TÓPICOS RECIENTES DE SERIES DE TIEMPO MULTIVARIADAS APLICADOS EN LA ECONOMÍA

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1 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de Blaconá, María Teresa Bussi, Javier Venroni, Nora Belrán, Celina Insiuo de Invesigaciones Teóricas Aplicadas de la Escuela de Esadísica, Faculad de Ciencias Económicas Esadísica. Consejo de Invesigaciones, Universidad Nacional de Rosario. Insiuo de Invesigaciones Teóricas Aplicadas de la Escuela de Esadísica, Faculad de Ciencias Económicas Esadísica, Universidad Nacional de Rosario. TÓPICOS RECIENTES DE SERIES DE TIEMPO MULTIVARIADAS APLICADOS EN LA ECONOMÍA I. INTRODUCCIÓN Un aspeco imporane de las ciencias sociales, económicas, políicas, enre oras, es realizar pronósicos con un ciero grado de precisión. En la oma de decisiones, al menos implíciamene, se debe ener alguna idea del fuuro. Se pueden realizar pronósicos a parir de información cualiaiva o cuaniaiva, a ese úlimo ipo perenecen las series de iempo que se las puede definir como un conjuno de observaciones pasadas presenes regisradas secuencialmene en el iempo. Esa información por lo general es basane limiada, es a parir de ella que se preende, mediane un modelo esadísico, conseguir previsiones con un grado de inceridumbre conrolable. Por ese moivo es imporane usar méodos de pronósicos que engan en cuena odas las fuenes de información disponibles. A parir de esas fuenes, se puede conar con una única serie aplicar modelos para una única variable (univariados); o varias series relacionadas, en cuo caso puede ser beneficioso uilizar modelos de varias variables (mulivariados). En disinas publicaciones referidas al ema, (libros, revisas especializadas, comunicaciones de congresos) se encuenran preferenemene rabajos ano eóricos como aplicados que analizan emas sobre series de iempo univariadas. A modo de ejemplo, si se revisan los arículos presenados en la revisa que es publicación oficial del Inernaional Insiue of Forecasers: Inernacional Journal of Forecasing, de los úlimos cinco años sólo aproximadamene el 7% de los arículos raa emas referidos a series mulivariadas. No obsane, es reconocido por muchos auores que si se cuena con dos o más series relacionadas se pueden enconrar esimaciones más eficienes pronósicos más precisos si se rabaja con series mulivariadas en lugar que con cada serie en forma univariada. A modo de ejemplo se pueden mencionar: Peña (200), realiza simulaciones Mone Carlo, donde compara el desempeño de modelos ARIMA VARMA muesra que cuando la dependencia enre las componenes de un vecor de series de iempo es conemporánea, crece la precisión de los pronósicos mulivariados respeco de los univariados. Bidarkoa (998), para realizar pronósicos de la asa real de inerés compara los pronósicos consruidos a parir de un modelo univariado de componenes

2 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de no observadas, con un modelo bivariado omando como segunda variable la asa de inflación, imponiendo resricciones de coinegración enre las dos series. Muesra que el modelo de corrección de error realiza pronósicos pos muésrales una eapa hacia delane, más exacos precisos. Enre los modelos mulivariados más uilizados se pueden disinguir: modelos VAR (Tiao Box, 98), modelos para series coinegradas modelos de corrección de error (Engle Granger, 987), modelos esrucurales mulivariados (Harve, 989). Hasa ho día exisen conroversias sobre cuáles modelos se desempeñan mejor bajo qué circunsancias. Así mismo, exisen varios ópicos para los cuales dichas conroversias son más candenes. De dichos ópicos se presenan: i) Modelos VAR coinegración, ii) Series esacionales coinegración. En ese rabajo se realiza un breve reseña de los méodos de series de iempo mulivariadas más recomendados en la bibliografía reciene, se aplican a series argeninas. En la sección II se presenan brevemene los modelos VAR, la definición de coinegración, los modelos VAR resringidos con la ecuación de equilibrio una aplicación a las series de asas de desocupación de Gran Rosario Gran Buenos Aires. En la sección III se realizan los mismos pasos de la sección II pero con modelos esrucurales de espacio de esado mulivariados. En la sección IV se analizan especialmene los modelos mulivariados para series con esacionalidad ano por medio de los VAR como de los esrucurales. En la sección V se realiza una breve discusión en la sección VI se presenan las referencias bibliográficas. II. MODELOS VAR Dadas m series de iempo, 2,..., m conjunamene con m series individuales ruido blanco,, 2,,..., m, organizadas en los vecores Y e de la siguiene manera:, ε, 2, ε2, Y e (II.) m, εm, se puede considerar el modelo vecorial auoregresivo de orden p, usualmene referido como VAR(p), el cual se represena a coninuación: Y, 2, m,, 2, m, m, m, mm,, 2, m,,p 2,p m,p m,p 2m,p mm,p, 2, m, µ µ 2 µ m (II.2) ε ε ε, 2, m, donde e ~ N(0,) las series individuales i, no esán correlacionadas con sus propias observaciones pasadas ni con observaciones pasadas de las oras series correspondienes a los oros errores j, (ij). El modelo se puede escribir en forma más abreviada de la siguiene manera:

