 8-5 x d) x -1-6 x e) ( x -1)( x - ) 0 f) ( x -1) ( x 1) 0 g) x ( x 1) h) x ( x 1) 0 i) ( x - 5 ) ( x ) 0 j) ( x - 5 ) ( x ) 0 k) ( x - 5 ) ( x ) 0 l) ( x ()( x - 4 ) ( x - 6 ) 0 m) x -1 x - 0 x - 4 n) x 0 19

20 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de una número x, denotado por x, es un número real que, es igual a x, si x es positivo ó cero y, es el opuesto de x, si x es negativo. En símbolos: x, x 0 x = { x, x < 0 Ejemplos -1 > 0 - > 1 log ( -) > 0 = -1 = -1 log (-) = log (-) = < 0 0< - < 1 log ( -) < 0 (-) = - (-) = 1 - = - (1- ) = -1 log (-) = - log (-)= - (- 0.85) = 0.85 Propiedades: a) x 0 ; x R. b) x = - x ; x R. r > 0 c) x = r x = r ó x = -r -r d) x < r -r < x < r ( * ) -r o r l o r e) x > r x < -r ó x > r ) * ( -r o r Ejemplos prop.(d) 1 ) x 5 < valor ab. prop.(a) - < x - 5 < desig. 5 - < x < 5 + < x < 8 < x < 8 x y x 8 ( y S 1 S ) S 1 S S 1 S = { x R / < x } { x R / x < 8 } = ( ; 8 ) 0

21 0 ( ) 0 8 ( ) 0 8 x x x S 1 S S = S 1 S Rta: S = { x R / < x < 8 } S = ( ; 8 ) ( ) 5 8 x prop.(e) ) x 5 > valor ab. x -5 < - ó x -5 > x ó x 8 ( ó S 1 S ) S 1 S Rta: S = S 1 S = { x R / x < } { x R / x > 8 } = (- ; ) ( 8 ; + ) ) ( 5 8 x ) 0 < x 5 < 0 x 5 y S 1 x 5 (conjunto solución S 1 S ) S Rta: S = S 1 S = { x R / x 5 } ( ; 8 ) = ( ; 8 ) { 5 } ( ) ( ) 5 8 x Ejercicio 1: Representar sobre un eje coordenado los conjuntos A ; B ; AB y AB para: a) A = [ ; 4 ) ; B = [ 4 ; 7] b) A = [ ; 6 ] ; B = [ ; 4] c) A = ( ; 4 ) ; B = (1 ; 5 ) d) A = (-; -1 ) ; B = (- ; 0 ) 1

22 Ejercicio : Resolver y unir cada inecuación en la primer columna con su conjunto solución en la segunda columna. Graficar el conjunto solución. a) x 5 < b) 5 x < 0 c) x 7 < d) x 7 e) < 4 - x < 6 f) 0 < 4 - x < 6 S1 = { x R / 5 < x < 9 } S = (-1 ; 1) ( ; 5) S = ( -1 ; 5 ) - { } S4 = S5 = R - { 0 } S6 = R S7 = { 0 } S8 = { x R / x 5} { x R / x 9 } S9 = { x R / x >,5 } S10 = [ 1,5 ; + ) S11 = { x R / - < x < } S1 = { x R / x -} { x R / x } Ejercicio : Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones, y representarlo en el eje real

23 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Se llama sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x e y a la siguiente expresión: a 1.x + b 1.y + c 1 = 0 a.x + b.y + c = 0 a 1,b 1,c 1,a 1,b 1,c 1 R Se llama solución de un sistema de ecuaciones a los valores que, atribuidos a las incógnitas, verifican todas las ecuaciones del sistema. Resolver el sistema el hallar, si existen, la o las soluciones comunes a hallar todas las ecuaciones del mismo. Es decir hallar el conjunto solución del sistema (S) Son tres las situaciones que se pueden presentar: a) Que el sistema tenga solución única. Se llama sistema compatible determinado. b) Que el sistema tenga infinitas soluciones. Se llama sistema compatible indeterminado. c) Que el sistema no tenga solución. Se llama sistema incompatible Ejemplos: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x + y = - x + y = -1 Para resolver este sistema por el método de sustitución, hay que: - despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones - reemplazarla en la otra ecuación - resulta una ecuación en una sola incógnita, se resuelve - encontrar el valor de la otra incógnita Despejamos y de la primera ecuación : y=--x y lo reemplazamos en la segunda: x + (--x) = -1 ==> x = 1 Luego: y = - -1 = - d La solución del sistema es : x=1, y=- S={(1,-)} Este sistema es compatible determinado. Hay otros métodos para resolver este tipo de sistemas? Cuáles son?

