MATEMÁTICAS 1º ESPA / ESPAD

Transcripción

1 MATEMÁTICAS 1º ESPA / ESPAD Departamento de Matemáticas CEPA Plus Ultra

2 ÍNDICE TEMA 1: NÚMEROS NATURALES NÚMEROS NATURALES Comparar y aproximar OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO Múltiplos de un número Divisores de un número Números primos y números compuestos Mínimo común múltiplo y máximo común divisor TEMA : NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS TEMA : NÚMEROS DECIMALES NÚMEROS DECIMALES Tipos de números decimales.... REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.... APROXIMACIONES: TRUNCAMIENTO Y REDONDEO OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES... 4 TEMA 4: FRACCIONES EL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES FRACCIONES EQUIVALENTES ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES OPERACIONES CON FRACCIONES PROBLEMAS CON FRACCIONES... 6 TEMA 5: SISTEMAS DE MEDIDA MAGNITUDES Y MEDIDAS UNIDADES DE LONGITUD: EL METRO UNIDADES DE MASA: EL GRAMO UNIDADES DE SUPERFICIE: EL METRO CUADRADO UNIDADES DE VOLUMEN: EL METRO CÚBICO UNIDADES DE CAPACIDAD: EL LITRO UNIDADES DE TIEMPO: EL SEGUNDO Operaciones con unidades de tiempo... 46

3 TEMA 6: GEOMETRÍA PLANA INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA PUNTOS Y RECTAS ÁNGULOS Clasificación de ángulos Relación entre ángulos Medida de ángulos POLÍGONOS Clasificación de los polígonos TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS Clasificación de los triángulos Clasificación de los cuadriláteros CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES El número Pi PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS... 60

4 TEMA 1: NÚMEROS NATURALES 1. NÚMEROS NATURALES Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. Desde la prehistoria hasta nuestros días, egipcios, babilonios, griegos, romanos, chinos, indios, árabes, mayas han manejado sistemas muy diversos, con similitudes y diferencias. Los sistemas de numeración sirven para escribir números y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, también, para operar con ellos. Piensa en el sistema de numeración romano (que ya conoces) e imagina cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo MCCCXLVI + DCCCXXXIV. Seguramente los agruparían en unidades, decenas, centenas,... No parece fácil. Pues imaginemos lo complicado que tendría que ser multiplicar. Nosotros usamos el sistema de numeración decimal, que nació en la India en el siglo VII y llegó a Europa por medio de los árabes. Como sabes, utiliza solo diez símbolos o cifras: , cada cifra puede ocupar distintas posiciones, que son los diferentes órdenes o categorías de unidades. En este sistema, diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden inmediato superior. Así, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa. Por eso decimos que es un sistema posicional. 1 decena = 1 D = 10 unidades = 10 U 1 centena = 1 C = 10 decenas = 10 D = 100 unidades 1 millar = 1 M = 10 centenas = 10 C = unidades 1 decena de millar = 1 DM = 10 millares = 10 M = unidades Ejemplo: El número 5 17 podemos descomponerlo de la siguiente manera: 5 17 = = = 5 UM + C + 1 D + 7 U Con este sistema de numeración formamos el conjunto de los números naturales que nos sirven para contar, identificar, ordenar, medir, = {1,,, 4, 5,., 101, 10,., 999, 1 000, } 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 4 CEPA Plus Ultra. Logroño

5 Los números naturales se pueden representar sobre una semirrecta. Para ello, se sitúa el 0 sobre el origen de la semirrecta y se escoge la longitud de la unidad, que se lleva hacia la derecha tantas veces como indique el número que se quiere representar: Comparar y aproximar Comparar El conjunto de los números naturales está totalmente ordenado, dados dos números naturales distintos siempre podemos determinar si uno es mayor (o menor) que otro. Para ordenar los números utilizaremos los símbolos <: menor que, >: mayor que y =: igual que Ejemplo: 57 es menor que 1 40: 57 < es mayor que 57: 1 40 > 57 Aproximar Para manejar ciertos datos, como distancias, número de habitantes de un país, tamaño de un planeta, es frecuente realizar aproximaciones del número que expresa esos datos. Estas aproximaciones se pueden hacer de dos maneras, mediante truncamiento o mediante redondeo. Para truncar un número natural en una de sus cifras, se sustituyen por ceros todas las cifras de orden inferior, esto es las situadas a la derecha de la deseada. Para redondear un número natural a una de sus cifras, se sustituyen por ceros las cifras de orden inferior, y la cifra redondeada: Se deja igual si la inmediatamente siguiente es menor que 5 Se aumenta una unidad si la inmediatamente siguiente es mayor o igual que 5 Ejemplo: Dado el número Truncamiento a centenas Redondeo a centenas Truncamiento a decenas de millar Redondeo a decenas de millar Redondeo a unidades de millón º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 5 CEPA Plus Ultra. Logroño

6 . OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.1.- Suma Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir. Las cantidades que se suman reciben el nombre de sumandos. Recordamos con este ejemplo como se suman varios números Se colocan los números en columnas de forma que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas, Empezamos sumando las unidades, = 19, o sea, decena y 9 unidades. Se escribe el 9 en la cifra de las unidades y nos llevamos 1 a las decenas. Continuamos sumando la cifra de las decenas, =. Se escribe debajo de las decenas y encima de las centenas. Ahora sumamos las centenas, = 1. Escribimos debajo de las centenas y 1 encima de la unidad de millar Por último, sumamos las cifras de unidades de millar, = 11, y como no hay más cifrase escribimos 11 y ya hemos terminado 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 6 CEPA Plus Ultra. Logroño

7 Propiedades de la suma: Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado: a + b = b + a Propiedad asociativa. Si se suman tres o más sumandos, el resultado no depende de cómo se agrupen: (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro. El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera. El elemento neutro de la suma es el 0. a + 0 = a = = Resta En qué situaciones de la vida diaria se utiliza la resta?, por ejemplo, si tienes en el banco 948 euros y te cobran una factura de 5 euros, cuánto te queda? Restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia. La cantidad inicial, que debe ser mayor, se llama minuendo, y la cantidad sustraída, sustraendo, el resultado de la resta es la diferencia. La resta es la operación opuesta a la suma. Recuerda con este ejemplo como se restan dos números: Se colocan los números en columnas de forma que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas, etc Empezamos restando las unidades 7 = 4. Se escribe 4 debajo de las unidades. Continuamos con las decenas pero no se puede restar 9 de 5, cogemos una centena que son 10 decenas, y la añadimos a las decenas, ahora hay 15, menos 9 quedan 6. (En la práctica: de 9 a 15 van 6 y me llevo 1) Ahora las centenas, me quedan 4 centenas y al quitar, queda una (En la práctica en lugar de quitar una centena al 4 se la añadimos al y hacemos más 1 que me llevo,, de a 4 va 1.Escribo 1) Por último las unidades de millar, 8 6 = (En la práctica: de 6 a 8 van. Escribo ) 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 7 CEPA Plus Ultra. Logroño

8 La resta no cumple las propiedades conmutativa, ni asociativa. Los paréntesis nos indican que operación hay que hacer primero...- Multiplicación Imagina que vas a pagar 5 entradas para el cine y cada entrada cuesta 7 euros, para calcular el precio total puedes sumar 5 veces los 7 euros, = 5 o bien multiplicar 5 7 = 5. Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales. Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado es el producto. Para indicar la multiplicación se emplea el símbolo " ", o bien un punto " ", situado entre los dos factores, se lee "por". Aquí emplearemos más a menudo el punto. Recuerda con este ejemplo como se multiplican dos números: x Primero se multiplica = unidades. Luego se multiplica = 10 1 decenas y se coloca el resultado debajo de las decenas. Después 5 78 = centenas, el resultado irá debajo de las centenas. Por último se suman los tres productos obtenidos. Multiplicar por la unidad seguida de ceros: para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros se le añaden a dicho número tantos ceros como siguen a la unidad = = Propiedades de la multiplicación: Propiedad conmutativa. El orden de los factores no altera el producto: a b = b a Propiedad asociativa. Si se multiplican tres o más factores, el resultado no depende de cómo se agrupen: (a b) c = a (b c) Elemento neutro. El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera. El elemento neutro de la suma es el 1. a 1 = a 7 1 = = 15 Propiedad distributiva. El producto de un número por una suma o por una resta, es igual a la suma, o la resta, de los productos del número por cada uno de los sumandos: a (b + c) = a b + a c a (b - c) = a b a c º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 8 CEPA Plus Ultra. Logroño

9 Sacar factor común: Sacamos factor común cuando aplicamos la propiedad distributiva en el sentido inverso. Es decir, la suma o la resta de productos que tienen un factor común es igual al producto de este factor por la suma o la resta de los otros factores a b + a c = a (b + c) a b - a c = a (b - c) Al sacar factor común, dentro de los paréntesis habrá tantos términos como había en la operación inicial. Si uno de los términos coincide con el factor común, podemos considerar que está multiplicado por 1 (aprovechando la propiedad del elemento neutro) División Recuerda que dividir es repartir en partes iguales. La cifra que se debe dividir es el dividendo; el número de partes en que se divide, el divisor, y el resultado de hacer la operación, el cociente, la parte no repartida es el resto. Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto: División exacta: el resto es cero Dividendo divisor En la división exacta se cumple: D = d c 0 cociente División entera: el resto es distinto de cero Dividendo divisor En la división entera se cumple: D = d c + r Resto cociente Recuerda con este ejemplo como se dividen dos números: Se divide 480 entre 5 obteniendo 9 de cociente. (En la práctica: el divisor tiene dos cifras, tomamos las dos primeras del dividendo, pero como 48 no se puede dividir entre 5, se toma una cifra más 480 : 5 que aproximadamente es 9) Se multiplica 9 5 = 468 y este resultado se resta de 480, = 1 (En la práctica: se hace esta operación directamente 9 = 18, a 0 van, y llevamos, 9 5 = 45 más las que llevamos 47, al 48 va 1) Se baja el 5, y se repiten los pasos anteriores, 15 : 5 es aproximadamente. 5 = 104, =1. El cociente de la división es 9 y el resto 1 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 9 CEPA Plus Ultra. Logroño

10 .5.- Potencia Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. El factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente. Base exponente 5 = = 4 se lee elevado a la quinta o elevado a 5 Base Exponente Ejemplos: a) 4 4 = = 56 b) 5 = = c) = 6 = 16 d) = 15 = 5 El cuadrado de un número es la potencia de exponente. El cuadrado de 5 es: 5 = 5 5 = 5 El cubo de un número es la potencia de exponente. El cubo de 5 es: 5 = = 15 Potencias de base 10. Aplicaciones Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un 0. Teniendo en cuenta esto el cálculo de las potencias de 10 resulta muy sencillo y has de procurar hacerlo mentalmente. Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente: 10 7 = = Recuerda que al principio de la unidad viste cómo se puede descomponer un número según el valor de posición de sus cifras, y observa cómo escribirlo utilizando las potencias de = = = = Esta descomposición de un número en la que cada orden de unidades está representado por una potencia de 10, se llama descomposición polinómica Los números con muchos ceros los podemos escribir utilizando las potencias de 10, por ejemplo, = Esto nos permite escribir números muy grandes de una forma abreviada, como se indica en el siguiente ejemplo: Un año luz equivale, aproximadamente, a kilómetros = = Descomposición en un Transformación de la unidad producto por la unidad seguida de ceros seguida de ceros en potencia de base 10 En los cursos siguientes veremos cómo utilizar las potencias de base diez para escribir números muy grandes o muy pequeños en notación científica. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 10 CEPA Plus Ultra. Logroño

11 Propiedades de las potencias: Ejemplo 1.- Cualquier número puede escribirse en forma de potencia de exponente 1. a 1 = a 5 1 = 5.- Una potencia de cualquier base y exponente 0 es igual a 1.. a 0 = 1 0 = 1.- El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y el exponente es la suma de los exponentes. a m a n = a m+n 4 = 4+ = El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y el exponente es la resta de los exponentes. a m :a n = a m-n 7 5 : 7 = 7 5- = Una potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base y el exponente es el producto de los exponentes... (a m ) n = a m n (6 ) = 6 = La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.... (a b) n = a n b n ( ) = 7.- La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor... (a : b) n = a n : b n (15 : ) = 15 : Ejemplo: a) = ++1 = 6 = 64 b) 5 5 : 5 = 5 = 15 c) 9 : 9 = 9 - = 9 0 = 1 d) ( ) = = 6 = 79 e) 7 4 : 7 7 = = 7 = 4 f) 15 : = (15 : ) = 5 = La jerarquía de las operaciones A menudo tenemos que resolver varias operaciones combinadas. En estos casos es muy importante conocer la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden que se debe seguir a la hora de resolverlas, ya que no siempre hay que hacer las operaciones en el orden en que aparecen. La regla general para resolver operaciones combinadas es la siguiente: 1.-Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay paréntesis, primero hay que resolver las operaciones que contengan. Una vez hecho esto, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes..- Potencias. El segundo paso consiste en identificar las potencias y resolverlas de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes.-multiplicaciones y divisiones. El tercer paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas, de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 11 CEPA Plus Ultra. Logroño

12 4.- Sumas y restas. Finalmente hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial. Ejemplo: a) 5 + = = 11 b) (5 + ) = 7 = 1 c) 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 1 CEPA Plus Ultra. Logroño

13 . MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO.1.- Múltiplos de un número Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural. Por ejemplo, 15 es múltiplo de, pues 15 = 5 Para calcular los múltiplos de un número, se multiplica ese número por los números naturales. Todo número natural, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. Un número distinto de cero tiene infinitos múltiplos...- Divisores de un número Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo entre el primero es exacta. Por ejemplo, es divisor de 15, pues la división 15 : = 5 es exacta; 5 es divisor de 0, pues la división 0 : 5 = 6 es exacta. Para obtener todos los divisores de un número, buscamos las divisiones exactas. Todo número es divisor de sí mismo, y 1 es divisor de todos los números. Los divisores de un número son finitos Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para decidir si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Estos son los criterios más utilizados: Divisibilidad por : Un número es divisible por si termina en cifra par o 0. Divisibilidad por : Un número es divisible por si la suma de sus cifras es o múltiplo de. Divisibilidad por 5: Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. Divisibilidad por 11: Un número es divisible entre 11 cuando la suma de las cifras que ocupan la posición par menos la suma de las cifras que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11. Ejemplo: Comprobamos que el número es divisible por 11: - Suma de las cifras de lugar par: 0 + = - Suma de las cifras de lugar impar: = 4 - Diferencia de las sumas: 4 =, que es múltiplo de 11 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 1 CEPA Plus Ultra. Logroño

14 ..- Números primos y números compuestos Un número natural es primo cuando tiene únicamente dos divisores, el 1 y él mismo. Hay infinitos números primos:,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,, Un número natural es compuesto si tiene tres o más divisores: el 1, él mismo y algún otro. Así, 4, 6, 9, 14, son números compuestos porque tienen más divisores aparte del mismo número y el 1. El 1 no se considera número primo, ni tampoco un número compuesto, porque solo tiene un divisor. Por tanto, el número primo menor es el Descomposición en factores primos Un número compuesto se puede expresar como un producto de diferentes factores. De todas las descomposiciones posibles, hay una en la que todos los factores son números primos, la llamada descomposición en factores primos. De hecho, cualquier número se puede expresar como un producto de números primos. Para ello, hay que recordar los criterios de divisibilidad y seguir este método: Se dibuja una raya vertical y, a continuación, a la izquierda se sitúa el número que se quiere descomponer en factores primos y a la derecha el factor primo menor que es divisor de este número. En la fila siguiente se escribe, en la columna de la izquierda, el cociente de la división entre el número y el factor primo, y en la columna de la derecha, el factor primo menor que es divisor de este cociente que tiene a la izquierda, y así sucesivamente: = Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.4.1. El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo que tienen en común. Una manera de hallarlo consiste en buscar los primeros múltiplos de cada uno de los números, mirar cuáles son comunes y seleccionar el menor. Pero este método para obtener el m. c. m. no siempre es práctico, ya que puede resultar un número muy alto. Por ello conviene disponer de algún método más efectivo. Método para obtener el m. c. m. 1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.. Tomar los factores, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.. Multiplicar los factores seleccionados. El producto resultante es el m. c. m. buscado. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 14 CEPA Plus Ultra. Logroño

15 Ejemplo: Halla el mínimo común múltiplo de 1, 18 y = 1 18 = 1 4 = m. c. m.(1, 18, 4) = = El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el mayor divisor que tienen en común. Una manera de hallarlo consiste en buscar todos los divisores de cada uno de los números, mirar cuáles son comunes y seleccionar el mayor. Ahora bien, aunque el número de divisores de un número sea finito, no siempre es práctico encontrarlos todos, especialmente cuando el número es alto y tiene muchos divisores, ya que podríamos dejarnos alguno. Por ello es necesario disponer de algún método más práctico para obtener el máximo común divisor. Método para obtener el m. c. d. 1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.. Tomar los factores comunes a todos los números elevados al menor exponente.. Multiplicar los factores seleccionados. El producto resultante es el m. c. d. buscado. Ejemplo: Halla el máximo común divisor de 1, 18 y = 1 18 = 1 4 = m. c. d. (1, 18, 4) = = 6 Cuando el máximo común divisor de dos o más números es la unidad, dichos números son primos entre sí. Ejemplo: Son primos entre sí los números 84 y 55? Para saber si los números son primos entre sí, calculamos su máximo común divisor = = 7 m. c. d. (84, 55) = 1 84 y 55 son números primos entre sí porque su máximo común divisor es 1. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 15 CEPA Plus Ultra. Logroño

