Sobre la Deriva Genética

Transcripción

1 Sobre la Deriva Genética La evolución biológica consiste en el cambio de las características hereditarias a través de las generaciones. Los fenómenos que m as intervienen en el proceso evolutivo son la selección natural y la deriva genética. En este trabajo vamos a tratar de describir por medio de un sencillo modelo matemático, el fenómeno conocido en genética de poblaciones por deriva o también a veces como consanguinidad, Cabrero et AL. 22, Gale 199, Drae et al Consideremos una población de organismos diploides y cuyo tamaño poblacional, para simplificar, supondremos constante, N, de generación en generación. También por simplicidad trataremos al tiempo como una variable discreta, cuantificado en término de generaciones. Supondremos apareamiento al azar panmixia y no consideraremos ni migración, ni mutación, ni selección. Vamos a estudiar, para un locus autosómico determinado, con dos alelos posibles, H y h, como cambian las frecuencias génicas y genotípicas, especialmente la frecuencia de heterocigotos Hh, de generación en generación. Sea W j X j, Y j, Z j un vector aleatorio que representa el número de individuos con genotipos HH, Hh y hh respectivamente, en la generación j. Observemos que X j + Y j + Z j N y como el total de alelos para este locus es. Como consecuencia de la hipótesis de panmixia, y en ausencia de mutación, selección o migración, si en la j-ésima generación X j x j, Y j y j y Z j z j, al formar un cigoto de la generación j + 1, tendremos las siguientes probabilidades p P HH a j 2, q P Hh 2 a j a 1 j, 1 r P hh 1 aj 2 siendo a j 2x j + y j, la frecuencia absoluta del alelo H en la generación j. La distribución de W j+1 X j+1, Y j+1, Z j+1 condicionada a W j X j, Y j, Z j será una trinomial, i.e.: P [X j+1 x j+1, Y j+1 y j+1, Z j+1 z j+1 X j x j, Y j y j, Z j z j ] N! x j+1! y j+1! z j+1! p x j+1 q y j+1 r z j+1 La función característica de W j+1 X j+1, Y j+1, Z j+1, que nos servirá para hallar la esperanza de Y j+1, la podremos calcular mediante: Φ Wj+1 t 1, t 2, t 3 E e it 1X j+1 +t 2 Y j+1 +t 3 Z j+1 E E e it 1X j+1 +t 2 Y j+1 +t 3 Z j+1 W j+1 P X j x j, Y j y j, Z j z j Φ Wj+1 W j t 1, t 2, t 3 x j +y j +z j N x j +y j +z j N P X j x j, Y j y j, Z j z j pe it 1 + qe it 2 + re it 3 N

2 Por tanto, Φ t 2 i x j +y j +z j N P X j x j, Y j y j, Z j z j Npe it 1 +qe it 2 +re it 3 N 1 q e it 2 y como resulta iey j+1 Φ t 2,, y p + q + r 1, teniendo en cuenta 6, EY j+1 x j +y j +z j N P X a j x j, Y j y j, Z j z j a j 1 j EA j 1 EA2 j donde A j es la variable aleatoria número de alelos H presentes en la generación j. Alternativamente podemos escribir también: EY j+1 EA j 1 vara j + E 2 A j. 2 Vemos pues que EY j depende de la esperanza y varianza de A j, por lo que procederemos a calcularlas. La variable aleatoria A j, el número de alelos H en la generación j, puede tomar valores, 1,...,. Supongamos que en la generación inicial el número de alelos H que hay en la población es c, conocido, A c. Vamos a calcular los momentos de la variable aleatoria A j a partir de la función característica, como hemos hecho anteriormente. Φ Aj+1 t E e itaj+1 E E e ita j+1 A j P A j Φ Aj+1 A j t donde Φ Aj+1 A jt es la función característica de A j+1 condicionada a A j. La distribución de la variable aleatoria A j+1 condicionada a A j, como consecuencia de la hipótesis de panmixia y en ausencia de mutación, selección o migración, será una Binomial, B,, por tanto Φ Aj+1 t Φ A j+1 t i P A j eit + 1 P A j eit + 1 y como iea j+1 Φ A j+1, resulta: EA j+1 lo que implica, por recurrencia, que P A j EA j EA j+1 EA j... EA c. 1 eit

3 Es decir que el valor medio de las frecuencias de los alelos H permanece constante a lo largo de todas las generaciones. Para obtener la varianza de A j+1, calcularemos primero EA 2 j+1 a través de la derivada segunda de la función característica, ya que EA 2 j+1 Φ A j+1. Φ A j+1 t por lo tanto y vara j+1 P A j 1 eit eit eit EA 2 j+1 1 P A j 4N EA 2 j EA j 1 1 vara j + EA j 2 EA j 1 1 vara j + c 2 c N 2 e2it 1 1 vara j + c 2 + c c vara j + c 1 c Reiterando el proceso, al ser A una constante, vara, tendremos vara 1 c 1 c vara 2 c 1 c vara 3 c 1 c vara n c 1 c n 1 y teniendo en cuenta la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, tendremos finalmente vara n c 1 c n Podemos observar, a partir de la anterior expresión, que, fijado el tamaño poblacional N, la varianza de la variable aleatoria, número de alelos H, aumenta de generación en generación. Cuando el número de generaciones tiende a infinito, la varianza será: lím vara n b n 1 b vara 1 3