24 b) x - y = x - y = 6 Despejamos x de la primera ecuación: x=+y y lo reemplazamos en la segunda: (+y) -y = 6 ==> 6 +y-y = 6 ==> 0y = 0 Vemos que cualquier y R verifica esta ecuación, luego el sistema tiene infinitas soluciones, que pueden escribirse como: x=+y, y R Este sistema es compatible indeterminado. c) x + y = x + (1/)y = Despejamos y de la primera ecuación: y=-x y lo reemplazamos en la segunda: x + (1/)(-x) = x +1 -x = 0x= vemos que no existe x R que verifique esta ecuación, luego el sistema no tiene solución. Este sistema es incompatible. Ejercicio 1: Analizar si alguno de los pares siguientes (-1,1) ; (, 0) ; (0,0) ; (1, 1) es solución del sistema: y x 0 x y 0 Ejercicio : x. y = 0 Dado el sistema: { x + y = 0 Analizar si alguno de los pares siguientes es solución del sistema: (4,-1) ; (,) ; (1/, ½), (-9;-6) Puedes decir cuántas soluciones tiene este sistema, sin resolverlo? Por qué? Ejercicio : Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. Clasificarlos de acuerdo a su conjunto solución. y x 1 a) x y 7 x y 5 b) x 6y 4 c) x 5y 1 x y 1 7x 11y d) x 4y 8 Ejercicio 4: αx y = 1 Para el sistema { x + αy = solución., encontrar, si existe, el valor del número real α tal que el (0,1) sea 4

25 LOGARITMO. ECUACIONES LOGARITMICAS 5

26 6

27 Ecuaciones logarímicas Ejemplos Ecuaciones logarímicas Ejemplos: 7

28 Ejercicio 1: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales Ejercicio : Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales 8

29 POLINOMIOS Sea n N 0, a 0, a 1, a, a,., a n números reales, x una variable. Llamaremos expresión polinomial o Polinomio en una variable con coeficientes reales, a toda expresión del tipo p(x) = a n. x n + a n 1. x n a. x + a 1. x 1 + a 0 Utilizando el símbolo, puede escribirse de la siguiente manera: Px n i0 a n x El número a i, i= 1,n se llama coeficiente de grado i, el número a n 0 se llama coeficiente principal y al número a 0 se lo llama término independiente. i ni Ejemplos: a) p(x) = + 0. x + 1. x,4. x 1 b) q(x) = 5 c) r(x) = x x + 0. x +. x 4 d) s(x) = x 1. x + 0. x. x x 5 En general no se escriben los términos con coeficientes nulos, tampoco el coeficiente igual a 1. Los polinomios de los ejemplos se escriben: a) p(x) = + x,4. x b) q(x) = 5 c) r(x) =. x 4 d) s(x) =. x. x x 5 Un polinomio está ordenado si se escriben los términos ordenados según las potencias decrecientes de la variable x, y está completo cuando se escriben todas las potencias de x. El polinomio p del ejemplo está incompleto, para completarlo se agregan las potencias de x faltantes con coeficientes ceros, obteniendo p(x) = x + 0x,4. x + 0 Se llama polinomio nulo al polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, se escribe p(x)=0 En lo anterior se usó la letra x para simbolizar la variable, también se pueden usar otras letras, teniendo cuidado de indicar cuál es. Dar ejemplos. 9