3 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de Y... e Y py p (II.3) o simplemene: ( Y e siendo p L) ( L) I L... L p m p p II. MODELO VAR PARA LAS TASAS DE DESOCUPACIÓN DE GRAN ROSARIO (GR) Y GRAN BUENOS AIRES (GBA) Los modelos VAR se pueden uilizar para explicar el comporamieno de las asas de desocupación de GR GBA. Se cuena con información desde el año 974 hasa el año Las series se muesran en el gráfico II... Gráfico II..: Tasa de desocupación de Gran Rosario Gran Buenos Aires (º onda da onda 2002) Tasa Gran Rosario Fuene: INDEC 74, 75,2 77, 78,2 80, 8,2 83, 84,2 86, 87,2 89, Gran Buenos Aires Onda 90,2 92, 93,2 95, 96,2 98, 99, El modelo ajusado es un VAR(2) con cambios de nivel en la primera onda de 995 la segunda onda de 200. Las ecuaciones para GR GBA resulan: λ λ λ λ τ ε τ ε

4 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de Donde, es la diferencia de orden de la asa de desocupación de GR en el iempo e 2, es la diferencia de orden de la asa de desocupación de GBA en, λ i, λ i,2 represenan respecivamene los cambios de nivel a parir de la primera onda de 995 de la segunda onda de 2002 en la ecuación i-ésima. II.2 MODELOS VAR Y COINTEGRACIÓN Desde la publicación de Engle Granger (987), el análisis de relaciones de coinegración se ha vuelo una prácica común en los rabajos aplicados de daos macroeconómicos. C. Granger recibió el premio Nobel (The Swedish Academ of Sciences, 2003) por su rabajo cienífico que inclue la inroducción del concepo de coinegración. II.2. COINTEGRACIÓN Según lo expresado por C. Granger (98) Al menos a un nivel sofisicado de la eoría económica, exise la creencia que cieros pares de variables económicas no deberían divergir mucho una de ora durane mucho iempo, al menos a largo plazo. La idea subacene es la de coinegración, la cual permie especificar modelos que capan pare de al relación. Definición de coinegración: Si e 2 son I(), pero exise una combinación lineal z m a b 2, la cual es I(0), enonces se dice que e 2 son coinegradas. (II.2.) Si e 2 ienen media cero no ienen endencia deerminísica, exise una consane A al que z - A 2, (II.2.2) es I(0), enonces se dice que e 2 son coinegradas, siendo A el parámero de coinegración. La relación A 2, se puede considerar como la relación de equilibrio a largo plazo, como lo sugieren algunas eorías económicas, enonces z de II.2. mide en cuáno el sisema e 2 esá fuera de equilibrio. En ese caso, se eniende como equilibrio que la endencia de un sisema económico se mueva a ravés de una región paricular del espacio de resulados posibles. En oras palabras, si e 2 son I() pero se mueven junas a largo plazo es necesario que z sea I(0). En esos casos las dos series se moverán aparándose denro de cieros limies. Para probar si dos series esán coinegradas se realizan dos eapas: a) se desarrolla la regresión 2 u, se esima por MCO se obienen ψ ˆ, ϕˆ ṷ ; b) se considera el es de regresión auxiliar (II.2.3)

5 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de ṷ π ρṷ θṷ... θpṷ p v, (II.2.4) se evalúa el es de significación de. Cuando 0, ṷ iene raíz uniaria e ψˆ ϕˆ 2, es una serie de iempo no esacionaria, por lo ano no refleja relación de coinegración. Cuando <0, eso es cuando (ρˆ ) iene un valor significaivo negaivo, se dice que e 2 esán coinegradas. Tes de coinegración de Johansen Exisen oros ess de coinegración basados en los modelos VAR uilizando la meodología propuesa por Johansen, (99). Dado el modelo VAR de orden p: A... A p p Bx, (II.2.5) donde es un vecor k-dimensional de variables I() no esacionarias, x es un vecor compueso por d variables deerminísicas es un vecor de innovaciones. El modelo VAR puede ser reescrio como: p i Bx, (II.2.6) donde p i i A I A. i k i p j i j En el caso de que la mariz de coeficienes uviera rango r<k, enonces exisirían las marices de dimensión kxr, cada una con rango r al que: ' ' esacionario. El número de relaciones de coinegración es r, cada columna de es el vecor de coinegración. Los elemenos de son los parámeros de ajuse en el modelo de corrección de error. El méodo consise en esimar la mariz de manera irresrica luego esar si se pueden rechazar las resricciones impuesas por el rango reducido de dicha mariz. En el caso de k variables endógenas, puede haber hasa k- relaciones de coinegración linealmene independienes. Si no se halla ninguna relación de coinegración, los modelos VAR irresricos pueden aplicarse a las series. Si exise una relación de coinegración en el sisema, enonces una única combinación lineal de las series endógenas - se suma a cada ecuación en el modelo VAR, denominado érmino de corrección del error. Si exisieran relaciones de coinegración adicionales, cada una conribuiría con un érmino de corrección de error que corresponde a una combinación lineal disina de las series. Si exisieran exacamene k relaciones de inegración, ninguna de las series endría raíz uniaria. Los ess que se pueden realizar incluen disinas posibilidades acerca de la media de la serie el ipo de endencia, como así ambién acerca de la presencia de

