Tema 5: Aplicaciones de los algoritmos para SAT

Transcripción

1 Tema 5: Aplicaciones de los algoritmos para SAT Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica Informática (Ingeniería del Software) Curso LI(IS), Algoritmos para SAT 5.1

2 Contenido Ejemplos de Aplicación Prover9 y Mace4 El problema de los mentirosos El problema de los rectángulos El problema de las 4 reinas Búsqueda local estocástica Búsqueda local Algoritmos probabiĺısticos LI(IS), Algoritmos para SAT 5.2

3 Prover9 y Mace4 Prover9 es un demostrador automático para las lógicas proposicionales y de primer orden. Mace4 es un calculador de modelos. Disponen de un interfaz gráfico. Son libres y se pueden descargar en: mccune/mace4 LI(IS), Algoritmos para SAT 5.3

4 El problema de los mentirosos Enunciado: En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada uno le da la siguiente información: A dice B y C son veraces si y sólo si C es veraz B dice Si A y C son veraces, entonces B y C son veraces y A es mentiroso C dice B es mentiroso si y sólo si A o B es veraz Determinar a qué tribu pertenece cada uno. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.4

5 El problema de los mentirosos Formalización: a, b y c representan que A, B y C son veraces (en consecuencia, a, b y c representan que A, B y C son mentirosos). Representación: a (b c c) b (a c b c a) c ( b a b) Resultado del cálculo de modelos con Mace4: v(a) = 1, v(b) = 1, v(c) = 0 Conclusión: A y B son veraces y C es mentiroso. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.5

6 El problema de los mentirosos Si añadimos a b c como objetivo, y usamos Prover9 para encontrar una demostración: LI(IS), Algoritmos para SAT 5.6

7 El problema de los rectángulos Enunciado: Un rectángulo se divide en seis rectángulos menores como se indica en la figura. Demostrar que si cada una de los rectángulos menores tiene un lado cuya medida es un número entero, entonces la medida de alguno de los lados del rectángulo mayor es un número entero. Formalización: base: la base del rectángulo mayor es un número entero altura: la altura del rectángulo mayor es un número entero base x : la base del rectángulo x es un número entero altura x : la altura del rectángulo x es un número entero LI(IS), Algoritmos para SAT 5.7

8 El problema de los rectángulos Representación: base A altura A, base B altura B, base C altura C base D altura D, base E altura E, base F altura F base A base C, base A base D base F base D base E base B, base A base B base altura D altura F altura E altura A altura C altura F altura altura B altura D altura F altura altura B altura E altura Objetivo: base altura Prover9: THEOREM PROVED LI(IS), Algoritmos para SAT 5.8

9 El problema de las 4 reinas Enunciado: Calcular las formas de colocar 4 reinas en un tablero de 4x4 de forma que no se ataquen entre sí (no haya más de una reina en cada fila, columna o diagonal). Formalización: r ij (1 i, j 4) indica que hay una reina en la fila i columna j LI(IS), Algoritmos para SAT 5.9

10 El problema de las 4 reinas En cada fila hay una reina: r 11 r 12 r 13 r 14, r 21 r 22 r 23 r 24 r 31 r 32 r 33 r 34, r 41 r 42 r 43 r 44 Si en una casilla hay reina, entones no hay más reinas en su fila, su columna y sus diagonales: r 11 ( r 12 r 13 r 14 ) ( r 21 r 31 r 41 ) ( r 22 r 33 r 44 ) r 12 ( r 11 r 13 r 14 ) ( r 22 r 32 r 42 ) ( r 21 r 23 r 34 ) r 13 ( r 11 r 12 r 14 ) ( r 23 r 33 r 43 ) ( r 31 r 22 r 24 ) r 14 ( r 11 r 12 r 13 ) ( r 24 r 34 r 44 ) ( r 23 r 32 r 41 ) r 21 ( r 22 r 23 r 24 ) ( r 11 r 31 r 41 ) ( r 32 r 43 r 12 ) r 22 ( r 21 r 23 r 24 ) ( r 12 r 32 r 42 ) ( r 11 r 33 r 44 r 13 r 31 ) r 23 ( r 21 r 22 r 24 ) ( r 13 r 33 r 43 ) ( r 12 r 34 r 14 r 32 r 41 ) r 24 ( r 21 r 22 r 23 ) ( r 14 r 34 r 44 ) ( r 13 r 33 r 42 ) LI(IS), Algoritmos para SAT 5.10