30 Un monomio es un polinomio de un solo término. Un binomio es un polinomio de dos términos, un trinomio es un polinomio de tres términos, y uno de cuatro términos es un cuatrinomio. Se llama coeficientes no nulos. grado de un polinomio en una sola variable al mayor exponente de los términos de El polinomio nulo carece de grado. Si el polinomio de reduce a un número, p(x)= a 0, se llama polinomio constante y tiene grado cero. Si el polinomio tiene grado 1 se denomina polinomio lineal o de primer grado. Si el polinomio tiene grado se denomina polinomio cuadrático o de segundo grado. Si el polinomio tiene grado se denomina polinomio cúbico o de tercer grado. Dos polinomios son iguales si y sólo tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales. En Símbolos: Sean p(x) = a n. x n + a n 1. x n a 1. x 1 + a 0, y q(x) = b m. x m + b m 1. x m b 1. x 1 + b 0, entonces p(x) = q(x) m = n y a 0 = b 0, a 1 = b 1, a n = b m Ejercicio 1: Determinar si existen valores de las constantes a, b, c y d para los cuales los polinomios p(x) y q(x) resultan iguales : i)) p(x) = ax 4 x + 4x 5 q(x) = x 4 +bx + 4x + (c5)x + d ii) p(x) = (x - a x + 1).( x - b) q(x) = x 5-7 x + x + 6 x Operaciones con Polinomios Dados los polinomios p(x) = a n. x n + a n 1. x n a 1. x 1 + a 0, y q(x) = b m. x m + b m 1. x m b 1. x 1 + b 0, Suma: Se puede suponer que ambos polinomios tienen el mismo grado, pues de no ser así, basta con completar con coeficientes cero los términos faltantes. En ese caso, la suma de polinomios se define: p(x) + q(x) = (a n + b n ) x n + (a n 1 + b n 1 )x n (a 1 + b 1 )x 1 + (a 0 + b 0 ) El grado del polinomio suma es igual o menor al mayor de los grados de los polinomios sumandos, o bien carece de grado. 0

31 Ejercicio : a) Enunciar las propiedades de la suma de polinomios b) Busca la forma práctica de ordenar los polinomios para sumarlos. Para cada polinomio existe un opuesto (inverso aditivo). Dos polinomios son opuestos cuando siendo del mismo grado, los coeficientes de los monomios semejantes son opuestos entre sí. Resta o diferencia de polinomios: Teniendo en cuenta la definición, definir la diferencia de polinomios. Producto de polinomios Tratemos de intuir la definición de producto de polinomios pensando en la propiedad distributiva de los números reales. Dados los polinomios p(x) = x x + y q(x) = x + 1, el producto entre ellos es: p(x). q(x) = (x x + ). (x + 1), aplicando la propiedad distributiva p(x). q(x) = x (x + 1) x (x + 1) +. (x + 1), aplicando la propiedad distributiva p(x). q(x) = x. x + x. 1 x x + x x +. 1 Operando: p(x). q(x) =. x. x +.1 x x x + 1. x +. x +. 1 p(x). q(x) = 6 x 4 + x x + 1. x + 6 x + Resulta: p(x). q(x) = 6 x 4 + x x + 7. x Se define, entonces, el producto de polinomios de la siguiente manera: Dados los polinomios p(x) = a n. x n + a n 1. x n a 1. x 1 + a 0, y q(x) = b m. x m + b m 1. x m b 1. x 1 + b 0, El polinomio que se indica p(x).q(x) es el polinomio producto siguiente: p(x). q(x) = a n. b m x n+m + + (a 0 b + a 1 b 1 + a b 0 )x + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + (a 0. b 0 ) El producto de dos polinomios es otro polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores. Se indica: gr (p.q) = gr(p) + gr(q). 1

32 Ejercicio : a) Enunciar las propiedades de la multiplicación de polinomios. b) Busca la forma práctica de presentar los polinomios para multiplicarlos. Casos especiales de productos de polinomios: Sea a εr, 1) (x a). (x + a) = x a Este polinomio se llama diferencia de cuadrados ) (x + a) = (x a). (x + a) = x + ax + a Este polinomio se llama trinomio cuadrado perfecto ) (x + a) = (x a). (x + a). (x + a).. (completar) Ejercicio 4; i) Completa de modo que se trate de un trinomio cuadrado perfecto y luego escríbelo como un binomio al cuadrado: a) x + x +... b)... 4x + 1 c) x d) x...+ ii) Escribe la expresión dada como un binomio al cuadrado más una constante: a) x + x + 5 b) x - 1x + c) 9x + 1x 1 iii) Escribe las diferencias como un producto de la forma (a + b)(a b): a) x 9 b) 16 x c) x 4 5 d) 5 4x e) 9x ¼ División de polinomios Si p(x) y q(x) son dos polinomios con coeficientes reales y q(x) no nulo, entonces existen únicos polinomios c(x) y r(x) con coeficientes reales tales que: p(x) = q(x). c(x) + r(x) Donde r(x) = 0 ó gr(r) < gr(q) ; p(x) es el dividendo, q(x) es el divisor, c(x) es el polinomio cociente y r(x) es el resto de la división de p(x) por q(x). p(x) r(x) q(x) c(x) Conociendo el cociente c(x) y el resto de la división de p(x) por q(x), el cociente entre p y q se puede expresar: p(x) r(x) = c(x) + q(x) q(x)