6 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de ordenada al origen /o endencia deerminísica en la relación de coinegración. II.2.2 COINTEGRACIÓN ENTRE LAS SERIES DE TASA DE DESOCUPACIÓN DE GRAN ROSARIO Y GRAN BUENOS AIRES La asa de desocupación de ambos aglomerados urbanos iene un comporamieno similar a ravés del iempo, eso fue el moivo de inroducir el concepo de coinegración enre ambas series como un medio para audar a explicar sus comporamienos. Sea la serie asa de desocupación de GR e 2 la asa de desocupación del aglomerado GBA. Ambas series presenan raíz uniaria eniendo en cuena los ouliers adiivos (AO) cambios de nivel que ambas presenan. Para probar la presencia de coinegración eviar relaciones espúreas se endrán en cuena los cambios de nivel comunes a ambas series. El es de coinegración de Johansen, eniendo en cuena el cambio de nivel de la er. onda de 995 2da. onda de 200, resula significaivo al 5%. La ecuación de coinegración normalizada es: (7.87) (II.2.2.) La relación de equilibrio a largo plazo iene media disina de cero posiiva, lo que indicaría que la asa de desocupación de GR por lo general se maniene más ala que la asa de GBA, pero a medida que las asas van aumenando la brecha se va haciendo más chica. II.3 MODELOS DE CORRECCIÓN DE ERROR (MEC) Los modelos de corrección de error son modelos VAR a los cuales se les imponen resricciones dadas por las relaciones de coinegración (Engle and Granger, 987). Sea un modelo VAR() bidimensional escrio de la siguiene manera: δ η, 2, µ µ 2 ρ ρ 2 δρ ηρ2, 2, ε ε, 2, (II.3.) Muliplicando ambos lados de la ecuación por la inversa de la mariz en el exremo izquierdo de la ecuación subsraendo Y - de ambos lados de la ecuación resula: Y Y e (II.3.2) donde los elemenos de e son funciones de los errores de la ecuación anerior ambién de η δ, siendo:

7 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de ( ηµ δµ 2) /( η δ) ( µ 2 µ )/( η δ) ( ηρ δρ ( ρ 2 2 η δ) /( η δ) ρ ) /( η δ) ηδ( ρ ρ2) /( η δ) ( ηρ δρ η δ) /( η δ) 2 En el caso de que exisa sólo una relación de coinegración (ρ >ρ2 0), la mariz puede ser reescria como: ' con: δ( ρ2)/( η δ) ( ρ2) /( η δ) η Esa descomposición no es única, en el senido de que es posible hallar oras resricciones sobre Π que ambién corresponden a coinegración. En ese caso, cada una de las series individuales iene raíz uniaria, pero el vecor bivariado de las series iene una sola raíz uniaria, es decir que cuando las series esán coinegradas, ienen una raíz uniaria común por lo ano una endencia esocásica común. El vecor β coniene los parámeros de coinegración que deerminan la relación a largo plazo enre las dos series. Los elemenos de α son los parámeros de ajuse que muesran la velocidad hacia la relación de equilibrio. Eso se puede ver en la siguiene ecuación, con el fin de simplificar la noación, si se indica con α α 2 a los elemenos de la mariz α, resula: µ α η ε, (, 2, ), 2, µ 2 α2(, η2, ) ε2,. (II.3.3) Cada una de esas ecuaciones es llamada modelo de corrección de error el sisema recibe el nombre de modelo vecorial de corrección de error. II. 3. MODELO DE CORRECCIÓN DE ERROR (MEC) PARA LAS TASAS DE DESOCUPACIÓN DE GR Y GBA. Se esiman disinos modelos para las asas de desocupación de GR GBA : un modelo VAR() irresrico, modelos MEC con reardos 0, 2. Se selecciona el MEC de reardo 0 en base a los crierios de Akaike Schwarz. El modelo esimado es el siguiene: - 0,55 (, , ) IO95_ IO0_2 (-2.78) (-7.87) (0.20) (3.22) (.57) 2 0,45 (, , ) IO95_.429 IO0_2 (.) (-7.87) (0.485) (4.52) (0.88) (II.3..)

8 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de Ese resulado muesra que α 2 no es significaivo, por lo ano se puede considerar α 2 0, en consecuencia el proceso 2, es débilmene exógeno para η (Johansen, 992). Resulado que esá en concordancia con el es de causalidad de Granger que evidencia que la asa de desocupación de GR no es causa de la asa de GBA (p0.632), en cambio la asa de desocupación de GBA es causa de la asa de GR (p0.07). En esos casos se puede desarrollar el análisis de coinegración con un modelo ECM condicional (MCEC) para, (Bowijk, 994). Como α 2 0 en (II.3..) se puede escribir µ 95 ε 2,, (II.3..2) 2, 2 2,( ) w2,io _ w2,2 IO0_ 2 un camino aleaorio con consane cambios de nivel para, el MCEC resula donde µ, (II.3..3), α2,( ) ψ,( ) w, IO95_ w,2 IO0_ 2 ε, ψ α η. Los parámeros del modelo (II.3..3) se pueden esimar por mínimos cuadrados ordinarios. El modelo esimado es:, ,( ) 0.804,( ) 2.506IO95 _.890IO0_ 2 ε,. (II.3..4) Para probar la hipóesis de no coinegración ha que posular la hipóesis nula α0 ψ0 mediane un es de Wald. La eoría asinóica del es de Wald propuesa por Bowijk(994) es un χ 2 con valor críico al nivel de significación 0.0 de El valor observado resula Por lo ano se rechaza la hipóesis de no coinegración. Se esima (II.3..4) por mínimos cuadrados no lineales para obener el valor de η se obiene, ,( ) (,29)(0.38),( ) 7.790IO95 _ 4.22IO0_ 2 (II.3..5) Como el desvío esándar de la esimación de η es 0.2, el inervalo de confianza del 95% cubre el valor uno. En consecuencia el MCEC para, se puede escribir, ( 2,( ),( ) ) 7.79IO95 _ 4.22IO0_ 2. (II.3..6) Finalmene, esa ecuación expresa el modelo para el incremeno de la asa de desocupación de GR.

