Métodos Matemáticos para Físicos II

Transcripción

1 Métodos Matemáticos para Físicos II Profesor: Federico Pardo Casas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Ingeniería Lima, PERÚ Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 1 / 22

2 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Subsection Funciones de Green Subsection Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 2 / 22

3 3. Funciones Especiales Table of Contents 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Subsection Funciones de Green Subsection Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 3 / 22

4 3. Funciones Especiales Programa analitico 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 4 / 22

5 3. Funciones Especiales Programa analitico 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.2 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 4 / 22

6 3. Funciones Especiales Programa analitico 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.2 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3.3 Funciones asociadas de Legendre y los armonicos esféricos. Aplicaciones Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 4 / 22

7 3. Funciones Especiales Programa analitico 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.2 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3.3 Funciones asociadas de Legendre y los armonicos esféricos. Aplicaciones 3.4 Funciones de Bessel. Polinomios y funciones de Hermite, de Laguerre. Aplicaciones Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 4 / 22

8 3. Funciones Especiales Programa analitico 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.2 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3.3 Funciones asociadas de Legendre y los armonicos esféricos. Aplicaciones 3.4 Funciones de Bessel. Polinomios y funciones de Hermite, de Laguerre. Aplicaciones 3.5 Funciones generatrices, propiedades y relaciones de recurrencia de éstos polinomios Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 4 / 22

9 3 Funciones Especiales Table of Contents 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Subsection Funciones de Green Subsection Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 5 / 22

10 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas Coordenadas ciĺındricas y esféricas Ya vimos nuestra primera separación de variables, veamos ahora de manera más completa, es decir, en tres dimensiones ya que observamos que los problemas parecen corresponder a planos, esferas o cilindros. Por ello, las coordenadas esféricas o ciĺındricas son naturales. Veamos el caso de la ecuación de onda en 3D 2 ϕ = 1 2 ϕ c 2 t 2 Para lo cual separemos el tiempo y el espacio ϕr, t) = ψr)t t) se representa Con lo que obtenemos una ED y una EDP 1 a) d2 T dt 2 = λc2 T b) 2 r r r ψ ) + r 1 2 ψ r ψ = λψ 2 θ ψ z 2 + k2 ψ = 0 Para lo cual definimos ψr, θ, z) = Rr)Θθ)Zz) y Hemos visto que es conveniente que λ sea negativo, por lo reemplazando obtenemos que podemos decir λ = k 2, como también k c = ω ) 1 y así, podemos escribir, una posible solución rr d r dr dr + dr 1 r 2 d 2 Θ Θ dθ 2 + Z 1 d2 Z dz 2 + k2 = 0 ϕ k r, t) = ψ k r)e iωt Vemos que los dos primeros términos solamente dependen de El uso de e iωt no quita que podamos usar e iωt r y θ, mientras que los dos últimos no lo son., pero es Esto es posible solamente si importante saber que k y ω pueden tomar valores negativos. 1 De ese modo podemos manejar todas las posibles opciones de Z d2 Z dz 2 + k2 = constante ϕ k. lo que nos lleva a la siguente igualdad Podemos estudiar la ecuación de Helmholtz 2 ψ + k 2 d 2 Z ψ = 0, que en coordenadas ciĺındricas dz 2 λ 1Z = 0 λ 1 = constante) λ 1 = Z 1 d2 Z dz 2 Multiplicando por r 2 y reemplazando obtenemos ) r R dr d r dr + dr Θ 1 d2 Θ dθ 2 + k2 + λ 1 )r 2 = 0 Del mismo modo, podemos decir d 2 Θ dθ 2 λ 2Θ = 0 λ 2 = constante) Por lo tanto, lo restante queda ) [ así d r dr dr + rk 2 + λ dr 1 ) + λ ] 2 r R = 0 Y así, la ecuación de Helmholtz es completamente separable en el sistema de coordenadas ciĺındricas Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 6 / 22

