CAL - Cálculo

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1 Unidad responsable: Unidad que imparte: Curso: Titulación: Créditos ECTS: ETSETB - Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Telecomunicación de Barcelona MAT - Departamento de Matemáticas GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS Y SERVICIOS DE TELECOMUNICACIÓN (Plan 2015). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS AUDIOVISUALES (Plan 2009). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS ELECTRÓNICOS (Plan 2009). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS DE TELECOMUNICACIÓN (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA TELEMÁTICA (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) 6 Idiomas docencia: Catalán, Castellano Profesorado Responsable: Otros: JORGE JIMENEZ URROZ Aguiló Gost, Francisco Aroca Farrerons, Josep M. Gracia Rivas, Ignacio Gràcia Sabaté, Xavier Jiménez Urroz, Jorge Martín Molleví, Sebastià Padró Laimón, Carles Sáez Moreno, Germán Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura Genéricas: 12 CPE N1. CAPACIDAD PARA IDENTIFICAR, FORMULAR Y RESOLVER PROBLEMAS DE INGENIERÍA. Plantear y resolver problemas de ingeniería en el ámbito TIC. Desarrollar un método de análisis y solución de problemas sistemático, crítico y creativo. Metodologías docentes Clases de aplicación Clases expositivas Trabajo individual (no presencial) Pruebas de respuesta corta (Controles) y entregables Pruebas de respuesta larga (Examen Final) Objetivos de aprendizaje de la asignatura Alcanzar el nivel suficiente en cálculo de una variable para tratar, o fundamentar el tratamiento, de fenómenos que pueden describirse en estos términos. También sustentar las partes de las demás asignaturas que precisan dominio de funciones reales de una variable. Introducción a las funciones definidas por series, la transformada de Laplace y su uso para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales elementales. 1 / 6

2 Resultado del aprendizaje: Expresa con claridad el proceso de planificación y resolución de ejercicios y problemas que precisen el uso del cálculo de una variable. Comprende y domina los métodos más útiles para la resolución de problemas en el ámbito de una variable. Está capacitado para afrontar la descripción numérica y en ecuaciones de problemas con enunciado descriptivo. Hace uso de más de una fuente, y lo utiliza en forma complementaria, para observar los hechos descritos en el texto principal. Identifica y modela problemas a partir de situaciones abiertas. Estudia alternativas para su resolución. Horas totales de dedicación del estudiantado Dedicación total: 150h Horas grupo grande: 65h 43.33% Horas aprendizaje autónomo: 85h 56.67% 2 / 6

3 Contenidos Tema 1. Números reales Dedicación: 11h 30m Grupo grande/teoría: 5h Aprendizaje autónomo: 6h 30m Números reales. Propiedades de los números. Desigualdades. Valor absoluto. Los números naturales y el Principio de inducción. Supremo,ínfimo y el cuerpo de los números reales. La recta real. Intervalos. Tema 2. Números complejos Dedicación: 6h 54m Grupo grande/teoría: 3h Aprendizaje autónomo: 3h 54m Definición, y propiedades. Parte real e imaginaria, módulo y argumento. Conjugado. Fórmula de Euler. representación binómica, polar, exponencial. Fórmula de de Moivre. Raíces y potencias de números complejos Tema 3. Funciones Definición y primeros ejemplos. Operaciones entre funciones. Dominio y recorrido. Intervalos. Función inyectiva, exhaustiva, biyectiva y función inversa. Funciones elementales. Polinomios, TFA y factorización. Trigonométricas, hiperbólicas, exponencial y logartimo. Gráficas de funciones. Tema 4. Límites de funciones Límite de una función en un punto. límites infinitos. límites en el infinito. Propiedades del límite, algebra de límites infinitos. límites laterales. Indeterminaciones: infinito/infinito (funciones racionales), infinito-infinito (diferencia de raíces o de logaritmos), 1^infinito (número e). 3 / 6

