Análisis del comportamiento de la inflación trimestral en Colombia bajo cambios de régimen: Una evidencia a través del modelo Switching de Hamilton

Transcripción

1 BANCO DE LA REPUBLICA SUBGERENCIA DE ESTUDIOS ECONOMICOS Análisis del comporamieno de la inflación rimesral en Colombia bajo cambios de régimen: Una evidencia a ravés del modelo Swiching de Hamilon Luis Fernando Melo V. Marha Misas A. * Sanafé de Bogoá, ocubre 997 * Los resulados aquí presenados son responsabilidad exclusiva de los auores y no compromeen al Banco de la República. Se agradecen especialmene los comenarios y sugerencias de H. Oliveros, H. Vargas, J Uribe, A. Galindo, N. Rodríguez, J.C. Echeverry y M.I. Agudelo. Trabajo presenado en la XVI Reunión de la Sociedad Economérica Lainoamericana, Lima agoso de 998.

2 I. Inroducción Ese rabajo iene como propósios esudiar la evolución de la inflación rimesral en Colombia, durane el período comprendido enre 954 y 996, a ravés de la meodología de Hamilon (989) y segundo presenar algunos concepos relacionados con dicha meodología, la cual inroduce cambios de régimen en el análisis convencional de series de iempo. Es imporane aclarar que, a pesar de que los resulados pudiesen ser más ineresanes al rabajar con inflación anual, el esudio se lleva a cabo sobre la inflación rimesral debido a requerimienos economéricos del procedimieno. La exisencia de los diferenes regímenes es inicialmene idenificada a ravés de pruebas sobre esabilidad de parámeros. Dado que la meodología de series de iempo propuesa por Box-Jenkins (976) esima parámeros invarianes a ravés del iempo, su aplicación es apropiada an solo en la modelación de series de iempo esacionarias en su período compleo de esudio. Ese hecho nos lleva a pregunarnos cómo modelar una serie que exhibe, durane dicho período, cambios en la varianza y/o en la media, los cuales definen subperíodos específicos que podrían esar asociados con evenos de carácer económico. Una respuesa a al inquieud se iene en el modelo Swiching de Hamilon, donde ales cambios de régimen o del esado de la nauraleza se consideran a ravés de cadenas de Markov y de disribuciones mixas de probabilidad. El modelo Swiching de Hamilon pare de un modelo de series de iempo auorregresivo (AR) y de unos valores iniciales para las disinas medias y varianzas asociadas a cada régimen. Suponiendo normalidad, se consruye en cada momeno del iempo y para cada régimen una función de verosimiliud sobre los errores del modelo auorregresivo y se esiman los parámeros que maximizan dicha función. Es de señalar que, denro del conjuno de parámeros se encuenran, ambién, las probabilidades de ransición enre regímenes, las cuales se calculan mediane el eorema de Bayes. La esimación de los parámeros que maximizan la función de verosimiliud, sobre un espacio de parámeros específico, se lleva a cabo a ravés de méodos numéricos uilizando algorimos ieraivos 3. El rabajo esá organizado así: en la sección II se presena un modelo de series de iempo auorregresivo sobre la inflación rimesral y la evaluación de la esabilidad de sus parámeros considerando diferenes submuesras, lo anerior con el objeivo de idenificar de manera preliminar períodos de diferene comporamieno de la inflación. La sección III iene un carácer pedagógico, consigna el marco eórico del modelo Swiching de Hamilon, explicando en dealle los concepos relacionados con cadenas de Markov, disribuciones mixas de probabilidad y modelos de series de iempo con cambios de régimen y por úlimo, en la sección IV se muesran Series esacionarias o series ransformadas para alcanzar esacionariedad. El número de regímenes, enendido los regímenes como períodos observados de comporamieno diferene, es especificado por el invesigador y luego conrasado mediane pruebas esadísicas. 3 Una explicación más deallada sobre el méodo de esimación se encuenra en el marco eórico, sección III.

3 los resulados obenidos al aplicar esa meodología a la inflación rimesral colombiana para el período de referencia. II Idenificación preliminar de diferenes comporamienos de la inflación En esa sección se presenan los resulados de las diferenes pruebas economéricas que permien inferir la exisencia de disinos comporamienos de la inflación rimesral de Colombia durane el período comprendido enre 954 y 996. El reconocimieno de los disinos parones de comporamieno de la inflación rimesral se lleva a cabo mediane pruebas de esabilidad de los parámeros de un modelo auorregresivo de la inflación rimesral esimado para diferenes submuesras. Tal diferencia de comporamienos jusifica la modelación de la inflación, para el período compleo, an solo mediane écnicas de series de iempo que consideren dichos cambios de régimen. A. Análisis descripivo Gráfico 0.5 Inflación Trimesral en Colombia (Basada en el IPC oal) El gráfico muesra la evolución de la inflación rimesral en Colombia 4 durane el período comprendido enre 954 y 996. Un análisis del gráfico podría llevar al reconocimieno de res períodos o regímenes diferenes en lo concerniene a nivel y a variabilidad de la serie. Un primer período podría considerarse hasa 970, un segundo desde 97 hasa 989 y el úlimo correspondería al período comprendido enre 990 y 996. Sin embargo, al análisis no garaniza que la deerminación de las res submuesras sea única, es decir, los regímenes podrían esar asociados a períodos un poco diferenes. Es de señalar que el gráfico, presenado poseriormene, valida la parición ya mencionada de la muesra bajo esudio. El primer período se caraceriza por una inflación rimesral promedio baja con una ala variabilidad. Las alas 4 En ese rabajo, la inflación rimesral se define como la diferencia del logarimo del índice de precios al consumidor oal nacional (IPC). 3