33 Observación: para dividir polinomios puedes utilizar un esquema práctico similar al usado para la división entre números, debiendo ordenar ambos polinomios en forma decreciente de las potencias de la variable y completando al polinomio dividendo. Ejemplo: Se quiere dividir p(x) = x 4 + x +x por q(x)= x x 1 pero, ante de hacerlo deben escribirse sus términos en orden de potencias decrecientes de la variable y completar el dividendo, tal como se expresó antes. En este caso el dividendo ya está ordenado, pero falta completarlo: p(x) = x 4 + x + 0x + x El divisor debe escribirse ordenadamente: q(x)= x + x 1 Ahora se puede efectuar la división: x 4 + x + 0x + x x + x 1 x 4 x + x x 1 x + x x + x1 5x6 Cuando es resto de la división de p(x) por q(x) es el polinomio nulo, se dice que p(x) es divisible por q(x) o que q(x) es factor de p(x), o que p(x) es múltiplo de q(x), o que p(x) es divisible por q(x). En ese caso, resulta p(x) = q(x). c(x) Ejercicio 5: Dados los siguientes polinomios p(x) = x 5 +4x 4 x + 4x5 ; q(x) = x 5 +x 4 +x + 4x + r(x) = x 4x +x ; s(x) = x 5 +x 4 +x +x+4 Realizar las siguientes operaciones: a) p(x) + q(x) b)1/.p(x) + /.r(x) c) q(x) s(x) d) q(x)+s(x) r(x) e) p(x)+s(x) Ejercicio 6: Calcular p(x)q(x) en cada uno de los siguientes casos: a) p(x) = x 5 +5x 4 x + 4x + ; q(x) = x 1 b) p(x) = x + x 1 ; q(x) = x + x +1

34 Ejercicio 7: Obtener c(x) y r(x) tales que p(x) q(x) = c(x) + r(x) q(x), siendo: a) p(x) = 4x 5 x x +x ; q(x) = x 4 + x 1 b) p(x) = x 5 +x 4 +x ; q(x) = x +6x +x c) p(x) = 6x 5 x 4 1x +6x +5x ; q(x) =x+ 1 Ejercicio 8: Dados los polinomios: p(x) = x - x - 1, q(x) = x - x + 1 y r(x) = 4 x + x, hallar el polinômio p(x). q(x) r(x) Regla de Ruffini Se aplica al dividir un polinomio p(x) por uno de la forma q(x)= (x a) con a R El esquema práctico esta división, conocida como regla de Ruffini, consiste en lo siguiente: - ordenar el polinomio en potencias decrecientes y completarlo. - se escriben los coeficientes del mismo, incluido el término independiente. - a la izquierda de ellos, en la siguiente línea se escribe el número a. - se baja el primer coeficiente a la línea siguiente y el producto del mismo por a se coloca debajo del segundo coeficiente. - se efectúa la suma entre estos dos números; - luego este resultado se multiplica por a y se coloca debajo del tercer coeficiente, sumando a éste el producto obtenido. - se procede en forma similar hasta llegar a sumar al término independiente un producto de este tipo. En la tercera línea se obtienen los coeficientes del polinomio cociente, y en la última columna de la misma se obtiene el resto de la división. Ejemplo: Siendo p(x) = x 4 + 1x + x y q(x) = x, antes de pasar al esquema se debe completar el dividendo: p(x) = x 4 + 1x + 0x +x Luego se procede a realizar la división, de acuerdo a como se explicó antes: 4

35 Resulta así: c(x) = x x 15x 7 y r(x) = 70 El polinomio p(x) puede escribirse: p(x) = q(x). c(x) + r(x) p(x) = (x ).( x x 15x 7) -70 Si c εr y p(x) = a n. x n + a n 1. x n a 1. x 1 + a 0, se llama valor numérico de p en c al número real p(c) = a n. c n + a n 1. c n a 1. c 1 + a 0. Es decir, calcular el valor numérico de p en c es reemplazar la variable por c y hacer las cuentas. Ejemplo: Si p(x) = x 4 + 1x + x El valor numérico del mismo para x 0 = 1 es p(1) = = 6 El valor numérico para x 1 =5 es p(5) = = 70 Repara en este último resultado. No lo relacionas con nada? Ejercicio 9: Halla el valor numérico de p(x) indicado en cada caso a) p( 0 ), p () y p(1), siendo p(x) = x +x 8x4 b) p(0), p(1) y p(), siendo p(x) = x 5 +x 4 x Ejercicio 10: Dividir p(x) por q(x)= x, aplicando la regla de Ruffini: a) p(x) = x 5 4x x +x ; q(x) = x b) p(x) = 5x 4 x + x+1 ; q(x) = x+ 1 c) p(x) = 5x x +x ; q(x) = x d) p(x) = x 5 +x 4 x ; q(x) = x1 e) p(x) = 6x 5 x 4 1x +6x +5x ; q(x) =x+ f) p(x) = x +x 8x4 ; q(x) = x g) p(x) = x x +8x+4 ; q(x) = x + ½ 5

