FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES ESCUELA DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE CURSO MAB-307 ÁLGEBRA LINEAL

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES ESCUELA DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE CURSO MAB-307 ÁLGEBRA LINEAL BACHILLERATO Y LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Nombre del docente: Alexánder Hernández Quirós (G:01) Correo electrónico: alexander.hernandez.quiros@una.cr I) ASPECTOS GENERALES CURSO: Álgebra Lineal CÓDIGO: MAB307 NATURALEZA: Teórico-práctico NRC: REQUISITOS: Lógica-Teoría de Conjuntos (MAB301) y Geometría Analítica (MAB304) TIPO DE CURSO: Tutoría MODALIDAD: Ciclo TOTAL HORAS SEMANALES: 13 CICLO LECTIVO: I Ciclo 2018 HORAS PRESENCIALES: 05 NIVEL: II Nivel de carrera HORAS EST./INDEP.: 08 ÁREA: Álgebra y Geometría CRÉDITOS: 05 AULA: HORARIO: AT/EST: II) DESCRIPCIÓN DEL CURSO Este curso introduce al estudiante en los fundamentos del álgebra lineal, haciendo énfasis en sus diversas aplicaciones a la Matemática. Se tienen como pilares la teoría de espacios vectoriales, transformaciones lineales y valores y vectores propios. Además, se abarca el estudio de la teoría elemental de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales, los cuales son herramientas fundamentales en muchas aplicaciones matemáticas. Lo anterior es fundamental dentro del perfil del graduado de la carrera, pues son temas importantes para ampliar el concepto de sistemas de ecuaciones que se estudia en la educación secundaria. El curso busca seguir potenciando algunas competencias en el razonamiento y la argumentación involucradas en los quehaceres matemáticos, en concordancia con el Eje Curricular denominado Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático. Por esta razón el enfoque del curso será demostrativo, sin dejar de lado algunas aplicaciones prácticas de los conceptos desarrollados, en concordancia con el eje curricular de aplicaciones matemáticas. Lo anterior, le permitirá tener al estudiante una visión más amplia sobre los temas básicos del Álgebra Lineal, lo que aporta significativamente en su formación como educador de

2 matemáticas. Asimismo, le permitirá al estudiante generar una actitud positiva hacia las Matemáticas, para valorar su belleza lógica, lo cual está establecido como uno de los objetivos de la carrera. III) OBJETIVO(S) GENERAL(ES) 1. Introducir al estudiante en los temas centrales del álgebra lineal, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales y valores y vectores propios. 2. Propiciar en el estudiante el desarrollo de sus habilidades para resolver problemas matemáticos, particularmente aquellos relacionados con la aplicación del álgebra lineal. 3. Ubicar al estudiante en el contexto histórico del desarrollo del álgebra lineal y su interrelación con otras disciplinas. IV) CONTENIDOS TEMÁTICOS 1. Preliminares: Campo de los Números Complejos (1 semana) Definición de número complejo, operaciones. Escritura clásica de un número complejo, forma polar de un número complejo, número complejo conjugado. Teorema de Moivre. Raíces complejas. 2. Elementos de la teoría de matrices (3 semanas) Definición de matriz. Notación. Igualdad de matrices. Estructura de anillo y de álgebra de las matrices: suma y producto de matrices. Ley de composición externa y propiedades. Tipos especiales de matrices (de entradas reales). Matriz escalonada, reducida por filas. Matrices equivalentes. Matriz invertible. Método de Jordan-Gauss para determinar la inversa de una matriz invertible. Rango de una matriz. Determinante de una matriz (definición recursiva a partir del determinante de una matriz 2x2). Propiedades del determinante. Cálculo de la inversa de una matriz regular por medio de la matriz adjunta. 3. Sistemas de ecuaciones lineales (2 semanas) Definición de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Solución y conjunto de soluciones del sistema. Sistemas homogéneos y no homogéneos. Sistemas equivalentes. Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales. Estructura matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Método de solución de Jordan-Gauss. Regla de Cramer. 4. Espacios vectoriales (4 semanas) El espacio vectorial sobre un campo K. Propiedades fundamentales de los espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Sumas y sumas directas de subespacios. El espacio vectorial producto. Subespacio generado por una familia finita de vectores. Espacios vectoriales de dimensión finita. Familias linealmente independientes (LI) y familias linealmente dependientes (LD) de un espacio vectorial de dimensión finita. Bases y dimensión de un espacio vectorial. Rango y nulidad de una matriz. 2