4 inflaciones del período, las cuales son fuene de la ala variabilidad, podrían esar asociadas a hechos ales como la recesión mundial de 957, la devaluación y el incremeno de salarios de 96 y la políica fiscal de dicho año, la cual incremenó las asas de crecimieno de la base monearia. El segundo período se caraceriza por un nivel de inflación promedio mayor y una variabilidad menor que las correspondienes al primer período. Es de señalar que el alo nivel de inflación observado en 977 se deriva de la bonanza cafeera de dicho año y del boom de pagos exernos de 976. En general, las inflaciones alas en promedio pueden esar explicadas por el défici fiscal como fuene de expansión monearia. El úlimo período se caraceriza por no presenar valores exremos de inflación rimesral, hecho que conduce a una variabilidad esable, la cual es más baja que las observadas en los períodos aneriores. Los mayores valores de inflación se presenan enre 990 y 99 debido a la devaluación nominal llevada a cabo con el fin de preparar a la economía para la aperura. Sin embargo, a pesar de ales valores, durane ese úlimo período se observa una leve endencia a la baja. Es de señalar, que durane dicho período, las políicas del Banco de la República se han orienado principalmene para lograr las meas básicas de inflación anual 5. Con el propósio de verificar empíricamene la exisencia de un comporamieno diferene de la inflación rimesral en los períodos previamene idenificados mediane écnicas descripivas 6, se pare de la modelación de la inflación a ravés de un esquema de series de iempo auorregresivo ano a nivel de la muesra complea como de cada una de las submuesras ya mencionadas y se llevan a cabo pruebas sobre la esabilidad de los parámeros asociados a cada modelo. La presencia de inesabilidad en los parámeros del modelo especificado para la muesra complea y de esabilidad en cada submuesra es un indicio de la exisencia de los diferenes regímenes ya mencionados. B. Pruebas sobre exisencia de raíz uniaria Con el propósio de modelar la inflación rimesral a ravés de un esquema auorregresivo, ano a nivel de la muesra complea como de las submuesras, es necesario deerminar el orden de inegración de la serie en cada uno de los períodos de análisis. Cuadro 5 Noas Edioriales, Revisa del Banco de la República : Es decir, la exisencia de diferenes regímenes. 4

5 Pruebas de Raíz Uniaria sobre la Inflación Trimesral (DLIPC) Período Prueba Dickey-Fuller Prueba KPSS** Esadísica Valores Críicos (α=5% y α=0%) Ljung-Box* sobre residuales Esadísica Valores Críicos (α=5% y α=0%) 954:II - 996:IV τ τ = y (0.8) 954:II - 970:IV τ µ = y (0.98) 97:I - 989:IV τ µ = y (0.47) η τ = y 0.9 η µ = y η µ = y :I - 996:IV τ τ = y (0.78) η τ = y 0.9 * Esadísica calculada uilizando un número de observaciones igual a T/4, enre parénesis se repora su P-Value. ** En el cálculo de la venana de Barle se uiliza L8. El cuadro presena los resulados de las pruebas de Dickey-Fuller, DF, y KPSS para los diferenes períodos. Los resulados de las pruebas permien concluir que, para los disinos períodos, la inflación rimesral en Colombia es esacionaria 7. Es de señalar que, para el período comprendido enre 990 y 996 no exise evidencia para rechazar la hipóesis de raíz uniaria bajo la prueba de Dickey-Fuller, a un nivel de significancia del 0%, sin embargo, bajo la prueba KPSS se encuenra esacionariedad. Es de mencionar que, la prueba KPSS se puede considerar más adecuada debido a que ésa presena mayor poencia frene a la prueba radicional DF. C. Modelos auorregresivos Como se mencionó aneriormene, la inflación rimesral es modela a ravés de series de iempo bajo un esquema auorregresivo de orden 5, los resulados de las esimaciones de dicho modelo con base en las diferenes submuesras se presenan en el cuadro 8. Cuadro Esimación por submuesra del modelo Auorregresivo: 7 El requerimieno mencionado en la inroducción se raa de la exigencia de que la serie bajo esudio sea esacionaria, por consiguiene, el rabajo no puede llevarse a cabo sobre la inflación anual ya que ésa es inegrada de orden uno, I(). 8 Lo anerior llevaría a pensar que para la muesra complea la serie podría ser modelada a ravés de una represenación auorregresiva de orden mayor a cinco. 5

