OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

Transcripción

1 Lección OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.-OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.. SUMA Y RESTA Lee detenidamente en las páginas y del libro la cuestión, Suma y resta de números enteros, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. ACTIVIDADES.- Página, actividad..- Página, actividad. =====================================================================.. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Lee detenidamente en las páginas y del libro la cuestión, Multiplicación y división de números enteros, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. ACTIVIDADES.- Página, actividad..- Página, actividad..- Página, actividad..- Página, actividad...- OPERACIONES COMBINADAS Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ==================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas y del libro la cuestión, Operaciones combinadas con números enteros reflexiona y estudia lo destacado. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor..- Página, actividad. 8.- Página, actividad Página, actividad 9 a), b), c), d), e), f) y g). 0.- Página, actividad.

2 .- OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Lee detenidamente en la página 9 del libro la cuestión, Aproximaciones y en la página 0 la cuestión Operaciones básicas con números decimales, reflexiona y estudia lo destacado. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. ACTIVIDADES.- Página 9, actividad 0..- Página 9, actividad..- Página 0, actividad. V.- Página 0, actividad..- OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES..- SUMA Y RESTA - De fracciones con el mismo denominador Se suman (o restan) los numeradores y se pone el mismo denominador. Se simplifica la fracción resultante. a c a c b b b = = - = = - +(-) = = = = M.C.D.(9 y ) 9 - De fracciones con distinto denominador º Se reducen todas las fracciones a un común denominador. º Se suman (o restan) los numeradores y se pone el mismo denominador. º Se simplifica el resultado. Los números enteros, que no llevan ningún denominador expresado, tienen como denominador

3 a c m.c.m.(b,d)b a m.c.m. (b,d)d c m.c.m.(b,d)b a m.c.m.(b,d)d c b d m.c.m.(b,d) m.c.m.(b,d) m.c.m.(b,d) (8) (89) 9 + = + = + = m.c.m.(y 9) = = 9 = 8 = 9 = - (0) (0 )(- ) (0) - - (-) = - + = - + = = m.c.m.(,y ) = = 0 = + + = = = 0 0 M.C.D.( y 0) = = 0 = PROPIEDADES DE LA SUMA DE FRACCIONES -Conmutativa El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. a b c d c d a b -Asociativa En una suma de varios de sumandos, la forma de agruparlos para sumarlos no altera la suma. a b c d e f a b c d e f -Elemento neutro Para la suma es cualquier fracción equivalente a 0, es decir, que tenga como numerador 0. 0 x 0 x 0 a y y y = -Elemento simétrico; Se llama OPUESTO (Op) y se calcula cambiándole el signo al numerador o al denominador. a a a a Op Op = - = Op = - = b b b b Op = - = Op =- =

4 JERARQUIZACIÓN DE LAS OPERACIONES -Primero, se resuelven las operaciones que van entre paréntesis y entre corchetes volviendo a indicar en el mismo orden las que no se hacen en cada paso. Después las que van fuera. - Entre sumas y restas no hay prioridad y se resuelven en el orden en que aparecen = = + - = + - = + = + = M.C.M.(y )= M.C.M.(9y )= = 9=8 M.C.M.(y 8)=8 = m() 9= = + (-) = = = = = M.C.D.(8y8)= 8=9 8 = Supresión de paréntesis y corchetes Otra forma de hacerlo sería quitando primero los paréntesis y corchetes y después resolver las operaciones. De esta manera solo habría que reducir a un común denominador una vez, con lo que se ahorran cálculos. Primero se quitan los paréntesis teniendo en cuenta el signo que llevan delante -Sí es + se suprimen los paréntesis sin más, dejando lo que había dentro tal cual, sin cambiar nada. - Si es se suprimen los paréntesis cambiando el signo a todo lo que iba dentro. Después se quitan los corchetes, si los hay, de la misma manera, teniendo en cuenta el signo que llevan delante. 9 9 M.C.M. (, y 9 ) M.C.D. (8 y8) 8 9 8

5 ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página del libro la cuestión, Suma y resta, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor..- Página, actividad..- Calcula el opuesto de las siguientes fracciones a) b) c) d) e).- Página, actividad..- Página, actividad. 8.- Página, actividad. 9.- Página, actividad. 0.- Suprime los paréntesis y corchetes y luego resuelve. a) - + = b) = c) = 0 d) = e) = 8 8 f) = g) = ==============..-MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y el producto se pone en el numerador, y se multiplican los denominadores y su producto se pone en el denominador. Se simplifica la fracción resultante. a c a c = b d b d - (-) OJO!!! Para multiplicar fracciones NO HACE FALTA REDUCIRLAS A UN COMÚN DENOMINADOR.

