LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y SUS APLICACIONES

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 1 10 ENERO DE 01 9 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Muestra destreza en el desplazamiento de figuras geométricas ubicadas en el plano cartesiano para solucionar problemas y situaciones propuestos.. Reconoce y aplica la expresión matemática de la distancia entre dos puntos del plano cartesiano para solucionar situaciones y problemas propuestos. 3. Maneja las coordenadas del punto medio de un segmento y las aplica en la resolución de algunas situaciones geométricas. 4. Realiza las actividades extraclase buscando la superación personal. 5. Valora el trabajo en equipo favoreciendo el aprendizaje colectivo. LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS SUS APLICACIONES La geometría que vamos a trabajar ahora en décimo es la geometría analítica. Su objetivo principal se centra en crear representaciones visuales de los conceptos matemáticos, mediante la utilización de sistemas de coordenadas. Históricamente este proceso fue iniciado por Renato Descartes ( ), quien estableció una correspondencia uno a uno entre puntos y números reales, llegando a un sistema de coordenadas rectangulares llamado plano cartesiano rectangular y el cuál hizo posible la aplicación de los métodos algebráicos en la geometría. En matemáticas esta relación entre puntos y números reales recibe el nombre de propiedad de completez. La geometría analítica se ocupa de dos problemas fundamentales: Dada una ecuación hallar el lugar geométrico que representa. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática. Para abordar el estudio de la geometría analítica es de gran importancia tener claro el buen manejo del plano cartesiano así como algunos conceptos básicos que se manejarán en el estudio del presente núcleo como lo son el desplazamiento de figuras en el plano cartesiano rectangular y la dsitancia entre puntos con sus respectivas aplicaciones. El sistema de coordenadas rectangular es una herramienta muy importante para especificar posiciones y determinar distancias. Un ejemplo de aplicación de sistema de coordenadas se encuentra en la geología, cuando hay que representar gráficamente los sitios de exploración de petróleo cercanos a la costa. De aquí la importancia del dominio que debes tener en el manejo del plano cartesiano rectangular por la aplicabilidad que tiene no sólo en la geología sino en otras áreas y en situaciones cotidianas que en el transcurso del curso podrás conocer. De esta manera espero que con mucha responsabilidad y con el mismo ánimo y entusiasmo del primer día abordes el mundo geométrico del grado décimo. Adelante!. 1

2 Sistema de coordenadas rectangulares. El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares entre sí y que se cortan en el punto o llamado origen del plano cartesiano. La recta horizontal se llama eje x o eje de las abscisas y el eje vertical eje y o eje de las ordenadas. Recuerdo que: 1. La coordenada en x de un punto recibe el nombre de abscisa y la coordenada en y el de ordenada.. Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje y (primero y cuarto cuadrante) y negativas cuando está situado a la izquierda del eje y (segundo y tercer cuadrante). 3. Las ordenadas son positivas cuando el punto está por encima del eje x (primero y segundo cuadrante) y negativas cuando están por debajo (tercero y cuarto cuadrante) 4. Para ubicar puntos en el plano cartesiano rectangular hay que adoptar una escala adecuada sobre cada uno de los ejes coordenados. Ambas escalas pueden ser iguales o diferentes. I I ( -, +) I (+, +) I I I ( -, -) I V (+, -) X ACTIVIDADES 1. RAZONO ANALIZO CON LA AUDA DE MI PROFESOR. 1. Cuando desplazo un punto en el plano cartesiano rectangular horizontalmente, qué coordenada cambia?. Qué coordenada cambia si lo desplazo verticalmente? 3. Qué coordenada cambia si lo desplazo diagonalmente? 4. Se tiene el punto (3, - 4) ubicado en el plano cartesiano. Qué punto se obtiene si dicho punto lo desplazo: a. unidades a la izquierda. b. 3 unidades hacia arriba. c. 4 unidades a la derecha. d. 1 unidad hacia abajo. e. unidades a la derecha, 3 unidades hacia arriba, 6 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo al mismo tiempo. Este será el año de mi mejor siembra 5. Los tres vértices de un triángulo son los puntos A(1, - ), B(-1, 4) y C(- 3, 6). a. Lo ubico en el plano cartesiano. b. Si desplazo la figura 3 unidades arriba y 5 a la izquierda, cuáles son sus nuevos vértices?. si la desplazo 3 unidades abajo y a la derecha, qué vértices obtengo?.

3 De acuerdo con lo anterior puedo concluir que: 1. Cuando un punto se desplaza a la derecha a unidades, se le suma a la coordenada en x del punto las a unidades (la coordenada en y no cambia).. Cuando un punto se desplaza a la izquierda a unidades, se le resta a la coordenada en x del punto las a unidades (la coordenada en y no cambia). 3. Cuando un punto se desplaza hacia arriba a unidades, se le suma a la coordenada en y del punto las a unidades (la coordenada en x no cambia). 4. Cuando un punto se desplaza hacia abajo a unidades, se le resta a la coordenada en y del punto las a unidades (la coordenada en x no cambia).. DESARROLLO EN MI CASA MU JUICIOSA. Las coordenadas de los tres vértices de un triángulo son los puntos: A(, 6), B(- 6, 6) y C(, - 5). 1. Ubico la figura en el plano cartesiano.. Desplazo la figura cuatro unidades a la izquierda y tres unidades hacia abajo, cuáles son las coordenadas de los nuevos vértices?. Ubico el triángulo obtenido en el mismo plano en que ubiqué el triángulo del numeral Si desplazo la figura dos unidades a la derecha, tres unidades hacia arriba, una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo, cuáles son los vértices finales del nuevo triángulo?. CONSULTO: - Qué es un rectángulo?, Un cuadrado?, Un trapecio? - Defino: Triángulo isósceles, escaleno, equilátero, rectángulo. (Dibujo cada uno de ellos). - Defino: Mediana, mediatriz y altura. Dibujo exactamente cada una de ellas en un triángulo y consulto cómo se llaman los puntos de corte de cada una de ellas. - Qué es el perímetro de una figura?. - Cuáles son las fórmulas matemáticas para hallar el área de un cuadrado, de un rectángulo, de un triángulo y de un trapecio?. 3. LEO APRENDO MÁS... Distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano rectangular. Sean los dos puntos: A (X 1, 1 ) y B (X, ) ubicados en el plano cartesiano rectangular. La distancia D = AB entre dichos puntos se calcula mediante la siguiente expresión fórmula: D ( X X1 ) ( 1) Esta fórmula es la misma que se emplea para hallar la longitud o medida de un segmento cuando se conocen sus extremos A (X 1, 1 ) y B (X, ). Coordenadas del punto medio de un segmento. Sean los puntos A (x 1, y 1 ) y B (x, y ) extremos del segmento AB. Si el punto medio de dicho segmento es C (x, y), las coordenadas de dicho punto medio se calculan mediante las siguientes expresiones: x x 1 y1 y x y y 3

4 4. AHORA UN APORTE DE MI PROFE. Con mucho juicio y responsabilidad presto mucha atención a la solución de los siguientes ejercicios que desarrolla mi profesor en clase. 1. Dados los puntos A. (, 4), B (0, 3) y C(5, -) a. Demuestro que corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo escaleno. b. Determino su perímetro y su área.. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (- 5, 3) y B (-, 4). Determino las coordenadas de su centro, la longitud de su radio, así como el área del círculo que se forma y la longitud de la circunferencia. (Recuerdo que el radio mide la mitad del diámetro). 3. Dados los vértices del triángulo rectángulo del numeral 1 anterior, hallo los puntos medio de sus catetos así como la longitud de la mediana que parte del vértice B. 4. El punto medio de un segmento AB es el punto (3, 4). Si el punto A tiene como coordenadas (5, - 8). Hallo las coordenadas del extremo B. 5. Para que el punto (5, 3k + 7) esté sobre el eje de las abscisas, qué valor debe tomar k?. 5. FINALMENTE LO QUE MÁS ME GUSTA. LA ACTIVIDAD PARA LA CASITA. a. Demuestro que el triángulo cuyos vértices son A (1, -), B (- 4, ) y C(1, 6) es isósceles y hallo su perímetro. Hallo la longitud de la mediana que parte del vértice que C. b. Los vértices de un triángulo son los puntos A (-1, 3), B (4, ) y C (-1, ). Clasifico completamente el triángulo y determino su perímetro. c. Los vértices de un triángulo son los puntos A (-1, 3), B (4, ) y C (-1, ). Clasifico dicho triángulo y hallo la longitud de la mediana que parte del vértice C. d. Hallo el perímetro del triángulo del numeral anterior. Soy tan trabajadora como las niñas de La Presentación. e. El punto medio de un segmento AB es el punto (, 5). Si el punto A tiene como coordenadas (- 3, 6). Hallo las coordenadas del extremo B. f. Para que el punto (5m -, 7) esté sobre el eje de las ordenadas, qué valor debe tomar m?. h. En una circunferencia los extremos de un diámetro son los puntos R(- 3, 1) y A(6, - 5). Encuentro las coordenadas de su centro y el área del círculo. i. El punto medio de un segmento es (/5, - 3) y uno de sus extremos es el punto (-6, 3(4). Determino las coordenadas del otro extremo. j. Demuestra que los puntos A(-, -1), B(, ) y C(5, -.) corresponden a los vértices de un triángulo isósceles. Por qué?. k. Empleando distancias verifica que el triángulo anterior es rectángulo. Por qué?. l. Dados los puntos: M(- 3, 4), S(-, -4) y T(4, -). Cuál de ellos está más cerca del origen de coordenadas? 4

5 ME VO PREPARANDO PARA LA PRUBA SABER 11º En un plano cartesiano de los siguientes puntos (-3, 4), (, 3), (-, 4) y (4, -), puedo afirmar con relación al origen que: A. (-3, 4) es más cercano. B. (, 3) es más lejano. C. (-, 4) está igual de lejos que (4,3). D. (4, ) está a igual distancia que (-3, 4).. El valor de K para que el punto (5, 3k + 7) esté sobre el eje de las abscisas es: A. B. 7/3 C. 7/3 D Un triángulo tiene como vértices los puntos A(a b, b), B(a, b a) y C (a + b, b + a); si lo desplazo a unidades hacia la izquierda y b unidades hacia arriba, los nuevos vértices del triángulo son: A. A (a b, b), B(a, b a) y C(a + b, a + b) B. A (a b, 0), B(a, - a) y C(a + b, a) C. A ( b, b), B(0, b a) y C(b, a + b) D. A (b, b), B(0, b + a) y C(a + b, a + b) 4. Dado el triángulo rectángulo de la figura: A X B C - 3 Las coordenadas de sus vértices son: 5. Un triángulo ubicado en el plano cartesiano se ha desplazado tres unidades a la derecha y dos unidades hacia abajo, siendo sus nuevos vértices los puntos: M(1, 3), N(- 4, 5) y Q(-, - 5). Cuáles eran las coordenadas de los vértices del triángulo original? Que ser extraño es el hombre!... Nacer no pide, Vivir no sabe, Morir no quiere 5