6 LIPC = δ + φ LIPC + φ LIPC + φ LIPC + φ LIPC + φ LIPC + ε V ( ε ) = σ Período $µ ** $ φ $ φ $ φ3 $ φ4 $ φ5 $σ Ljung-Box* 954:II- 996:IV (0.0057) (0.0770) 0.5 (0.0743) (0.074) (0.0758) 0.67 (0.078) (0.0) 954:II- 970:IV 0.03 (0.0040) (0.44) (0.7) (0.83) (0.90) (0.56) (0.30) 97:I- 989:IV (0.008) (0.86) (0.09) (0.87) (0.8) (0.03) (0.37) 990:I-996:IV (0.009) (0.940) (0.064) (0.0774) (0.0864) (0.3) (0.34) Noa: Las esadísicas asociadas a los parámeros del modelo, reporadas enre parénesis, corresponden a sus desviaciones esándar. Para la esadísica de Ljung-Box enre parénesis se repora su P-Value. * Esadísica calculada uilizando un número de observaciones igual a T/4. ** µ δ = 5 φ i = i LIPC = LIPC LIPC Como puede apreciarse, la esadísica Ljung-Box en cada submuesra evidencia un comporamieno ruido blanco en los residuales, siuación que no se iene al analizar la muesra complea, ese hecho podría deberse a la mezcla de diferenes regímenes durane el período en cuesión D. Análisis Recursivo Con el fin de aclarar la inquieud sobre la posible exisencia de diferenes regímenes planeada por el comporamieno de los residuales de la muesra complea, se lleva a cabo un análisis basado en procedimienos economéricos de carácer recursivo sobre la media y los residuales de dicho modelo. Para la muesra complea bajo el modelo auorregresivo, los gráficos y 3 presenan la esimación de la suma acumulada de los residuales recursivos 9 (CUSUM) y de las diferenes medias recursivas de la inflación rimesral, respecivamene. En general, los residuales y las medias recursivas permien evidenciar cambios en la media condicional 0 de la serie bajo esudio. Como se observa en el gráfico 3, podrían exisir 3 submuesras en las cuales la inflación rimesral iene un comporamieno aproximadamene similar. La primera submuesra comprende el período enre 954 y 970, en ella se refleja, en general, un comporamieno esable del nivel medio de la inflación rimesral; la segunda, conformada por el período comprendido enre 97 y 989, donde 9 En ese caso, el procedimieno de esimación recursiva lleva a cabo la esimación de los parámeros del modelo auorregresivo uilizando información hasa el momeno, pronosica la inflación rimesral para el momeno + y consruye el residual como la diferencia enre dicho pronósico y el correspondiene dao observado. Poseriormene, se lleva a cabo un ejercicio similar, de esimación con información hasa + y de pronósico y cálculo del residual para + y así de manera sucesiva. Ese procedimieno aplicado a la muesra complea genera un conjuno de series de parámeros esimados y de residuales recursivos. 0 Donde la media condicional en () se define para una serie como su valor esperado con información hasa el momeno (-). 6

7 se presena un comporamieno creciene del nivel medio de la inflación y por úlimo, el período comprendido enre 990 y 996 donde, nuevamene, se vuelve a observar una inflación media esable. Del gráfico se desprende un análisis similar al realizado sobre el gráfico 3 respeco a la evolución del comporamieno de la inflación media. Es de señalar que, esas res submuesras coinciden con los regímenes o períodos, idenificados en la descripción gráfica, de diferene comporamieno de la inflación ya mencionados en la sección II A. Gráfico 0.8 Suma acumulada de residuales recursivos (Basada en el modelo Auorregresivo de los cambios rimesrales del IPC) Gráfico Esimación Recursiva de la Media de la Inflación (Basada en el modelo Auorregresivo de los cambios rimesrales del IPC) Inervalos de Confianza del 95% E. Pruebas sobre esabilidad de los parámeros Con el fin de esablecer una comprobación formal de la exisencia de los diferenes regímenes, se llevan a cabo dos ipos de pruebas sobre esabilidad de los parámeros de los modelos auorregresivos, de orden cinco, esimados bajo la muesra complea así como bajo las 3 submuesras ya idenificadas. El cuadro 3 presena los resulados de la prueba de Chow sobre la inesabilidad de los parámeros. Esa prueba iene como objeivo mosrar que los punos delimiadores de las submuesras, ya idenificadas, son verdaderos punos de quiebre esrucural de los modelos 7

8 auorregresivos. Al considerar el período compleo se reconoce, a ravés de las esadísicas F y de razón de verosimiliud a un nivel de significancia del 5%, la exisencia de quiebres esrucurales en 970.IV y 989.IV. Un análisis poserior, bajo las mismas esadísicas y a un nivel de significancia del 5%, confirma como puno de quiebre para el período comprendido enre 954.II y 989.IV a 970.IV y para el período 97.I IV, con un nivel de significancia del 0%, a 989.IV. De esa forma, no exise evidencia para rechazar los punos delimiadores de las submuesras como punos de quiebre esrucural de los modelos auorregresivos de la inflación rimesral. Cuadro 3 Prueba de Chow sobre inesabilidad de los parámeros del modelo: LIPC = δ + φ LIPC + φ LIPC + φ 3 LIPC 3 + φ 4 LIPC 4 + φ 5 LIPC 5 + ε Período Puno(s) de Quiebre Esadísica F Esadísica de Razón de Verosimuliud 954:II - 996:IV 970:IV y 989:IV.844 (0.005) 954:II - 989:IV 970:IV (0.008) 97:I - 996:IV 989:IV.9330 (0.0837) Noa: P-Values enre parénesis. LIPC = LIPC LIPC (0.0006).5757 (0.004).3476 (0.0546) Con el propósio de verificar si exise o no esabilidad en los parámeros del modelo auorregresivo en la muesra complea como en cada una de las submuesras, se lleva a cabo la prueba de Hansen (99). En general, esa prueba permie reconocer en un modelo la esabilidad de sus parámeros, incluyendo la varianza, ano de manera individual como conjuna. El cuadro 4 consigna los resulados de la prueba de esabilidad de Hansen. Como puede concluirse, para el período compleo, considerando un nivel de significancia del 0%, se presenan como inesables 4 de los 7 parámeros bajo la prueba individual, en ano que, la prueba conjuna repora inesabilidad. Al analizar la esabilidad de los parámeros del modelo en cada una de las submuesras no exise evidencia para rechazar ésa ano bajo las pruebas individuales como bajo la prueba conjuna. Las dos pruebas aneriores permien concluir primero, que exisen punos de quiebre esrucural en la inflación rimesral durane el período compleo de análisis y segundo, que las submuesras idenificadas en la sección IIA pueden ser modeladas correcamene a ravés de esquemas auorregresivos, al no presenar ésos evidencia de inesabilidad en los parámeros. Es de señalar, que en el enfoque aquí presenado, esas pruebas solo pueden considerar pocos punos de quiebre esrucural deerminados previamene. El llevar a cabo la modelización por submuesra presena básicamene dos inconvenienes: (i) disminución en el amaño de la muesra 8