6 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES -Conmutativa El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación. a c c a = b d d b Asociativa En una multiplicación de varios de factores, la forma de agruparlos para multiplicarlos no altera el producto. a c e a c e - - = b d f b d f 9 9 -Elemento neutro Para el producto es cualquier fracción equivalente a, es decir, que tenga el numerador igual al denominador. a x a x x = = = a y a y y 8 8 -Elemento simétrico; Se llama INVERSO (In) o FRACCIÓN INVERSA y se calcula intercambiando el numerador con el denominador. a b - - In = In In b a In In Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y resta de fracciones El producto de una fracción por una suma o resta de fracciones es igual a la suma o resta de productos de fracciones. a c e g a c a e a g + - = + - b d f h b d b f b h Sacar factor común es un proceso inverso de la propiedad distributiva por el que una suma o resta de productos con un factor que se repite en todos ellos (factor común) es igual al producto de dicho factor común por la suma o resta de los demás factores. a c a e a g a c e g + - = + - b d b f b h b d f h 9 9 9

7 CÁLCULO DE LA FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN Para calcular la fracción de una fracción se multiplican las fracciones. a c a c a c de = = b d b d b d 8 de ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página del libro la cuestión., Multiplicación, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor..- Resuelve las siguientes operaciones y simplifica los resultados a) b) c) - d) - - e) (-0) f) 8 g) 8 h) Halla y escribe el inverso de las siguientes fracciones - a ) b) c) d) e) Calcula a) de b) de c) de d) 0 de Página, actividad 8..- Página, actividad 9..- Página, actividad.

8 ..-DIVISIÓN DE FRACCIONES Para dividir fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor. O lo que es lo mismo, se multiplican en cruz sus términos; el numerador del dividendo por el denominador del divisor, para obtener el numerador del cociente, y el denominador del dividendo por el numerador del divisor, para el denominador del cociente. a c a c a d a d = In = = b d b d b c b c m c d (0 y ) 0 OJO!!! Para dividir fracciones tampocono HACE FALTA REDUCIRLAS A UN COMÚN DENOMINADOR. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE FRACCIONES Se cumple la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN producto del cociente por el divisor. El dividendo es igual al a c e a e c = = b d f b f d 0 0 = = = = = 8 8 m.c.d.(0,) = = 0 = = ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página del libro la cuestión., División de fracciones, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades..-calcula simplificando los resultados a) b) c) 9 9 d) e) f) g) ( ) 8.- Página, actividad 0.

9 ..- OPERACIONES COMBINADAS JERARQUIZACIÓN DE LAS OPERACIONES Cuando hay que resolver varias operaciones combinadas, se debe seguir este orden - Primero hay que resolver las operaciones que van entre paréntesis y entre corchetes, repitiendo las que no se hacen en el mismo orden en que aparecen. - Se pueden quitar los paréntesis, primero, y los corchetes, después, antes de operar, teniendo en cuenta el signo que llevan delante (si no hay signo o es el signo de sumar, +, se suprimen los paréntesis ó corchetes sin cambiar nada de lo que había dentro; si es el signo de restar, se suprimen, cambiando el signo a todo lo que iba dentro de los paréntesis o corchetes). Si antes o después de los paréntesis o corchetes van los signos de multiplicar o de dividir, no se deben quitar los paréntesis o corchetes antes de operar. Se podría hacer aplicando la propiedad distributiva pero no es conveniente. - Las operaciones multiplicativas (multiplicación y división) se hacen antes que las aditivas (suma y resta), a no ser que los paréntesis o corchetes indiquen lo contrario, repitiendo siempre en el mismo orden en que aparecen las operaciones que no corresponde hacer en este paso. - Entre multiplicaciones y divisiones o entre sumas y restas no hay preferencia y se resolverán en el mismo orden en que aparecen. EJERCICIOS RESUELTOS m. c. m. (, y ) m. c. m. ( y ) m. c. m. ( y ) 8 m. c. m. ( y ) m. c. d. (8 y 0)