36 RAICES DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL RESTO Se dice que un número es una raíz, o un cero del polinomio p(x) si y sólo si p() = 0 Si se pudiera calcular el resto de la división de los polinomios, se podría rápidamente concluir se un polinomio es divisible por otro. El Teorema del resto brinda un elemento para el reconocimiento de un cero de un polinomio, cuando el divisor es de la forma (x+) Teorema del resto Sea εr y p(x) un polinomio de grado mayor o igual a 1. El resto de la división p(x) por q(x) = xes igual r =p() Corolario: Un número es raíz de p(x) si y solo si p(x) es divisible por (x-) Se observa que el resto de la división efectuada con el esquema de la regla de Ruffini y el valor numérico del polinomio para x = a son iguales. Ejemplo: es raíz de p(x) = x -x - pues p() = 9 6 = 0. También es raíz de p(x) ya que p(-1) = 1 + = 0. Pero no es raíz de p(x) dado que p() = 4 4 = - 0 Ejercicio 11: Verificar el resto aplicando el teorema en cada una de las operaciones realizadas en el ejercicio 7 Ejercicio 1: Determinar para qué valor de k el polinomio: a) p(x) = x 4 x + k x - x + es divisible por x+ b) q(x) = -x + kx - kx + es divisible por x- c) r(x) = 4x + x -k x + 6k tiene la raíz = - Ejercicio 1: Analizar si los números: a) α = 1, α = -1, α = -1/ son raíces del polinomio p(x) = x 4 x 4x + x + 1 b) α = -1/, α = 0, α = -1 son raíces del polinomio p(x) = x + x Se observa que encontrar una raíz una raíz de polinomio es encontrar un valor de la variable x tal que p(x) =0 6

37 La expresión p(x) =0 se llama ecuación algebraica. Los valores de la variable que satisfacen esta ecuación se llaman soluciones de la ecuación. Luego encontrar las raíces de un polinomio p(x) es encontrar las soluciones de la ecuación p(x) =0 A continuación se analizan algunas cuestiones acerca de las raíces de un polinomio, a saber, todos los polinomios las tienen? Cuántas? Cómo calcularlas? Algunos resultados con respecto a estas preguntas: Todo polinomio de grado mayor o igual a uno con coeficientes reales tiene al menos una raíz, que puede ser real o compleja (Teorema fundamental del álgebra) Todo polinomio de grado n 1 tiene exactamente n raíces. (reales o complejas, iguales o distintas) Un polinomio cuyos coeficientes son reales, si tiene una raíz compleja entonces el complejo conjugado de la misma también es raíz de ese polinomio. Los polinomios p(x) y q(x) = k.p(x) con k 0 tienen las mismas raíces p(x).q(x) = 0 p(x) 0 q(x) 0 El polinomio nulo es múltiplo de cualquier polinomio, porque 0= p(x). 0 Todo polinomio es múltiplo de sí mismo p(x) = 1. p(x) Todo polinomio es divisible por un polinomio de grado cero Multiplicidad de una raíz: Un número se dice que es raíz múltiple de orden n, o de multiplicidad n, de un polinomio p(x) si p(x) es divisible por (x- ) n (y no de (x- ) n+1 ) Ejemplo: Sea p(x) = -(x-4).(x+5), 4 es una raíz de orden (ó raíz triple) de p(x), mientras que - 5 es una raíz simple. Ejercicio 14: a)indicar en cada caso el grado del polinomio y las raíces con su multiplicidad: i) x (x 1) (x + 1) ii) (x + 1) (x ) iii) (y + ) ( y) (1 + y) b) Dar el coeficiente principal y el término independiente de cada uno de los polinomios del ítem a) Ejercicio 15: Determina el orden de multiplicidad de la raíz = del polinomio p(x) = x 4 7x +18x - 0x + 8, halla las otras raíces reales de p(x) si existieran, y factoriza el polinomio dado. 7