9 que implica una pérdida en los grados de liberad de los modelos y (ii) fala de cereza sobre la exisencia de un único régimen en cada submuesra, es decir, las pruebas sobre esabilidad de los parámeros no implican al unicidad. Cuadro 4 Pruebas de Hansen sobre inesabilidad de los parámeros del modelo: LIPC = δ + φ LIPC + φ LIPC + φ LIPC + φ LIPC + φ LIPC + ε V ( ε ) = σ Prueba Individual V.C. (α=5%): V.C.(α=0%): Período δ φ φ φ 3 φ 4 φ 5 σ Prueba Conjuna V.C. (α=5%):.90 V.C.(α=0%): :II - 996:IV 954:II - 970:IV * * 0.608* ** ** :I - 989:IV :I - 996:IV * Exise evidencia para rechazar la hipóesis nula (esabilidad en los parámeros) a un nivel de significancia del 5%. **Exise evidencia para rechazar la hipóesis nula (esabilidad en los parámeros) a un nivel de significancia del 0%. Los dos inconvenienes mencionados aneriormene moivan la búsqueda de un méodo que permia incorporar en el modelo seleccionado para la muesra complea odos los posibles cambios de régimen durane el período en cuesión. Una de las meodologías que posibilia al consideración es la sugerida por Hamilon bajo los modelos de series de iempo con cambios de régimen. Previamene a la presenación de resulados bajo esa meodología se explicarán en la siguiene sección algunos concepos eóricos relacionados con ella. III Marco eórico de la meodología de Hamilon El objeivo de esa sección es presenar formalmene el modelo swiching de Hamilon que es uilizado poseriormene en el análisis de la evolución de la inflación rimesral en Colombia. La consideración de cambios de régimen en la especificación de modelos de series de iempo se lleva a cabo en esa meodología mediane el manejo de cadenas de Markov de primer orden y funciones mixas de disribución. A. Cadenas de Markov 9

10 Algunas series económicas exhiben parones de comporamieno muy diferenes a ravés del iempo, los cuales pueden esar asociados a cambios en la media o en la varianza de su proceso generador. Tales cambios podrían ser el resulado, por ejemplo, de crisis financieras, de cambios dramáicos en las políicas gubernamenales, ec. El conjuno de subperíodos donde la serie exhibe un parón similar en varianza y en media deermina un régimen o esado de la nauraleza paricular. Por ejemplo, en el gráfico la serie X, serie hipoéica, presena un parón de comporamieno similar en los subperíodos comprendidos enre 0 - y - 3 deerminando un régimen o esado de la nauraleza, en ano que, en los comprendidos enre - y 3-4 se exhibe una media y/o varianza disina produciendo un régimen diferene. Gráfico 4 Serie Hipoéica X Es decir, en ese ejemplo, la serie X presena dos regímenes en el período de esudio. Por consiguiene, en su análisis es imporane poder deerminar en que régimen se encuenra ésa en un momeno paricular del iempo. Tal deerminación se puede formalizar definiendo una variable aleaoria discrea, s, que puede omar los valores {,}. Si se supone que la probabilidad de que s sea igual a un valor j (j :, ) depende solamene del valor de la variable aleaoria s en el período anerior, s - : p{ s = j s = i, s = k,...} = p{ s = j s = i} = p ij () se iene un proceso conocido como cadena de Markov de orden uno con una mariz de ransición de probabilidades {p ij } i,j=,, donde p ij deermina la probabilidad de que al esado j le siga el esado i, y p i + p i = (i=,) 3. La anerior presenación sobre X puede ser generalizada a series que muesren N regímenes disinos, en al caso, la variable aleaoria s puede omar los valores {,,...,N} y si se iene () el proceso es una cadena markoviana de orden uno con mariz de ransición de Considerando un modelo auorregresivo de orden ocho para la muesra complea, la esadísica asociada a la prueba de esabilidad conjuna de Hansen es igual a.855. Resulado que confirma la exisencia de inesabilidad de los parámeros asociados a dicho modelo. Para el ejemplo paricular, es el número de regímenes exhibidos por la serie. 3 Propiedad de las probabilidades. 0