4 Volviendo ahora a la expresión 2, tendremos finalmente EY j+1 c 1 c 1 1 j+1 Si suponemos que la población inicialmente ya estaba en equilibrio Hardy- Weinberg, las frecuencias relativas de los diferentes genotipos al inicio son: f r HH Por lo tanto y resulta finalmente a: c 2 c, fr Hh 2 1 c, f r hh 1 c 2 Y c 1 c EY n Y 1 1 n lo que significa que la esperanza de la frecuencia del genotipo Hh en la generación n, depende de la cantidad inicial de heterocigotos y va disminuyendo a medida que transcurren las generaciones. Si calculamos el límite cuando n tendremos: lím EY n n lím n Y 1 1 n Lo que demuestra que, en las condiciones estudiadas, los heterocigotos se extinguen. A continuación exponemos unas gráficas, en donde se pone de manifiestos los resultados teóricos obtenidos anteriormente. En Figura 1 realizamos simulaciones con 1 individuos y con 25 alelos H al inicio. Observamos que en la generaciones, 216, 832, 1748 el alelo H ha desaparecido y que en la generación 1721, con las mismas condiciones iniciales, todos los alelos de la población, son H. En la Figura 2, vemos que en las generaciones 299, 678, 1798 todos los alelos son H y que con las mismas condiciones experimentales, los alelos H han desaparecido en la generación En general si el número de alelos inicial b, está más próximo a cero que a, es más fácil que se alcance el estado estacionario que el. Viceversa, si está más cerca de es más fácil que acaben siendo todos los alelos H. Además, en general, cuando más cerca esté el número de alelos H del estado absorbente, ó, o más pequeño sea el tamaño de la población, más rápido se alcanza esta situación. Ver en Figuras 3 que con 25 individuos y con el 5 % de alelos H al inicio, acaban siendo todos H en la generación 578 y que con 1 individuos y con el 5 % de alelos H al inicio, acaban siendo todos H en la generación 162. Vamos a tratar el tema utilizando una cadena de Marov. En una población de N individuos, en las mismas condiciones que las anteriormente descritas, con dos posibles alelos H y h, para un locus autosómico determinado, tendremos los + 1 estados {A, A 1,..., A }, donde A i es el número de alelos H en el total de la población. En la genración tendremos los estados {A, A 1,..., A }.

5 La probabilidad p ij de pasar del estado A i al estado A j, al cambiar de la genración a la + 1 será: p ij pa +1 j /A! i j!j! i j i j La matriz de transición P p ij ; i, j, 1,..., es de la forma: 1 P u P 1 v 4 1 donde: es el vector nulo de orden 1, u p 1, p 2,..., p 1, v p 1, p 2,..., p 1, p 1 p 1, p 2 p 1,..., p 1 p 1, y P 1 es una matriz de orden 1, 1 cuyos elementos son mayores que cero e inferiores a la unidad. Se puede demostrar fácilmente por inducción que P n 1 I P 1 n I P 1 1 u P n 1 I P 1 n I P 1 1 v 1 5 Cuando transcurre un número suficientemente grande de generaciones, la matriz de transición que da como: 1 lím P n n I P 1 1 u Q I P 1 1 v 6 1 Q es una matriz 1, 1 cuyos elementos son todos nulos. El vector columna c I P 1 1 u, tiene por componentes c j j, j 1,..., 1 ya que el vector u I P 1 c tiene por componentes: u j p j que cumplen En efecto j j j j 1 1 u j c j p jα c α α1 α1! j α!α! j α j j α α

6 j j j j De manera similar puede demostrarse que el vector columna d I P 1 1 v, tiene por componentes d j j, j 1,..., 1 Si en la poblacón inicial tenemos q alelos H, el vector estado inicial es q,..., 1,...,, es decir todas las componentes son cero excepto la que ocupa el lugar q. Transcurrido un número suficientemente grande de generaciones, tendremos un vector estado f q,,...,, q es decir estaríamos en el estado A todos los genotipos de la población serían hh con probabilidad q q o todos serían HH con probabilidad Bibliografía Cabrero, J., Camacho J.P. 22. Fundamentos de Genética de Poblaciones. En: Soler M. Ed. EVOLUCIÓN. La base de la Biología, pp Proyecto Sur de Ediciones, S.L. Drae, J.W., Charlesworth, B., Charlesworth, D., Crow, J.F Rates of spontaneous mutation. Genetics 148: Gale, J.S. 199 Theoretical population genetics. Unwin Hyman Ltd. London. Martín Ríos. Departamento de Estadística. Facultad de Biología. Universidad de Barcelona.

7 Número de Individuos: 1 Frecuencia Inicial: 25 2 Número de alelos Generación Figura 1: Número de Individuos: 1 Frecuencia Inicial: Número de alelos Generación Figura 2: Número de Individuos: 25/1 Frecuencia Inicial: 25/1 2 Número de alelos Generación Figura 3: