Lección 1.1: Operaciones matemáticas con polinomios

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1 Unidad 8.4: Expresiones polinómicas Tema 1: Propiedades de los polinomios Lección 1.1: Operaciones matemáticas con polinomios Un polinomio es una combinación de adiciones o sustracciones de monomios. Para qué nos sirven? Nos facilitan la representación algebraicamente de problemas verbales y así, resolverlos más fácil. Tipos de expresiones polinómicas Una expresión polinómica se identifica por el número de términos en la forma algebraica. Cada término algebraico tiene unas partes muy importantes. Veamos: Recuerda, un término no tiene operaciones de suma y resta. El exponente es llamado también grado. Cuando comparamos varios monomios, el grado mayor es el término que tenga mayor exponente. Por ejemplo: 5 3 x2 9x 5 4x 3 y grado 2 grado 5 grado = 4 Recuerda que cuando un monomio tiene más de una variable o letra, el grado es la suma de los exponentes de todas las letras del monomio. Es el caso de 4x 3 y 1, con una grado de = 4. Analicemos: El exponente mayor es 5. Así que, el monomio de grado mayor es 9x 5. 1

2 Ahora bien, si combinamos más términos en una expresión, tendríamos diferentes tipos de polinomios. El siguiente diagrama ayudará a comprender mejor los tipos de polinomios. Monomio - polinomio de un solo término. Binomio - polinomio de dos términos. Trinomio - polinomio de tres términos. Polinomio - polinomio de cuatro o más términos. Veamos ejemplos de forma algebraica de cada uno de ellos. Recuerda los términos están separados por signos de suma o resta. Nombre Forma algebraica Coeficiente(s) Grado Monomio 9x Binomio 1 2 x2 + 3x 1 2 y 3 2 Trinomio x 5 5x 2 2 1, 5 y 2 5 Polinomio 9x 3 + 4x 7 2x + 1 9, 4, 2 y 1 7 2

3 Suma y resta de polinomios Hasta el momento, hemos estudiado los términos de los polinomios y los tipos de polinomios con sus partes más importantes. Veremos cómo estos tipos de polinomios se pueden sumar o restar en una sola expresión algebraica. Recuerda, cuando resolvemos problemas matemáticos el resultado debe estar totalmente simplificado. Ejemplo #1 Tenemos el polinomio P(x) = 5x 2 3 y otro polinomio Q(x) = 7x 2 + 4x 5. Encuentra: P(x) + Q(x) Repasando: - El grado de cada polinomio es 2. P(x) Q(x) P(x) + Q(x) (5x 2 3) + ( 7x 2 + 4x 5) 5x 2 3 7x 2 + 4x 5 Elimina los paréntesis. Cambia a la suma del opuesto. 5x 2 + ( 3) + ( 7x 2 ) + 4x + ( 5) Se agrupan los términos semejantes. 2x 2 + ( 8) + 4x 2x 2 + 4x 8 Coloca en orden decreciente los términos según sus exponentes. 3

4 P(x) Q(x) (5x 2 3) ( 7x 2 + 4x 5) 5x x 2 4x + 5 5x 2 + ( 3) + 7x 2 + ( 4x) x ( 4x) 12x 2 4x + 2 Elimina los paréntesis (cuidado porque el signo de resta cambia todos los signos de todos los términos que están dentro del segundo paréntesis). Cambia a la suma del opuesto. Se agrupan los términos semejantes. Coloca en orden decreciente los términos según sus exponentes. Multiplicación de polinomios Cuando multiplicamos polinomios debemos recordar las propiedades de exponentes. Repasémoslas: x 0 = 1 x 2 x 3 = x 2+3 = x 5 Nos vamos a mantener en el mismo ejemplo que usamos en la suma y resta. En esta ocasión, vamos a multiplicar los polinomios. Para ejecutar la matemática comenzamos, como paso uno, con la propiedad distributiva. Tenemos el polinomio P(x) = 5x 2 3 y otro polinomio Q(x) = 7x 2 + 4x 5. Encuentra: P(x) Q(x) 4

5 P(x) Q(x) (5x 2 3)( 7x 2 + 4x 5) 35x x 3 25x x 2 12x x x 3 4x 2 12x x x 3 4x 2 12x + 15 Aplica la propiedad distributiva. Agrupa términos semejantes. Ordena los términos. División de polinomios Cuando dividimos polinomios debemos recordar las propiedades de exponentes. Repasémoslas: x 5 = 1 x 5 x 3 x 2 = x3 2 = x 1 = x En este caso, vamos a cambiar el ejemplo que usamos en las operaciones anteriores. En esta ocasión, cuando dividimos tenemos que ser cuidadosos porque el polinomio del denominador debe ser un monomio. Tenemos el polinomio P(x) = 10x x 2 y otro polinomio Q(x) = 5x. Encuentra: P(x) Q(x) 5

6 P(x) Q(x) = P(x) Q(x) ( 10x x 2 ) 10x 5 5x 5x + 15x2 5x 2x 4 + 3x 2x 4 + 3x Separación de términos. Simplifica coeficientes y variables. Verifica el orden. Para ver que todo tiene conexión, te recomiendo que realices las actividades de cada lección. Verás cómo podemos aplicar los conceptos estudiados en esta unidad. 6

7 Si deseas conocer más sobre las lecciones puedes pulsar en los siguientes enlaces: Operaciones en polinomios Referencias Foster, A., Gordon, B., Winters, L., Rath, J. & Gell. J. (1992). Algebra 1: Applications and Connections. USA: Glencoe McGraw-Hill. Bittinger, M., Ellenbogen, D. & Johnson, B. (2010). Pre-álgebra. México: Pearson Educación (5ta edición). 7