11 probabilidad {p ij } i,j=,,...,n con p i + p i +...+p in = (i=,,...,n) es decir, se puede definir la mariz de probabilidades P de la siguiene forma: p p K pn p p p N P = L M M M M p N p N L. pnn () donde se cumple que el produco enre la raspuesa de la mariz de ransición y el vecor uniario es un vecor de unos : P' M = M (3) Las cadenas de Markov pueden ser represenadas ambién a ravés de noación vecorial definiendo vecores aleaorios (Nx), ξ, cuyos elemenos son ceros a excepción del j-ésimo, el cual es igual a uno si el régimen en el iempo es j, así : ξ = 0, 0, L, 0, {, 0, L, 0 para j esimo s =j. El j-ésimo elemeno de ξ + es una variable aleaoria que alcanza el valor de uno con probabilidad p ij si s = i, es decir : pi p i E ( ξ + s = i) = M pin en forma general (4) puede ser reescrio como sigue : E ( ) ( 4) ξ + ξ = Pξ (5) así, la anerior ecuación represena en forma vecorial a una cadena de Markov de orden uno 4, el resulado consignado en (5) implica que : ξ = Pξ + v (6) + + donde : v ξ E( ξ ξ ) (7) Dado que el valor esperado condicional de ξ + an solo depende de su valor inmediaamene anerior.

12 como se observa claramene, la ecuación (6) corresponde a un modelo de vecores auorregresivos de orden uno 5 para ξ. Bajo el esquema de vecores auorregresivos de orden uno se iene que : ξ m m = v + P v + P v + K + P v + P ξ (8) + m + m + m + m por consiguiene el pronósico m períodos adelane para ξ 6 es : E ( m ) + m ξ + ξ = P ξ (9) De esa forma, las probabilidades de ransición m períodos adelane para una cadena de Markov se deerminan a parir de la mariz resulane del produco m veces de la mariz de ransición P por si misma. Así, la probabilidad de que una observación del régimen i sea seguida m períodos adelane por una observación del régimen j esá dada por el elemeno ( ji ) de la mariz P m. Es de señalar, que en la discusión hasa ese puno solo se referencian expecaivas condicionales sobre los vecores ξ, como se presena en (9), debido a que ésas son necesarias en la consrucción de sus pronósicos. Sin embargo, si el inerés se cenra en la deerminación de las expecaivas incondicionales sobre los vecores ξ, es necesario considerar una clase especial de cadenas de Markov denominadas ergódicas 7 ya que en la deerminación de dicha expecaiva se requiere del vecor de probabilidades ergódicas, Π, el cual se define como el vecor propio de P asociado al valor propio uniario (PΠ=Π). Como se presena en Hamilon (994), para una cadena de Markov ergódica con mariz de ransición P se iene que : lim P m m = Π ' donde =(,,...,) (0) Reemplazando (0) en (9), cuando m iende a infinio, se encuenra que el pronósico de largo plazo para una cadena de Markov ergódica es igual al vecor de probabilidades ergódicas e independiene del esado en que se encuenra el proceso en el momeno (), es decir : E ( + m ) m ξ ξ = P ξ Π () m por consiguiene, la expecaiva incondicional de ξ es ambién igual al vecor de probabilidades ergódicas, así : E ( ) ξ = Π () 5 VAR(). 6 Véase, Lukephol, H. (993). 7 Una cadena de Markov se dice ergódica si es irreducible y su mariz de ransición P iene un valor propio igual a la unidad y los resanes se encuenran denro del círculo uniario. La condición del valor propio uniario siempre se iene ya que P y P comparen sus valores propios y como se muesra en la ecuación (3), P presena un valor propio uniario. Es de señalar que, la condición de ser reducible se alcanza si el proceso es absorbido, es decir, si al enrar en un esado paricular (j) no se puede volver a salir de él, P{s =j} =. Una cadena de Markov no reducible se dice irreducible.

13 B. Funciones mixas de disribución El segundo concepo uilizado en la meodología swiching de Hamilon es el de las funciones mixas de disribución, las cuales permien deerminar la función de verosimiliud base de la esimación de los parámeros de inerés. En los modelos de cambios de régimen, la función de disribución en () de la variable objeivo, X, depende del valor (j) alcanzado por el régimen, (s ) en dicho momeno, (s = j), es decir : f ( X s = j) (3) el análisis de funciones mixas 8 de disribución permie deerminar la función de disribución incondicional de X mediane la disribución marginal del produco de (3) con la función de probabilidad de la variable s, así : N f ( X ) = f ( X s = j) P( s = j) (4) j= donde la función de disribución conjuna f ( X s = j) P( s = j) es el resulado de aplicar la definición de probabilidad condicional : P( X, s = j) = f ( X s = j) P( s = j) (5) Es de señalar, que de la ecuación (4), bajo el supueso de que la variable s (=,...,T) es independiene e idénicamene disribuida, se deriva la función de verosimiliud 9 (6) para el conjuno de parámeros, Θ, considerados en las funciones de densidad de (4). T L (Θ) = log f ( X ; Θ) = (6) el esimador del vecor de parámeros Θ se obiene maximizando L (Θ), el ejercicio de maximización debe llevarse a cabo a ravés de méodos numéricos 0 en la medida en que no exisa solución analíica para ésa. 8 Se eniende por función mixa de disribución a la suma de funciones de densidad diferenes, ya sea por parámeros o por forma funcional de la disribución. Claramene (4) es una función de ese ipo. 9 Véase en Hamilon(994) un ejemplo donde se supone una disribución normal en (3). 0 Denro del conjuno de méodos numéricos se encuenra el algorimo EM, el cual es uilizado en Hamilon (994) para enconrar los esimadores de máxima verosimiliud de los parámeros asociados con modelos swiching o con cambios de régimen. 3

