IES Fernando de Herrera Curso 2014 / 15 Tercer trimestre - Primer examen 1º Bach CT NOMBRE:

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1 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Cuando se pida la ecuación de una recta, dar la solución final en forma general o eplícita. ) a) Calcular algún vector a que sea perpendicular al que une los puntos P( 6, ) y Q(, ). (0,5 puntos) b) Hallar el producto escalar de los vectores de posición de los puntos P y Q. (0,5 ptos) ) Hallar la paralela a r : 5 y que pasa por ( 7, ) (0,5 puntos) y ) Hallar la perpendicular a que pasa por ( 7, ) (0,5 puntos) ) Estudiar la posición relativa de las rectas siguientes. Si son paralelas, calcular la distancia entre ambas. Si se cortan, hallar el punto de intersección: a) r : t s : y t (0,6 puntos) b) r : y s : 6 y + 0 (0,8 puntos) c) r : y s: 6 y 0 0 (0,6 puntos) 5) Hallar el ángulo que forman las rectas r: y + 0 y s: y + 0 6) Dados los puntos A(, ), B(, ) y C(, ), calcular: a) Distancia entre B y C. (0, puntos) b) Distancia de A a la recta que une B con C. c) Área del triángulo que forman (0, puntos) 7) Hallar la mediatriz del segmento deitado por los puntos ( 7, ) y (, 6) ( pto) 8) Encontrar el simétrico de (8, ) respecto de y 0 (,5 puntos) 9) Hallar el centro y el radio de la circunferencia: + y 6 + y + 0

2 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT SOLUCIONES ) a) Calcular algún vector a que sea perpendicular al que une los puntos P( 6, ) y Q(, ). (0,5 puntos) PQ OQ OP (, ) ( 6, ) (8, 6). Invirtiendo el orden de las coordenadas y cambiando el signo de una de ellas obtenemos un vector perpendicular a éste: a ( 6, 8). Hay infinitos más, pero sólo nos piden alguno de ellos. El resto son proporcionales a éste. b) Hallar el producto escalar de los vectores de posición de los puntos P y Q. (0,5 ptos) OP OQ ( 6, ) (, ) 8 0 ) Hallar la paralela a r : 5 y que pasa por ( 7, ) (0,5 puntos) El vector normal a r es: n (5, ). Una paralela tendrá el mismo vector normal (o uno proporcional). Como debe pasar por ( 7, ), en forma normal será: 5( + 7) (y ) 0 5 y y y ) Hallar la perpendicular a que pasa por ( 7, ) El vector de dirección de la recta dada (r), que es (, ), será un vector normal de su recta perpendicular (s). Por tanto, en forma normal: ( + 7) + (y ) 0 + y 0 + y 7 0 s s P (0,5 puntos) r ) Estudiar la posición relativa de las rectas siguientes. Si son paralelas, calcular la distancia entre ambas. Si se cortan, hallar el punto de intersección: a) r : t s : y (0,6 puntos) y t Tenemos la forma general de un punto de r: (t, t). Veamos si hay algún valor del parámetro t, que es quien proporciona todos y cada uno de los puntos de r, que haga que dicho punto esté en s. Esto es, que verifique la ecuación de s: t t t 8 + t t t Y esta igualdad es cierta t. Lo que significa que todos los puntos de r están, también, en s. Por tanto, son la misma recta. b) r : y s : 6 y + 0 (0,8 puntos) Resolvamos el sistema que forman sus respectivas ecuaciones, buscando algún punto en común a ambas rectas: y Sustituyendo la primera en la segunda: 6 ( ) 6 y Y esto no es cierto nunca. Por tanto, el sistema no tiene solución, lo que significa que las rectas no tienen intersección. Por ello, son paralelas. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

