I.E.S. Nº 1 DRA. ALICIA MOREAU DE JUSTO. Año lectivo Profesorado de Educación Superior en Matemática y/o Física.

Transcripción

1 I.E.S. Nº 1 DRA. ALICIA MOREAU DE JUSTO Año lectivo 2017 Profesorado de Educación Superior en Matemática y/o Física Trayecto: TFCED Instancia Curricular: CÁLCULO I Nº de código: Modalidad: materia Duración: anual Turno: mañana Carga horaria: 6 horas cátedra semanales Profesor: Salpeter Claudio 1

2 Fundamentación Con el objetivo de introducir al futuro Profesor en el Análisis Matemático, se ha organizado la materia en base al estudio de los habituales ejes de Funciones, Límite, Continuidad, Derivación e Integración, que constituyen una herramienta indispensable y fundamental en la formación del futuro docente de matemática. Objetivos Generales desarrollar habilidades intelectuales tendientes a la formación del pensamiento racional por la aplicación de los procesos lógicos de analizar, abstraer, relacionar, deducir, etc adquirir manejo del lenguaje simbólico y de procedimientos matemáticos de argumentación comunicar por escrito u oralmente las argumentaciones Específicos conocer los conceptos fundamentales del análisis matemático conocer las operaciones propias del Cálculo (paso al límite, derivación, integración) aplicar técnicas del análisis en la resolución de problemas propios del análisis y problemas relacionados con otras ciencias analizar y representar gráficamente funciones mediante las técnicas del análisis utilizar herramientas tecnológicas para graficar funciones analizar y discutir las hipótesis y la estructura lógica de los teoremas fundamentales del análisis acercarse a la bibliografía especializada 2

3 Contenidos Unidad 1: Funciones con variable real. Revisión de relaciones y funciones. Representaciones. Funciones particulares: lineal, cuadrática, otras funciones polinómicas, signo, mantisa, parte entera, módulo, trigonométricas, homográfica, otras funciones racionales, logarítmica, exponencial. Desplazamientos y cambios de escala. Paridad. Periodicidad. Clasificación de funciones. Función inversa. Composición de funciones. Álgebra de funciones. Unidad 2: Límite de funciones Definición de límite de una función en un punto. Propiedades de los límites finitos. Álgebra de límites. Límites laterales. Límite en el infinito. Límites infinitos. Infinitésimos. Propiedades de los infinitésimos. Comparación de infinitésimos. Indeterminaciones: cálculo de límites que presentan distintos tipos de indeterminaciones. Unidad 3: Continuidad de funciones Definición de continuidad de una función en un punto. Clasificación de discontinuidades. Propiedades de las funciones continuas en un punto. Álgebra de funciones continuas. Continuidad en un intervalo. Teoremas asociados a funciones continuas: Teorema de Weierstrass, Teorema de Bolzano, Teorema del Valor Medio de Funciones Continuas. Asíntotas lineales. Unidad 4: Funciones derivables Definición de derivada de una función en un punto. Aplicaciones en otras áreas. Derivadas laterales. Función derivada. Tabla de derivadas. Interpretación geométrica. Ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de una función en un punto. Álgebra de derivadas. Derivada de una función compuesta. Derivada de una función inversa. Derivadas sucesivas. Derivada de una función definida en forma implícita. Diferencial de una función en un punto. Diferenciabilidad de una función. Interpretación geométrica. Aproximación lineal de una función. 3