14 Dado un conjuno de observaciones de la variable de inerés, {X }, uno de los objeivos, bajo el análisis de modelos swiching, es hacer inferencia sobre los diferenes regímenes presenados por la serie a ravés del iempo. Formalmene, se desea deerminar: P( s = j X ; Θ) j =,,..., N ; =,,..., T (7) lo cual puede llevarse a cabo aplicando el eorema de Bayes de la siguiene manera : P( s = j; Θ) f ( X s = j ; Θ) P( s = j X ; Θ) = f ( X ; Θ) donde al reemplazar el denominador por (4) se iene de manera complea la represenación de Bayes. (8) C. Modelación de series de iempo con cambios de régimen Como se mencionó aneriormene, el objeivo de la meodología swiching es la consrucción de modelos de series de iempo sobre variables que presenan comporamienos similares al exhibido por la serie X, gráfico. En la modelación de series de iempo con cambios de régimen se involucran los concepos ya considerados de cadenas de Markov y de funciones mixas de disribución con la meodología radicional de series de iempo sobre modelos auorregresivos (AR). La gran diferencia enre la meodología de series de iempo radicional modelo ARIMA con inervención y los modelos con cambios de régimen swiching radica primordialmene en el carácer esocásico de la variable asociada con dichos cambios. Así, si se considera que la serie X, gráfico, sigue un proceso auorregresivo de orden uno, con cambios de régimen fácilmene reconocibles que afecan an solo el nivel de la variable, bajo la meodología radicional se pueden formular los siguienes dos modelos : ( ) X µ = φ X µ + ε para = (, ) (, ) (9) o 3 ( ) X µ = φ X µ + ε para = (, ) (, ) (0) 3 4 los cuales podrían ser esimados en conjuno adicionando al modelo auorregresivo una variable deerminísica de inervención. En el conexo general de cambios de régimen, el uso de esa écnica esá sujeo a varias críicas, las cuales se cenran, especialmene, en el hecho de que el reconocimieno de los diferenes esados no es deerminísico y que por consiguiene, es inapropiado raar de modelarlos a ravés de ales variables de inervención. Si sobre ese Es decir, el régimen asociado a la variable en cada momeno del iempo puede no ser reconocible mediane observación y por consiguiene no ser conocido. Una de las mayores desvenajas del uso de modelos con inervención se iene en la consrucción de pronósicos fuera de muesra, debido a que se requiere del conocimieno de las observaciones de las variables de inervención fuera del período de análisis. Por ejemplo, al considerar la serie X gráfico, no es muy claro si para consruir sus pronósicos fuera de muesra deba uilizarse el modelo (9) o el modelo (0). 4

15 mismo ejemplo se supone que los cambios de régimen no son deerminísicos, uilizando la meodología swiching se iene el siguiene modelo : X ( X ) µ = φ µ + ε s s donde µ s es igual al valor esperado de la serie bajo el régimen uno o bajo el régimen dos dependiendo del valor que ome la variable de esado s, o, respecivamene 3. () En general, en la modelación de series de iempo sobre una variable X que presena, a ravés del período de esudio, cambios de régimen gobernados por una variable aleaoria s, se supone que la función de densidad condicional de X esá dada por : ( =,,, ; ) f X s j X L X α () donde la variable aleaoria s sigue una cadena de Markov de orden uno con probabilidades de ransición p ij, ecuación (), y α represena el vecor de parámeros que caracerizan a las funciones de densidad condicionadas a cada régimen posible ( j=,,...,n), en forma compaca ales funciones se noan por η como sigue : η ( =,, L, ; α) f X s X X = M f X s N X X ( =,, L, ; α) Uno de los objeivos en ese ipo de modelo es esimar el conjuno de parámeros Θ, el cual esá compueso por el vecor α 4 y por las probabilidades de ransición p ij, con base en la hisoria de X. Como ambién, deerminar el régimen en el que se encuenra el proceso en cada momeno del iempo, con base en la probabilidad condicional de la variable de esado: (3) P{ s = j X, L, X ; Θ} 5 (4) 3 En el modelo (), los cambios de régimen esán dados solo por cambios del nivel medio de la serie, en la noa de pie de página 9 se presena como podría ser generalizado ese modelo de al forma que ambién enga en cuena cambios en la varianza enre los disinos regímenes. 4 Asumiendo que () sigue una disribución normal, α esaría conformado por los parámeros asociados a la pare auorregresiva (φ s) y por las diferenes medias y varianzas correspondienes a cada uno de los disinos esados. 5 Por ejemplo, si en el modelo () se consideran an sólo dos esados de la nauraleza, j=,, es necesario definir dos variables de esado, la primera, s * referene a los dos esados iniciales (esados primiivos) y la segunda, s, asociada a los esados finales, es decir : s = si s * = y s * - = s = si s * = y s * - = s = 3 si s * = y s * - = s = 4 si s * = y s * - = los cuaro esados finales aperecen como resulado del supueso realizado sobre el comporamieno markoviano de orden uno de la variable s *. Asumiendo normalidad, el vecor η se define así : 5

