Contrastes de Hipótesis. Carmen Cadarso Suárez

Transcripción

1 Contrastes de Hipótesis Carmen Cadarso Suárez

2 Introducción El proceso de Inferencia Estadística permite extraer conclusiones científicamente válidas acerca de la población a partir de los resultados muestrales (obtenidos a través de la estadística descriptiva). Al contrario de lo que sucede en ESTIMACIÓN (donde existe incertidumbre acerca del parámetro de interés), en el proceso inferencial de TESTS de HIPÓTESIS, se desea contrastar una teoría preconcebida acerca del valor (o valores) que puede tomar dicho parámetro.

3 Ejemplos 1. Podemos asumir que el nivel de colesterol promedio () es 00? H o : = 00 (no diferencia) H 1 : 00. La prevalencia (p) del Infarto de Miocardio es mayor que 0.03? H o : p 0.03 (no diferencia) H 1 : p > 0.03

4 3. El nivel de colesterol promedio es el mismo en varones que en mujeres? H o : varón = mujer (no diferencia) H 1 : varón = mujer 4. Considerando tratamientos (T1,T) )p para reducir la tensión, podemos decidir que T es mejor que T1? Si X=reducción de la tensión y el promedio de la reducción, H o : T1 = T (no diferencia) H 1 : T1 < T 5. La prevalencia (p) de la obesidades mayor en Galicia que en Andalucía? H o : p G p A H 1 : p G p A

5 Contraste de hipótesis sobre un parámetro Si es el parámetro desconocido y 0 es un valor conocido de referencia, se pueden plantear los siguientes tipos de contraste: Bilateral Unilateral l Unilateral l por la derecha por la izquierda H H : = 0 0 : H H : 0 0 : > H H : 0 0 : < siendo: H 0 = Hipótesis NULA (no diferencia) H 1 = Hipótesis i ALTERNATIVA

6 Aciertos y Errores en un Contraste de hipótesis En la toma de decisiones a través de un contraste, existen dos tipos de acierto: ACIERTO TIPO I [ Aceptar H 0 suponiendo que H 0 es cierta] = [ H 0 / H 0 ] P[Acierto tipo I]= P[ H 0 / H 0 ] ACIERTO TIPO II [ Aceptar H 1 suponiendo que H 1 es cierta] = [ H 1 / H 1 ] Potencia del contraste =P[Acierto tipo II]= P[ H 1 / H 1 ]

7 Asociados a estos aciertos, podemos cometer dos errores de decisión: ERROR TIPOI I [ Rechazar H 0 suponiendo que H 0 es cierta]= =[ Aceptar H 1 suponiendo que H 0 es cierta] = [ H 1 / H 0 ] Nivel de Significación = = P[Error tipo I]= P[ H 1 / H 0 ] 1 0 ERROR TIPO II [ Rechazar H 1 suponiendo que H 1 es cierta]= =[ Aceptar H 0 suponiendo que H 1 es cierta] = [ H 0 / H 1 ] = P[Error tipo II]= P[ H 0 / H 1 ]

8 Decisión del Test Hipótesis verdadera H 0 H 1 H 0 Acierto tipo I Error tipo I (1 ) () H 1 Error Tipo II Acierto tipo II () (1 )

9 CONTRASTES SOBRE ( conocida) Se asume que X= Tensión Intraocular (mmhg) en la población de personas de edad ddavanzada sigue una distribución ib ió normal N(, =3). Tomamos como referencia 0 = 14 mmhg. 1. Planteamos el contraste de hipótesis (bilateral). H0 : 14 H 1 : 14. Fijamos el nivel de significación: sg cacó (0.05, 05, ,...) Es decir, fijamos la probabilidad de cometer el error de tipo I. = P[Error tipo I]= P[ H 1 / H 0 ]

10 3. Elegimos un estadístico de contraste : 3 X N(, ) X N(0,1) n 3 n 4. Suponemos la hipótesis nula cierta. Bajo H 0 : X 0 X 14 3 n 3 n N (0,1) Asumo H 0 z z Tenemos que rechazar H 0

11 5. Regla de decisión Asumo H 0 z z Si con nuestra muestra particular, x 14 a) z, z 3 n Asumimos H 0 Asumimos =14 (no significativo, n.s.) b) x 14 z, z 3 n Rechazamos H 0 es significativamente distinto de 14 (p valor<)

12 EJEMPLO Se asume que X= Tensión Intraocular (mmhg) en la población de personas de edad avanzada sigue una distribución normal N(, =3). Tomamos como referencia 0 =14. Se ha extraído una muestra de n=0 personas de edad avanzada y los resultados fueron los siguientes: x 15.4 Se puede concluir a partir de estos datos que el promedio de la tensión intraocular en personas de edad avanzada es distinto de 14 mm Hg? Utilizar α=0.05. Planteamosun contraste bilateral : H0 : = 14 H1 : 14

13 Estadístico de contraste: X n N(0,1) Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste vale x =.1 n 3 0 Asumo H 0 z z Como.1 (-1.96, 196) concluimos que el promedio de la tensión intraocular en personas de concluimos que el promedio de la tensión intraocular en personas de edad avanzada es significativamente distinta de 14 mm Hg (=0.05).

