Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos y estrategias de control

Transcripción

1 Sitema de Contol y Poceo Adaptativo. Dieño y método y etategia de contol. Función de tanfeencia de un itema. El contol automático etá peente en multitud de poceo que e utilizan en la vida cotidiana. El contol de la tempeatua de edificio, poceo indutiale, obot, etc., on ejemplo de itema contol automático con difeente complejidad. Ya lo giego, en el 00 a.c. utilizaon itema con ealimentación paa la egulación mediante flotadoe. En la actualidad exiten un elevado númeo de poceo o taea que on contolada de foma automática. Según R. Dof, un itema de contol e una inteconexión de componente que foman una configuación del itema que popocionaá una epueta deeada. El pime itema de contol automático que e conidea ignificativo e el egulado centífugo de Watt iglo VIII, que pemitía el contol de la velocidad de una máquina de vapo utilizando la fueza centífuga geneada obe un mecanimo, cuya velocidad de gio dependía de la velocidad a contola. Con poteioidad oto científico como Minoky, Hazen, Nyquit, Evan, etc., decibieon método paa detemina la etabilidad de lo itema de contol, contibuyendo al deaollo de la teoía de contol. Exiten multitud de ejemplo de contol automático en la actualidad: máquina heamienta, obot, equipo biomédico y biomecánico, itema de tanpte inteligente, itema de eguimiento ola, etc... Definicione Paa el análii de lo itema de contol e conveniente defini lo témino pincipalmente utilizado: Vaiable contolada: e la cantidad o condición que e mide y contola. Vaiable manipulada: e la cantidad o condición que el contolado modifica paa afecta al valo de la vaiable contolada. Contola: medi el valo de la vaiable contolada del itema y aplicale a ete la vaiable manipulada paa coegi o limita una deviación del valo medido a pati de un valo deeado.

2 Planta: cualquie objeto fíico que e va a contola. Puede e dede un imple actuado hata un itema complejo. Poceo: cualquie opeación que e deea contola. En bae a eta definicione, y en elación a la mateia que no ocupa, e podía deci que un itema de contol e aquel conjunto de componente mediante el cual e deea lleva a cabo el contol de un poceo que tiene luga en una planta.. Contol en lazo abieto y en lazo ceado Lo itema de contol pueden e en lazo abieto o en lazo ceado. Un itema de contol en lazo abieto lleva al poceo a un punto de conigna deteminado, in tene ninguna efeencia de la alida que e obtiene, e deci, la alida no afecta a la eñal de contol. Paa entende ete tipo de contol, upongamo un coche en el que e ha deteminado que, a una evolucione deteminada del moto e alcanzaía una velocidad conceta, po lo tanto, i e deea viaja a ea velocidad, un contol automático in ealimentación debeía lleva al moto a ee númeo de evolucione. E fácil de entende que eía muy difícil que el coche viajaa a la velocidad deeada en cuanto que vaiae el númeo de ocupante del vehículo o la caga tanpotada o, implemente vaiae la pendiente de la caetea. Del mimo modo ocuiía con un contol de tempeatua que etimaa que, paa alcanza una tempeatua ambiente deteminada, bataa con conecta un calefacto duante un deteminado tiempo. Igualmente, la tempeatua no e coepondeía con la deeada en cuanto e abiea una ventana, o vaiae el númeo de ocupante de la ala. Sin embago, i el itema de contol de velocidad ante decito tuviea conocimiento de la velocidad eal a la que cicula el vehículo, podía pocede a incementa o educi la evolucione del moto paa que eta e ajutaa mejo a la velocidad deeada. Lo mimo ocuiía con el itema de contol de tempeatua i exitiea un eno que pemitiea conoce la tempeatua eal de la ala.