3 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT Hemos de calcular, entonces, la distancia entre ambas. Las ponemos, para ello, en forma general, con el mismo vector normal: r: y y 0 6 y 8 0 s: 6 y + 0 d(r, s) c) r : y s: 6 y 0 0 (0,6 puntos) Como sus respectivos vectores normales: (, ) y (6, ) (, ) no son proporcionales (uno no es múltiplo del otro), las rectas tienen distinta dirección, por lo que se cortan en un punto. Nos piden calcularlo, esto es, resolver el sistema que forman sus ecuaciones: y y Restando: y 6 y 6 y 0 y 5 Sustituyendo en la primera: + 8. De modo que se cortan en (, ). 5) Hallar el ángulo que forman las rectas r: y + 0 y s: y + 0 Dicho ángulo es el que forman sus respectivos vectores normales (, ) y (, ). Despejando en la fórmula del producto escalar de dos vectores, será: (, )(, ) 6 0 cos (, ) (, ) ,57º 6º 5,8 Tomamos valor absoluto del producto escalar del numerador para que nos resulte el menor de los dos ángulos que forman las rectas al cortarse. 6) Dados los puntos A(, ), B(, ) y C(, ), calcular: a) Distancia entre B y C. (0, puntos) Se trata del valor de la base del triángulo: b d(b, C) ( ) ( ) u b) Distancia de A a la recta que une B con C. Esta distancia será la altura del triángulo. La ecuación de la recta que une B con C es, en forma continua: y y 8 y ( ) y 8 + y + 0 y r ( ) 8 Por tanto: h d(a, r) u ( ) ( ) 7 c) Área del triángulo que forman (0, puntos) 7 bh 7 A u u IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

4 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT 7) Hallar la mediatriz del segmento deitado por los puntos ( 7, ) y (, 6) ( pto) La mediatriz es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Dicho punto 7 6 medio es, ( 5, ). El vector que va de un punto a otro es normal a la mediatriz, ya que ésta es perpendicular al segmento. Dicho vector es: ( ( 7), 6 ) (, 8) que es paralelo a (, ). Por tanto, usando la ecuación en forma normal, la mediatriz es: ( ( 5)) (y ( )) y 0 y + 0 Otra solución sería utilizando que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos P(, y) que equidistan de los etremos del segmento. Por tanto: d(p, A) d(p, B) ( 7) ( y ) ( ) ( y 6) y y y + y + 6 y y y y + 0 8) Encontrar el simétrico de (8, ) respecto de y 0 (,5 puntos) Llamemos P al punto (8, ) y Q a su simétrico. Calcularemos la. Q perpendicular a la recta que contiene a P (línea discontinua en el M. gráfico). La intersección de la recta y de su perpendicular es M, punto medio del segmento que va de P a su simétrico Q. Conocidos P. P y M obtendremos Q. El vector normal de la recta dada, (, ), es de dirección de la perpendicular. Dicha perpendicular contiene al punto P(8, ). Luego su ecuación, en forma continua, es: 8 y + 8 y 6 + y y 0 La intersección de ambas rectas es el punto medio M: y 0 9 y 6 0 (ª) : Sumando: y 0 y 0. Sustituyendo en la ª: y 6. Luego: M(, ). Como M es el punto medio entre P(8, ) y su simétrico Q(, y): 8 8 y, y 6 Q(, 6). y 8 9) Hallar el centro y el radio de la circunferencia: + y 6 + y + 0 Completando binomios al cuadrado: + y 6 + y y + y y + y ( ) + (y + ) ( ) + (y + ) 9 Por lo que el radio de la circunferencia que nos dan es, y el centro (, ). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