14 Si el contraste fuese UNILATERAL POR LA DERECHA H0 : 14 H 1 : > 14 Asumo H 0 z Si x 3 14 n z, Entonces rechazamos H 0 es significativamente mayor que 14 (p valor<)

15 Si el contraste fuese UNILATERAL POR LA IZQUIERDA H H 0 1 : 14 : < 14 Asumo H 0 z z Si x 3 14 n, -z Entonces rechazamos H 0 es significativamente menor que 14 (p valor<)

16 EJEMPLO Se asume que X= Tensión Intraocular (mmhg) en la población de personas de edad avanzada sigue una distribución normal N(, =3). Tomamos como referencia 0 =14. Se ha extraído una muestra de n=0 personas de edad avanzada y los resultados fueron los siguientes: x 15.4 Se puede concluir a partir de estos datos que el promedio de la tensión intraocular en personas de edad avanzada es mayor de 14 mm Hg? Utilizar α=0.05. Planteamosun contraste unilateral derecha : H0 : 14 H1 : > 14

17 Estadístico de contraste: X n N(0,1) Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste vale x =.1 n 3 0 Asumo H 0 Asumo H 0 =0.05 Como.1 (1.645, ) z =1.645 concluimos que el promedio de la tensión intraocular en personas de edad avanzada es significativamente mayor de 14 mm Hg (=0.05).

18 Qué es el p valor? p valor = P(rechazar H 0 con nuestra muestra particular / H 0 es cierta) En nuestro ejemplo anterior: = Asumo H p value p Z

19 EJEMPLO En una población de interés el nivel de colesterol (mgrs/dl) sigue una distribución normal N(, =50). Una muestra de n= 0 personas de esa población, ofreció una media de 00. Puede asumirse que el promedio de esta población es diferente al valor clínicamente normal que es 175 mgrs/dl? (=0.05) Planteamos un contraste bilateral: H 0 H 1 : 175 : 175

20 Estadístico de contraste: X n N(0,1) Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste vale x =.4 n 50 0 Asumo H 0 z z Como.4 ( 1.96, 1.96) concluimosque el promedio de colesterol es significativamente distinto al de la población clínicamente normal (=0.05).

21 p value = P(rechazar H 0 con nuestra muestra particular / H 0 es cierta) Asumo H 0.. z z p value p Z

22 CONTRASTES SOBRE ( desconocida) El proceso de contraste es análogo al caso en que σ es conocida Como σ es desconocida, se estima a través de la muestra (con s ). Ahora el estadístico de contraste bajo H 0, para un valor prefijado del parámetro ( 0 ) sigue una t student : X S 0 tn 1 n

23 H Contraste bilateral :, H : Asumo H 0 tn 1 x Si 0 t, t S n z z t t Rechazamos H 0 0, (p-valor<)

24 H Contraste unilateral derecha :, H : t n 1 Asumo H 0 x S n 0 t, t z Rechazamos H 0 > 0 Contraste unilateral izquierda H :, H : (p valor<) tn 1 x S n 0, t z t t z Asumo H 0 Rechazamos H 0 < 0 (p valor<)

25 EJEMPLO Se asume que X= Tensión Intraocular (mmhg) en la población de personas de edad avanzada sigue una distribución normal N(, =3). Tomamos como referencia 0 =14. Se ha extraído una muestra de n=0 personas de edad avanzada y los resultados fueron los siguientes: x 15.4 Se puede concluir a partir de estos datos que el promedio de la tensión intraocular en personas de edad avanzada es mayor de 14 mm Hg? Utilizar α=0.05. Planteamosun contraste unilateral derecha : H0 : 14 H1 : > 14

26 EJEMPLO Se asume que X= Tensión Intraocular (mmhg) en la población de personas de edad avanzada sigue una distribución normal N(, =3). Tomamos como referencia 0 =14. Se ha extraído una muestra de n=0 personas de edad avanzada y los resultados fueron los siguientes: x 15.4 Se puede concluir a partir de estos datos que el promedio de la tensión intraocular en personas de edad avanzada es mayor de 14 mm Hg? Utilizar α=0.05. Planteamosun contraste unilateral derecha : H0 : 14 H1 : > 14