3 Lo elemento de un itema de contol en lazo abieto, nomalmente e educen al contolado y al itema contolado, egún e mueta a continuación Aplicado ete equema al ejemplo del contol de velocidad, la efeencia de entada eía la velocidad deeada, el contolado taduciía eta conigna a un númeo de evolucione, geneando una eñal de contol que actuaía obe el moto, obteniéndoe una velocidad "contolada" a la alida. Un itema de contol en lazo ceado e caacteiza po que exite una unión ente la alida y la entada del itema, llamada ealimentación, que pemite que el contol pueda actua en función de cómo e devía la alida contolada del valo deeado. Si e hace que la eñal actuadoa ea popocional a la difeencia enta la alida obtenida y la alida deeada, a mayo difeencia mayo coección habá, po lo que eta difeencia e educiá má ápidamente. El diagama de bloque coepondiente a un itema de contol en lazo ceado, taladado al ejemplo de contol de velocidad de un vehículo, podía e el iguiente: En el ejemplo decito en la figua anteio apaece un bloque denominado tanducto de velocidad. Ete tanducto tiene la función de adapta la eñal de ealimentación a la condicione que e neceitan en la entada, pudiendo e la popia eñal de alida o bien una función popocional a eta o a u deivada y/o integale. Como e lógico, el itema de contol puede tene má de una entada de efeencia que pemitan obtene un eultado má pecio y fiable.

4 La educción del eo del itema de contol e olo uno de lo efecto de la ealimentación, pudiéndoe obtene beneficio en cuanto a etabilidad, ancho de banda, ganancia, impedancia o enibilidad. Del mimo modo, el itema de contol ealimentado lo hace meno enible a la petubacione extena y a la vaiacione intena del itema. Sin embago, lo itema de contol ealimentado, i no etán bien ajutado, pueden tende a obecoegi eoe, povocando ocilacione en la alida que teminen po deetabiliza el itema. Dede el punto de vita de la etabilidad, un itema de contol en lazo abieto e má fácil de dieña, mienta que en un itema en lazo ceado e un apecto eencial a tene en cuenta en u deaollo.. Tipo de contol La claificación de lo itema de contol puede hacee en función de diveo apecto. Realimentación: como ya e ha indicado, lo itema de contol e claifican en lazo abieto o lazo ceado. Compotamiento de la eñal de efeencia: e claifican en - Sitema eguidoe: aquello en lo que la entada cambia fecuentemente, po ejemplo lo evomecanimo. - Sitema de egulación automática: on aquello en lo que la eñal de efeencia e o bien contante o vaía lentamente. Su miión pincipal e mantene la alida dento de uno deteminado valoe a pea de la petubacione que puedan exiti. Ejemplo de ete tipo de contol on lo eguidoe olae, itema de calefacción, etc. Tipo de eñal de contol: - Analógico: conideado itema de contol continuo. La eñal de contol e continua en el tiempo. - Digitale: denominado itema de contol diceto, la eñal de contol no e continua en el tiempo. Contol en el tiempo: en ete cao la claificación e hace en función de la continuidad de contol, aunque el itema de contol pueda e mecánico. - Contol continuo: imaginemo un depóito de agua en el que e contola contantemente el nivel y e actúa o no obe una válvula de alida. 4

5 -Contol diceto: en el ejemplo del depóito de agua, en luga de contola contantemente el nivel, upongamo que el contol e ealiza mediante do onda de máximo y mínimo nivel, de foma que la detección e ealiza de foma no continua. En función de la aplicación: e podían conidea aplicacione domética o indutiale. Dento de la aplicacione indutiale e podían hace ota claificacione contol de poceo, contol de máquina, etc..4 Función de tanfeencia Paa pode tabaja con un itema y ealiza lo cálculo petinente e neceaio conoce u modelo matemático. En la teoía de contol e utilizan la funcione de tanfeencia paa caacteiza la elacione ente la entada y alida de lo itema. La función de tanfeencia de un itema no da la elación ente la alida y la entada de un bloque de un itema lineal invaiante en el tiempo. Se define como la elación ente la tanfomada de Laplace de la alida y la tanfomada de Laplace de la entada, conideando la condicione iniciale nula. Un itema de contol uele eta compueto po un elevado númeo de elemento, po lo que, paa implifica lo cálculo neceaio, lo itema e dibujan en bae a bloque que utituyen a lo elemento. etando definido po u epectiva funcione de tanfeencia. Sea un itema con n vaiable de etado, m vaiable de entada y p vaiable de alida x t Ax t + Bu t y t Cx t + Du t y conidéene U, e Y tanfomada de Laplace de ut, xt e yt epectivamente. Aplicando la tanfomada de Laplace de la ecuacione anteioe e tiene: x0 A + BU Y C + DU de donde eulta 5