11 El problema de las 4 reinas Si en una casilla hay reina, entones no hay más reinas en su fila, su columna y sus diagonales: r 31 ( r 32 r 33 r 34 ) ( r 11 r 21 r 41 ) ( r 42 r 13 r 22 ) r 32 ( r 31 r 33 r 34 ) ( r 12 r 22 r 42 ) ( r 21 r 43 r 14 r 23 r 41 ) r 33 ( r 31 r 32 r 34 ) ( r 13 r 23 r 43 ) ( r 11 r 22 r 44 r 24 r 42 ) r 34 ( r 31 r 32 r 33 ) ( r 14 r 24 r 44 ) ( r 12 r 23 r 43 ) r 41 ( r 42 r 43 r 44 ) ( r 11 r 21 r 31 ) ( r 14 r 23 r 32 ) r 42 ( r 41 r 43 r 44 ) ( r 12 r 22 r 32 ) ( r 31 r 24 r 33 ) r 43 ( r 41 r 42 r 44 ) ( r 13 r 23 r 33 ) ( r 21 r 32 r 34 ) r 44 ( r 41 r 42 r 43 ) ( r 14 r 24 r 34 ) ( r 11 r 22 r 33 ) LI(IS), Algoritmos para SAT 5.11

12 El problema de las 4 reinas Búsqueda de modelos con Mace4: r 11 : 0, r 12 : 0, r 13 : 1, r 14 : 0 r 21 : 1, r 22 : 0, r 23 : 0, r 24 : 0 r 31 : 0, r 32 : 0, r 33 : 0, r 34 : 1 r 41 : 0, r 42 : 1, r 43 : 0, r 44 : 0 r 11 : 0, r 12 : 1, r 13 : 0, r 14 : 0 r 21 : 0, r 22 : 0, r 23 : 0, r 24 : 1 r 31 : 1, r 32 : 0, r 33 : 0, r 34 : 0 r 41 : 0, r 42 : 0, r 43 : 1, r 44 : 0 LI(IS), Algoritmos para SAT 5.12

13 Otros algoritmos DPLL es la base de la mayor parte de procedimientos que resuelven SAT mediante una búsqueda sistemática. Sin embargo, existen otros algoritmos basados en ideas muy diferentes, por ejemplo: GSAT: Un algoritmo voraz basado en una búsqueda local. GWSAT y WALKSAT algoritmos probabiĺısticos (de Monte Carlo) que combinan la búsqueda local con una estrategia random walk. Estos algoritmos incluyen algunos pasos en los que se selecciona algún objeto (una cláusula o una variable) aleatoriamente. Esto quiere decir que se seleccionan de tal modo que la probabilidad de elegir cualquiera de ellos es la misma. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.13

14 El algoritmo GSAT Entrada: Un conjunto U con n cláusulas, dos enteros positivos MAXFLIPS y MAXTRIES Salida: Un modelo de U, o bien, 0, si no se encuentra ninguno. Repetir hasta MAXTRIES veces el siguiente bloque 1. Generar aleatoriamente un valoración V. 2. Repetir hasta MAXFLIPS veces el siguiente bloque: 2.1 Si V es un modelo de U, parar y devolver V. 2.2 Si V no es modelo de U, para cada variable proposicional p de las cláusulas de U hacer: MAKE[p]= número de cláusulas NO satisfechas por V que serían satisfechas si cambiamos el valor de p. BREAK[p]= número de cláusulas satisfechas por V que NO serían satisfechas si cambiamos el valor de p. DIFF[p]=MAKE[p] BREAK[p]. 2.3 Seleccionar aleatoriamente una variable p con valor DIFF[p] máximo. 2.4 Actualizar V cambiando el valor de p por su opuesto. En cualquier otro caso, devolver 0. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.14