16 TEMA : NÚMEROS ENTEROS 1. NÚMEROS ENTEROS Los números naturales se utilizan para expresar matemáticamente multitud de situaciones cotidianas. Sin embargo, a veces no sirven para cuantificar las situaciones opuestas asociadas. En esos casos, es necesaria la utilización de los números negativos. Por ejemplo: Estamos a 8 grados centígrados + 8 Nº natural Estamos a 8 grados bajo cero 8 Nº negativo Julián gana 0 euros + 0 Nº natural Julián gasta 0 euros 0 Nº negativo Aparcamos en el segundo sótano Nº negativo Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros, que se representa con la letra El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y los que están por debajo del cero, que llamamos negativos y se escriben precedidos del signo menos y el cero. Al escribir los números enteros positivos no se suele escribir el signo + delante del número. = {, 5, 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5, } Igual que los números naturales, los números enteros se pueden representar sobre una recta. Para ello, se sitúa el 0 en un punto de la recta y se escoge la longitud de la unidad. Del 0 hacia la derecha se sitúan los números enteros positivos, y del 0 hacia la izquierda los enteros negativos. Valor absoluto de un número entero: El valor absoluto de un número entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numérica. Se expresa escribiendo el número entre barras: El valor absoluto de 7 es 7: 7 = 7 El valor absoluto de 15 es 15: 15 = 15 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 16 CEPA Plus Ultra. Logroño

17 Opuesto de un número entero: El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y distinto signo. El opuesto del número 6 es 6: op(6) = 6 El opuesto del número 15 es 15: op( 15) = 15 Comparación de números enteros: Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: +0 > +8. Cualquier número positivo es mayor que el cero, y el cero es mayor que cualquier negativo. Por ejemplo: + 8 > 0 > 8. Entre dos enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Por ejemplo: 8 > 0.. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.1.- Suma Para sumar dos números enteros con el mismo signo, sumamos sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos: (+ 5) + (+ 1) = + 17 = 17 ( 4) + ( 7) = 11 Para sumar dos números enteros con distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto: ( 6) + (+ 8) = + = (+ 1) + ( 0) = 8 Para sumar más de dos números enteros podemos: Sumarlos de dos en dos sucesivamente: ( 5) + + ( 6) + 7 = ( ) + ( 6) + 7 = ( 8) + 7 = 1 Sumar por separado los positivos y los negativos: ( 5) + + ( 6) + 7 = ( 5) + ( 6) = ( 11) + 10 = 1 Ejemplo: Un ascensor que está parado en el portal lo llaman del segundo sótano y luego sube cinco plantas. En qué piso se para el ascensor? ( ) + (+ 5) = + El ascensor se para en el tercer piso 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 17 CEPA Plus Ultra. Logroño

18 ..- Resta Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo. Se pueden dar cuatro casos: La resta de dos números enteros positivos pasa a ser la suma de un número positivo y otro negativo: (+ 1) (+ 9) = (+ 1) + ( 9) = 1 9 = La resta de un número positivo menos un número negativo se pasa a ser la suma de dos números positivos: (+ 6) ( 5) = (+ 6) + (+ 5) = = 11 La resta de un número negativo menos un número positivo pasa a ser la suma de dos números negativos: ( 4) (+ 6) = ( 4) + ( 6) = 4 6 = 10 La resta de dos números negativos se transforma en la suma de un número negativo más un número positivo: ( 8) ( 5) = ( 8) + (+ 5) = = La operaciones con números enteros parecen complicadas por el uso de los paréntesis, podemos simplificar la notación teniendo en cuenta que el signo menos delante de un paréntesis cambia los signos de los términos que hay dentro, y el signo más deja el mismo signo; como se indica en el cuadro de la derecha. ( a) = a + ( a) = a + (+ a) = a (+ a) = a Ejemplo: A las de la madrugada el termómetro de una localidad marcaba º C y a las 10 de la mañana marcaba 7º C, cuántos grados ha subido la temperatura? 7 ( ) = 7 + = 10 La temperatura ha subido 10º C..- Multiplicación Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo + si los dos números tienen el mismo signo, y el signo si tienen distinto signo. ( 7) ( + ) = 1 ( 1) ( 4) = + 48 = 48 (+ 1) ( ) = 4 Para obtener el signo del producto de dos números enteros se utiliza la regla de los signos: + + = + + = + = = + 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 18 CEPA Plus Ultra. Logroño

19 Ejemplo: El grifo de una bañera está estropeado y pierde litros de agua cada día, qué cantidad de agua habrá perdido en una semana? ( ) 7 = 14 En una semana habrá perdido 14 litros.4.- División Para calcular la división de dos números enteros se halla el cociente de sus valores absolutos, y al resultado se le añade el signo + si los dos números tienen el mismo signo, y el signo si tienen distinto signo. ( 4) : (+ 7) = 6 ( 1) : ( ) = + 4 = 4 (+ 15): ( ) = 5 Al igual que en el producto, se emplea la regla de los signos para calcular el signo del cociente:.5.- Potencias de base entera + : + = + + : = : + = : = + Recuerda que una potencia es una multiplicación de factores iguales, 4 = = 64 Si la base de la potencia es un número negativo se obtienen, alternativamente, resultados positivos y negativos: ( ) = ( ) ( ) = + 9 ( ) = ( ) ( ) ( ) = 7 ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = + 81 En general, al elevar un número negativo a una potencia: Si el exponente es par, el resultado es positivo: ( a ) par positivo Si el exponente es impar, el resultado es negativo: ( a ) impar negativo Cuidado! Cuando las potencias tienen base negativa, el uso del paréntesis cambia el resultado: 5 = 5 5 = 5 ( 5) = ( 5) ( 5) = Raíz cuadrada La raíz cuadrada de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero. Calcular la raíz cuadrada de un número es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado: a b ( b) Se lee: la raíz cuadrada de a es igual a b a Por la regla de los signos, un número positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas entre sí, y un número negativo no tiene raíz cuadrada, porque ningún número entero elevado al cuadrado es negativo. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 19 CEPA Plus Ultra. Logroño

20 Raíces cuadradas exactas: Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo, son cuadrados perfectos 6, 100 ó y y y Ejemplo: a) b) 81 9 c) Operaciones combinadas A menudo tenemos que resolver varias operaciones combinadas. En estos casos es muy importante conocer la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden que se debe seguir a la hora de resolverlas, ya que no siempre hay que hacer las operaciones en el orden en que aparecen. La regla general para resolver operaciones combinadas es la siguiente: 1.- Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay paréntesis, primero hay que resolver las operaciones que contengan. Una vez hecho esto, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes..- Potencias. El segundo paso consiste en identificar las potencias y resolverlas de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes.- Multiplicaciones y divisiones. El tercer paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas, de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes. 4.- Sumas y restas. Finalmente hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial. Ejemplo: Ejemplos: a) (1 ) : ( 1 6 ) = 10 : (-5) = - b) + ( 5 1 : ) ( + 4 : ) = - + (-9) (-1) = 7 c) 18 + [ ( 5 7 ) + 6 ] = 18 + [1 + 4 ( ) + 6] = 4 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 0 CEPA Plus Ultra. Logroño

21 TEMA : NÚMEROS DECIMALES 1. NÚMEROS DECIMALES Para expresar cantidades comprendidas entre dos números enteros utilizamos los números decimales. Los números decimales se componen de dos partes separadas por una coma; las cifras de la izquierda de la coma corresponden a la parte entera del número, mientras que las cifras a la derecha de la coma son la parte decimal. La parte decimal de un número representa una cantidad menor que la unidad y sus órdenes de unidades tienen la misma estructura que la parte entera, una unidad de cualquier orden se divide en diez unidades del orden inmediato inferior: Al dividir la unidad en diez partes iguales, cada parte es una décima décima Al dividir la décima en diez partes iguales, cada parte es una centésima centésima Al dividir la centésima en diez partes iguales, cada parte es una milésima milésima Al dividir la milésima en diez partes iguales, cada parte es una diezmilésima diezmilésima. Para leer un número decimal: Se nombra la parte entera expresada en unidades. Se nombra la parte decimal expresada en el orden de unidades de la cifra decimal que queda más a la derecha Veintiséis unidades y trescientas setenta y cinco milésimas 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 1 CEPA Plus Ultra. Logroño