10 ACTIVIDADES Lee detenidamente, reflexiona y estudia los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 9.- Resuelve las siguientes expresiones l) k) j) 9 i) h) g) 0 f) 0 e) d ) 8 0 c) b) a) 0.- Página, actividad...- PROBLEMAS CON FRACCIONES Para resolver un problema de forma metódica, clara y organizada debemos seguir los siguientes pasos º Leer detenidamente el enunciado del problema varias veces, tratando de entenderlo. Este es un proceso que haremos mentalmente con una primera lectura para obtener una idea global del problema. Luego, una segunda lectura más detenidamente, fijándonos en aquellas palabras y expresiones cuyo significado no entendamos bien para consultarlas en un diccionario. Una vez entendido el vocabulario y el léxico, haremos las lecturas que sean necesarias para comprender bien el argumento del problema. º Ordenar y anotar los datos y las preguntas. De forma abreviada anotaremos ordenados los datos que nos da tanto el enunciado del problema como aquellos otros teóricos que conocemos de antemano y que intuimos que nos pueden hacer falta. También anotaremos de forma abreviada lo que nos preguntan en el enunciado.

11 º Razonar y planificar la resolución del problema. Para eso basta con ir expresando por escrito lo que se va pensando, fundamentando el razonamiento en los conceptos teóricos estudiados. Aunque que ciertos tipos de problemas tiene su propio método de resolución, una buena estrategia para resolver buena parte de los problemas aritméticos consiste en que, partiendo de la pregunta que nos hacen en el enunciado, buscar una operación, y SOLO UNA OPERACIÓN, que nos dé como resultado la respuesta a lo que nos piden. Si no conocemos alguno de los datos que se necesitan para resolver esta operación, averiguamos que única operación es necesaria hacer para hallarlo. Si de esta operación a su vez desconocemos algún dato hacemos un proceso semejante a los anteriores hasta que obtengamos una operación cuyos datos conozcamos totalmente. Todas estas operaciones se van formulando genéricamente de forma abreviada (planificación del problema). º Justificar los resultados, indicando las operaciones SIEMPRE EN FORMA DE IGUALDAD con sus resultados. Si alguna de estas operaciones no se resuelven mentalmente, se puede resolver su algoritmo a un lado, bien separado de donde están indicadas dichas operaciones. Nuncaseharán en un papel aparteni se deben borrar. º Expresar la solución con una frase completa e independiente, destacándola bien. No basta con escribir la cantidad; hay que responder con una frase completa a lo que nospreguntan. º Comprobación de la solución. Para ver si a solución encontrada es la adecuada se puede aportar como dato del problema y ver que las premisas del enunciado se cumplen. Si no fuese así, la solución podría no ser correcta y habría que revisar la resolución paso a paso para encontrar el error. También antes de comenzar la resolución del problema se podría hacer una estimación de la solución del problema. CON SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Se llama fracción total a la fracción correspondiente a todo el total y es una fracción equivalente a.no confundir con una fracción del total que es una fracción correspondiente a una parte del total. - PROBLEMA RESUELTO.- Mi cuaderno tenía 80 hojas pero usé dos quintos del total y arranqué un octavo del total. Qué fracción del total del cuaderno me queda disponible? Cuántas hojas me quedan disponibles?

