Lección 19: Gráficas GUÍA DE MATEMÁTICAS II

Transcripción

1 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección 19: Gráficas Una de las principales aplicaciones del plano cartesiano que vimos en la lección anterior es en las gráficas. Una gráfica en un plano cartesiano muestra la relación entre dos aspectos de un mismo fenómeno que deseamos estudiar. Cada uno de esos dos aspectos (que podemos llamar variables) ocupa uno de los dos ejes, y así los puntos del plano cartesiano reflejan la relación entre los dos. Para ver cómo es esto, consideremos un ejemplo: Entre octubre de 1997 y abril de 1998 se hizo un estudio en el estado de Aguascalientes para ver qué porcentaje de la población de ciudadanos, se consideraba partidario de los principales partidos políticos, que contenderían próximamente en la entidad. número porcentaje mes de mes de priístas octubre de % noviembre de % diciembre de % enero de % febrero de % marzo de % abril de % Fuente: Revista Este País, julio de 1998, p

2 LECCIÓN 19 Aquí consideraremos únicamente aquellos que se consideraron a sí mismos priístas. Los resultados que obtuvo el estudio cada mes se muestran en la tabla de junto. En ella se ve, por ejemplo, que de cada 100 personas a las que se les preguntó en octubre de 1997, algo más de 30 se consideraban a sí mismas como priístas. Al analizar la última columna de la tabla podemos ver que el porcentaje de habitantes del estado que se consideraban a sí mismos priístas bajó (disminuyó) en el segundo mes del estudio y luego volvió a subir y a bajar, para recuperarse lentamente hasta el penúltimo mes del estudio y volver a tener una pequeña caída en el último mes. Todo esto lo podemos ver mucho más fácilmente en la gráfica siguiente. 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Para elaborar esta gráfica consideramos las siguientes dos variables: el mes del estudio, en el eje horizontal (de las abscisas), y el porcentaje de priístas, en el eje vertical (de las ordenadas). Cada punto tiene por coordenadas el mes del estudio y el porcentaje de priístas de ese mes. Después unimos los puntos con segmentos, para reflejar la evolución del priísmo en el estado de Aguascalientes entre octubre de 1997 y abril de Si deseamos ver con mayor claridad la evolución, podemos eliminar el espacio en blanco de la gráfica y empezar el eje de las ordenadas (porcentajes) desde, por ejemplo, 20%, como se muestra en la siguiente 201

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS II gráfica, en la que además hemos utilizado una unidad más grande: 35% 30% 25% 20% En relación con la tabla de datos presentada, la gráfica tiene la ventaja de que permite ver con mucha mayor claridad la evolución del fenómeno, pero la desventaja de que no permite saber con exactitud cuál es el porcentaje de priístas en cada mes. Al ver la gráfica, podemos saber aproximadamente el porcentaje de priístas en cada mes si ponemos una regla horizontalmente sobre el punto y vemos en qué lugar del eje de las ordenadas queda. 35% 30% 25% 20% Por ejemplo, si queremos saber el porcentaje final, podemos consultarlo como se muestra en la gráfica de la derecha, y entonces vemos que el porcentaje de priístas en el último mes está entre 30% y 35%, cerca de 31%. 202

4 LECCIÓN 19 35% 30% 25% Porcentaje de priístas 20% Análogamente, podemos conocer el mes si colocamos una regla verticalmente sobre el punto y vemos en qué lugar del eje de las abscisas queda. Por ejemplo, si queremos saber en qué mes el porcentaje fue menor, lo podemos consultar y encontramos que fue en el segundo. En la siguiente tabla se proporcionan los porcentajes de ciudadanos de Aguascalientes que en el mismo período se consideraban a sí mismos panistas. a) Elabore la gráfica correspondiente, utilizando la misma escala utilizada en el ejemplo anterior b) Describa el comportamiento del panismo en la entidad durante el período estudiado. c) Compare ambas gráficas y obtenga conclusiones acerca de los partidarios del PRI y del PAN en Aguascalientes entre octubre de 1997 y abril de (Sugerencia: trace ambas gráficas en una sola). número porcentaje mes de mes de panistas octubre de noviembre de diciembre de enero de febrero de marzo de abril de Fuente: Revista Este País, julio de 1998, p

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS II A finales de 1991, una empresa les preguntó a diversas personas si opinaban que en el último año la situación del país había mejorado y registró el porcentaje de personas que respondieron que sí. La empresa volvió a hacer un estudio similar a finales de los años 1992, 1993, 1994, 1995, 1996 y 1997, cada vez registrando el porcentaje de personas que opinaban que la situación había mejorado en los últimos doce meses, es decir, el porcentaje de optimistas. Los resultados de esa investigación se muestran en la siguiente gráfica. Obsérvela con cuidado y conteste las siguientes preguntas: 70% 60% 50% Fuente: Revista Esta País, febrero de 1998, p % 30% 20% 10% 0% a) En qué año hubo más optimistas? Aproximadamente qué porcentaje fueron? b) En qué año hubo menos optimistas? Aproximadamente qué porcentaje fueron? c) Entre qué años hubo aumento en el porcentaje de optimistas? Cuándo fue el mayor aumento? d) Entre qué años hubo disminución en el porcentaje de optimistas? Cuándo fue la mayor disminución? (NOTA: Observe que en esta gráfica el eje de las ordenadas no coincide con el 0 del eje de las abscisas sino con 90)