22 1.1.- Tipos de números decimales Los números decimales pueden ser: Exactos. Su parte decimal tiene un número limitado de cifras Periódicos. Su parte decimal tiene un número ilimitado de cifras que se repiten, llamadas periodo. Pueden ser: - Periódicos puros. Toda su parte decimal es periódica = 1' 8 - Periódicos mixtos. Hay cifras que no se repiten delante del periodo llamadas anteperiodo = 7'895ˆ Todos estos números forman el conjunto de los números racionales: No periódicos. Su parte decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten, sin periodo. Por ejemplo: 1,111, π =,1415, 1' Los números decimales no periódicos forman el conjunto de los números irracionales,. REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.1.- Representación de números decimales Cualquier número decimal estará situado entre dos números enteros. El procedimiento para representar sobre la recta un número decimal es el siguiente: 1. Localizamos sobre la recta los dos números enteros entre los que se encuentra el número decimal que queremos representar.. Dividimos el segmento determinado por estos números en 10 partes iguales para representar las décimas. Si el número decimal tiene centésimas, localizamos las décimas entre las que se encuentra.. Dividimos, de nuevo, el segmento anterior en 10 partes iguales para representar las centésimas. Si nuestro número tiene milésimas, tendremos que repetir el proceso. Ejemplo: Representa el número 86 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. CEPA Plus Ultra. Logroño

23 ..- Orden en los números decimales Los números decimales quedan ordenados en la recta numérica, pero también se pueden comparar sin acudir a la representación en la recta, observando las cifras y el lugar que ocupan. El procedimiento para ordenar números decimales es el siguiente: - En primer lugar nos fijamos en la parte entera, es mayor el número que tiene mayor parte entera. - Si tienen las partes enteras iguales, nos fijamos en las cifras decimales. Si las cifras del mismo orden son iguales continuamos comparando. Si son distintas es mayor el número cuya cifra es mayor. Ejemplo: De los números y , cuál es mayor? Los dos números tienen la misma parte entera, comparamos las cifras decimales: La cifra de las décimas coincide: La cifra de las centésimas es mayor en Por lo tanto, > APROXIMACIONES: TRUNCAMIENTO Y REDONDEO A veces, cuando operamos con números decimales, nos encontramos con un resultado con muchas cifras decimales. Es posible que no necesitemos tantas cifras decimales, o que incluso no tengan sentido. En estos casos, realizaremos una aproximación por truncamiento o por redondeo. Truncamiento Para truncar un número hasta un orden pedido, se escriben iguales hasta la cifra pedida, y el resto de las cifras decimales se suprimen. Ejemplo: El truncamiento a centésimas del número es Redondeo Para redondear un número a un determinado orden: 1º Se suprimen todas las cifras decimales a la derecha de dicho orden. º Si la primera cifra siguiente al orden pedido es cinco o mayor que cinco, se suma uno a la cifra del orden pedido; si es menor que cinco la dejamos igual. Ejemplo: Dado el número , escribe: a) Redondeo a centésimas: b) Redondeo a milésimas: º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. CEPA Plus Ultra. Logroño

24 4. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Suma y resta Las reglas para sumar o restar números con decimales son las mismas que se utilizan para los números enteros. 1º Escribimos uno debajo del otro, de modo que coincidan las cifras del mismo orden de unidad y la coma decimal. º Sumamos o restamos como si fueran enteros. º En el resultado colocamos la coma debajo de las comas Ejemplo: Calcula: a) b) Ejemplo: Si compramos un artículo cuyo precio es 1548,16 y para pagarlo entregamos 1566, cuánto nos devolverán? ,16 = 17,84 Nos devolverán 17, Multiplicación Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por uno entero: 1º Se multiplican los números como si fueran enteros. º Se coloca la coma en el producto, dejando tantas cifras decimales como la suma de cifras decimales que tienen los dos factores. Ejemplo: Calcula cifras decimales x 5 1 cifra decimal = cifras 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 4 CEPA Plus Ultra. Logroño

25 Multiplicación por la unidad seguida de ceros Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1 000,, no es necesario seguir el procedimiento habitual, es mucho más fácil y rápido: desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan a la unidad, y si se agotan los decimales se añaden ceros. Ejemplo: a) = b) = Multiplicación por 0 1, 0 01, 0 001, Para multiplicar un número por 0 1, 0 01, 0 001,, desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como decimales tengamos (uno, dos, tres, ) Ejemplo: a) = 76 b) = División División de un número decimal entre un entero Para dividir un número decimal entre un número entero, se hace la división como si fueran enteros, pero al bajar la cifra de las décimas se pone coma en el cociente. Ejemplo: 8 55 : División entre un número decimal Cuando el divisor es un número decimal, multiplicamos el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000, de modo que el divisor se transforme en un número entero. Luego se efectúa la división entre un número entero. Ejemplo: : : División entre la unidad seguida de ceros Para dividir por la unidad seguida de ceros desplazamos la coma del dividendo hacia la izquierda tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Ejemplo: a) 4 65 : 10 = 465 b) 8 65 : 100 = º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 5 CEPA Plus Ultra. Logroño

26 División entre 0 1, 0 01, 0 001, Para dividir entre 0 1, 0 01, 0 001,, desplazamos la coma hacia la derecha uno, dos, tres, lugares Ejemplo: a) 4 65 : 0 1 = 46 5 b) 8 65 : = Ejemplo: Por una bolsa de plátanos que pesa 5 kg se han pagado 5, a cómo está el kilo de plátanos? 5 : 5 5 : 5 = El kilo de plátanos cuesta Ejemplo: Un cable mide 8,1 m y su precio es de 10,5. Cuánto vale 1 m de cable? 10,5 : 8,1 = 1, El metro de cable costará 1 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 6 CEPA Plus Ultra. Logroño

27 TEMA 4: FRACCIONES Hasta ahora has trabajado con números naturales, enteros y decimales, pero sigue habiendo situaciones que no podemos expresar con estos números, por ejemplo, cuando decimos: Medio litro de agua, Tres cuartos de kilo de carne, Un cuarto de hora Para poder expresar estas cantidades necesitamos las fracciones. 1. EL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES Una fracción es una expresión de la forma b a, en la que a y b son números enteros, con b 0. En dicha expresión llamaremos: a b numerador denominador Para nombrar una fracción se lee primero el numerador y luego el denominador de la siguiente forma: Ejemplo: El numerador se lee con el nombre del número. El denominador se lee así: Si es,, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo y noveno, respectivamente. Si es 10, se lee décimos, y si es mayor de 10, se lee el numero añadiendo la terminación - avo. Fracción Numerador Denominador Lectura Un tercio 5 Dos quintos 7 15 Siete quinceavos 10 Tres décimos 5 Cinco medios Ejemplo: Merche está pintando una puerta formada por 5 tablones iguales. Ya ha pintado tablones. Qué fracción representa la parte de la puerta pintada? 5 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 7 CEPA Plus Ultra. Logroño

28 Una fracción se puede entender como una parte de la unidad, como un operador o como una división La fracción como parte de la unidad Las fracciones expresan las partes iguales en las que se divide un todo que llamamos unidad y cuántas de esas partes se toman. En la fracción b a sus términos representan Ejemplo: b número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo a número de partes que se toman de la unidad En nuestro ejemplo el todo, el rectángulo, lo hemos dividido en doce partes iguales. De estas partes iguales hemos coloreado cinco. La fracción que representa las partes coloreadas es 1 5. Ejemplo: Pinta los 16 9 de este triángulo. Para poder hacerlo es necesario dividir dicho triángulo (que en este ejemplo es la unidad o el todo) en dieciséis partes iguales, como muestra la siguiente figura. Ahora coloreamos de verde nueve triángulos pequeños. La parte coloreada representa los 16 9 de 1..- La fracción como cociente La fracción b a, expresa el cociente de dos números enteros a y b (a : b). Calculamos su valor dividiendo el numerador entre el denominador. Ejemplo: Tenemos 8 gominolas iguales para repartir entre 4 niños. Cuántas gominolas le corresponden a cada niño? 8 8 : 4 =7 A cada niño le corresponden 7 gominolas 4 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 8 CEPA Plus Ultra. Logroño