6 I A Y C I A BU + I A x0 B + D U + C I A x0 A e le llama función de tanfeencia de un itema C I A B + D eultando Y U donde U e la tanfomada de Laplace de la entada. Paa calcula la función de tanfeencia de un itema mecánico, e utituye el itema po el itema eléctico equivalente, a continuación e le aplica a la entada un impulo δ. L Y x t δ t Y Po e el itema lineal eá: αt A y t Ae Y + α La foma nomalizada en la epeentación de la función de tanfeencia + T + T + T... K m ' ' + T + T + T '... donde lo polo y ceo de eta función de tanfeencia on: ceo ; ; ; T T T ' ' ' polo 0 mvece ; ; ; ' ' ' T T T.4. Función de tanfeencia de itema eléctico Lo itema eléctico etán compueto po eitoe, bobina y condenadoe, cuyo paámeto on R, L y C. La vaiable que intevienen on la tenión y la intenidad e, i. Reitencia: e R i i e 6

7 Bobina: e L Di i e LD Condenado: e i i CD e CD.4. Función de tanfeencia de itema mecánico Lo itema mecánico etán compueto po diveo tipo de componente, ealizando divea funcione. En función del tipo de movimiento que ealizan e pueden claifica en do tipo: otación y talación.4.. Sitema mecánico de talación Eto itema e caacteizan po ealiza movimiento lineale. Lo paámeto que e utilizan en ete tipo de movimiento on la maa M, eote o elaticidad K y ozamiento B. La vaiable on la fueza F, la velocidad V y la aceleación a. La ecuacione del movimiento de talación on: F M a MD x MDV V F MD Paa el cao de lo muelle e tiene: K F K x V V DF D K En el cao de que lo do extemo del muelle etuvieen libe e conideaía el alagamiento del muelle F K x x En el cao del ozamiento: F B V BDx V F B o bien F B v v Como e apecia, lo paámeto on imilae a lo obtenido en el itema eléctico. La analogía diecta en función de la vaiable fundamentale on: 7

8 S. E. q i S. M. x i i Dq V i V Dx F e Teniendo en cuenta eta analogía y taladándola a lo itema mecánico e tendá: Maa: F MDV e LDi Elactancia: La maa e análoga a una bobina K F V D La eleactancia e análoga a un condenado e i CD Rozamiento: F BV e Ri El ozamiento equivale a una eitencia Si e ealiza la analogía invea, e deci, V análoga a e, F análoga a i, e tendá que la maa coeponde a un condenado, la eleactancia a una bobina y el ozamiento a una eitencia Taladando eta equivalencia ente lo itema mecánico y lo itema eléctico, e pueden epeenta cicuito mecánico como eléctico, con lo que e facilita u tatamiento, ya que e pueden eolve como eto último..4.. Sitema mecánico de otación La magnitude equivalente que e uelen utiliza on: x ϑ f T v ω J equivale a la maa del itema mecánico de talación. La ecuación que elaciona el momento del pa aplicado T con la velocidad e de donde e obtiene que: T JDω JD ϑ ω T JD en el cao de que lo ángulo de otación no coincidan e tiene que: 8

9 k T k ϑ ϑ ω ω D T B ω ω BD ϑ ϑ.4.. Sitema mecánico mixto En ete cao apaeceán movimiento lineale y angulae, con lo que apaeceán fueza, momento de pa, etc. Paa hace el etudio de ete tipo de itema e divide el momento del pa en do componente. T T + T t La componente T eá la empleada paa vence la eitencia del itema de otación y la componente T t e la que e empleaá paa vence la eitencia del itema lineal. Si el adio de la otación e, e tendá: Tt ft x ϑ.4..4 Sitema mecánico con palanca En ete cao igualmente e decompondá la fueza en do componente, f que eá la fueza empleada en vence la eitencia del bazo y f la empleada en vence la eitencia del bazo. Como conecuencia de f apaeceá f', que vendá afectada po la elación de tanfomación de la palanca x y a b ' f a f b Paa e má exacto, lo deplazamiento x e y debeían e conideado como angulae, aunque nomalmente la difeencia on depeciable fente a la longitud de la palanca Sitema mecánico con enganaje Conideando do enganaje con númeo de diente D y D, e tiene que la elación con lo adio de lo enganaje viene deteminada po: 9