9 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de III MODELO DE ESPACIO DE ESTADOS (ESTRUCTURAL) MULTIVARIADO (MEEM) En forma similar a los modelos de ecuaciones simuláneas aparenemene no correlacionadas (SUR), propuesos por Zellner en 963, [ seemingl unrelaed regressión equaion (SURE) model], Harve (989) propone un sisema como un modelo de ecuaciones de series de iempo aparenemene no correlacionadas (SUTSE),[ seemingl unrelaed ime series equaions a SUTSE model]. Sea un vecor (Nx) de observaciones, (en ese caso N2), el cual depende de componenes no observables que ambién son vecores. La relación enre las disinas series se puede observar a ravés de los disurbios de los disinos componenes. En un modelo con facores comunes, algunas o odas las marices de covariancias, serán de rango reducido. La especificación del modelo en el caso de las asas de desocupación donde exise nivel aleaorio esacionalidad deerminísica es del ipo:, ~ NID( 0, e ),, ~ NID( 0, ), η, (III.), µ γ son vecores 2x; ε η son vecores 2x de disurbios normales mulivariados, muuamene no correlacionados en odos los períodos; Σ ε Σ η son marices de covariancias 2x2, las diagonales de esas marices represenan las variancias de los hiperparámeros. III. MEEM PARA LAS SERIES TASAS DE DESOCUPACIÓN DE GR Y GBA El modelo MEEM para las series asa de desocupación de GR GBA iene la siguiene represenación:, ~ NID( 0, e ), 74. al 02-2, CN CN, ~ NID( 0, ), η, (III..) donde CN represena el vecor de cambio de nivel. Ambas series presenan nivel aleaorio, esacionalidad fija cambios de nivel en la primer onda de 995 segunda onda de 200. III.2 MODELOS DE ESPACIO DE ESTADO CON FACTORES COMUNES En un modelo de facores comunes, algunos o odos los componenes se pueden rabajar con vecores de disurbios con menos de N elemenos. Enconrar facores comunes permie arribar a modelos que pueden ener una inerpreación ineresane, como así ambién, brindar inferencias más eficienes. La presencia de facores comunes significa que las marices de covariancia de los

10 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de disurbios relevanes son menores que de rango compleo. Si en el modelo (III.) se supone que iene nivel común, enonces el rango de Σ η será igual a K (K<N). El modelo con nivel común puede ser escrio: θ, ~ NID( 0, e ),, ~ NID( 0, D), (III.2.) vecor x (escalar), Θ mariz 2x de facores de carga esandarizados (con valores en la diagonal principal), D mariz diagonal en ese cado escalar, µ θ vecor 2x con los primeros N-K elemenos iguales a cero los K resanes elemenos es un vecor (escalar). Se puede volver al modelo original (VII.) escribiendo Θ µ µ θ µ noando que Σ η Θ D Θ es una mariz singular de rango K. Cuando no exise endencia común, NK la mariz de facores de carga es la descomposición de Cholesk de Σ η. La presencia de endencia común en esos modelos es equivalene al concepo de coinegración, donde si las series son inegradas de orden uno, exise una mariz A de vecores de coinegración (N-K)xNx2 al que A es esacionario. Eso es equivalene a A Θ 0. III.3 MODELOS DE ESPACIO DE ESTADO CON FACTORES COMUNES PARA GR Y GBA Las marices de covariancia esimadas de los disurbios del modelo (III..) son: ˆ ˆ ε, η La mariz diagonal del nivel es D ˆ. 235, el vecor ranspueso de facores de ˆ , con un vecor de consane del ˆ carga esandarizados del nivel [ ] nivel ranspueso [ ] Ignorando el componene esacional deerminísico se puede escribir µ ε, µ ε 2, (III.3.) donde µ es camino aleaorio univariado. La relación enre el nivel de las dos series al final del espacio de esados, puede escribirse como: µ.062 µ La relación del nivel esocásico enre las asas de desocupación de GR GBA, al final del espacio de esados, esá en concordancia con la relación de equilibrio a largo plazo, enconrada en la sección II.2.2 muesra que el nivel de la asa de GR al final

