Tarea 5 Probabilidad Condicional

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1 Tarea 5 Probabilidad Condicional 1.- En el último año de una clase de graduados de preparatoria con 100 alumnos, 42 cursaron matemáticas; 68 psicología; 54 historia; 22 matemáticas e historia; 25 matemáticas y psicología, siete historia pero ni matemáticas ni psicología; 10 cursaron las tres materias y ocho no tomaron alguna de las tres. Si se selecciona un estudiante al azar, encuentre la probabilidad de que A. Una persona inscrita en psicología cursa las tres materias. B. Una persona que no se inscribió en psicología cursa historia y matemáticas. Paso 1: Obtener el diagrama de Venn a partir de los datos presentados en el problema (M H) = 22 (M P) = 25 (H M P ) = 7 (H M P) = 10 Paso 2: A partir de las preguntas del problema, plantear la expresión de las probabilidades que se requieren calcular A) P[(H M P) P] = B) P[(H M) P ] = P(H M P) P(P) P(H M P ) P(P ) Paso 3: Evaluar las expresiones obtenidas con los datos del diagrama de Venn A) P[(H M P) P] = B) P[(H M) P ] = = =

2 2.- La probabilidad de que un vehículo que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá es 0.12, la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.28 y la probabilidad de que sea una casa rodante con placas de Canadá es de Cuál es la probabilidad de que A. una casa rodante que entre a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá? B. un vehículo con placas de Canadá que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante? C. un vehículo que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá o que no sea una casa rodante? Paso 1: observar los casos posibles. A: casa rodante. B: vehículo con matrícula de Canadá. Por lo tanto, se trata de probabilidades condicionales Paso 2: utilizar fórmula de probabilidad condicional para determinar las expresiones a obtener A) P(B A) = B) P(A B) = P(A B) P(A) P(A B) P(B) C) P(B A C ) = P(B) + P(A C ) P(A C B) Paso 3: Evaluar las expresiones obtenidas con los datos del problema A) P(B A) = 0.09/0.28 = 9/ B) P(A B) = 0.09/0.12 = 3/4 = 0.75 C) P(B A C ) = = 0.81

3 3.- La probabilidad de que el jefe de familia este en casa cuando un representante de MCI llame es 0.4. Dado que el jefe de familia está en la casa, la probabilidad de que ocurra un cambio de compañía para las llamadas de larga distancia es 0.3. Encuentre la probabilidad de que el jefe de familia este en casa y cambie a MCI para el servicio de llamadas de larga distancia. Paso 1: Extraer los datos del enunciado del problema P(C )= Probabilidad de que esté en casa cuando un representante MCI llame=0.4 P(MCI C) = Probabilidad de que esté en casa y cambien de compañía= 0.3 Paso 2: Determinar la expresión de la probabilidad a calcular Se desea calcular la intersección entre estar en casa C y recibir una llamada de MCI. A su vez, se puede notar que no hay relación entre los eventos, es decir son independientes: P(C MCI) = P(MCI ) P(MCI C) = P(MCI ) P(C) = (0.3)(0.4) = 0.12 Paso 3: Evaluar la expresión con los datos del problema P(C MCI) = (0.3)(0.4) = 0.12

4 4.- La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad en particular es 0.7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es 0.9. Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande? Paso 1: Identificar los datos a partir del enunciado del problema P(D C ) = 0.7 P(D I ) = P(D C ) = = 0.3 P(PD D I ) = 0.9 Paso 2: Determinar la expresión de probabilidad para el problema Se desea conocer la intersección entre que el paciente presente una demanda y el diagnóstico sea incorrecto. Para ello, se calcula la intersección con base en la fórmula de probabilidad condicional, pues se sabe que los eventos son dependientes. P(PD D I ) = P(D I PD) P(D I ) P(D I PD) = P(D I ) P(PD D I ) Paso 3: Sustituir los datos del paso 1 en la expresión de probabilidad del paso 2 P(D I PD) = 0.3(0.9) = 0.27

5 5.- Un agente de bienes raíces tiene ocho llaves maestras para abrir varias casas nuevas. Sólo una llave maestra abrirá cualquiera de las casas. Si el 40% de estas casas por lo general se dejan abiertas, cuál es la probabilidad de que el agente pueda entrar en una casa específica si selecciona tres llaves maestras al azar antes de salir de la oficina? Paso 1: Determinar la probabilidad que se va a calcular Del problema se sabe que algunas casas están abiertas y otras están cerradas, las cuales se pueden abrir con una llave. Por tanto, la probabilidad a calcular es la unión de dos eventos. Tener una casa abierta, unido con la probabilidad de tener una casa cerrada y llevar la llave correcta: P(Entrar) = P(Casa Abierta) P(Casa Cerrada Llave Correcta) P(E) = P(CA) P(CC LC) Como CC y LC son eventos independientes: P(E) = P(CA) P(CC) P(LC) Paso 2: Evaluar la expresión obtenida con los datos del enunciado del problema P(CA) = 0.4 P(CC) = P(CA ) = 0.6 Como las llaves elegidas se pueden seleccionar de diferentes maneras, la probabilidad de llave correcta viene dada por una función de combinación: P(LC) = 1C 1 7C 2 8C 3 P(E) = ( 1C 1 7C 2 8C 3 ) = = 0.625