10 0 D D Lo deplazamiento lineale on iguale po lo que, llamando x y x a lo deplazamiento de cada enganaje, e tendá: x x D D ω ω ω ω Paa el etudio e llamaá T al momento del pa aplicado en el pime enganaje. Como conecuencia de T apaeceá en el egundo enganaje un momento de pa llamado T. En el punto de contacto apaeceán do fueza f y f que on iguale y de igno contaio. f f f T f T D D T T.5 Diagama de bloque Paa facilita el etudio de lo itema e uelen epeenta mediante bloque con una deteminada función de tanfeencia. Eto pemite obvia el contenido del bloque y e tatado en función de u compotamiento dento del itema..5. Conexione ente bloque Conexión en cacada: también denominada conexión en eie, equivale al poducto de la funcione de tanfeencia de lo ditinto bloque. Sea al itema compueto po lo bloque de funcione de tanfeencia y. Z Y Z Y

11 En ete cao el equema paece má implificado, in embago e ha pedido infomación obe la eñal intemedia. Eta implificación e podá hace iempe que un itema no cague al oto, e deci, cuando la vaiable de un bloque no dependan del oto. Conexión en paalelo: equivale a la uma de la funcione de tanfeencia de lo difeente bloque. Y Y Y + Conexión en ealimentación: en ete tipo de conexión la alida va a influi en la entada, o lo que e lo mimo, tendemo un bucle ceado.

12 La vaiable de entada uele e llamada eñal de efeencia, la eñal et e la eñal de eo o eñal actuadoa; la eñal ct e la vaiable contolada; la eñal bt e la eñal de ealimentación, e deci, una mueta de la eñal de alida. A la funcione de tanfeencia e le llama función de avance y a H función de ealimentación. Al poducto de H e le llama función de tanfeencia en lazo abieto. C H R C B R E C H B E C H R C ± Po lo tanto, eta conexión podá utituie po u equivalente:.5. Simplificación del diagama de bloque En ocaione lo diagama de bloque peentan una cieta complejidad que impide ealiza cálculo de un modo encillo, po lo que e conveniente implificalo. Se podán ealiza implificacione de lo diagama de bloque iempe que no e pieda infomación que afecte al eto de bloque.

13 La egla de implificación pueden uae de foma uceiva paa implifica bloque complejo, incluo paa lo que tienen má de una vaiable de entada. Debido a la linealidad, el efecto de una entada obe la alida e independiente de la peencia de cualquie ota entada y, po tanto, puede evaluae igualando a ceo toda la demá. Ademá de la implificacione ya indicada obe la implificación de bloque en eie, paalelo y en ealimentación, e pueden ealiza ota opeacione de implificación: Cambio de vaiable de entada al quita un bloque: al elimina el bloque hay que multiplica la vaiable de entada po la función de tanfeencia del bloque. Cambio de vaiable de entada al intoduci un bloque: e imila al cao anteio, pocediéndoe a dividi la vaiable de entada po la función de tanfeencia del bloque. Deplazamiento de un bloque delante de un umado: en ete cao e deben multiplica po la función de tanfeencia del bloque toda la vaiable de entada al umado. Deplazamiento de un bloque detá de un umado: imila al cao anteio, había que dividi toda la vaiable de entada po la función de tanfeencia del bloque..6 Diagama de flujo o flujogama de eñal En el cao de que el itema ea exceivamente complejo paa u implificación po diagama de bloque, e puede utiliza oto itema denominado diagama de flujo. Un diagama de flujo e una ed que conecta nudo con una ama mediante dieccione y entido deteminado. Son, po tanto, una epeentación gáfica de la ecuacione difeenciale del itema. Lo nudo epeentan cada una de la vaiable del itema. La ama que conectan lo nudo e compotaán como multiplicadoe de eñal po un facto que e indicaá obe la ama. La eñale olo avanzaán en el entido indicado po la flecha de la ama. Cada bloque coepondeá a una ama. Se denominan nudo fuente o de entada a aquello en lo que olo hay ama aliente. Se llaman nudo umideo a aquello en lo que toda la ama on de llegada. Lo nudo mixto on aquello en lo que hay ama que entan y ama que alen.