38 Factorización de un polinomio como producto de binomios de la forma x (donde C es raíz del polinomio) Todo polinomio p(x) = a n. x n + a n 1. x n a 1. x 1 + a 0 de grado positivo admita una única descomposición en factores de la forma p(x) = a n (x 1 ) (x ) (x n1 ) (x n ) donde α 0, α 1, α,., α n números reales Ejemplos: a) Si se factoriza p(x) =x x - x +, cuyas raíces son ½, -1 y (Verifícarlo aplicando el teorema del resto) se obtiene: p(x) =(x ½)(x+1)(x) b) Sea p(x) = x + x -10x + 6, hallar las raíces de p, su multiplicidad de las mismas y factorizar q(x). Por simple inspección del polinomio se observa que 1 = 1 es raíz. Se usa la regla de Ruffini para realizar el cociente entre p(x) y x-1 (el resto debe dar cero) Como puede observarse, el cociente entre p(x) y (x-1) es C 1 (x) = x + 4x 6 y ahora puede escribirse p(x) = (x-1)(x + 4x 6). Ahora se busca las raíces de C 1 (x) que como es un polinomio de grado dos, se puede usar la resolvente (no hace falta usar la regla de Ruffini). Resulta C 1 (x) = (x-1)(x + ) Reemplazando se obtiene: p(x) = (x-1)(x-1)(x+) p(x) = (x-1) (x+) Se ha encontrado que 1 = = 1 es raíz doble y que = - es raíz simple. Teorema de Gauss: Sea p(x) = a n. x n + a n 1. x n a 1. x 1 + a 0 un polinomio a coeficientes enteros (α 0, α 1, α,., α n números enteros) Si r/q, con r y q enteros, primos entre sí y q 0, es raíz de p(x), entonces a 0 es múltiplo de r y a n es múltiplo de q. 8

39 Ejemplo: Sea p(x) = x 5-11x x - 7x + 8x + 4, para encontrar las posibles raíces racionales de p(x) puede aplicarse el teorema de Gauss ya que todos sus coeficientes son números enteros, luego Divisores de a 0 = 4 : 1,, 4 Divisores de a 5 = : 1, Posibles raíces racionales: 1,, 4, 1/, /, 4/ Aplicando la regla de Ruffini o el teorema del resto se puede verificar que p(x) tiene a como raíz doble y -1/ como raíz simple, las dos raíces restantes son complejas. Verificar también que la factorización de p(x) es: (x-) (x+1/)(x +1) Ejercicio 16: Calcular las raíces racionales, si existen, de los siguientes polinomios y realizar la descomposición factorial de los mismos a) p(x) = x - x -11 x + 6 b) p(x) = x 4 + x - 4x -5 x 6 c) p(x) = 4x - x + 1 d) p(x) = x + x -1 x 4 e) p(x) = x + x + x 1 Ejercicio 17: Determinar el orden de multiplicidad de la raíz = del polinomio p(x) = x 4 7x +18x - 0x + 8, hallar las otras raíces reales de p(x) si existieran, y factorizar el polinomio dado. Ejercicio 18: Teniendo en cuenta que p(x) = a n (x 1 )(x )(x )...(x n1 )(x n ), en cada caso reconstruir al polinomio si se sabe que: a) a n = y sus raíces son: 1,, y ½ b) a n = ¼ y sus raíces son 1(doble),, y c) a n = 1, es de grado 4, su término independiente es 0 y tiene por raíces a 1, 1 y Ejercicio 19: Encontrar el polinomio p(x) de menor grado, que verifica las condiciones indicadas en cada caso. a) p(x) es divisible por (x-), = -1/ es raíz de multiplicidad, =4 es raíz simple y p(0) = - b) = / y = - 5 son raíces simples, (x +4) es un factor de p(x) y p(1) = c) p(-1) = 0, p(-) = 8, = es raíz doble y = 0 es raíz simple d) p(-1) =, p(0) = 0, = 1 es raíz triple y el resto de dividir p(x) por (x + ) es cero 9

40 Ejercicio 0: Determina para qué valor de k el polinomio p(x) = x 4 - x + k x - x + es divisible por x + Ejercicio 1: En cada caso encuentra las raíces reales de p(x) y luego realiza su descomposición factorial: a) p(x) = x 4-5 x + 5 x - b) x - 7 x - 7 x