3 5. Aplicaciones lineales y matrices (3 semanas) Definición. Algebra de las transformaciones lineales. Núcleo, rango y nulidad de una transformación lineal. Isomorfismo entre espacios vectoriales. Caracterización de transformaciones lineales. Imagen de una familia de generadores. Determinación de aplicaciones lineales. Definición de matriz asociada a una aplicación lineal. Isomorfismo entre aplicaciones lineales y matrices. Determinante de un endomorfismo. Matriz asociada a la composición de aplicaciones lineales. Matriz de pasaje. Cambio de bases. Caracterización de matrices invertibles a través de la matriz representativa de una aplicación lineal. 6. Valores y vectores propios (3 semanas) Valor y vector propio de una matriz. Valor y vector propio de una transformación lineal. Subespacio asociado a un valor propio. Polinomio característico de una matriz y de una transformación lineal. Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio. Matrices semejantes y diagonalización. Diagonalización de un operador lineal T. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal. V) METODOLOGÍA Dado que el curso es en modalidad tutoría, se trabajará con asignaciones semanales que el estudiante debe cumplir a cabalidad para el adecuado desarrollo del curso. Cada semana se dará una sesión de dudas el día viernes a las 4 pm complementándose con cualquier otro espacio que a conveniencia se determine. El trabajo de la estudiante es fundamental para el máximo aprovechamiento de los contenidos. VI) EVALUACIÓN Para evaluar el logro de los objetivos se realizarán las siguientes actividades: Tres pruebas escritas con un valor ponderado de 80%, el primero y el tercero con un valor de 30% cada uno y el segundo con un valor de 20%. Tres quices con un valor ponderado de 20%. Los exámenes parciales se realizarán en las siguientes semanas: EXAMEN FECHA HORA CONTENIDO I Parcial Miércoles 28 de febrero 1:00 pm 1 II Parcial Sábado 24 de marzo 1:00 pm 2 III Parcial Miércoles 04 de abril 1:00 pm 3 IV Parcial Sábado 05 de mayo 1:00 pm 4 V Parcial Miércoles 30 de mayo 1:00 pm 5 VI Parcial Lunes 18 de junio 8:00 am 6 Por otra parte, para las pruebas cortas o quices el docente informará con un tiempo prudencial la fecha en que cada una se aplicará. Además, se pretende que después de realizada y revisada el estudiante pueda valorar el avance de su proceso de aprendizaje. Cuando él o la estudiante se considere perjudicado(a) en sus calificaciones tiene derecho a manifestar su disconformidad ante el profesor y obtener respuesta de éste, todo en un plazo de cinco días hábiles a partir de la fecha en que conoce el resultado de la calificación. Ausencia a Exámenes El estudiante que por enfermedad o por fuerza mayor no puede efectuar una prueba, debe 0presentar al profesor, por escrito, la justificación en un tiempo límite de cinco días hábiles a 3

4 partir de la fecha en que se realizó. Si es aceptada, de común acuerdo con el alumno, se fijará la fecha de realización, dentro de los ocho días hábiles siguientes a la presentación de la justificación. En caso de no aceptarse la justificación, el estudiante puede apelar ante El Consejo Académico de la Escuela de Matemática Si una prueba no se realiza en la fecha prevista, por ausencia del profesor, los estudiantes deben levantar un acta consignando la ausencia de éste a la Dirección de la Escuela. El coordinador de área o el Director, según corresponda, tomará las medidas del caso para que la prueba se realice en una nueva fecha fijada en común acuerdo con los estudiantes. Aplazados La nota mínima para aprobar el curso es de No obstante, si se obtiene una nota de curso inferior a 7.00, superior o igual a 6.00, el estudiante, tiene derecho a presentar un examen extraordinario que se realizará en la fecha establecida por el Calendario Universitario y que se fijará posteriormente. Los temas a evaluar son todos los capítulos desarrollados en el curso; incluyendo sus respectivos ejercicios y tareas. VII) BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Anton H. (2002). Introducción al álgebra lineal. México: Editorial LIMUSA. Apóstol, T. (1985). Cálculo. Segunda edición. México: Editorial Reverté. Arce C. (2002). Álgebra Lineal. Costa Rica: Editorial UCR. Barrantes, H. (2012). Elementos de Álgebra Lineal. Segunda edición. Costa Rica: Editorial UNED. Bernard C. (1999). Álgebra Lineal con aplicaciones y Matlab. México: Prentice Hall. Grossman, S. (s.f.). Álgebra Lineal. Quinta edición. Editorial Iberoamericano. Hill. R. (1997). Algebra lineal elemental con aplicaciones. México: Prentice Hall. Lipschutz S. (1968.) Algebra Lineal. México: Mc Graw Hill. Mostow G. y Sampson J. (1969). Algebra lineal. México: Mc Graw Hill. Nering E. (1977). Álgebra lineal y teoría de matrices. México: Editorial Limusa. Noble, B. (1989). Algebra lineal aplicada. México: Prentice Hall. Shilov, G. (1977). Linear Algebra. Nueva York: Dover Publications. Vilchez E. (2012). Álgebra Lineal apoyada con Mathematica. Costa Rica: Editorial Tecnológica. 4

5 VIII) CRONOGRAMA TENTATIVO DE ACTIVIDADES Semana Fecha Contenidos 01 12/02 17/02 Preliminares 02 19/02 24/02 Elementos de la teoría de matrices 03 26/02 03/03 Elementos de la teoría de matrices 04 05/03 10/03 Elementos de la teoría de matrices 05 12/03 17/03 Sistemas de ecuaciones lineales 06 19/03 24/03 Sistemas de ecuaciones lineales 07 02/04 07/04 Espacios Vectoriales 08 09/04 14/04 Espacios Vectoriales 09 16/04 21/04 Espacios Vectoriales 10 23/04 28/04 Espacios Vectoriales 11 30/04 05/05 Transformaciones lineales y matrices 12 07/05 12/05 Transformaciones lineales y matrices 13 14/05 19/05 Transformaciones lineales y matrices 14 21/05 26/05 Valores y vectores propios 15 28/05 02/06 Valores y vectores propios 16 04/06 09/06 Valores y vectores propios 17 11/06 16/06 Repaso 18 18/06 23/06 VI parcial 19 25/06 39/06 Examen Extraordinario Cualquier otro aspecto que no haya sido contemplado aquí, se someterá a estudio y resolverá según lo estipulan los reglamentos vigentes, o bien por medio de una previa consulta a la Coordinación de la carrera o a la Dirección de la Escuela, según corresponda. Esperando obtenga un buen provecho del curso y con la esperanza que el mismo contribuya satisfactoriamente a su formación profesional, les saluda, Alexander Hernández Quirós Profesor del curso Leonel Chaves Salas Coordinador Enseñanza de la Matemática 5