Un teorema de Lipschitz Picard fraccionario para ecuaciones diferenciales sobre un espacio de Banach y sus aplicaciones

Transcripción

1 Un teorema de Lipschitz Picard fraccionario para ecuaciones diferenciales sobre un espacio de Banach y sus aplicaciones Demian Goos, Eduardo Santillan Marcus 20 a 23 de septiembre Reunión anual de la Unión Matemática Argentina 2016 Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

2 Contexto físico y aplicaciones de ecuaciones diferenciales fraccionarias: Modelado del flujo de neutrones en un reactor nuclear Modelado de relaciones humanas y búsqueda de equilibrio Modelado del comportamiento de medios viscoelásticos Modelado de la dinámica y la propagación ondas sísmicas Modelado de la evolución del mercado financiero

3 Definición Sea α R +. El operador integral fraccionaria de Riemann Liouville de orden α, que será denotado I α 0, está definido en L1 ([a, b]) por I0 α f (t) = 1 t (t τ) α 1 f (τ)dτ. Γ(α) 0

4 Definición Sea α R +. El operador integral fraccionaria de Riemann Liouville de orden α, que será denotado I α 0, está definido en L1 ([a, b]) por Definición I0 α f (t) = 1 t (t τ) α 1 f (τ)dτ. Γ(α) 0 Sea α R + y n = α. El operador derivada fraccionaria de Caputo de orden α, que será denotado C D0 α, se define sobre W n,1 ([a, b]) como C D α 0 f (t) = I n α 0 f (n) (t) = t 1 (t τ) n α 1 f (n) (τ) dτ. Γ (n α) 0

5 Teorema de Lipschitz Picard fraccionario Sea E un espacio de Banach y sea F : E E un operador Lipschitziano: Fu Fv L u v, u, v E con L > 0 y sea α (0, 1). Entonces para todo u 0 E existe u C 1 ([0, ) ; E) único de modo que resuelve el problema de Cauchy { α (PC α ) t u (t) = Fu (t) si t R + α 0 u (0) = u 0.

6 P r u e b a: Existencia: Una función verifica (PC α ) si y sólo si verifica la ecuación integral de Volterra u(t) = u 0 + I α 0 (F (u)) = u Γ(α) t 0 (t τ) α 1 F (u(τ))dτ.

7 P r u e b a: Existencia: Una función verifica (PC α ) si y sólo si verifica la ecuación integral de Volterra u(t) = u 0 + I α 0 (F (u)) = u Γ(α) Consideramos el espacio de funciones { X = t 0 (t τ) α 1 F (u(τ))dτ. u C ([0, ) ; E) : sup E α ( kt) u(t) < t 0 donde k se definirá luego y E α (t) = i=0 t i Γ(αi+1) es la función de Mittag Leffler, generalización fraccionaria de la función exponencial. },

8 Se dota X de la norma u X = sup E α ( kt) u(t) t 0 y se prueba que (X, X ) es un espacio de Banach.

9 Se dota X de la norma u X = sup E α ( kt) u(t) t 0 y se prueba que (X, X ) es un espacio de Banach. Se fija k de manera tal que el operador Φ : X X u (Φu)(t) = u t (t τ) α 1 F (u(τ))dτ Γ(α) 0 es Lipschitziano y se utiliza el teorema de punto fijo de Banach para concluir la existencia de soluciones de (PC α ).

10 Unicidad: Se supone la existencia de dos soluciones, u y v. Se considera Ψ(t) = u(t) v(t). Con lo que Ψ(t) = 1 Γ(α) t 0 (t τ) α 1 F (u(τ) v(τ))dτ L t (t τ) α 1 u(τ) v(τ) dτ Γ(α) 0 = L Γ(α) t 0 (t τ) α 1 Ψ(τ)dτ Del lema de Gronwall surge que Ψ = 0.

11 Continuidad con respecto al orden de derivación Sea u α la solución del problema de Cauchy fraccionario (PC α ) y sea u 1 la solución del problema de Cauchy clásico (PC 1 ) { t u (t) = Fu (t) si t R+ 0 u (0) = u 0. Entonces se tiene que u α u 1 cuando α 1.

12 Continuidad con respecto al orden de derivación Sea u α la solución del problema de Cauchy fraccionario (PC α ) y sea u 1 la solución del problema de Cauchy clásico (PC 1 ) { t u (t) = Fu (t) si t R+ 0 u (0) = u 0. Entonces se tiene que u α u 1 cuando α 1. Aplicaciones del teorema de Lipschitz Picard fraccionario 1) Sea E = R n y sea f : R n R n una función Lipschitziana. Entonces el problema de Cauchy { t u (t) = f (u (t)) si t R+ 0 u (0) = u 0. tiene solución y es única.

13 2) Sea H un espacio de Hilbert, sea A : H H un operador maximal monótono, es decir (Av, v) 0 v H Sea el problema v H u H tal que u + Au = v. (PC α ) { α t α u + Au = 0 si t R + 0 u (0) = u 0.

14 2) Sea H un espacio de Hilbert, sea A : H H un operador maximal monótono, es decir (Av, v) 0 v H Sea el problema v H u H tal que u + Au = v. (PC α ) { α t α u + Au = 0 si t R + 0 u (0) = u 0. Para probar existencia y unicidad de (PC α ), se considera la regularización Yosida de A de parámetro λ, A λ = 1 λ que verifica A λ A cuando λ 0. ( I (I + λa) 1),

15 Se considera la sucesión de problemas auxiliares { α (PC α,λ ) t u + A α λ u = 0 si t R + 0 u (0) = u 0. Como A λ es Lipschitziano para todo λ, por el teorema de Lipschitz Picard fraccionario se sabe que (PC α,λ ) tiene solución única, u λ. Finalmente se prueba que u λ es convergente cuando λ 0 y que el ĺımite u es solución del problema original.

16 Se considera la sucesión de problemas auxiliares { α (PC α,λ ) t u + A α λ u = 0 si t R + 0 u (0) = u 0. Como A λ es Lipschitziano para todo λ, por el teorema de Lipschitz Picard fraccionario se sabe que (PC α,λ ) tiene solución única, u λ. Finalmente se prueba que u λ es convergente cuando λ 0 y que el ĺımite u es solución del problema original. 3) Considerando en 2) H = L 2 (R) y A =, se puede probar que el Laplaciano es maximal monótono y que entonces (PC α ) tiene solución única. { α t u(x, t) = u(x, t) α si x R, t R + 0 u (x, 0) = u 0 (x) si x R

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18 K. Li, J. Pengo, J. Gao, Nonlocal Fractional Semilinear Differential Equations in Separable Banach Spaces, Electronic Journal of Differential Equations, Vol No. 07, J. Wang, X. Dong, W. Wei, On the Existence of Solutions for a Class of Fractional Differential Equations, Stud. Univ. Babes-yai Math, Vol 57 No. 01, A. Heibig, L. Palade, On the Existence of Solutions to the fractional derivative equations, of relevance to diffusion in complex sistems, Nonlinear Analysis: Modelling and Contro, Vol. 17 No. 2, M. Benchohra, J. Graef, F. Mostefai, Weak Solutions for Nonlinear Fractional Differential Equations on Reflexive Banach Spaces, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, Vol No. 54, Brezis, H., Analyse Fonctionnelle, Dunod, Diethelm, K., The Analysis of Fractional Differential Equations, Springer, 2004.