14 .6. Conexione y implificacione La conexione ente nudo pueden e de tipo eie, paalelo, mixto, en ealimentación, y toda ella e implifican del mimo modo que la conexione ente bloque. Método de la ditenión de nudo: mediante ete método e pocede a elimina nudo vaiable del itema expeándolo en función del eto, con lo que e elimina una ecuación del itema..6.. Fómula de Maon Mediante eta fómula e puede halla u diagama de mando, po complicado que ea el itema. Se definen lo iguiente témino: Camino: e llama camino o tayecto a la ama conectada iguiendo el entido de eto. Camino diecto: un camino e llamaá diecto cuando pate del nudo de entada y llega al de alida, e deci, pate de un nudo fuente y llega a un nudo umideo, con la condición de que no pae do vece po el mimo nudo. Lazo: e llama lazo al tayecto al tayecto ceado que empieza y acaba en el mimo nudo. Lazo dijunto: e llama aí a aquello lazo que no tienen ningún nodo común. La fómula de Maon dice que la tanmitancia total, e deci, la elación ente la entada y la alida e expea como: T T m n donde: T m : e la ganancia de cada tayecto diecto Δ:e igual a meno el umatoio de todo lo lazo má el umatoio de todo lo lazo dijunto tomado do a do, meno el umatoio de todo lo lazo dijunto tomado de te en te y aí uceivamente. L + L L L L L... a bc Δ n : u valo eá igual al deteminante del diagama de flujo eultante al elimina ee tayecto diecto del diagama. b c def d e f 4

15 Ejemplo: 4 R E A E A E 5 C C A 4 - H 4 - H B A B - T m T T H + H H H n.6. Repeentación del diagama de flujo a pati de la ecuacione del itema Si e tiene un itema de n ecuacione difeenciale con n incógnita, e deci, con olución, e puede depeja en cada ecuación una vaiable en función del eto, incluida la de entada. x x x a a a u, u entada x, x, x alida x + a x + a x + a x x x + a + a + a x + bu + bu x + bu + bu x + b u + b u Una vez obtenido el diagama de flujo e aplican la elacione de Maon paa implificalo. Cuando e tienen itema con má de una entada, como ya e indicó anteiomente, debido a la linealidad, el efecto de una entada obe la alida e independiente de la peencia de cualquie ota entada y, po tanto, paa halla la 5

16 elación de mando con epecto a una entada e conidean nula toda la demá. La elación de mando total o función de tanfeencia del itema eá igual a la uma de toda. x u u + x u x u u u u u n,.., n 0,.., n 0 u,.., un 0 u u n.7 Sitema de múltiple vaiable Lo itema má imple que e pueden enconta on aquello en lo que exite una ola entada y una ola alida, llamado itema SISO Single Input, Single Output, peo nomalmente e peentan itema con má de una entada y má de una alida, denominado itema MIMO Multiple Input, Multiple Output. En ete último cao e ecue a la llamada matiz de tanfeencia. Si tenemo un itema lineal con m entada y n alida, e define como el vecto de entada cuya componente eán la m entada y como Y al vecto alida que tendá po componente la n alida. La matiz de tanfeencia e la que elaciona la tanfomada de Laplace del vecto de alida y del vecto de entada. Ejemplo: 6

17 Y Y + + Y Y De foma geneal, paa una alida y i e tendá: Y... + i i + i + im m donde i,,..., n Paa calcula ij e veá la elación ente la entada j y la alida i conideando el eto de la entada k nula. ij y x i j xk 0 k j Bibliogafía K. Ogata: Ingenieía de Contol Modena. B. Kuo, F. olnaaghi: Automatic contol ytem. P. Bolzen: Fundamento de contol automático. R. Dof: Sitema de contol modeno. Enlace de inteé a%0la%0aignatua%0de%0intumentaci%c%bn%0y%0contol/cap. pdf _de_implificacin_de_diagama_de_bloque.html