29 Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad, y recíprocamente, el 1 se puede expresar como una fracción en la que coinciden numerador y denominador. 8 Ejemplo: 1, 1 8, 15 1, La fracción como operador Una fracción puede actuar como operador de un número: se multiplica el número por el numerador y se divide entre el denominador (o se divide el número por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador). a de c = b (c a):b (c:b) a Ejemplo: 4 de 4, se lee, los tres cuartos de veinticuatro. Para calcularlo tenemos que dividir 4 en 4 partes, 4:4, que salen 6 elementos en cada parte y tomamos de esas partes, que harían un total de, 6, dieciocho. de 4 4 = (4:4) = 6 = de 4 = 18 4 También: de 4 4 = (4 ):4 = 7 : 4 = Ejemplo: 5 de = (100 : 5) = 0 = 40 Ejemplo: Un albañil, para iniciar una obra, cobra por adelantado los del presupuesto. Si la factura asciende a 400. Cuánto tenemos que pagarle por adelantado? de 400: Tenemos que pagarle por adelantado 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 9 CEPA Plus Ultra. Logroño

30 . FRACCIONES EQUIVALENTES Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando expresan la misma parte de la unidad, es decir, cuando tienen el mismo valor numérico. Observa: Las fracciones 1 son equivalentes 4 8 Para saber si dos fracciones son equivalentes podemos hacerlo de varias formas: Realizar los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que obtenemos el mismo resultado. 1 Por ejemplo: y (ambas valen 1,5) 8 Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a b c d Por ejemplo: a d b c 1?? 1 ; 1 8 ; Son equivalentes 4? 1? 4 1 ; ; No son equivalentes Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador y denominador de la otra por la misma cantidad. Por ejemplo: : Son equivalentes; No son equivalentes : 4 4 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 0 CEPA Plus Ultra. Logroño

31 .1. Cómo obtener fracciones equivalentes: Para obtener fracciones equivalentes a una dada podemos utilizar uno de los métodos siguientes: amplificación y simplificación. Amplificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un mismo número Ejemplo: Calcula tres fracciones equivalentes a Multiplicamos el numerador y el denominador por Multiplicamos el numerador y el denominador por 5. Por lo tanto, Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción dada entre un divisor común a ambos. 4 Ejemplo: Busca fracciones equivalentes a por simplificación. 8 Los divisores comunes a 4 y 8 son, 7 y 14, obtendremos fracciones equivalentes a la dada dividiendo numerador y denominador por dichos números. 4 8 : 4 : 8 : : 7 8 : : 14 8 : 14 : Por tanto, Dividimos el numerador y el denominador por 7. Dividimos el numerador y el denominador por14. Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar. El máximo común divisor del numerador y del denominador es uno, es decir, son primos entre sí. La fracción es irreducible. Para calcular la fracción irreducible equivalente a una fracción dada, se dividen numerador y denominador por su máximo común divisor o se van realizando sucesivas divisiones al numerador y denominador por el mismo número hasta llegar a la fracción irreducible. 4 Ejemplo: Halla la fracción irreducible equivalente a 8 4 = 7 8 = 7 m.c.d. (4, 8) = 7 = 14 4 = 8 Dividimos el numerador y el denominador por 14. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 1 CEPA Plus Ultra. Logroño

32 También podemos calcular esta fracción irreducible del siguiente modo: Dividimos el numerador y el denominador por 7. Dividimos el numerador y el denominador por. La fracción inversa de una fracción dada es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera fracción, y por denominador, el numerador. Fracción inversa de a b b a Ejemplo: Fracción = Fracción inversa Reducción de fracciones a mínimo común denominador Para realizar algunas operaciones con fracciones (sumar, restar, comparar ) es necesario transformar las fracciones dadas en otras equivalentes con el mismo denominador. Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. La forma más sencilla de calcular el denominador común es hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para reducir fracciones a común denominador: 1º Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. º Se amplifican todas las fracciones utilizando como denominador el mínimo común múltiplo. Dividimos el denominador común entre el denominador inicial y multiplicamos el cociente obtenido por el numerador. Ejemplo: Reduce a común denominador las siguientes fracciones: 8 = 1 = = m.c.m. (8, 1, ) =. = 8 = : 8 = 7 = 1 4 : 1 = 5 = 10 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. CEPA Plus Ultra. Logroño 7, y 4 : = 8 8 = 16

33 . ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES Puesto que las fracciones son números podemos ordenarlas o compararlas, decir cuál es mayor o cuál es menor. Nos encontramos tres casos distintos: que las fracciones tengan el mismo denominador, que tengan el mismo numerador o que tengan distinto numerador y denominador Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Ejemplo: 8 4 > 8 > 8 1 Si dos fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador. Ejemplo: 4 > 5 4 > 7 4 Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, se reducen primero a común denominador. La fracción mayor es la que tiene mayor numerador Ejemplo: Compara las fracciones 4 5 y 6 7 Como tienen distinto denominador, calculamos el m.c.m. de 4 y 6: 4 = 6 = m.c.m. (4, 6) = = 4 = Como entonces OPERACIONES CON FRACCIONES Suma y resta Mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Ejemplo: Distinto denominador. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, reduciremos las fracciones a común denominador (mediante el mínimo común múltiplo de los denominadores) y transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado anterior. Ejemplo: m.c.m. (,, 9) = º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. CEPA Plus Ultra. Logroño

34 Ejemplo: Recuerda: 0 a 4..- Producto Para multiplicar fracciones se multiplican el numerador por el numerador y el denominador a c a c por el denominador: b d b d Ejemplo: El producto de una fracción y su inversa es uno: Cociente Para dividir fracciones se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, que será el numerador del resultado, y el denominador de la primera por el numerador a c a d de la segunda, que será el denominador: : b d b c Ejemplo: 5 : Operaciones combinadas con fracciones: 5 4 Cuando en un ejercicio de operaciones con fracciones se mezclan distintos tipos de operaciones hay que seguir las siguientes reglas de prioridad: 1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera..- Se calculan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha..- Se calculan las sumas y restas de izquierda a derecha. Ejemplo: º Calculamos la resta Simplificamos, º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 4 CEPA Plus Ultra. Logroño º Efectuamos el producto º Efectuamos la suma

35 MULTIPLICACIÓN SUMA PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Conmutativa Asociativa Elemento neutro Distributiva Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía: Ejemplo: a + b = b + a Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía: Ejemplo: a b = b a Los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado: (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo: Los factores se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado: Ejemplo: 1 5 (a b) c = a (b c) El 0 es el elemento neutro de la suma, pues, al sumarlo, el resultado no varía: Ejemplo: a + 0 = a 5 4 El 1 es el elemento identidad de la multiplicación, pues, al multiplicar por él, el resultado no varía: Ejemplo: a 1 = a 4 El producto de un número por una suma es la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos: a (b + c) = a b + a c Ejemplo: º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 5 CEPA Plus Ultra. Logroño

36 5. PROBLEMAS CON FRACCIONES Ejemplo: Tenemos dos botellas de agua. La primera contiene 1 de litro de agua y la segunda 1 de litro de agua. Qué cantidad de agua tenemos? Tenemos litros de agua Ejemplo: Se quieren envasar 600 litros de vino Rioja en botellas de 4 de litro. Cuántas se necesitarán? : 800 Se necesitarán 800 botellas 4 Ejemplo: En un centro escolar hay 657 estudiantes. Si el número de chicos es 9 4 del total, cuántos chicos y cuántas chicas hay en el centro? = 65 En el centro hay 9 chicos y 65 chicas 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 6 CEPA Plus Ultra. Logroño

37 TEMA 5: SISTEMAS DE MEDIDA 1. MAGNITUDES Y MEDIDAS Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir y expresar su valor mediante un número. Son magnitudes la longitud, la superficie, el tiempo, etc. Medir una magnitud es comparar su valor con el de un patrón que llamamos unidad de medida, y determinar el número de veces que la contiene. Ejemplo: Clasifica como magnitud o unidad de medida: a) Litro: unidad de medida b) Tiempo: magnitud c) Altitud: magnitud d) Memoria de un ordenador: magnitud e) Gramo: unidad de medida f) Kilómetros por hora: unidad de medida g) Presión: magnitud Ejemplo: Relaciona cada magnitud con su unidad de medida posible Ejemplo: Indica la unidad más adecuada para expresar las siguientes magnitudes: a) La capacidad de una botella: litro b) El tamaño del suelo de la clase: metro cuadrado c) La distancia de Logroño a Madrid: kilómetro d) La masa de un tren: tonelada Para poder comparar el valor de varias magnitudes debemos utilizar una misma unidad de medida. En la actualidad, para medir magnitudes se utiliza el Sistema Internacional de Medidas (abreviado S.I.) también llamado Sistema Métrico Decimal (abreviado S.M.D.) porque sus unidades se relacionan en potencias de 10. Algunas unidades en este sistema son: El metro, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir longitudes. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 7 CEPA Plus Ultra. Logroño