4 Tema 5. Continuidad Dedicación: 9h 21m Aprendizaje autónomo: 5h 21m Funciones continua, definición y propiedades. Tipo de discontinuidad. Cotas, Máximo y mínimo. Teorema de Weierstrass. Teorema de Bolzano. Teorema del valor mediano. Tema 6. Derivabilidad Derivada de una funcion en un punto, funcion derivada. Recta tangente. Derivada de las funciones elementales. Propiedades de la derivada (Leibnitz, regla de la cadena, funcion inversa). Teorema de Rolle. Teoremas del valor medio. Teorema de l'hopital y aplicacion al calculo de limites. Infinitesimos. Infinitos Tema 7. Polinomios de Taylor Dedicación: 11h 30m Grupo grande/teoría: 5h Aprendizaje autónomo: 6h 30m Orden de contacto. Polinomios de Taylor de una funcion. Residuo de Taylor. Formula de Taylor. Polinomios de Taylor de las funciones elementales. Propiedades de los polinomios de Taylor. Aplicaciones: calculos aproximados, calculos de limites. Tema 8. Estudio local de funciones Dedicación: 9h 12m Aprendizaje autónomo: 5h 12m Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexion. Caracteritzacion a partir de los signos de las derivadas. Asintotas. Estudio de grafias de funciones. 4 / 6

5 Tema 9. Primitivas Definicion. Cálculo de primitivas inmediatas, por partes y mediante cambios de variable. Cálculo de primitivas de funciones racionales, trigonométricas e irracionales. Tema 10. Integral de Riemann Dedicación: 9h 12m Aprendizaje autónomo: 5h 12m Definicion de la integral de Riemann. Propiedades. Teorema Fundamental del Calculo. Aplicaciones de la integral definida Tema 11. Integrales impropias Dedicación: 9h 12m Aprendizaje autónomo: 5h 12m Funciones localmente integrables. Integrales impropias de primera especie. Integrales impropias de segunda especie. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta. Funcion gamma de Euler. Tema 12. Series numericas y de potencias Dedicación: 13h 48m Grupo grande/teoría: 6h Aprendizaje autónomo: 7h 48m Sucesiones. Series numericas. Ejemplos (geometricas, harmonicas). Criterios de convergencia (comparacion, raíz, cociente, integral). Series alternadas. Convergencia absoluta. Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia. Derivacion y integracion de funciones definidas por series de potencias. Series de Taylor. 5 / 6

6 Planificación de actividades PRUEBAS DE RESPUESTA LARGA (EXAMEN FINAL) Examen final Dedicación: 3h Grupo grande/teoría: 3h PRUEBAS DE RESPUESTA CORTA (CONTROL) Dedicación: 3h Grupo grande/teoría: 3h Pruebas de ejercicios de respuesta corta Sistema de calificación Tipos de pruebas a realizar y peso en la nota final: Examen final: 60% Evaluación continua: 40% En esta asignatura se evaluarán las competencias genéricas: - Aprenendizaje autónomo (Nivel elemental) - Capacidad para identificar, formular y resolver problemas de ingeniería (Nivel elemental) Normas de realización de las actividades Las estandar en este tipo de pruebas Bibliografía Básica: Spivak, M. Calculus. 3a. ed. Barcelona: Reverte, ISBN Gracia, I.; Padró, C. Apunts de teoria per a l'assignatura de càlcul. (Atenea). Aroca, Josep Maria. Càlcul infinitesimal: notes de classe [en línea]. Barcelona: Departament de Matemàtica Aplicada IV,, 2014 [Consulta: 23/10/2014]. Disponible a: <www-ma4.upc.edu/~aroca/calcul/calculapunts-jmaroca.pdf>. Aguiló, F. [et al.]. Aprenentatge de càlcul [en línea]. Barcelona: Edicions UPC, 2002 [Consulta: 04/03/2015]. Disponible a: < ISBN Complementaria: Professors de l'assignatura. Col lecció d'exercicis de càlcul. (Atenea) Baranenkov, G.; Demidovich, B. P. Problemas y ejercicios de análisis matemático. Madrid: Paraninfo, ISBN Spivak, M. Answer book for calculus. 3rd. ed. Publish or Perish, ISBN / 6