12 Cuaderno de 80 hojas. Usadas del total. del total, arrancadas. 8 Fracción de cuaderno disponible? Cantidad de hojas disponibles? Fracción del total de hojas disponibles = Fracción total, equivalente a - Fracción del total no dispon Fracción del total no disponible = Fracción del total usada + Fracción del total arrancada = + = del cuaderno no disponible - = - = del total, disponible m.c.m(.,8)= 8= 0 m.c.m(.,0)=0 9 La fracción del cuaderno que le queda disponible es. 0 Cantidad de hojas disponibles = Fracción disponible 9 de 80 =(80 0)9 = 9= 8 hojas disponibles del total de hojas(80 hojas). Le quedan 8 hojas disponibles. -PROBLEMA RESUELTO.- Un horticultor planta un cuarto de su huerta de tomates, dos quintos de habas y el resto, que son 80 m, de patatas. Qué fracción de la superficie total de la huerta plantó de patatas? Cuál es la superficie total de la huerta? del total, de tomates Plantó del total, de habas Fracción del total plantada de patatas? Superficie total? Resto,80 m,depatatas Fracción del total Fracción del total = Fracción total(, equivalente a )- plantada de patatas no plantada de patatas? Fracción del total Fracción del total Fracción del total no = plantada de tomates + plantada de patatas plantada de habas

13 8 + = + = del total no plantada de patatas m.c.m(.,)==0 0 - = - = del total, plantada depatatas Plantó de patatas 0 de la superficie total de la huerta. Para hallar la superficie de la huerta se debe tener en cuenta que se trata de hallar un total conociendo la superficie de una parte (80 m ) y la fracción del total correspondiente a esa superficie y se hará dividiendo la parte (80 m ) entre el numerador de la fracción, así se calcula cuanto es un veinteavo del total, y multiplicando el resultado por el denominador, sehalla cuanto son los veinte veinteavos que son el total. del total = 80 m Total = 80 0 = 0 0 = 800 m, superficie total de la huerta. 0 La huerta tiene una superficie de 800 m. ACTIVIDADES Lee detenidamente, reflexiona y estudia los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor..- Inés ha comprado dos libros por los que ha pagado. Si uno de ellos le ha costado once dieciochoavos del total a) Qué fracción del total ha costado el otro? b) Cuánto dinero ha pagado por cada uno de los libros?.- De un depósito que contenía.000 litros agua se sacaron, primero, un quinto del total y, luego, tres cuartos del total. a) Qué fracción del contenido total queda en el depósito? b) Cuántos litros quedan?.- De un autobús que estaba lleno bajaron, en la primera parada, dos tercios del total de sus viajeros y, en la segunda parada, un quinto también del total. Sabiendo que en la tercera y última parada bajaron los 8 viajeros que quedaban a) Qué fracción del total de los viajeros bajaron en la última parada? b) Cuántos viajeros iniciaron el viaje?.- En un examen de Matemáticas una décima parte de los alumnos obtuvo sobresaliente, tres décimos sacaron un notable, un sexto obtuvo un bien y un tercio suficiente. Qué fracción del total de los alumnos suspendió el examen?

14 CON MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE FRACCIONES PROBLEMA RESUELTO.- Un caminante anda con pasos regulares de cuatro quintos de metro. Si da pasos cada segundos, qué distancia recorrerá en media hora? Cuánto tarda en recorrer 0 m? Pasos de de m Da pasos cada s En h(0 min), distancia recorrida? min 0 s En recorrer 0 m, cuánto tardará? a) Distancia recorrida= Tiempo que dura el recorrido en segundos? X Distancia recorrida / s? Tiempo que dura Tiempo que dura el recorrido en s = (0 min)x Cantidad de s / min(0s) el recorrido en min Distancia recorrida / s = Distancia recorrida / paso x Nº de pasos / s? Nº de pasos / s = Nº de pasos dados cada s(pasos) Tiempo en segundos( s) = de paso / s = = = m / s 0 0 =.800 s 0 0 M.C.D(.,0)= = 0 = = = = =.0 m recorridos En media hora habrá recorrido.0metros. b) Tiempo que tarda = Distancia a recorrer(0 m) Distancia recorrida / s de m en recorrer una distancia = = = 00 s 00 s 0 = 0 min En recorrer 0 metros tardará 0 minutos. ACTIVIDADES Lee detenidamente, reflexiona y estudia los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor..- Un cazo tiene una capacidad de un sexto de litro. Cuántos cazos se necesitan para llenar una olla de litros y medio?