38 El kilogramo, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir masas. El litro, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir capacidades. El metro cuadrado, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir superficies. El metro cúbico y sus múltiplos y submúltiplos, para medir volúmenes. Como hemos dicho, cada unidad posee una serie de múltiplos y submúltiplos que se designan con los siguientes prefijos: Múltiplos Unidad Submúltiplos Kilo- Hecto- Deca- Deci- Centi- Mili- K h da d c m U 100 U 10 U 1 U 0 1 U 0 01 U U Las medidas se pueden escribir de forma compleja, cuando para expresarla se utilizan distintas unidades de medida, o de forma incompleja si al expresarla utilizamos una sola unidad. Ejemplo: Forma incompleja: 5 km Forma compleja: km 500 m. UNIDADES DE LONGITUD: EL METRO La magnitud longitud la utilizamos para medir la distancia entre dos puntos. Podemos ver algunos ejemplos: La unidad de medida de longitud del S.M.D. es el metro y se representa por m. Unidades mayores y menores al metro son respectivamente los múltiplos (decámetro, hectómetro y kilómetro) y los submúltiplos (decímetro, centímetro y milímetro), donde cada unidad equivale a 10 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 10 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa. Múltiplos Unidad Submúltiplos Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro km hm dam m dm cm mm m 100 m 10 m 1 m 0 1 m 0 01 m m 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 8 CEPA Plus Ultra. Logroño

39 Hay otras unidades de medida de longitud menos comunes para medir longitudes muy pequeñas o muy grandes, algunas de ellas son: Micrómetro, μm: 1 μm = mm Nanómetro, nm: 1 nm = mm Unidad astronómica, UA: 1 UA = km Año luz equivalente a 9 5 billones de km Ejemplo: La Vía Láctea tiene de radio años luz. El diámetro de un cabello es de aproximadamente 0 1mm. Un espermatozoide mide 5μm, un hematíe 7μm. Los chips electrónicos están compuestos de transistores de nm de tamaño. Ejemplo: Transforma las siguientes medidas a las unidades que se indican: a) 7 hm a m: 100m 7 hm = 7hm = 700 m 1hm b) 1500 m a km: 1km 1500 m = 1500m = 1 5 km 1000m c) 8 5 dm a m: 1m 8 5 dm = 8'5dm 0 85 m 10dm d) 5 dam a cm: 1000cm 5 dam = 5dam = cm 1 dam Ejemplo: Expresa las siguientes medidas en forma incompleja en m a) km hm 8 dam = 000 m + 00 m + 80 m = 80 m b) 7 dam 9 m dm = 70 m + 9 m + m = 71 m Ejemplo: Expresa las siguientes medidas en forma compleja a) m = 54 km 9 hm 1 dam 5 m b) m = 6 hm 7 dam 5 m 4 dm 6 cm 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 9 CEPA Plus Ultra. Logroño

40 . UNIDADES DE MASA: EL GRAMO La unidad de medida de masa del S.M.D. es el gramo y se representa por g. Sin embargo, el gramo es una unidad muy pequeña por lo que solemos utilizar el kilogramo en nuestro lenguaje habitual. Ejemplo: Un adulto puede pesar, o mejor dicho puede tener una masa de 70 kg. Podemos necesitar para un bocadillo 45 g de embutido. Un elefante africano puede pesar hasta 7,5 t. Unidades mayores y menores al gramo son respectivamente los múltiplos (decagramo, hectogramo y kilogramo) y los submúltiplos (decigramo, centigramo y miligramo), donde cada unidad equivale a 10 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 10 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa. Múltiplos Unidad Submúltiplos Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo kg hg dag g dg cg mg g 100 g 10 g 1 g 0 1 g 0 01 g g Hay otras unidades de medida de masa más grandes para medir pesos grandes, algunas de ellas son: El quintal, q: 1 q = 100 kg La tonelada, t: 1 t = 1000 kg Ejemplo: Expresa en forma incompleja en g: a) kg hg 7dag 5g = 000 g + 00 g + 70 g + 5 g= 75 g b) 8 dag 7 g 5 dg = 80 g + 7 g + 0,5 g = 87,5 g c) 8 g dg 5 mg = 8 g + 0, g + 0,005 g = 8,05 g Ejemplo: Un bolsa de naranjas pesaba kg 0 g. Nos hemos comido naranjas que pesaban 650g. Cuánto pesa ahora la bolsa de naranjas? Cuántos kg me quedan? kg 0 g = 000 g + 0 g = 00 g 00 g g = 80 g =,80 kg Ejemplo: Transforma estas cantidades en la unidad indicada: 1000 g a) 0,065 kg a g: 0,065 kg = 0,065 kg = 6,5 g 1kg 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 40 CEPA Plus Ultra. Logroño

41 1t b) 1545 kg a t: 1545 kg = 1545 kg = 15,45 t 1000kg c) 4 hg a g: 4 hg = d) 456 g a dag: 456g = 100 g 4 hg = 400 g 1 hg 1 dag 456 g = 45,6 dag 10g 4. UNIDADES DE SUPERFICIE: EL METRO CUADRADO El área de una superficie se mide en unidades cuadradas, su unidad en el S.M.D. es el metro cuadrado, y se representa por m. Un m es la superficie que tiene un cuadrado de 1m de lado. Las medidas de superficie son el resultado de medir dos dimensiones, es decir mide longitudes en el plano, y sirve para calcular las áreas. Se miden en unidades de longitud las dimensiones largo y ancho y se calcula el área multiplicando las dos dimensiones (es como cuadricular un espacio) para conseguir el área del espacio deseado. Ejemplos: Un piso suele medir entre 65 m y 100 m. Un campo de fútbol para partidos internacionales miden entre 64 dam y 8,5 dam. Unidades mayores y menores al metro cuadrado son respectivamente los múltiplos (decámetro cuadrado, hectómetro cuadrado y kilómetro cuadrado) y los submúltiplos (decímetro cuadrado, centímetro cuadrado y milímetro cuadrado), donde cada unidad equivale a 100 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por100 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa. Múltiplos Unidad Submúltiplos Kilómetro cuadrado Hectómetro cuadrado Decámetro cuadrado Metro cuadrado Decímetro cuadrado Centímetro cuadrado Milímetro cuadrado km hm dam m dm cm mm m m 100 m 1 m 0 01 m m m Hay otras unidades de medida de superficie para medir campos, algunas de ellas son: La hectárea, ha: 1 ha = m = 1 hm La área, a: 1 a = 100 m = 1 dam La centiárea, ca: 1 ca = 1 m 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 41 CEPA Plus Ultra. Logroño

42 Ejemplo: Transforma estas cantidades en la unidad indicada: a) 7cm a m cm 1m = 7cm = 0,0007 m 10000cm b) dm a cm dm = 100m dm = 00 m 1dm c) 4,5 m a mm ,5 m = mm 4,5m = mm 1m Ejemplo: Pasa a forma compleja: a) 5,76 hm = 5km + hm + 76 dam b) 01,65 dm = 0 m + 1 dm + 6 cm + 50 mm Ejemplo: Expresa en hectáreas: a) 5,7 km = 570 hm = 570 ha b) ca = 4 ha c) dm = 0, hm = 0, ha 5. UNIDADES DE VOLUMEN: EL METRO CÚBICO El volumen de un recipiente, (cuánto volumen le cabe) se mide en unidades cúbicas, su unidad en el S.M.D. es el metro cúbico, y se representa por m. Un m es el volumen que tiene un cubo de 1m de arista. La magnitud del volumen la utilizamos para medir la capacidad de un objeto en tres dimensiones (largo x ancho x alto). Ejemplos: El consumo de agua y de gas en las facturas se mide en m. Una persona consume de media 4,5 m de agua al mes. El tamaño de un embalse puede ser 50 hm de capacidad. Unidades mayores y menores al metro cúbico son respectivamente los múltiplos (decámetro cúbico, hectómetro cúbico y kilómetro cúbico) y los submúltiplos (decímetro cúbico, centímetro cúbico y milímetro cúbico), donde cada unidad equivale a 1000 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 1000 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 4 CEPA Plus Ultra. Logroño