27 EJEMPLO En 8 pacientes se ha medido el nivel de GOT y los resultados fueron los siguientes: x 4.75, s 4.33 Asumiendo que la distribución de GOT, contrastar la hipótesis de que el promedio de dicha variable es Planteamosun contraste bilateral: H : = 5 0 H : 5 1. Como σ es desconocida, utilizamosel estadísticot student: t student: X S n 0 t tn 1

28 Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste toma el valor: X S n Asumo H 0 t z z El promedio de GOT no difiere significativamente de 5 (p valor>0.05)

29 EJEMPLO A un grupo de 10 enfermos se les suministra un antidepresivo. Mediante pruebas adecuadas se valora en 4 el valor inicial de ese tipo de enfermos. Después de la administración del medicamento, el estado del paciente tuvo las siguientes puntuaciones: 3, 5, 4.5, 7, 6, 6.5, 4, 5.5, 7, 7 A la vista de estos resultados, puede decirse que los enfermos han mejorado significativamente? Existe mejoría si la puntuación es mayor de 4. Utilizar = Planteamosun contraste unilateral derecha : H : 0 4 H : > 4 1

30 x 5.55, s 1.40 Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste toma el valor: X S n Asumo H 0 t 9 z Los enfermos han mejoradosignificativamente (p valor<0 valor<0.01) 01)

31 Contrastes sobre una proporción (p) Bilateral Unilateral Dcha. Unilateral Izda. H : p p H : p p H : p p H : p p H1: p > p0 H 1: p < p 0 pˆ p Estadístico de contraste: p(1 p) n N (0,1) Bajo H 0 : p ˆ p0 p (1 p ) n 0 0 N(0,1)

32 EJEMPLO Un laboratorio farmacológico afirma que un analgésico es eficaz en el 95% de los casos. En una muestra de 150 pacientes, el analgésico resultó ser eficaz en 13 de ellos. A la vista de los resultados, Podemos afirmar que el laboratorio da un porcentaje demasiado alto de eficacia? Si p = p(eficacia del analgésico) Si p 0 = 095(valor 0.95 que ofrece el laboratorio) La proporción p muestral es: 13 pˆ Planteamosun contraste unilateral izquierda : H0 : p 0.95 H1 : p < 0.95

33 Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste toma el valor: (1 0.95) Asumo H 0 Como z z pvalor p Z , Rechazamos la hipótesis nula, y concluimos que el analgésico presenta una eficacia significativamente menor que la que afirma el laboratorio (p valor= ).

34 EJEMPLO Un medicamento conocido cura el 80% de los casos de una enfermedad. Un nuevo medicamento resulta eficaz en 85 pacientes de 100 que se han tratado con dicho medicamento Basta este resultado muestral para asegurar la superioridad del nuevo medicamento? Si p = p(curación con el nuevo preparado). Si p 0 = La proporción p muestral es: pˆ 0.85 Planteamosun contraste unilateral derecha : H : 0 p 0.80 H : p >

35 Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste toma el valor: (1 0.8) 100 =0.05, Asumo H 0 Como p value pz. z z = Asumimos la hipótesis nula, y no podemos concluir que el nuevo medicamento sea superior al ya existente (n.s. ó p valor=0.1056) 1056).

36 Comparación de medias en grupos independientes Queremos comparar la media de una variable X en dos grupos de individuos INDEPENDIENTES, bajo la suposición de normalidad. V

37 1. Si quisiéramos comprobar que la talla media es la misma en varones que en mujeres, plantearíamos un test bilateral : H H : H : - 0 : V M H : V - M 0 0 V M 0 V M 1 1. Si quisiéramos iié comprobar que la talla media es mayor en varones que en mujeres, plantearíamos un test unilateral derecha: H H : H : - 0 : H : V M 0 V M 1 V M 1 V M 3. Si quisiéramos comprobar que la talla media es menor en varones que en mujeres, plantearíamos un test unilateral l izquierda: i H H : H : - 0 : V < M H : V - M 0 0 V M 0 V M 1 1

38 Contrastes sobre 1 (σ 1, σ conocidas) H Bilateral : H 1 1 : - 0 Unilateral Dcha. Unilateral Izda. H0 : 1-0 H0 : H : - 0 H1 : Estadístico de contraste: X1 X 1 n n 1 1 N (0,1) Bajo H 0 el estadístico es : X n X 1 n 1 1 N(0,1)

39 Contrastes sobre 1 (σ 1, σ desconocidas) H Bilateral : H 1 1 : - 0 Unilateral Dcha. Unilateral Izda. H0 : 1-0 H0 : H : - 0 H1 : Estadístico de contraste: X1 X n S n S n n n n tn 1 n Bajo H 0 el estadístico es : X X n S n S n n n n tn 1 n

40 EJEMPLO La talla media de los niños (V) de 3 años es mayor que la de las niñas (M) de la misma edad? Las desviaciones típicas poblacionales son conocidas ( V 4.6, M 4.5) Los resultados muestrales fueron los siguientes: n =60, x 97.1 n =61, x 94.8 V V M M 110 talla H H 80 N = varón mujer V M Planteamos un contraste unilateral derecha : : H : - 0 : V M H : V - M 0 0 V M 0 V M 1 1

41 Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste es: XV XM n = V M V n M X V n X M n V M V M N(0,1) Asumo H z p valor p Z Podemos concluir que los niños son significativamente más altos quelas niñas a laedad ddde 3años (p valor= ).