11 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de del período es superior a la de GBA. IV. SERIES ESTACIONALES MULTIVARIADAS Una alernaiva para deerminar el ipo de esacionalidad presene en los daos es aplicar un es para deecar raíces uniarias en la frecuencia cero en las frecuencias esacionales. Asimismo, es posible caracerizar la relación enre series de iempo mediane el procedimieno de esimación es de coinegración esacional. Las variables coinegradas pueden pensarse provenienes de un proceso llamado Modelo de Corrección de Error. El mecanismo de corrección de error ha sido mu uilizado en diversas aplicaciones en economería. La idea de los mismos es que el desequilibrio que se produce enre las variables en un deerminado momeno es corregido en los próximos períodos. La eoría de inegración coinegración esacional es discuida por Hlleberg, Engle, Granger Yoo (990). Ellos desarrollan un es para raíces uniarias esacionales uilizan écnicas para examinar la coinegración en diferenes frecuencias en series económicas. Una exensión de ese procedimieno se presena en Ghsels, Lee Noh (994). Engle, Granger, Hlleberg Lee (993) invesigan la esimación el es para coinegración en cada frecuencia, con un procedimieno en dos eapas similar al sugerido por Engle Granger (987) para coinegración en la frecuencia cero. Es mu frecuene, en rabajos empíricos, considerar a la esacionalidad como un ruido moleso que debe ser reirado de las series previo al análisis de las mismas. Por ese moivo a menudo se uiliza algún méodo que permia desesacionalizar las variables esimar modelos a parir de los daos filrados. Enre los méodos más uilizados podemos ciar el uso de variables dummies, cua limiación más imporane es el suponer la esacionalidad como un fenómeno deerminísico, el uso de filros del ipo diferencias con respeco al mismo período del año anerior o el méodo X- ARIMA. Esos úlimos, si bien asumen a la esacionalidad esocásica, esacionaria, pueden resular inadecuados cuando las series esán esacionalmene inegradas. En los úlimos años se ha incremenado la discusión acerca del raamieno de la esacionalidad en las series de iempo. En pare, esa discusión esuvo focalizada en el esudio de raíces uniarias en alguna frecuencia esacional el desarrollo de disinos méodos de análisis de coinegración, meodología adecuada cuando el parón esacional varía con el iempo. Sin embargo, cuando la esacionalidad presena un comporamieno aproximadamene consane en el iempo, es posible describirla mediane un conjuno de variables dummies luego de aplicar una diferencia de primer orden, si fuese necesario. Hasa el día de ho se discue cómo llevar a cabo el proceso de modelización de una serie esacional. IV. INTEGRACIÓN ESTACIONAL El procedimieno desarrollado por Hlleberg, Engle, Granger Yoo (HEGY, 990) permie deerminar si en un proceso univariado exise alguna raíz uniaria esacional, como así ambién en la frecuencia cero. Considérese a modo de ejemplo, el caso de una serie de iempo rimesral. Sea

12 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de un proceso esocásico univariado α u 4.,2,..., T (IV..) donde es un proceso esacionario con media cero variancia consane. El proceso iene cuaro raíces uniarias cuando α, una en la frecuencia θ, una en θπ, un par de raíces complejas en las frecuencias θπ, π El es desarrollado por Hlleberg, Engle, Granger Yoo (HEGY - 990) inroduce la facorización del polinomio de diferencia esacional ϕ(b)4(-b4), donde B es el operador de rezago, esima por mínimos cuadrados ordinarios la siguiene regresión: donde π π π π ε (IV..2) (IV..3) Si es necesario, pueden adicionarse rezagos de 4 para que los errores sean ruido blanco, como así ambién componenes deerminísicos ales como consane, endencia variables dummies esacionales. El objeivo es probar la hipóesis que las raíces del polinomio son, -, i, -i. Para la raíz, cero ciclos por año, el es consise en someer a prueba la hipóesis π, de la misma manera que para la raíz, dos ciclos por año, cua hipóesis correspondiene es π. Con respeco a las raíces complejas, un ciclo por año, deberá probarse que ambos π π son igual a cero, mediane un es conjuno. No exisirán raíces uniarias esacionales si π alguno de π o π son diferenes de cero, lo cual requiere el rechazo de ambos es. Para deerminar si la serie es esacionaria, es decir que no iene ninguna raíz uniaria, debe verificarse que cada uno de los coeficienes π son no nulos, excepo alguno de π o π. Los valores críicos para esos es se encuenran en las ablas a b de HEGY. Las hipóesis alernaivas de esacionariedad para ésos son: La alernaiva para ϕ sería ϕ >, lo que significa π. La alernaiva esacionaria para ϕ sería ϕ >, lo que significa π. La alernaiva para ϕ es ϕ > lo que implicaría que π π no son cero simuláneamene. Una forma de llevar a cabo dicho es es, como se menciona aneriormene, mediane un es F. Sin embargo ésa no es la única esraegia a que es posible realizar un es bilaeral sobre π, si conduce a un no rechazo, enonces se sigue con un es para π versus π <. Sin embargo de esa manera se podría perder poencia cuando el primer supueso realizado sobre π no esá garanizado. IV.2 INTEGRACIÓN EN LAS SERIES DE INGRESO NACIONAL DISPONIBLE Y CONSUMO NACIONAL DE ARGENTINA < < Las series Ingreso Nacional Disponible Consumo Nacional de Argenina poseen un fuere componene esacional (Gráfico IV.2. Gráfico IV.2.2) el cual será analizado en los párrafos siguienes.