16 Como ya se mencionó, la probabilidad presenada en (4) permie hacer inferencia acerca del valor de la variable de esado con base en: (i) la información observada hasa el momeno () y (ii) el conocimieno de los parámeros poblacionales. En forma vecorial dichas probabilidades, para los N esados posibles de la nauraleza, pueden ser expresadas a ravés del vecor ξ $ así: $ ξ { =, L,, Θ} P s X X = M P s N X X { =,,, } L Θ (5) la inferencia ópima y el pronósico en cada momeno del iempo () puede ser calculado ierando sobre el siguiene par de ecuaciones : ξ $ ( ξ $ η ) ' $ ( ξ η ) = (6) ξ$. $ + = P ξ (7) η ( =,, L, ; ( =,, L, ; ( = 3,, L, ; ( = 4,, L, ; α) f X s X X f X s X X = f X s X X f X s X X = [ ( x µ ) φ ( x µ ) ] exp πσ σ exp πσ σ x µ φ x µ exp πσ σ x µ φ x µ exp πσ σ Si se supone que para odos los regímenes se iene la misma varianza enonces σ = σ. [ ( x µ ) φ ( x µ ) ] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]. 6

17 el símbolo o denoa muliplicación elemeno a elemeno. Dando valores iniciales a los vecores ξ$ 0 y Θ se inicia el proceso de ieración enre (6) y (7) para =,...,T que permie calcular $ ξ y ξ $ +. La función de verosimiliud L(Θ) asociada al conjuno de parámeros Θ de inerés se define como: donde: T = log f ( X X, L, X ; Θ) $ ( o ) f ( X X, L, X ; Θ) = ' ξ η (8) El numerador de (6) puede ser inerpreado como la función de densidad conjuna de X y s, dado que su j-ésimo (j=,...,n) elemeno es el produco de P{s X,...,X -, Θ } y ( =,,, ; ) f X s j X L X Θ, los cuales corresponden a los j-ésimos elemenos de $ de η, respecivamene. Así: [ ξ$ η ] = P{ s = j X, L, X ; Θ} f ( X s = j, X, L, X ; Θ) j = P{ X, s = j X, L, X ; Θ} El denominador de (6) puede enenderse como la sumaoria de (9) sobre los N posibles esados, es decir: N ( ξ $ η ) = P{ X, s = j X,, X ; } L Θ (30) ' j= lo cual equivale de acuerdo a (8) a la función de densidad marginal de X. De (9) y (30) se desprende que el j-ésimo elemeno de (6), dado por la razón enre la probabilidad conjuna de x y s, =j y la función de densidad de X, equivale a la probabilidad condicional de s dado X. Es de señalar que en el proceso ieraivo enre las ecuaciones (6) y (7) aneriormene descrio, el vecor de parámeros Θ fue considerado como conocido, sin embargo, su valor es generalmene desconocido y puede ser deerminado como aquel que maximiza la función de verosimiliud L(Θ) presenada en (8). (9) ξ y IV. Resulados bajo la meodología de Hamilon 7

18 La meodología propuesa por Hamilon se implemena sobre la inflación rimesral de Colombia para el período comprendido enre 954 y 996, uilizando para ello un modelo de series de iempo auorregresivo de orden (5) 6 y una cadena de Markov de orden () con res regímenes, los cuales consideran conjunamene cambios en el nivel medio de la serie y en la variabilidad. El ejercicio se inicia considerando la exisencia de solo dos regímenes. Sin embargo, los resulados muesran evidencia de un ercero esado. Así, la deerminación de los res esados no se deriva del análisis descripivo presenado en la sección II. En el cuadro 5 se presenan los resulados de la esimación del modelo swiching en lo que respeca a los niveles medios de la inflación rimesral y la varianza asociados a cada uno de los res regímenes 7, como ambién, las probabilidades de ransición enre regímenes. Es de señalar, que la caracerización deerminada por el modelo sobre los diferenes regímenes es como sigue: nivel promedio alo y variabilidad baja para el primer régimen, nivel y variabilidad moderadas para el segundo y para el ercero nivel promedio bajo y variabilidad ala 8. Un resulado ineresane esá vinculado con el hecho de que inflaciones rimesrales promedio alas ienen asociadas bajas variabilidades y viceversa, resulado ambién enconrado en Echeverry (995). Las probabilidades de ransición esimadas permien concluir, por ejemplo, que al esar en un régimen de inflación rimesral moderado, la probabilidad de permanecer en ése es muy ala (0.94), en ano que pasar de ése a un régimen de inflación promedio ala iene una probabilidad de (0.05), la cual es 5 veces mayor que la esimada para la ransición de moderada a baja (0.0). Adicionalmene, se puede observar que la máxima probabilidad de permanecer en un mismo régimen se iene en aquel caracerizado como de inflación y variabilidad moderadas. Dado que el rabajo se lleva a cabo sobre la inflación rimesral y que el manejo usual de la serie de inflación se lleva a cabo a ravés de la calculada mediane variaciones anuales, se realiza una ejercicio de aproximación al nivel medio de la inflación anual. Así, al considerar que el nivel promedio y la variabilidad de la inflación rimesral se manienen durane odo el año denro del mismo régimen se iene una inflación anual de: (i) 30.6% para el régimen correspondiene a nivel promedio alo y variabilidad baja, (ii) 6.5% bajo nivel promedio y variabilidad moderados y (iii) 5.% para el úlimo régimen, es decir, el de nivel promedio bajo y variabilidad ala. Es de anoar que, a pesar de que los niveles promedio anuales de inflación correspondienes a los regímenes 6 A pesar de que para la muesra complea el modelo AR(5) no presena residuales ruido blanco, la meodología swiching de Hamilon pare de ese modelo ya que al considerar uno de orden superior se iene un alo coso compuacional. Sin embargo, en la aproximación del problema a ravés de las diferenes submuesras ese modelo es correco (cuadro 4). Es de señalar que, bajo el modelo AR(5), el algorimo de esimación bajo swiching requiere de 0 días coninuos de ejecución en un compuador Sun Saion. 7 La programación de la meodología swiching de Hamilon fue desarrollada a ravés del módulo IML de SAS Versión Es imporane señalar que en ese conexo los calificaivos: alo, moderado y bajo sobre el nivel promedio y la variabilidad de la inflación rimesral en cada régimen, enconrados por el modelo, no esán asociados a los rangos usuales en la lieraura de inflación. En ese rabajo se consideran ales calificaivos únicamene con el propósio de diferenciar los regímenes bajo un ordenamieno de mayor a menor. 8