11 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas Coordenadas ciĺındricas y esféricas En el caso del sistema de coordenadas esféricas la ecuación de Helmholtz está escrita de la siguiente manera 1 r 2 r r 2 ψ ) + 1 r r 2 senθ ψ ) senθ θ θ En este caso definimos ψr, θ, φ) = Rr)Θθ)Φφ) y veremos que la ecuación de Helmholtz es también separable en el sistema de coordenadas esféricas de la siguiente manera. Dividiendo por Rr)Θθ)Φφ) obtenemos 1 d r 2 R dr r 2 dr ) dr 1 d + Θr 2 senθ dθ senθ dθ ) dθ Si multiplicamos la ecuación anterior por r 2, 1 d R dr r 2 dr ) + dr 1 2 ψ + r 2 sen 2 θ φ 2 +k2 ψ = 0, de modo tal, que podemos escribir 1 d 2 Φ + Φr 2 sen 2 θ dφ 2 +k2 = 0, Ahora dividimos entre sen 2 θ 1 d Θsenθ dθ +k 2 r 2 = 0 Si multiplicamos ahora por sen 2 θ, sen 2 θ d R dr senθ dθ ) + dθ r 2 dr ) + senθ d senθ dθ ) dr Θ dθ dθ +k 2 sen 2 θr 2 = 0 1 d 2 Φ Φsen 2 θ dφ d 2 Φ Φ dφ 2 podemos reconocer, que el tercer termino y ningún otro) solamente depende de φ y por lo tanto podemos obtener 1 Φ d2 Φ dφ 2 + m2 = constante d 2 Φ dφ 2 λ 1Φ = 0 λ 1 = constante) λ 1 = Φ 1 d2 Φ dφ 2 sen 2 θ d R dr r 2 dr ) + senθ d senθ dθ ) dr Θ dθ dθ +λ 1 + k 2 sen 2 θr 2 = 0 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 7 / 22

12 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas Coordenadas ciĺındricas y esféricas 1 d R dr r 2 dr ) + 1 d senθ dθ ) + λ 1 dr Θsenθ dθ dθ sen 2 θ +k2 r 2 = 0 Podemos aislar el segundo y tercer término 1 d senθ dθ ) + λ 1 Θsenθ dθ dθ sen 2 θ = λ 2 Multiplicando por senθ 1 d senθ dθ ) + λ 1 Θ dθ dθ senθ = senθ.λ 2 Multiplicando por Θ d senθ dθ ) + λ 1Θ dθ dθ senθ = senθ.λ 2Θ Y obtenemos d dr r 2 dr ) + [r 2 k 2 ] + λ 2 R = 0 dr Y así, la ecuación de Helmholtz es completamente separable en el sistema de coordenadas esféricas Agrupando d senθ dθ ) [ + senθ.λ 2 + λ ] 1 Θ = 0 dθ dθ senθ Nos falta reducir Rr), para lo cual, reemplazamos λ 2 1 d r 2 dr ) + λ 2 + k 2 r 2 = 0 R dr dr Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 8 / 22