6 6.- Antes de la distribución de cierto software estadístico se prueba la precisión de cada disco compacto (CD). El proceso de prueba consiste en correr cuatro programas independientes y verificar los resultados. La tasa de falla para los cuatro programas de prueba son 0.01, 0.03, 0.02 y 0.01 respectivamente. Paso 1: Identificar los datos a partir del enunciado del problema P(A)= Tasa de falla disco A = 0.01 P(B)= Tasa de falla disco B = 0.03 P(C)= Tasa de falla disco C = 0.02 P(D)= Tasa de falla disco D = 0.01 Paso 2: Determinar las expresiones de probabilidad para los incisos del problema A. La probabilidad de que un disco falle cualquier prueba es igual al complemento de que el disco no falle ninguna prueba. Por tanto, es necesario calcular el complemento de las tasas de fallo. Esas son: P(A )= 0.99 P(B )= 0.97 P(C )= 0.98 P(D )= 0.99 Por lo tanto, P(F T ) = 1 P(A B C D ) B. Para calcular la probabilidad que fallen los programas dos o tres, es necesario unir la probabilidad de que falle el programa dos, o el tres, o ambos al mismo tiempo. P(F) = P(A B C D ) P(A B C D ) P(A B C D ) P(F) = P(A ) P(B) P(C ) P(D ) + P(A ) P(B ) P(C) P(D ) + P(A ) P(B) P(C) P(D ) Paso 3: Sustituir los datos del problema en las ecuaciones planteadas A. P(F T ) = 1 (0.99)(0.97)(0.98)(0.99) B. P(F) = (0.99)(0.03)(0.98)(0.99) + (0.99)(0.97)(0.02)(0.99) + (0.99)(0.03)(0.02)(0.99)

7 7.- Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad de que un carro específico este disponible cuando se necesite es 0.96 Paso 1: Extraer los datos del enunciado del problema P(BA)= 0.96 BA = Camión bomberos A P(BB)= 0.96 P(BA )= 0.04 P(BB )= 0.04 Paso 2: Obtener las expresiones de los incisos del problema A. Para calcular la probabilidad de que ningún camión esté disponible, se calculan los complementos de BA y BB,y después se determina la intersección de los dos camiones no estando disponibles: P(BA BB ) =? B. La probabilidad de que un carro de bomberos este disponible cuando se le necesite es la unión de los camiones de bomberos, pues se sabe que puede ser cualquiera de los dos el que esté disponible. P(BA BB) = 1 P(BA BB ) =? Paso 3: Evaluar las expresiones con los datos del paso 1 A. P(BA BB ) = (0.4)(0.4) = B. P(BA BB) = 1 P(BA BB ) = =

8 8.- La probabilidad de que Tom viva 20 años más es 0.7, y la probabilidad de que Nancy viva 20 años más es 0.9. Si suponemos independencia para ambos, cuál es la probabilidad de que ninguno viva 20 años más? Paso 1: Identificar los datos a partir del enunciado del problema P(T) = 0.7 P(T ) = 0.3 P(N) = 0.9 P(N ) = 0.1 Considerar eventos independientes Paso 2: Determinar la expresión de probabilidad para el problema Se desea conocer la probabilidad de que Tom y Nancy no lleguen a cumplir 20 años más. Es decir, la probabilidad de la intersección entre los complementos de esperanza de vida de Tom y Nancy. Por tanto, se calcula la intersección como eventos multiplicativos independientes: P(T N ) = P(T ) P(N ) Paso 3: Sustituir los datos del paso 1 en la expresión de probabilidad del paso 2 P(T N ) = 0.3 (0.1) = 0.03

9 9.- Un neceser contiene dos frascos de aspirina y tres frascos de tabletas para la tiroides. Un segundo bolso grande contiene tres frascos de aspirinas, dos frascos de tabletas para la tiroides y un frasco de tabletas laxantes. Si se saca un frasco de tabletas al azar de cada equipaje, encuentre la probabilidad de que: A. ambos frascos contengan tabletas para la tiroides. B. ningún frasco contenga tabletas para la tiroides. C. los dos frascos contengan tabletas diferentes. Paso 1: Extraer los datos del enunciado del problema haciendo un dibujo de las cajas A=2 T=3 L=0 A= T=3 L=0 Paso 2: Determinar las expresiones de probabilidad para cada inciso A. La probabilidad de que ambos frascos tengan pastillas para la tiroides significa que se requiere la intersección entre el frasco de tiroides 1 y el frasco de tiroides 2. Como los eventos de sacar el primer y el segundo frasco son independientes, la expresión queda como: P(T 2 T 1 ) = P(T 1 ) P(T 2 T 1 ) = P(T 1 ) P(T 2 ) B. Ahora se como se desea saber la probabilidad de que ningún frasco extraído sea de tiroides, se utiliza el complemento de que salga un frasco de tiroides. En este caso se calcula la intersección de los complementos de los frascos de tiroides 1 y 2. De igual manera, los eventos son independientes: P(T 2 T 1 ) = P(T 1 ) P(T 2 T 1 ) = P(T 1 ) P(T 2 ) C. Para que se tengan tabletas diferentes, es necesario notar que puede haber diferentes eventos para las extracciones que se hagan. Por ello, se debe calcular la probabilidad de que salga cada evento, y al final sumar de todas las probabilidades calculadas: Las posibles combinaciones para las extracciones son: {AT, AL, TA, TL} Entonces, P(Tabletas Diferentes) = P(A 1 T 2 ) P(A 1 L 2 ) P(T 1 A 2 ) P(T 1 L 2 )

10 Como las extracciones son independientes entre sí: P(TD) = P(A 1 ) P(T 2 ) + P(A 1 ) P(L 2 ) + P(T 1 ) P(A 2 ) + P(T 1 ) P(L 2 ) Paso 3: Evaluar las expresiones de los incisos anteriores con la probabilidad indicada por medio de la fórmula casos posibles/casos totales A. P(T 2 T 1 ) = 3 5 (2 6 ) = 1 5 = 0.2 B. P(T 2 T 1 ) = 2 5 (4 6 ) = C. P(TD) = 2 5 (2 6 ) (1 6 ) (3 6 ) (1 6 ) = 0.6