13 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de Gráfico IV.2.: Logarimo naural del ingreso bruo disponible a precios del mercado, en Argenina ( ) 2.7 Gráfico IV.2.2: Logarimo naural de consumo, público privado, en Argenina ( ) ln(ingreso) Fuene: ln(consumo) El es HEGY para deecar raíces uniarias esacionales se aplica a las series, incorporando a la regresión auxiliar un inercepo, una pendiene, dummies esacionales disinos órdenes de rezago para lograr residuos provenienes de un proceso ruido blanco. Los valores críicos fueron exraídos de las ablas a b de HEGY 990 (Pág ). Los resulados se muesran en las Tablas IV.2. IV.2.2 Tabla IV.2.: Tes de inegración esacional en el logarimo del ingreso disponible. Rezagos Esadísicas Raíz uniaria en: incluidos b π π 2 π 3 π 4 π 3 π 4,2,3,4,5,6, a Todas las frecuencias Ninguno a Frecuencia cero, posiblemene anual a Frecuencia cero posiblemene anual - significaivo al 0% - significaivo al 5% - significaivo al % a- Dado que no puedo asumir π 40 por haber rechazado dicha hipóesis, no iene senido hacer el es para π 3. b- En odos los casos, los coeficienes de los rezagos las diez primeras auocorrelaciones de los residuos resularon no significaivas. Tabla IV.2.2: Tes de inegración esacional en el logarimo del consumo oal. Rezagos Esadísicas Raíz uniaria en: incluidos π π 2 π 3 π 4 π 3 π 4,2,3,4,5,6, Todas las frecuencias Ninguno a Frecuencia cero anual a Frecuencia cero, bianual posiblemene ambién en la anual - significaivo al 0% - significaivo al 5% - significaivo al % a- Dado que no puedo asumir π 40 por haber rechazado dicha hipóesis, no iene senido hacer el es para π 3. b- En odos los casos, los coeficienes de los rezagos las diez primeras auocorrelaciones de los residuos resularon no significaivas.

14 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de Dado que los residuos de la regresión auxiliar sin rezagos resulan ruido blanco el érmino de endencia resula no significaivo en odos los casos, no es necesaria la inclusión de esos érminos en la regresión. Las ablas IV.2.3 IV.2.4 presenan los resulados obenidos en el es HEGY mediane una regresión auxiliar que no coniene rezagos de las variables ni endencia deerminísica. Asimismo, se adicionan los es conjunos propuesos por Ghsels, Lee Noh (994) correspondienes a los res coeficienes esacionales, F 2,3,4 a los cuaro coeficienes, F,2,3,4. cuos valores críicos se encuenran en el apéndice C (pag ) Tabla IV.2.3: Tes de inegración esacional en el logarimo del ingreso disponible con regresión auxiliar sin endencia sin rezagos. Rezagos Esadísicas Raíz uniaria en: incluidos π π 2 π 3 π 4 π 3 π 4 Ninguno a Frecuencia cero posiblemene anual F 2,3,4 59,88 F,2,3,4 54,55 - significaivo al 0% - significaivo al 5% - significaivo al % a- Dado que no puedo asumir π 40 por haber rechazado dicha hipóesis, no iene senido hacer el es para π 3. b- En odos los casos, los coeficienes de los rezagos las diez primeras auocorrelaciones de los residuos resularon no significaivas. Tabla IV.2.4: Tes de inegración esacional en el logarimo del consumo oal con regresión auxiliar sin endencia sin rezagos. Rezagos Esadísicas Raíz uniaria en: incluidos π π 2 π 3 π 4 π 3 π 4 Ninguno a Frecuencia cero posiblemene anual F 2,3,4 60,82 F,2,3,4 58,04 - significaivo al 0% - significaivo al 5% - significaivo al % a- Dado que no puedo asumir π 40 por haber rechazado dicha hipóesis, no iene senido hacer el es para π 3. b- En odos los casos, los coeficienes de los rezagos las diez primeras auocorrelaciones de los residuos resularon no significaivas. Según los resulados obenidos por los disinos es, no esá mu definido que ipo de esacionalidad esá presene en los daos. En ambas series económicas, es evidene la presencia de raíz uniaria en la frecuencia cero (H0: π 0), como así ambién es claro que en la frecuencia bianual se rechaza dicha hipóesis (H0: π 2 0). Con respeco a la frecuencia anual, ano para el ingreso como para el consumo, el es para el coeficiene π 4 resula significaivo indicando la ausencia de raíz uniaria pero el es conjuno basado en la esadísica F se conradice con esa afirmación. En Ghsels, Lee Noh (994) se demuesra que los es secuenciales para π 3 π 4, a diferencia del es conjuno F 3,4, iende a sobresimar el nivel de significación nominal del es. IV.3.COINTEGRACIÓN ESTACIONAL Exise una consecuencia en la modelización de las relaciones enre series

15 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de económicas cuando alguna raíz uniaria esacional esá presene en los daos, lo que deriva en el concepo de coinegración. Si por ejemplo, dos variables esán esacionalmene inegradas, es posible que exisa una combinación lineal de ellas en la cual alguna raíz uniaria esacional se haa eliminado. IV.3. MÉTODO DE DOS PASOS Engle, Granger, Hlleberg Lee (EGHL,993) propusieron un méodo, consisene en dos pasos, para probar si exise coinegración esacional no esacional. En el caso de coinegración en odas las frecuencias en una serie de iempo bivariada (,x ), las siguienes combinaciones lineales serán esacionarias α α α α (IV.3..) donde (IV.3..2) con represenando a o w j, a o, para j,2,3. El primer paso consise en esimar los coeficienes α,...,α 4 por mínimos cuadrados ordinarios, incluendo en cada una de las regresiones de coinegración, si fuese requerido, una pare deerminísica (dummies esacionales, endencia e inercepo). En el segundo paso, los residuos esimados de las regresiones de coinegración son evaluados para deerminar si son esacionarios. Eso se realiza mediane las siguienes regresiones auxiliares π γ ε π γ ε π π γ ε (IV.3..3) La hipóesis nula de no coinegración en la frecuencia cero bianual, corresponde a π0 π20, respecivamene para la frecuencia anual, la hipóesis nula de no coinegración es π 3 0 π 4 0 simuláneamene, la cual se realiza mediane un es conjuno. Para las frecuencias cero bianual, la disribución de las esadísicas son las obenidas por Engle Granger (987), mienras que para el caso de la frecuencia anual, los valores críicos de la disribución son presenados en EGHL (993).

