Álgebra Lineal Ma843

Transcripción

1 Álgebra Lineal Ma843 Valores y vectores propios: Departamento de Matemáticas ITESM Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 1/9

2 ducción Uno de los temas fundamentales en Ingeniería es el tema de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Esto se relaciona a la modelación de sistemas para fines de predicción y/o para conocimiento del pasado, muchas veces también con fines predictivos. Dentro de los sistemas de ecuaciones un tema básico son los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales autónomos y homogéneos. Estos sistemas tienen por ejemplo la forma dx dt = a 11 x(t) + a 12 y(t) dy dt = a 21 x(t) + a 22 y(t) o más convenientemente escrito en la forma matricial: x = Ax A A se le llama la matriz de transición del sistema y a x se le llama el vector de estados. Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 2/9

3 Ud. puede pensar que x(t) representa la cantidad de predadores y que y(t) representa la cantidad de presas y entre los predadores y las presas hay una dinámica de vida y muerte: El sistema de ecuaciones diferenciales indica como la tasa de crecimiento de los predadores (dx/dt = x ) depende del número de predadores y de la cantidad de presas disponibles, e igualmente la tasa de crecimiento de las presas (dy/dt = y ) depende también a su vez de la cantidad de predadores y de presas. El vector de estado del sistema, x =< x, y >, representa las cantidades de predadores y de presas. Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 3/9

4 Si por ejemplo, se plantea el sistema: x = 0.2 x y y = 0.1 x y y se usan métodos numéricos para resolverlo se tiene una imagen como la de la figura 1. Valores y Figura vectores 1: propios: Comportamiento de las soluciones al ejemplo Álgebra Lineal - p. 4/9

5 En la figura se representa el espacio de estados, es decir, los puntos representan el valor de x(t) y el valor de y(t). Las líneas en rojo son las trayectorias de las soluciones en el espacio de estados y las flechas indican el movimiento de las soluciones. Hay dos direcciones marcadas con líneas gruesas que se cortan en el origen y que son importantes, tanto en el análisis cualitativo de las soluciones, como en la obtención analítica de la solución. Estas dos direcciones están relacionadas a la matriz de transición A. Para ver operativamente con qué elementos de la matriz A se relaciona, recordemos la fórmula básica del método numérico de Euler para sistema de ED: x i+1 = x i + hx i = xi + hax i En esas direcciones x i (el punto actual) y x i+1 (el siguiente punto) están alineados con el origen. Y esto se da cuando el vector x i y el vector Ax i están alineados, es decir, cuando hay un escalar λ tal que Ax i = λx i Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 5/9

6 Esto define los conceptos de valor propio (λ) y el concepto de vector propio asociado a λ de A: Definición Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x o tal que: Ax o = λx o Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene la dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x o se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ. Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 6/9

7 Puedes visitar la liga: para experimentar buscando direcciones invariantes de una cierta matriz. Por ejemplo, para la matriz A 1 encontrarás vectores donde v y Av se alinean pero para la matriz A 2, v y A v nunca se alinean. Donde A 1 = 2 1 A 2 = Aquí, buscar significa mover el cursor por encima de la figura para definir el vector v (vector en amarillo): el sistema calcula el producto A v y lo grafica en la misma pantalla (vector en azul). Usted busca vectores v donde v y Av estén alineados (posiblemente con sentidos opuestos). Vea la figura 2 como referencia. Tenga encuenta la poca precisión numérica del experimento. Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 7/9

8 Figura 2: La Matrix Machine de Pearson Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 8/9

9 También puedes visitar la liga Y si quieres revisar más la relación entre estos conceptos y sistemas de ecuaciones diferenciales consulta la liga Valores y vectores propios: Álgebra Lineal - p. 9/9