15 .- El paso de rosca de un tornillo es de tres cuartos de milímetro. Cuál será la longitud de penetración después de darle vueltas con una llave?.- Pedro compró los cuatro novenos de un rollo de alambre de metros. Utilizó las tres cuartas partes en arreglar un cercado. a) Qué fracción del total del rollo utilizó en el arreglo? b) Cuánto alambre empleó en el arreglo? c) Qué fracción del total le sobró? d) Cuánto alambre le sobró? 8.- Cuántas botellas de tres cuartos de litro se pueden llenar con una garrafa de 0 litros? 9- Un frasco de perfume tiene una capacidad de un veinteavo de litro. Cuántos frascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de tres cuartos de litro? 0.- Con el contenido de un bidón de aceite se llenaron 0 botellas de tres cuartos de litro. Qué cantidad de aceite contenía el bidón? CALCULANDO LA FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN PROBLEMA RESUELTO.- De un bidón, que estaba lleno de aceite hasta los tres cuartos de su capacidad, se extrajeron tres quintos de su contenido y aún quedan litros en el bidón. a) Qué fracción de la capacidad total del bidón queda en el depósito? b) Cuál es la capacidad total del bidón? c) Qué cantidad de aceite había en el bidón? Contenido inicial del bidón, de su capacidad. Se extrajeron del contenido. Quedan l a) Fracción del total queda? Fracción del total Fracción de la capacidad total del bidón Fracción del total = - que queda en el depósito. contenida en el depósito extraída? la fracción del total Fracción del total extraída = Fracción extraída de contenida en el depósito

16 9 de = = = de la capacidad total, fué extraída = - = = = de la capacidad total, queda m.c,m(.,0)= 0 m.c.d(.,0)= La fracción de la capacidad total del depósito que aún queda es 0 b) Capacidad total del depósito? Para hallar la capacidad del bidón hay que tener en cuenta que se trata de calcular un total conociendo la capacidad de una parte ( l) y la fracción del total correspondiente, dividiendo la parte ( l) entre en el numerador de la fracción y multiplicando el resultado por el denominador. del total = Total =( ) 0 = 0 = 0 l, capacidad total. 0 La capacidad total del bidón es de 0 litros. c) Cantidad inicial de aceite? Fracción Cantidad que había inicialmente = de la capacidad total del bidón( contenida inicialmente de 0 0 (0 ) l, contenido inicial. La cantidad de aceite contenida inicialmente en el bidón es de litros. ACTIVIDADES Lee detenidamente, reflexiona y estudia los apuntes anteriores. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor..-jacinto come dos séptimos de una tarta y Gabriela los tres quintos del resto. a) Qué fracción de la tarta comió Gabriela? b) Qué fracción de la tarta comieron entre los dos? c) Qué fracción de la tarta dejaron sin comer?

17 .-La tercera parte de la superficie de una finca se plantó con maíz y dos quintos del resto con tomates, que ocupan una superficie de 00 m. a) Qué fracción de la superficie total de la finca se plantó de tomates? b) Cuál es la superficie total de la finca?.- Aurora sale de casa con euros. Gasta dos tercios de su dinero en un libro y tres quintos de lo que le quedaba en un disco. Con cuánto dinero vuelve a casa?.- De un depósito de agua se sacó primero un tercio de su contenido y, después, dos quintos de lo que quedaba. Si aún quedan 00 litros. Cuál era el contenido total del depósito?.-un vendedor despacha, por la mañana, las tres cuartas partes de las naranjas que tenía. Por latarde vende cuatro quintos de las que le quedaban. Sí al acabar el día le quedan 00 kg, cuántos tenía en total al comienzo del día?.- El propietario de un solar decidió venderlo en parcelas para obtener una mayor rentabilidad. Vendió primero una parcela que ocupaba los tres séptimos de la superficie total del solar y otraque ocupaba la mitad de lo que quedaba. Sí aún le queda una parcela de m por vender, cuál era la superficie total del solar?.- Página, actividad. ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN Da un repaso general a la lección. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 8.- Página, actividad Página, actividad Página, actividad 0..- Página, actividad..- Página, actividad..- Página, actividad.- Página, actividad..- Página, actividad..- Página, actividad..- Página, actividad. 8.- Página, actividad Página, actividad Página, actividad 0..- Página, actividad..- Página, actividad..- Página, actividad 88.

18 .- Página, actividad 9..- Página, actividad 9..- Página, actividad 9.