16 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de IV.3.2 MODELOS VAR ESTACIONALES Un procedimieno alernaivo, que exiende el enfoque máximo verosímil de Johansen (988, 99) Johansen Juselius (990), fue sugerido por Lee (992). El mismo no requiere conocimieno previo acerca de las raíces uniarias presenes en cada frecuencia. Asumiendo que el vecor de variables de dimensión kx, Y, esá esacionalmene inegrado, el siguiene modelo VAR de orden p para daos rimesrales puede rescribirse como donde,,, D son los componenes deerminísicos (posiblemene dummies esacionales, inercepo endencia), las marices ienen dimensión kxk los son vecores, de dimensión kx, independienes de variables con disribución normal. Si las marices, o ienen rango compleo, las series no presenan raíces uniarias en las correspondienes frecuencias, mienras que si el rango es cero, enonces no exisen relaciones de coinegración en dicha frecuencia. En el caso en que el rango de es 0<r i <k, significa que es posible expresar Π i B i C i donde B i C i son marices de dimensión k x r i ales que C i Y i,- es esacionario aunque no lo sea. Las marices C i se denominan marices de coinegración. Para realizar el es de razón de verosimiliud es necesario realizar algunas definiciones. Sea R 0 la serie de los residuos obenidos de regresar a sobre las diferencias rezagadas los componenes deerminísicos del modelo, mienras que R k es la serie de los residuos de regresar cada Y k,- sobre las diferencias rezagadas los érminos deerminísicos, para k, 2, 3 4. A coninuación se deallan los ess de coinegración en cada frecuencia. (IV.3.2.) IV.3.2. Tes de coinegración en la frecuencia cero: Cuando se quiere probar coinegración en la frecuencia cero, en presencia de alguna raíz uniaria esacional, la hipóesis de inerés es <,

17 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de es decir que exisen marices B C de rango r, al que Π B C, eso significa que exisen a lo sumo r vecores de coinegración en la frecuencia cero. La esadísica del es de razón de verosimiliud para dicha hipóesis es,! λ donde λ,i, ir,...,k, son las (k-r) menores correlaciones canónicas parciales al cuadrado de R con respeco a R 0, dados R 2, R 3 R 4. La disribución de la esadísica para la frecuencia cero para las demás frecuencias esacionales esán abulados en Lee-Siklos (995). IV Tes de coinegración en la frecuencia bianual: Para probar si los componenes de Y esán o no coinegrados en la frecuencia bianual, en presencia de raíz uniaria en la frecuencia cero /o en ora frecuencia esacional la hipóesis de inerés es <. El es se desarrolla de la misma manera que para la frecuencia cero pero ahora se uiliza R 2 en lugar de R. Por lo ano, la esadísica del es de razón de verosimiliud para dicha hipóesis es,! λ donde λ 2,i, ir,...,k, son las (k-r) menores correlaciones canónicas parciales al cuadrado de R 2 con respeco a R 0, dados R, R 3 R 4. IV Tes de coinegración en la frecuencia anual: Para evaluar la posibilidad de coinegración en la frecuencia anual es necesario considerar en forma simulánea a las marices Π 3 Π 4. Sin embargo, basados en la esrucura del mecanismo de corrección de error dado en (IV.3.2.) podemos asumir Π 4 0 con un pequeño efeco sobre el es de coinegración esacional en la frecuencia anual cuando la coinegración es conemporánea (Lee, 992). De esa forma es posible realizar el es de coinegración examinando la mariz Π 3 únicamene, en cuo caso la hipóesis se reduce a <

18 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de la esadísica del es de razón de verosimiliud, asumiendo Π 4 0, puede ser expresada como! λ donde λ 3,i, ir,...,k, son las (k-r) menores correlaciones canónicas parciales al cuadrado de R 3 con respeco a R 0, dados R R 2. IV.4 COINTEGRACIÓN ESTACIONAL EN LAS SERIES DE INGRESO NACIONAL DISPONIBLE Y CONSUMO NACIONAL DE ARGENTINA Se aplica la meodología presenada para esudiar la coinegración enre las series de ingreso consumo nacional en Argenina. En una primera insancia se lleva a cabo el es de coinegración, en dos pasos, propueso en EHGL (993). Para obener el filro adecuado al aplicar ese méodo es necesario ener en cuena la información acerca de la presencia de raíces uniarias esacionales en las series en esudio. Como se expresó en secciones aneriores, ambas series económicas presenarían raíces uniarias en la frecuencia cero en la frecuencia anual. Por lo ano, se invesiga la exisencia de coinegración en dichas frecuencias. donde En ese caso, las combinaciones lineales de las series filradas son: " " " α " α " α 2 w, ( B )w w 3, ( B)w (IV.4.) son las series filradas de modo al de remover odas las raíces uniarias presenes excepo la de la frecuencia en la cual se evaluará la coinegración w represena a x, ingreso consumo en logarimo naural, respecivamene. La abla IV.4. muesra los resulados del es de coinegración basado en los residuos esimados para la frecuencia cero anual. Tabla IV.4.: Tes de coinegración en la frecuencia cero anual, méodo EGHL. Esadísicas del es () Frecuencia cero () Frecuencia anual (F) Significaiva al 5% De los resulados precedenes se conclue que en la frecuencia cero no se rechaza la hipóesis de no coinegración mienras que en la frecuencia anual exise evidencia de coinegración enre las series de ingreso consumo. Resulados similares se obienen con el méodo de ecuaciones múliples