42 EJEMPLO Se ha realizado un ensayo para saber si tratamientos antirreumáticos administrados al azar sobre dos grupos (independientes) de pacientes,,producen el mismo efecto con respecto a una escala convencional. Los resultados fueron los siguientes: T T Suponer que la escala es una variable normal en los dos tratamientos. Planteamos un contraste bilateral: l H H : H : - 0 : H :

43 n =10, x 4.1, s = n =10, x 35.5, s =16.16 Bajola hipótesis nula, el estadístico de contraste es: X X t 1 S S n1 n n S n S n n n n 1 1 t Asumo H Podemosasumir que los dos tratamientost t producen el mismo efecto (n.s.)..10 Como ,.10

44 EJEMPLO En un estudio sobre angina de pecho, se quiere probar un nuevo fármaco (F) llamado FLII3. A un grupo de 9 ratas afectadas se les administra placebo (P) )y a otro grupo de 9 ratas afectadas el nuevo fármaco. Después de un ejercicio controlado se mide X=Tiempo (segs.) de recuperación de cada rata. Los resultados muestrales fueron los siguientes: n =9, x 39, s = P P n = 9, x 38, s =45.61 F F Planteamos el contraste de hipótesis unilateral derecha (α=0.05) H H 0 : : P F 1 P F P F

45 Bajo la hipótesis nula, el estadístico es: X X P F np nf P P F F n S n S n n n n P F P F t t 16 Asumo H t 1.75 Como ,, F es significativamente eficaz (p valor<0.05) 4.13 Usando las tablas, podemos acotar más el p valor: p valor p t 4.13 p t F es significativamente eficaz (p valor<0.001)

46 Comparación de muestras dependientes Queremos saber si en la variable X (normal) en un grupo de individuos en dos circunstancias diferentes, se produce (ó no) un cambio significativo. X= Tensión arterial antes y después de tomar un medicamento hipotensor. X= Triglicéridos antes y después de la realización de un ejercicio físico... El diseño del estudio se dice de muestras apareadas ó dependientes (cada individuo es su propio control ) Estudiamos las diferencias de X, D= X antes X después, individuales p y vemos si el cambio es significativo.

47 Planteamiento del contraste Sequiere demostrar si el tratamientocon fenofibrato varía el fibrinógeno al año de tratamiento. Contamos con los valores de n=31 pacientes tratados: Indiv. Fib_basal Fib_1año d Construimos es estadístico diferencia d = Fib_basal Fib_1año Calculamos su media y su desviación típica: d, S d

48 Si denotamos por D = la diferencia media poblacional, D planteamos el siguiente test de hipótesis (unilateral derecha) 0 1 : = 0 : > 0 D D H H d El estadístico de contraste es 1 D n d d S n t Bajo la hipótesis nula, el estadístico se reduce a: 1 0 n d d S n S n t d d S n S n

49 EJEMPLO Se quiere demostrar si el tratamiento con fenofibrato baja el fibrinógeno al año de tratamiento. Contamos con los valores de n=31 pacientes tratados: Indiv. Fib_basal Fib_1año d Construimos es estadístico diferencia d = Fib_basal Fib_1año Calculamos su media y su desviación típica: d 74.59, S d

50 Planteamos un contraste unilateral por la derecha H 0 H 1 : = 0 D : > 0 D Bajo la hipótesis nula el estadístico t vale: d S n d 7.30 t Asumo H 0 t.75 El fenofibrato reduce significativamente el fibrinógeno (p valor<0.005)

51 EJEMPLO Sequiere estudiar el efecto del ejercicio físico en lareducción del colesterol en suero. A 11 participantes se les mide el nivel de colesterol antes y después de someterse a un programa de ejercicios. Los resultados fueron los siguientes: Antes Desp d El ejercicio físico es efectivo para reducir el colesterol? Planteamos un contraste unilateral derecha: H : = 0 0 D H : 1 > 0 D

52 t Asumo H 0 t d 33., S 51.06, n 11 d d 33. S n d.15 El ejercicio físico es efectivo para reducir significativamente el colesterol (p valor<0.05).