4 Unidad 5: Aplicaciones de la derivabilidad. Teoremas relativos a las funciones derivables: Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange, Teorema de Cauchy. Análisis del crecimiento y decrecimiento de una función en su dominio. Aplicación de la función derivada a la determinación de los valores extremos de una función. Análisis de la concavidad de la gráfica de una función en su dominio. Aplicación de la función derivada segunda a la determinación de puntos de inflexión. Gráfico aproximado de una función. Teorema de L Hopital. Cálculo de límites que presenten distintos tipos de indeterminaciones. Aplicación al estudio de funciones. Problemas de optimización. Unidad 6: Aproximación de funciones Polinomio de Taylor asociado a una función en un punto. Polinomio de McLaurin. Aplicación de los polinomios a la aproximación de valores. Fórmula de Taylor y de McLaurin. Aplicación de la sustitución y de la derivación en el cálculo de la fórmula asociada a una función en un punto a partir de otra fórmula conocida. Fórmula del resto de Taylor o residuo. Estimación del error cometido al utilizar un polinomio en la aproximación de valores. Unidad 7: Integrales indefinidas Primitivas de una función. Integral indefinida de una función. Integrales inmediatas y tabla de integrales. Métodos de integración: integración por sustitución, integración por partes, integración por descomposición en fracciones simples, integración de funciones irracionales y trigonométricas. Unidad 8: Integrales definidas Particiones y sumas de Riemann. Integral superior e inferior. Integral de Riemann o integral definida de una función en un intervalo. Condiciones de integrabilidad. Propiedades de las funciones integrables. Teorema del Valor Medio de Funciones Integrables. Teorema de Barrow. Función integral. Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Aplicación de las integrales definidas al cálculo de: áreas de regiones planas, longitud de un arco de curva plana, área y volumen de un sólido de revolución. Integrales impropias de primer y de segunda especie. Convergencia y divergencia de una integral impropia. 4

5 Unidad 9: Sucesiones numéricas Definición de una sucesión. Representación gráfica de una sucesión. Límite de una sucesión: sucesiones convergentes, divergentes u oscilantes. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Criterios de convergencia de sucesiones. Bibliografía Obligatoria - Apóstol, T. (1982): Calculus. Buenos Aires, Reverté. - De Burgos, J. (1996): Cálculo infinitesimal de una variable. Madrid, McGraw- Hill. - Noriega, R. (1987): Cálculo diferencial e integral. Buenos Aires, Docencia. - Rabuffetti, H. (1978): Introducción al Análisis Matemático. Cálculo I. Buenos Aires, El Ateneo. De Consulta - Leithold, L. (1990): Cálculo con Geometría Analítica. México, Harla. - Spivak, M. (1990): Calculus. Barcelona, Reverté. - Kuratowski, K. (1995): Introducción al Cálculo. México, Limusa. - Hardy, G. H. (1962): Curso de Análisis Matemático. Buenos Aires, Ed Nigar - Piskunov, N. (1980): Cálculo diferencial e integral. Moscú, Mir. 5

6 Metodología La metodología de las clases consistirá en la combinación de distintas modalidades: clases teóricas, trabajos con guías de estudio y resoluciones individuales o grupales, entre otras, promoviéndose la participación activa de los estudiantes. Habrá, además, algunos espacios destinados a las consultas individuales, y se aprovecharán herramientas informáticas tales como el Geogebra que permitirá aproximarse a los contenidos de la materia. Con el fin de mejorar el lenguaje matemático, la claridad de la argumentación y dar confianza al estudiante, se propondrán algunos ejercicios o problemas para ser presentados optativamente, y que serán corregidos y devueltos. Asimismo se propondrán actividades de lectura e interpretación de materiales extraídos de textos especializados. Modalidad de Evaluación El alumno regular será evaluado mediante 2 (dos) evaluaciones parciales con características diferenciadas acorde al régimen de promoción. Régimen de Acreditación La aprobación de la materia, bajo el régimen de regularidad, requiere una asistencia no inferior al 75% en las clases presenciales previstas para la asignatura, y en el caso de: Promoción directa: la obtención de un promedio mínimo de 7 (siete) puntos en las instancias parciales de evaluación (carácter teórico-práctico) y de un mínimo de 6 (seis) puntos en cada una de ellas. Bajo este régimen de promoción se aprueba con un mínimo de 7 (siete) puntos. En caso de no cumplir con las condiciones referidas, el alumno pasará al sistema de promoción con examen final. Promoción con examen final: previo al examen final, el alumno deberá aprobar 2 (dos) evaluaciones de carácter práctico con un mínimo de 4 (cuatro) puntos, y una asistencia del 60%. Se acordará con los alumnos 2 (dos) instancias de recuperación. En caso de que el alumno no acceda a ninguno de los dos sistemas antes descriptos, pierde su condición de alumno regular y puede aprobar la materia en calidad de: Alumno Libre- regular: alumno matriculado en la Institución que rinde examen final en forma libre, sin cursado previo pero respetando las correlatividades establecidas para la materia. Los alumnos que rindan en condición de Libres deberán dar en la mesa examinadora un examen escrito, de cuya aprobación depende el acceso a uno oral, que también deberá aprobar. Firma Aclaración 6