15 Random Walk para 2 SAT Entrada: Un conjunto con n cláusulas cada una con 2 literales. Salida: Un modelo de U, o bien, 0, si no se encuentra ninguno. Partimos de una valoración V cualquiera. Repetimos hasta 2mn 2 veces el siguiente bloque: 1. Si V es un modelo de U, parar y devolver V. 2. Si V no es modelo de U. 2.1 Elegir una cláusula cualquiera C de U no satisfecha por V. 2.2 Elegir aleatoriamente un literal L de la cláusula C y cambiar en V el valor de L por su opuesto. En cualquier otro caso, devolver 0. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.15

16 Random Walk para 2 SAT (II) Observemos que si U es insatisfactible, entonces el algoritmo devuelve una respuesta correcta. Supongamos que U es satisfactible y que eliminamos la cota 2mn 2, permitiendo el bloque B del algoritmo se ejecute hasta encontrar un modelo de U. Entonces el número esperado de veces que se ejecuta el bloque B está acotado por n 2. Si U es satisfactible la probabilidad de que el algoritmo encuentre un modelo es al menos 1 2 m. Por tanto, si U es satisfactible la probabilidad de que el algoritmo devuelva, incorrectamente, el valor 0 es menor que ( 1 2 )m. Sin embargo, si la respuesta es 0, no tenemos certeza total sobre la corrección de la respuesta: se trata de un algoritmo de Monte Carlo. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.16

17 Random Walk para SAT Dado k 1, k SAT es la clase de todos los conjuntos de cláusulas que son satisfactibles y están formados por cláusulas con exactamente k literales cada una. La estrategia de Random Walk no resulta tan efectiva para k SAT, con k 3. Sin embargo, podemos combinarla con GSAT para conseguir un algoritmo de Monte Carlo para SAT. Los algoritmos GWSAT y WalkSAT reciben como entrada un conjunto de cláusulas, un entero MAXFLIPS y una probabilidad wp > 0. Ambos alternan, con probabilidad wp, entre una búsqueda local como en GSAT y una estrategia Random Walk. Los pasos de tipo Random Walk permiten escapar de mínimos locales de la función objetivo cuyo valor se intenta minimizar en la búsqueda local. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.17

18 GWSAT Entrada: Un conjunto de cláusulas U, un entero positivo MAXFLIPS, un entero positivo MAXTRIES y una probabilidad wp. Salida: Un modelo de U, o bien, 0, si no se encuentra ninguno. Repetir hasta MAXTRIES veces el siguiente bloque: Generar aleatoriamente un valoración V. Repetir hasta MAXFLIPS veces el siguiente bloque: 1. Si V es un modelo de U, parar y devolver V. 2. Si V no es modelo de U: 2.1 Con probabilidad wp, seleccionar aleatoriamente una cláusula C no satisfecha por V. Seleccionar aleatoriamente un literal L de C y actualizar V cambiando el valor de L por su opuesto. 2.2 En caso contrario, continuar como en GSAT En cualquier otro caso, devolver 0. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.18

19 WalkSAT Entrada: Un conjunto de cláusulas U, un entero positivo MAXFLIPS y una probabilidad wp. Salida: Un modelo de U, o bien, 0, si no se encuentra ninguno. Generar aleatoriamente un valoración V. Repetir hasta MAXFLIPS veces el siguiente bloque: 1. Si V es un modelo de U, parar y devolver V. 2. Si V no es modelo de U: 2.1 Seleccionar aleatoriamente una cláusula C no satisfecha por V. 2.2 Para cada literal L de C calcular BREAK[L]= número de cláusulas satisfechas por V que NO serían satisfechas si cambiamos el valor de L. 2.3 Si existe L en C tal que BREAK[L]= 0, seleccionar un tal L y actualizar V cambiando el valor de L. 2.4 Si no existe L con BREAK[L]= 0, entonces, con probabilidad wp, seleccionar un literal L con BREAK[L] mínimo y actualizar V cambiando el valor de L. En el resto de casos se selecciona aleatoriamente un literal de C y se cambia su valor en V. En cualquier otro caso, devolver 0. LI(IS), Algoritmos para SAT 5.19