19 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de propueso por Lee (992). Cabe señalar que para aplicar ese méodo no es necesario uilizar información previa sobre la exisencia de raíces uniarias en las disinas frecuencias. Para la elección de p se uvo en cuena los crierios de selección de modelos de Akaike (AIC) Schwarz (SC), como así ambién la inspección de la función de auocorrelación de los residuos. La abla IV.4.2 presena el modelo VAR (p0) expresado en (IV.3.2.). En esa aplicación el vecor bivariado Y corresponde a. El es de coinegración en cada una de las frecuencias se presena en la abla IV.4.2. Es posible observar que en la frecuencia cero no se rechaza la hipóesis de no coinegración en la frecuencia cero (rango nulo de la mariz raíz uniaria en la frecuencia bianual (rango compleo de la mariz ) de no exisencia de ). En la frecuencia anual se rechaza la hipóesis de no coinegración, indicando que exise un vecor C 3 (de dimensión x2) de modo al que C 3 Y 3,- es esacionario. Tabla IV.4.2: Tes de coinegración esacional (Lee, 992) Tes de coinegración esacional Frecuencia Rango( )0 Rango( ) Cero Bi anual Anual Significaivo a un nivel del 5%. IV.5 MODELO ESTRUCTURAL BIVARIADO El modelo esrucural univariado hallado para cada una de las series en esudio posee una endencia con inercepo fijo pendiene esocásica, esacionalidad deerminísica e irregular. Teniendo en cuena esa información, se ajusa un modelo Esrucural Bivariado. El modelo resulane presena dos inervenciones en el nivel, en los períodos Ese modelo deermina que la esacionalidad es deerminísica, es decir que el comporamieno esacional de cada una de las series se maniene invariane en el iempo, al igual que el nivel (aunque fue necesario incluir dos inervenciones). La pendiene de las series son esocásicas, eso es, las pendienes varían a ravés del iempo además, el modelo conempla un vecor de error aleaorio. Cabe señalar que, a diferencia del modelo ajusado previamene, esa meodología modela la serie sin aplicar diferenciación alguna. Dado que la esacionalidad se ha esablecido como deerminísica, eso es, el parón esacional no cambia en el iempo, no se inena incorporar una relación de coinegración esacional en el modelo esrucural mediane la admisión de componenes esacionales comunes en las series.

20 Novenas Jornadas "Invesigaciones en la Faculad" de Ciencias Económicas Esadísica, noviembre de Las esimaciones al final del esado indican que la esacionalidad el nivel son significaivos como así ambién las inervenciones incorporadas al modelo. La pendiene, que resuló ser una componene aleaoria al hallar una variancia significaiva para su érmino de error, muesra un valor al final del período no significaivo (p p0.66 para el ingreso el consumo respecivamene). Es decir, que la pendiene va flucuando a ravés del iempo pero al final del período en esudio, la misma es nula. V.- Discusión En ese rabajo se realiza un breve reseña de los méodos de series de iempo mulivariadas, recomendados en bibliografía reciene, con aplicaciones realizadas sobre series argeninas. Se presenan brevemene los modelos VAR, la definición de coinegración, los modelos VAR resringidos con la ecuación de equilibrio una aplicación a las series de asas de desocupación de Gran Rosario Gran Buenos Aires. Se revisan los mismos concepos expresados en el párrafo anerior pero a ravés de modelos esrucurales de espacio de esado mulivariados. Ambos ipos de modelos permien analizar caracerísicas imporanes de series de iempo mulivariadas, como por ejemplo, el concepo de coinegración enconrar una relación de equilibrio enre las series inervinienes. Se revisan ambién esos dos ipos de modelos para series que presenan esacionalidad a ravés de las series Ingreso Nacional Disponible Consumo Nacional de Argenina. En fuuras invesigaciones se piensa profundizar en los supuesos que se deben cumplir para que esos modelos sean válidos. VI. Referencias Bibliográficas Bidarkoa, Prasad V., 998. "The comparaive forecas performance of univariae and mulivariae models: an applicaion o real ineres rae forecasing," Inernaional Journal of Forecasing, 4(4), , 2. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., (970). Time Series Analsis, Forecasing and Conrol. San Francisco: Holden-Da. Boswijk, H.P., (994). Tesing for an Unsable Roo in Condiional and Srucural Error Correcion Models, Journal of Economerics, 63, Dicke, D.A., and W.A. Fuller, (979), Disribuion of he Esimaors for Auorregresive Time Series Wih a Uni Roo, Journal of he American Saisical Associaion, 74, Engle, R.F., Granger, C.W.J., (987): Co-Inegraion and error correcion: represenaion, esimaion and esing. Economerica 55, Engle, R.F., Granger, C.W.J., Hlleberg, S., Lee, H.S. (993) Seasonal coinegraion. Journal of Economerics Nro. 55, Pág

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