13 3.0.4 Ejemplos 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas Ejemplo 1 La solución de la ecuación de Helmholtz Ψ en el sistema de coordenadas ciĺındricas requiere generalmente ser periódica en θ, para lo cual, la ecuación d2 Θ dθ 2 λ 2Θ = 0 se convierte en una ecuacion de autovalores o eigenvalue equation ya que restringe los valores de λ 2, de modo tal, que λ 2 = m 2 m = 0, 1, 2,...) solución que nos lleva a usar funciones trigonomótricas que servirán de autofunciones La segunda constante de separación λ 1 para un problema en el sistema de coordenadas ciĺındricas) se determina usando condiciones de frontera adicionales. Si esas condiciones involucran a z entonces tendremos que la ecuación d 2 Z dz 2 λ 1Z = 0 se convierte en otra ecuación de autovalores En este caso, si ψr, θ, z) = Rr)Θθ)Zz) debe ser nula para z = 0 y z = L, entonces Zz) debe satisfacer esas condiciones, para lo cual, λ 1 = n 2 π 2 /L 2 n = 0, 1, 2,...) y así Z nz) = sen nπz L En el caso de Rr) tendremos ) [ ) ] d r dr dr + r k 2 + dr n2 π 2 L 2 m2 R = 0 r Es usual hacer un cambio de variable escala) de modo que x = r k 2 + n2 π 2 L 2 entonces tenemos d = r k dr 2 + n2 π 2 L 2 d dx y si definimos Rr) = Rx/ k 2 + n2 π 2 L 2 = yx) entonces la ecuación se escribe asi d x dy ) ) + x dx dx m2 y = 0 x Ésta es la ED de Bessel de orden m, la que generalmente se escribe d 2 ) y dx 2 + x 1 dy dx + 1 m2 x 2 y = 0 Ejemplo 2 En el sistema de coordenadas esféricas es común que se requiera que ψr, θ, φ) sea periódica en φ. Ésto implica que en la ecuación d 2 Φ dφ 2 λ 2Φ = 0 la constante de separación tenga los valores permitidos λ 1 = m 2 m = 0, 1, 2,...) Consideremos el caso en el que la solución ψr, θ, φ) sea independiente de φ. De ser asi, se requiere que m = 0 y que Φφ) sea igual a una constante la otra solución, Φ = Cφ, no es periódica) Por lo tanto, la ) ecuación para Θ tiene la siguiente forma d senθ dθ dθ λ dθ 2 senθθ = 0 Si hacemos el cambio de variable cosθ = x obtenemos d dθ = dθ dx dx d = senθ dx d definiendo [ Θθ) = Θarccos x) = yx) tenemos d 1 x 2 ) dy ] λ dx dx 2 y = 0 que es la ED de Legendre. Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 9 / 22

14 3 Funciones Especiales El problema tipo Sturm-Liouville Las ecuaciones obtenidas de la separación de variables en la EDP [ de Helmholtz tienen la siguiente forma d px) dy ] sx)y + λrx)y = 0 dx dx y se conocen como ecuaciones de Sturm-Liouville. Se asume que la unica constante de separación ya han sido determinadas y solamente nos queda λ por determinar. Por lo tanto, es una ecuacion de autovalores en λ. Es un problema de condiciones de frontera que tienen que ser satisfechas. Condiciones que tienen tanta importancia como la ED misma. definimos el operador diferencial de Sturm-Liouville asociado a problemas [ de Sturm-Liouville L dx d px) dy ] sx)y dx que es un operador lineal de segundo orden y asi podemos escribir la ecuacion anterior de una manera conveniente L {yx)} = λrx)yx) Es conveniente indicar que no debe confundirse con el operador de la Transformada de Laplace. Trataremos ahora de representar problemas de la Fisica EDP) para ser resueltos con el uso de autofunciones, del mismo modo que hicimos con la Transformada de Fourier. Lo primero es mostrar que se cumple la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones del operador L, para lo cual consideraremos los casos no triviales y mx) e y nx), que correspondan [ a los autovalores λ m y λ n, es decir d px) dym ] sx)y dx dx m + λ mrx)y m = 0 [ d px) dyn ] sx)y dx dx n + λ nrx)y n = 0 Multiplicando la primera ecuación por y n y la segunda por y m, luego restando y después integrando entre a y b, logramos que los terminos en sx) se cancelen mientras que podemos simplificar los términos en derivadas integrando por partes para lograr, por ejemplo, [ b a y d n dx px) dym ] dx y dx npx) dym dx b b a a px) dym dyn dx dx dx Al hacer la resta, el término de la derecha se cancela con otro equivalente. El resultado final es por lo tanto px) [ y nx) dym dx y mx) dyn dx ] b a = λ n λ m) b a rx)y mx)y nx)dx El lado izquierdo depende de las CCFF impuestas a las autofunciones y sus derivadas y a las propiedades de px). Y si el lado izquierdo fuese nulo, entonces se obtiene λ n λ b m) a rx)y mx)y nx)dx = 0 lo que nos lleva a concluir que las autofunciones correspondientes a diferentes autovalores λ m λ n son ortogonales entre sí con respecto a la función peso rx). La aparición de rx) no interfiere en la evaluación de los coeficientes en la serie de autofunciones. Si asumimos lo siguiente - Hay un número infinito de autofunciones y m - Las autofunciones son ortogonales entre sí respecto a rx) - Una función f x) puede ser representada por una serie infinita f x) = m amymx) Multiplicamos ambos lados por rx)y nx) e integramos entre a y b, asumiendo la integración término a término posible. Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 10 / 22

15 3 Funciones Especiales El problema tipo Sturm-Liouville... Aplicando la ortogonalidad, encontramos que solamente el término n = m es no nulo, de modo que b b f x)rx)y nx)dx = a n [y nx)] 2 rx)dx a a de modo que a n = b a f x)rx)y nx)dx b a rx) [y nx)] 2 dx Ya casi hemos terminado con el proceso de formulación de la solución al problema de Sturm-Liouville. Nos queda atender una pregunta. Qué tipo de CCF se obtendrán con autofunciones ortogonales? Revisemos la relación [ px) y dym ] dyn b nx) ymx) = 0 dx dx a que puede ser satisfecha bajo la siguiente variedad de condiciones b) Las derivadas dym dx y dyn dx se anulan en x = a y x = b. Estas CC de F son llamadas Condiciones de Neumann homogéneas) y ma) + α dyma) = 0, y dx mb) + β dymb) = 0 α, β = dx const.) c)una combinación lineal de y m y sus derivadas se anulan en x = a y x = b d) Cualquiera de las anteriores en x = a y cualquier otra en x = b Existen otras posibles combinaciones que no vamos a detallar. a) Las funciones y m e y n se anulan en x = a y x = b. Estas CC de F son llamadas Condiciones de Diritchlet homogéneas) Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 11 / 22

16 3 Funciones Especiales Operadores auto-adjuntos Lo hecho anteriormente puese ser resumido de la siguiente manera b a y nly m)dx b a y mly n)dx = λ n λ m) b a ry my ndx Por otro lado se requiere que y mx) e y nx) satisfagan las CCFF descritas, tenemos que se prueba la relación b b y nly m)dx = y mly n)dx a a Y podemos extender la validez del concepto y formular para cualesquiera dos funciones f x) y gx) que cumplan las CC de F b b f Lg)dx = glf )dx a a La prueba es la misma, integración por partes, y, aplicación de las condiciones de frontera; notemos que rx) no aparece en la ecuación. Un operador lineal D es llamado auto-adjunto si satisface la siguiente igualdad De este modo mostramos que los operadores del tipo Sturm-Liouville son auto-adjuntos. También es evidente que las autofunciones de cualquier operador auto-adjunto, específicamente, las que satisfacen la ecuación Dy = λrx)y son mutualmente ortogonales con respecto a rx), siempre y cuando tengan autovalores λ diferentes entre sí. b b f Dg)dx = gdf )dx a a para cualesquiera dos funciones f y g que satisfagan las correspondientes CC de F obviamente, f y g deber ser suficiente diferenciables para que Df y Dg tengan sentido) Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 12 / 22

17 3 Funciones Especiales 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier Los polinomios de Legendre Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 13 / 22

18 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Table of Contents 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Subsection Funciones de Green Subsection Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 14 / 22

19 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita This is a test 6 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 15 / 22

20 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Subsection 7 This is subsection 8 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 16 / 22

21 5 Funciones de Green Table of Contents 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Subsection Funciones de Green Subsection Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 17 / 22

22 This is a test 9 5 Funciones de Green Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 18 / 22

23 5 Funciones de Green Subsection 8 This is subsection 10 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 19 / 22

24 6 Ecuaciones Diferenciales Parciales Table of Contents 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas ciĺındricas y esféricas 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier 3 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita Subsection Funciones de Green Subsection Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 20 / 22

25 6 Ecuaciones Diferenciales Parciales This is a test 11 Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 21 / 22

26 6 Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12 This is subsection 13 Hello Hola World Mundo Pardo Casas, Federico UNI Ciencias Física) CF391 Ciclo 2013 I 22 / 22