6 LECCIÓN 19 Un campesino desea probar un nuevo fertilizante. Desea saber cuál es la cantidad más adecuada para usar en su terreno. Para ello, Kg de fertilizante Kg de cosecha usados por obtenidos por Dam 2 Dam experimenta con 7 porciones de un decámetro cuadrado de su parcela y usa distinta cantidad de fertilizante en seis de ellos, en uno no usa fertilizante. Cuando cosecha el maíz que sembró en ellos, apunta cuánto pesó la cosecha de cada una y obtiene los resultados que se muestran en la tabla de la derecha: a) Trace la gráfica correspondiente, utilizando en el eje de las abscisas la cantidad de fertilizante utilizada y en el de las ordenadas la cantidad de maíz obtenido. b) Con qué cantidad de fertilizante se obtiene la mejor cosecha? c) Cuántos kilogramos por hectárea representa esa cantidad? d) Cuántos kilogramos menos de cosecha por decámetro cuadrado obtiene si usa un kilogramo menos de fertilizante que esa cantidad? Y si usa un kilogramo más? La Procuraduría Federal del Consumidor realizó en el primer semestre de 1998 un estudio acerca de los pantalones de mezclilla que se encontraban en el mercado. Entre otros 205

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS II aspectos estudiados, analizó: la calidad y el precio de diversos modelos y marcas de pantalones. Para la calidad, la PROFECO consideró diversas cualidades y asignó un número de 30 a 100. La siguiente gráfica muestra algunos de los resultados obtenidos, en ella, cada punto corresponde a un pantalón de marca y modelo distintos. Obsérvela con cuidado y conteste las siguientes preguntas: $ $ $ $ $ Precio $ $ $ $ Calidad de los pantalones de mezclilla Fuente: Revista del Consumidor, julio de 1998, pp. VII-XI a) Cuánto costó un pantalón de calidad 90? b) Aproximadamente cuál fue la cifra alcanzada por el pantalón con mejor calidad del estudio? Aproximadamente cuánto costó? c) Aproximadamente cuál fue la cifra alcanzada por el pantalón con peor calidad del estudio? Aproximadamente cuánto costó? d) Fue más caro el pantalón de mejor calidad que el de peor calidad? De cuánto fue la diferencia en precio? e) Aproximadamente cuánto costaron los pantalones más caros del estudio? Qué calidad tuvieron? 206

8 LECCIÓN 19 f) Aproximadamente cuánto costaron los pantalones más baratos del estudio? Qué calidad tuvieron? g) Tuvo mejor calidad el pantalón más caro que el más barato? De cuánto fue la diferencia en calidad? h) Aproximadamente cuánto puede esperar pagar por un pantalón una persona que desee uno con calidad mayor de 80? y con calidad mayor de 90? i) Aproximadamente qué calidad de pantalón puede esperar una persona que desee pagar menos de $200? y si desea pagar menos de $150? j) A partir de esta gráfica, se puede afirmar que siempre ocurre que los pantalones de mejor calidad cuestan más que los de menor calidad? Otra aplicación de las gráficas se presenta cuando de antemano conocemos la relación, que guardan las dos variables entre sí y podemos expresar esta relación mediante una fórmula. Por ejemplo, sabemos que el perímetro P de un cuadrado se puede expresar en función del lado? del cuadrado mediante la fórmula P = 4?, y que su área A se puede expresar con la fórmula A =?2. Elijamos algunos valores de la longitud del lado de cuadrados, digamos 1.0, 1.5, 2.0, 2.8, 3.2, 4.0 y 5.0. Entonces, a partir de ambas fórmulas podemos encontrar los perímetros y las áreas de estos cuadrados, y expresarlos en tablas: 207

9 GUÍA DE MATEMÁTICAS II lado perímetro lado área En cada una de estas tablas podemos considerar la columna de la izquierda como las abscisas de una gráfica y la de la derecha como las ordenadas. Obtenemos entonces las siguientes dos gráficas: Perímetro Longitud del lado de un cuadrado Área Longitud del lado de un cuadrado a) Elabore la tabla de valores para el volumen de cubos con aristas de longitudes 1.0, 1.5, 2.0, 2.8, 3.2, 4.0 y 5.0. b) Trace la gráfica correspondiente. 208

10 LECCIÓN 19 a) Haga una tabla con los siguientes grados centígrados: -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 100 y sus transformaciones a grados Fahrenheit usando la fórmula vista en la lección 16: F = 9 C b) Trace la gráfica correspondiente. Emilio está realizando unos dibujos cuadrados y quiere saber cuánto va a costar enmarcar cada uno. Le cobran a $150 el metro de marco y $170 el metro cuadrado de vidrio. A partir de esta información, podemos saber que si l es la longitud en metros del lado de un dibujo y m es lo que cuesta el marco para ese dibujo, la fórmula para conocer m cuando se conoce l es: m = l, es decir, m = 600 l? a) Si llamamos v al costo del vidrio necesario para enmarcar y l a la longitud en metros del lado del dibujo, escriba una fórmula que permita conocer v cuando se conoce l. b) Si llamamos p al costo total, es decir a lo que hay que pagar por el marco más lo que hay que pagar por el vidrio y si l es la longitud en metros del lado de un dibujo, escriba una fórmula que permita conocer p cuando se conoce l. c) Utilizando la fórmula anterior, elabore una tabla para calcular el costo de enmarcar cuadros que tienen las s iguientes longitudes en metros: 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0. d) Trace la gráfica correspondiente. 209