19 y 3 son similares, la principal diferencia enre ellos esá dada por sus correspondienes variabilidades. El gráfico 5 muesra las probabilidades asociadas a los res regímenes de la inflación rimesral, es de recordar que, como ya se mencionó, en el conexo presene un cambio de régimen sobre la inflación esá deerminado por un cambio en su media y/o en su varianza. La inerpreación del gráfico 5 se debe llevar a cabo de la siguiene forma: las 3 figuras del gráfico corresponden a los res regímenes caracerizados por el modelo, así, si para una figura paricular, en un momeno del iempo (), se regisra una probabilidad esimada mayor que 0.5, significa, en general, que la inflación perenece al régimen correspondiene a dicha figura. Como resulado ineresane de señalar se iene que al finalizar el período de esudio (996.IV) la inflación rimesral puede ser ubicada denro del régimen descrio por nivel y variabilidad moderados. Es imporane resalar que, como puede observarse en el gráfico 5, al comparar las probabilidades con el nivel observado de inflación rimesral, la caracerización de los diferenes regímenes no solo ienen en cuena el nivel sino ambién la variabilidad. Modelo: Cuadro 5 Esimación del modelo auorregresivo bajo cambios de régimen para la Inflación rimesral ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LIPC µ = φ LIPC µ + φ LIPC µ + φ LIPC µ + φ LIPC µ + φ LIPC µ + ε * * * * * * S S S 3 3 S 4 4 S 5 5 S Parámeros Auorregresivos Esimados: φ$ = φ$ = φ$ 3 = φ$ 4 = φ$ 5 = 067. Esado 9 (i) $µ i $σ $ i P( S i S ) P $ ( S i S ) P $ ( S i S3) () Inflación Ala Variabilidad Baja P 0.44 P 0.7 () P P P 3 P Si se hubiesen esimado inervalos de confianza para la media y la varianza correspondienes a cada regimen, la deerminación de esado en érminos del nivel de la media y de la maginiud de la varianza podrían haber sido diferenes. 9

20 Inflación y Variabilidad Moderada (3) Inflación Baja Variabilidad Ala P P P Un ejercicio adicional se lleva a cabo para el período comprendido enre 97.I IV, con el objeivo de deerminar, de ciera forma, lo robuso de los resulados frene a cambios de muesra, es decir, revisar si ésos cambiaban o no al no considerar, en el conjuno de información, las décadas de los cincuena y los sesena. Como se aprecia en el gráfico 6 los resulados son similares a los obenidos en el ejercicio inicial. Sin embargo, el cambio más noable se da en la ransición del esado de inflación ala y variabilidad baja a los esados resanes durane el año 987. Es de señalar que los resulados obenidos para los años 990 y 99 se manienen. 0

21 Gráfico 5 Probabilidad de que la economía esé en un esado con: 0.5 Inflación ala y Variabilidad baja Inflación Trimesral Probabilidad Inflación y Variabilidad moderadas Inflación Trimesral Probabilidad Inflación baja y Variabilidad ala Inflación Trimesral Probabilidad

22 Gráfico 6 Probabilidad de que la economía esé en un esado con: Inflación ala y Variabilidad baja Inflación Trimesral Probabilidad Inflación y Variabilidad moderadas Inflación Trimesral Probabilidad Inflación baja y Variabilidad ala Inflación Trimesral Probabilidad

23 BIBLIOGRAFIA Box, G.P. and G.M. Jenkins 976, Time Series Analysis : Forecasing and Conrol, De San Francisco : Holden-Day. Dickey, D. A. and W. A. Fuller 979. Disribuion of he Esimaors for Auoregressive Time Series wih a Uni Roo, Journal of he American Saisical Associaion, No. 74. Echeverry, J.C Auge y perpeuación de una inflación moderada. Colombia , Ensayos sobre políica económica, Banco de la República, No. 8. Hamilon, J A New Approach o he Economic Analysis of Nonsaionary Time Series and he Business Cycle, Economerica, No. 57. Hamilon, J Time Series Analysis, Princeon Universiy Press. Hansen, B.E. 99 Tesing for Parameer Insabiliy in Linear Models, Journal of Policy Modeling, No. 4. Hosland, D Changes in he Inflaion Process in Canada: Evidence and Implicaions, Bank of Canada, Working Paper Kwiakowski, D., P. C. B. Phillips, P. Schmid and Y. Sin 99. Tesing he Null Hypohesis of Saionariy agains he Alernaive of a Uni Roo: How Sure Are Tha Economic Time Series Have a Uni Roo? Journal of Economerics 54. Lukepohl, H Inroducion o Muliple Time Series Analysis, Springer-Verlag, Second Ediion. Perez, G Indicadores líderes de inflación, una aproximación de regímenes cambianes, Mimeo Banco de la República. 3