43 Múltiplos Unidad Submúltiplos Kilómetro cúbico Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico km hm dam m dm cm mm m m 1000 m 1 m m m m Ejemplo: Transforma estas cantidades en la unidad indicada: 1m a) 7 cm a m cm = 7cm 0,000007m cm b) dm a cm dm = c) 4,5 m a mm ,5 m = dm 1000cm 1dm 000cm cm 4,5m 1m cm Ejemplo: Expresa en metros cúbicos: a) 0,84 hm = 84 dam = m b) 7 km 6 hm 7 m = m c) 4 dam 5 m dm = 4 005, 0 m 5. UNIDADES DE CAPACIDAD: EL LITRO La unidad del litro nos permite saber la capacidad de un recipiente y se representa por l pero no pertenece al S.M.D. De hecho, el litro coincide con el volumen de un cubo de un decímetro de arista. Ejemplos: Una botella de agua grande tiene una capacidad de 1,5 l. Una lata de refresco tiene una capacidad de cl. Un depósito de gasóleo para una casa podría tener una capacidad de hl. Unidades mayores y menores al litro son respectivamente los múltiplos (decalitro, hectolitro y kilolitro) y los submúltiplos (decilitro, centilitro y mililitro), donde cada unidad equivale a 10 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 10 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa. Múltiplos Unidad Submúltiplos Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro kl hl dal l dl cl ml l 100 l 10 l 1 l 0 1 l 0 01 l l 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 4 CEPA Plus Ultra. Logroño

44 Ejemplo: 100l a) 4, hl = 4, hl 40l 1 hl 1 l b) 50 ml = 50 ml 0,5 l 1000 ml dl c) 0,004 kl = 0,004kl,4 dl 1 kl 1 dal d) cl = cl 4,5dal 1000cl 5. Relación entre las unidades de capacidad y de volumen La diferencia fundamental entre volumen y capacidad es que, de una manera intuitiva, volumen hace referencia al espacio que ocupa un objeto y capacidad al espacio que contiene. Llevado al campo de la medida, calcular el volumen de un cuerpo es medir cuánto ocupa y calcular su capacidad es medir cuánto cabe en él. Los litros, unidad de capacidad, se relacionan con las unidades de volumen ya que 1 l = 1 dm. Por lo tanto, 1 l = 1 dm 1 ml = 1 cm 1 kl = 1 m Ejemplos: Un depósito de agua de 1 m tiene una capacidad de 1 kl, que es lo mismo que 1000 l. En los botellines de agua, la cantidad de agua se expresa en ml o en cm. Puede poner 50 ml o 50 cm. Un litro de leche ocupa un volumen de 1 dm. Ejemplo: Expresa en litros a) 4, dm = 4, l b) 1 m = 1 kl = l c) 0 cm = 0 ml = 0,0 l 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 44 CEPA Plus Ultra. Logroño

45 Ejemplo: Expresa en decímetros cúbicos a) 0,85 hl = 8,5 l = 8,5 dm b) 0,7 dl = 0,07 l = 0,07 dm c) 4,4 kl = l = dm Ejemplo: Ordena de menor a mayor estas medidas a) 7,0001 hm b) 000 l c) 8 ml d) 4 mm a) 7,0001 hm = dm = l b) 000 l c) 8 ml = 0,008 l d) 4 mm = 0, dm = 0, l Por lo tanto: 4 mm < 8 ml < 000 l < 7,0001 hm Ejemplo: Calcula esta resta 8 ml 800 mm 8 ml = 0,008 l 800 mm = 0,0008 dm = 0,0008 l 8ml 800 mm = 0,008 0,0008 = 0,007 l 6. UNIDADES DE TIEMPO: SEGUNDO Para medir el tiempo, en principio, se empezó midiendo los movimientos de los astros, el movimiento aparente del sol y de la luna. Luego se utilizaron relojes como el reloj de sol, de arena o la clepsidra o reloj de agua. Ahora existen relojes y cronómetros muy perfeccionados. La unidad utilizada para medir la magnitud tiempo es el segundo, que se representa por la letra s, en minúscula y sin punto. Es una unidad de Sistema Internacional de Unidades pero no es decimal, es sexagesimal. El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior. Minuto: 1 min = 60 s Hora: 1 h = 60 min 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 45 CEPA Plus Ultra. Logroño

46 Para pasar segundos a horas y minutos, o viceversa, debemos multiplicar o dividir por 60, según haya que transformar una unidad de medida en la unidad inmediata inferior o superior. Ejemplo: Expresa 956 s de forma compleja (en horas, minutos y segundos) Dividimos los segundos por 60 para obtener los minutos, el cociente de dicha división serán minutos y el resto segundos. Como los minutos son más de 60, dividimos de nuevo entre 60 para obtener horas. El cociente son horas y el resto minutos. 956 s = 1 h 5 min 56 s Ejemplo: Expresa en segundos h 6 min 5 s Pasamos las h a segundos multiplicando por 600 (1 hora son 60 min y un min son 60 s, por lo tanto 1 h son = 600 s), y los 6 minutos a segundos multiplicando por 60; y sumamos los segundos obtenidos = = 1 41 h 6 min 5 s = 1 41 s 6.1 Operaciones con unidades de tiempo Suma: Para sumar unidades de tiempo hay que seguir los siguientes pasos: Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna las horas, en otra los minutos y en otra los segundos. Se suman los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y las horas con las horas. Si una vez sumados los segundos son más de 60 se pasan a minutos. Si una vez sumados los minutos son más de 60 se pasan a horas. Ejemplo: Efectúa la suma 15 h 45 min 8 s + 8 h 4 min 6 s 15 h 45 min 8 s + 8 h 4 min 6 s = 4 h 0 min 4 s Resta: Para restar unidades de tiempo hay que seguir los siguientes pasos: Se colocan el minuendo y el sustraendo de manera que queden en una misma columna los horas, en otra los minutos y en otra los segundos. Si el número de segundos del minuendo es menor que el número de segundos del sustraendo se resta un minuto a los minutos del minuendo y se suman sesenta segundos a los segundos de dicho minuendo. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 46 CEPA Plus Ultra. Logroño

47 Si el número de minutos del minuendo es menor que el número de minutos del sustraendo se resta una hora a las horas del minuendo y se suman sesenta minutos a los minutos de dicho minuendo. Se restan las horas con las horas, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos. Ejemplo: Efectúa la resta 4 h 9 min 5 s - 1 h 45 min 1 s 4 h 9 min 5 s - 1 h 45 min 1 s = 0 h 5 min 5 s Multiplicación por un número natural: Para multiplicar un tiempo por un número natural hay que seguir los siguientes pasos: Se multiplican las horas, minutos y segundos por dicho número. Si una vez multiplicados los segundos por el número son más de 60 se pasan a minutos. Si una vez multiplicados los minutos por el número y sumados los minutos procedentes del paso anterior son más de 60 se pasan a horas. Ejemplo: Efectúa el producto 1 h 1 min s x 4 1 h 1 min s x 4 = 86 h 5 min 8 s División por un número natural: Para dividir un tiempo por un número natural hay que seguir los siguientes pasos: Se dividen las horas por dicho número y el resto obtenido se pasa a minutos. Se suman los minutos y se dividen por dicho número, pasando el resto a segundos. Se suman los segundos y se dividen por el número 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 47 CEPA Plus Ultra. Logroño

48 Ejemplo: Efectúa la división 46 h 5 min 18 s : 46 h 5 min 18 s : = 15 h 7 min 46 s Ejemplo: Sergio estudió Matemáticas y Lengua el sábado por mañana. Si empleó 1 h 5 min para Lengua, y en total estudió h 0 min, cuánto tiempo dedicó a Matemáticas? Para calcular el tiempo que dedicó a estudiar Matemáticas, restamos del tiempo total el dedicado a Lengua Sergio dedicó 55 min a estudiar Matemáticas Ejemplo: Pedro hizo un trabajo en dos tardes. Le dedicó 1 h 45 min 7 s la primera tarde, y tres cuartos de hora la segunda. Cuánto tiempo en total le dedicó al trabajo? Tres cuartos de hora 45 min Pedro le dedicó al trabajo h 0 min 7 s 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 48 CEPA Plus Ultra. Logroño

49 TEMA 6: GEOMETRÍA PLANA 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA En nuestro entorno podemos visualizar objetos que se relacionan con elementos geométricos: por ejemplo la ventana de nuestra casa tiene forma rectangular. También aplicamos la geometría en las tareas diarias de muchas profesiones: interpretando o elaborando planos. Aplicamos los conocimientos de geometría para elementos habituales de nuestro día a día: por ejemplo, interpretar los planos de un armario que hemos comprado. La geometría plana estudia las propiedades de las figuras que se representan en un plano y que tienen únicamente dos dimensiones (largo y ancho). Los tres elementos básicos de la geometría son: el punto, la recta y el plano. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 49 CEPA Plus Ultra. Logroño

