POTENCIAS DE NÚMEROS REALES. Ejercicios:

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "POTENCIAS DE NÚMEROS REALES. Ejercicios:"

Gerardo del Río Correa
hace 6 años
Vistas:

1 POTENCIAS DE NÚMEROS REALES Hace más de.000 años los egipcios se plantearon este curioso problema: En una hacienda había siete casas; en cada casa siete gatos; cada gato mató siete ratones; cada ratón había comido siete granos de cebada; cada grano de cebada había producido siete medidas. Cuál es la suma de todo? Nº de casas... Nº de gatos... Nº de ratones... Nº de granos de cebada... Nº de medidas... Qué observas? (observa que hemos dado los resultados en forma de productos de factores iguales). El producto es un ejemplo de potencia y lo indicamos abreviadamente: ; donde es la base de la potencia y es el exponente de la potencia. Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de factores iguales. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente de la potencia. ) Completa los números que faltan: Ejercicios: Producto Potencia Base Exponente ) Escribe en forma de producto y calcula el valor de cada potencia: a) base exponente base exponente base exponente ) Calcula las nueve primeras potencias de dos. ) Calcula: y tarta de descubrir a qué es igual cualquier potencia de base 0. ) Escribe en forma de potencia de base tres los siguientes números: ) Calcula x para que sean ciertas las igualdades siguientes: x x x x 8 9 x 9 0 x 0.000

2 Propiedades de las potencias ) El producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia que tiene: La misma base El exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. a n a m a n+m ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 ++ En este último ejemplo vemos que se comporta igual que de donde se deduce la siguiente propiedad: ) Cualquier potencia de exponente es igual a la base. a a ) Escribe los números que faltan: Ejercicios: a)??? 8) Escribe cada número como producto de potencias de la misma base de dos formas distintas: 8? ) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene: La misma base El exponente igual a la diferencia de los exponentes del dividendo y el divisor. a n : a m a n-m : : - - 0

3 De este último ejemplo se deduce la siguiente propiedad: ) Cualquier potencia de exponente cero es igual a. a Ejercicios 9) Escribe los números que faltan: a) :? 9 : 0) Completa: : Dividendo Divisor Cociente???? ) Una potencia de base una potencia se puede escribir como potencia de un solo exponente que tiene: La misma base Por exponente el producto de los exponentes. (a n ) m a n m ( ) +++ ( ) + 0 Ejercicios: ) Escribe como potencia de base y respectivamente: a) ( ) ( 8 ) ( 9 ) 8 ( 0 ) 9 ) Escribe como potencia de la misma base el cuadrado y el cubo de cada potencia: a)

4 ) Escribe como potencia de potencia: a) ) Aplicando las propiedades de potencias expresa como potencia única: a) 8 : e) ( ) f) ( ) g) : h) ( ) i) : ) Escribe en forma de potencia única: a) 8 [( ) ] 0 : 0 e) 0 : 0 f) : ) Una potencia de exponente negativo es igual a la inversa de la misma potencia de exponente positivo. a -n a n 9 ) El producto de dos potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene: El mismo exponente La base igual al producto de las bases. a m b m (a m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8) El cociente de dos potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene: El mismo exponente La base igual al cociente de las bases del dividendo y el divisor. a m : b m (a : m ( : ) ( : ) ( : ) ( : ) ( ) :( ) :

5 9) Una potencia de base negativa tiene como resultado un número positivo cuando el exponente es par y un número negativo cuando el exponente es impar: (-a) n a n si n es par y - a n si n es impar ( ) ( )( )( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 8 RADICALES Se llama raíz n-ésima d un número a y se escribe n a a un número b que cumple la siguiente condición: n n a b b a n a se llama radical; a radicando y n índice de la raíz. Si a 0 n a cualquiera que sea n. Si a<0 sólo existen sus raíces de índice impar. Las raíces cuadradas tienen dos soluciones veamos un ejemplo: y ( ) Por otra parte se tiene la relación entre las raíces y las potencias de exponente fraccionario que viene dada por: Veámoslo con algunos ejemplos: n m a m a n Propiedades a. Simplificar radicales Para simplificar se divide el índice y el exponente del radicando por una misma cantidad; esto es: 9 b. Reducir radicales a índice común Dado que los radicales son potencias de exponente fraccionario donde el denominador es el índice de la raíz se trata pues de calcular el mínimo común múltiplo de los índices (como hacíamos a la hora de reducir a común denominador)

6 8 9 9 c. Sacar factores fuera de una raíz Para poder sacar un factor de un radical debe estar elevado al índice de dicho radical. Veámoslo con ejemplos: d. Juntar dos radicales en uno solo Para multiplicar o dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican o dividen los radicandos; esto es: 0 : : 8 e. Poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice en primer lugar se reduce a índice común y después se sigue como en la propiedad anterior. Veámoslo con ejemplos: 08 : : : 8 f. Potencia de un radical Una potencia de un radical se calcula efectuando dicha potencia del radicando; esto es: ( ) ( ) ( ) 8 g. Raíces de raíces Raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se deja el mismo radicando. Veámoslo con ejemplos: h. Suma y resta de radicales Los radicales solo pueden sumarse o restarse cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando; por ejemplo: + 8 ; sin embargo + + no se puede sumar Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces o simplificarlas. Por ejemplo: a) ( + )

7 Ejercicios ) Simplifica las siguientes expresiones radicales o potenciales: a ) 8 9 e) f) ) Di si los siguientes números son iguales o no: a ) ) Calcula los siguientes productos: a) 8 9) Calcula las siguientes divisiones de radicales: a) 8 : : : 0 : 0) Suma los siguientes números sacando previamente los factores posibles: a) ) Realiza las siguientes operaciones utilizando radicales y potencias de exponente fraccionario: a) 0 : e) ( )

8 ) Escribe en forma radical las siguientes potencias de exponente fraccionario: a )9 ) Escribe como potencias los siguientes radicales: e)0 a ) 0 e) 8

Documentos relacionados

RADICALES. Un radical es una expresión de la forma, en la que n y ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

RADICALES. Un radical es una expresión de la forma, en la que n y ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. RADICALES Un radical es una expresión de la forma, en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. Se puede expresar un radical en forma de potencia: Radicales equivalentes Utilizando