50 . PUNTOS Y RECTAS Los puntos y las rectas son dos de los elementos geométricos fundamentales. Los puntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C La recta está formada por infinitos puntos y se nombra con letras minúsculas: r, s, t Un punto A de una recta la divide en dos semirrectas El trozo de recta comprendido entre dos puntos se llama segmento Dos rectas, r y s, pueden tener un punto en común, ninguno o infinitos. Secantes Paralelas Coincidentes P r r r s s Tienen un solo punto en común s No tienen ningún punto en común Tienen todos los puntos en común. ÁNGULOS Se llama ángulo a la región del plano limitada por dos semirrectas con un origen común. Las semirrectas que lo limitan se llaman lados y el origen vértice. Los ángulos se nombran con letras mayúsculas y el símbolo ^ sobre la letra: Aˆ, B ˆ Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales, llamados rectos. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 50 CEPA Plus Ultra. Logroño

51 .1. Clasificación de ángulos Recto Agudo Obtuso Llano Menor que un ángulo recto Mayor que un ángulo recto Formado por dos rectos Convexo Cóncavo Menor que un ángulo llano Mayor que un ángulo llano.. Relación entre ángulos Opuestos por el vértice Complementarios Suplementarios Tienen el vértice en común, y los lados están sobre la misma recta. Al colocarlos consecutivamente forman un ángulo recto. Al colocarlos consecutivamente forman un ángulo llano... Ángulos iguales Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Â Bˆ ĈDˆ 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 51 CEPA Plus Ultra. Logroño

52 Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son suplementarios  Bˆ Los ángulos Ĉ y Dˆ son suplementarios.4. Medida de ángulos. Para medir ángulos utilizamos el llamado sistema sexagesimal. Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado, y se representa por el símbolo º. El grado es una de las unidades de medida de ángulos. El grado se divide en otras unidades más pequeñas: Minuto: cada una de las 60 partes en que se divide un grado. Se representa con el símbolo. 1º = 60 Segundo: cada una de las 60 partes en que se divide un minuto. Se representa con el símbolo. 1 = 60 Una medida de ángulos puede ser expresada en: Forma compleja: con más de una unidad. Por ejemplo:  = 15º 1 7 Forma incompleja: con una sola unidad. Por ejemplo: Bˆ = 54,º El transportador de ángulos es un semicírculo graduado que permite construir y medir ángulos. 4. POLÍGONOS Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a la que se llama poligonal. Si el origen del primer segmento coincide con el extremo del último se llama línea poligonal cerrada, en caso contrario se llama línea poligonal abierta. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 5 CEPA Plus Ultra. Logroño

53 La zona del plano que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono. Alguno de los elementos de un polígono son: Lado: cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal cerrada. Vértice: cada uno de los puntos de unión de dos lados. Ángulo interior: ángulo formado por dos lados. Diagonal: cada uno de los segmentos que une dos vértices no consecutivos Clasificación de los polígonos Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios: Según los ángulos los polígonos se clasifican en dos grandes grupos: Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos. Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo Según el número de lados los polígonos se clasifican en: 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 5 CEPA Plus Ultra. Logroño

54 Según la igualdad o desigualdad de sus lados los polígonos se clasifican en: Irregulares: un polígono es irregular si sus lados o ángulos no son todos iguales Regulares: un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. Los polígonos regulares además de los elementos de un polígono en general tienen los siguientes elementos: Centro: punto que equidista de los vértices. Radio: cualquier segmento que une el centro con el vértice. Apotema: cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Ángulo central: ángulo determinado por dos radios consecutivos. 5. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 5.1. Clasificación de los triángulos Si el polígono tiene tres lados se llama triángulo. Los triángulos pueden clasificarse según sus lados y ángulos, obteniéndose los siguientes tipos de triángulos: Según sus lados Equilátero Isósceles Escaleno Todos los lados iguales Dos lados iguales y uno desigual Según sus ángulos Todos los lados distintos Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 54 CEPA Plus Ultra. Logroño

55 5.. Clasificación de los cuadriláteros Si el polígono tiene cuatro lados se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros pueden clasificarse por el paralelismo y la igualdad de sus lados. Paralelogramos pares de lados paralelos Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide D A C B 4 lados iguales 4 ángulos rectos Lados paralelos iguales 4 ángulos rectos 4 lados iguales Ángulos iguales dos a dos Trapecios 1 par de lados paralelos Isósceles Rectángulo Escaleno Lados paralelos iguales Ángulos iguales dos a dos Trapezoides Ningún lado paralelo A D B C Lados no paralelos iguales Dos ángulos rectos Lados y ángulos distintos 6. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto fijo llamado centro. La porción del plano que limita una circunferencia se llama círculo. Los elementos de la circunferencia son: Centro: punto fijo O. Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Cuando la cuerda es el diámetro, el arco que se forma es una semicircunferencia. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 55 CEPA Plus Ultra. Logroño

56 7. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS En la vida cotidiana realizamos cálculos para hallar el perímetro y área de diferentes objetos. Cuánto alambre necesitaremos para cercar este terreno? Quiero poner unas baldosas en la casa Qué necesito saber? El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados. Esta suma representa una medida de longitud, por ello las unidades utilizadas son el metro y todos sus múltiplos y submúltiplos. Ejemplo: Calcularemos el perímetro si queremos medir el contorno del marco de una ventana o lo que mide la valla de ese cercado. El área de un polígono es la medida de la porción de plano limitada. Las unidades utilizadas para medirla son el m (metro cuadrado) y sus múltiplos y submúltiplos. Ejemplo: Calcularemos el área si queremos pintar el techo de la habitación o si queremos envolver un objeto con una tela ya que necesitaremos saber cuánta pintura necesito o cuánta tela tengo que comprar, como mínimo. 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 56 CEPA Plus Ultra. Logroño

57 Áreas y perímetros de polígonos Polígono Perímetro (P) Área (S) Triángulo a h c P = a + b + c b h S b Cuadrado P = 4 L S = L L Rectángulo b P = (a+b) S = a b a Romboide h c P = (b+c) S = b h b L Rombo d P = 4 L D D d S b L h Trapecio P = B + b + L B S B b h Polígono regular de n lados n 5 L ap P= n L P ap S 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 57 CEPA Plus Ultra. Logroño

58 8. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES 8.1. El número Pi Independientemente de las dimensiones de una circunferencia, la relación entre su longitud y su diámetro siempre es constante, es decir, al dividir la longitud de la circunferencia (perímetro del círculo) entre su diámetro obtenemos siempre el mismo resultado:, A este número se le llama Pi y normalmente se representa con el símbolo π. Si medimos el perímetro de la rueda de un tractor y el de la rueda de una bicicleta de niño, al dividirlos por sus respectivos diámetros obtendremos como resultado,14159, es decir el número π Conocer el número Pi es fundamental para poder calcular el perímetro de circunferencias y áreas de círculos. Al ser un número con infinitos decimales es necesario redondearlo para poder hacer cálculos, por ejemplo podemos utilizar el redondeo a centésimas: π =, ,14 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 58 CEPA Plus Ultra. Logroño

59 Longitud y área de figuras circulares Figuras circulares Longitud (L) Área (S) Circunferencia y círculo r L = r S = r Arco y sector r nº r nº L 60º r nº S 60º Segmento circular r L = Longitud del arco + Longitud de la cuerda S = Área del sector- Área del triángulo Corona circular r R L = Lon. cir.exterior + Lon. cir. interior S = (R r ) 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 59 CEPA Plus Ultra. Logroño

60 9. PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS Ejemplo: Calcular el área y el perímetro del siguiente triángulo (los datos están en cm) b h 5,4 S 1 6 cm P = a + b + c = = 1 cm Ejemplo: Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 0 y 16 cm, y su lado mide 17 cm. D d 0 16 S 40 cm P = 4 L = 4 17 = 68 cm Ejemplo: Calcula el área de esta figura: b h S T 5 cm S a b cm R Sc l 5 5cm S S S S cm T R C Ejemplo: Calcula el área del siguiente octógono. P ap 8 6 7, 45,6 S 17,8 cm 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 60 CEPA Plus Ultra. Logroño

61 Ejemplo: Calcula el área y la longitud de la corono circular S = R r cm L = P = R + r = cm Problema: Si queremos vallar una piscina o calcular la longitud de una rueda como la de la figura que se muestra a continuación. Qué necesitamos saber? Necesitamos calcular el perímetro. P = = 1,56 m Problema: Queremos barnizar la parte superior de una mesa de madera como la que vemos en la figura. Si en total tengo que pintar 15 mesas iguales Cuántos litros de barniz tendré que comprar si con 1 litro cubro 10 m? S = 0,60 = 1,104 m Como son 15 mesas -> 1, = 16,956 m Para calcular los litros que necesito -> 16,956 : 10 = 1,6956 l Tendré que comprar 1 7 l de barniz Problema: Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado si el metro lineal de alambrada cuesta 1,5 euros? P = 4L = 4 14 = 56 metros 56 1,5 = 84 euros Vallar la finca costará 84 1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 61 CEPA Plus Ultra. Logroño