5 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ALUMNOS CON LA ª Y ª EVALUACIÓN APROBADA ) Estudiar la continuidad de f(), dando el valor de a para que sea continua en y, si clasificando las discontinuidades: f ( ) (,5 puntos) a, si ) Dar la ecuación de la recta tangente a f() en (0,5 puntos) ) Calcular ; ) Derivar: y ln ( ) ; y e ( ) 5) Estudiar y dibujar la gráfica de y ( ) 6 derivadas son: y ' ; y " ( ) ( ), comprobando previamente que sus Derivadas: punto Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos Asíntotas: punto Monotonía/Etr.relativos: punto Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior):,5 puntos ALUMNOS CON LA ª Y ª EVALUACIÓN SUSPENDIDA ) Resolver la ecuación: log 0 log 0 ) (Sólo se obtendrán puntos por la resolución si se llega a la y z solución final correcta completa). Aplicando el método de Gauss en su forma matricial (no es válido ningún otro método ni forma), clasificar y resolver el sistema adjunto. 7 y z 5y 5z ) Sabiendo que cos, siendo (0, ), hallar, sin calculadora: a) cos ; b) sen ; c) tg ( + /). ) Resolver la ecuación: z 5 5 i 5) Derivar: y ln ( ; y e ( ) 6) Estudiar y dibujar la gráfica de y ( ), comprobando previamente que sus 6 derivadas son: y ' ; y " ( ) ( ) Derivadas: punto Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos Asíntotas: 0,5 puntos Monotonía/Etr.relativos: punto Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior): punto

6 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT SOLUCIONES ALUMNOS CON LA ª Y ª EVALUACIÓN APROBADA ) Estudiar la continuidad de f(), dando el valor de a para que sea continua en y, si clasificando las discontinuidades: f ( ) a, si (,5 puntos) Nos piden el estudio completo de la continuidad. Así pues: (, ): f está definida mediante la función y que, al ser elemental, es continua en su dominio. Es decir, su única discontinuidad está en, punto que pertenece al intervalo que estudiamos, por lo que es discontinuidad de f. Veamos de qué tipo es: 0 ( ) ) / f( ); ) 0 Como eiste el límite, la discontinuidad en es evitable. (, + ): f es continua, pues tiene epresión polinómica. : ) f() + a; ) f ( ) ; f ( ) ( a) + a. La función será continua en cuando coincidan los tres resultados anteriores, es decir: + a a 0. En resumen, f será continua en si, y sólo si a 0, y tendrá siempre una discontinuidad evitable en. En el resto de R, es continua. ) Dar la ecuación de la recta tangente a f() en (0,5 puntos) Punto de tangencia: si f() : es (, ). Pendiente de la tangente: Como f '() m f '(). Recta tangente: y ( ) y 6 + y. ) Calcular ; ( ) () e e e ( ) ( )( ) 0 e e e e 0 e 0 0 ( ( ) )( ) ( ( ) )( ) ( )( ) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

7 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT ( )( )( ) ( ) ( )( ( )( )( ( ) ) ( ) 8 ) ) Derivar: y ln ( ) ; y e ( ) y ln ( ) La simplificamos antes de proceder a derivar: y ln ( ) ln ln ( ) ln( ). De donde: ( ) ( ) 6 y ' ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 Cualquiera de las tres epresiones recuadradas valdría como final. y e ( ) y ' e ( ) e e [( ) ] e (6 ) e (6 ) 5) Estudiar y dibujar la gráfica de y ( ) 6 derivadas son: y ' ; y " ( ) ( ), comprobando previamente que sus Derivadas: punto Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos Asíntotas: punto Monotonía/Etr.relativos: punto Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior):,5 puntos ) Dominio: R {} ( anula el denominador, y no se puede dividir entre 0). ( ) ) Par / Impar: f( ), que no coincide con ( ) [ ( )] ( ) f() ni con f(). Luego no es par ni impar. ) Cortes con los ejes: Si 0 y 0 Corta en (0, 0). Si y 0 0 0, que no anula el denominador (0, 0). ) Asíntotas: a) AV: Probamos en el punto de discontinuidad: ( ) 0 La recta es AV. b) AH: ( ) No tiene. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

8 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT c) AO: m f ( ) ( ) ( ). f ( ) m ( ) N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego y +, es decir, y + es A.O. 5) Monotonía: ( ) ( ) Comenzamos calculando la derivada: f '() [( ) ] ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) Separamos R en intervalos mediante los puntos siguientes: a) Discontinuidades de f:. b) Discontinuidades de f ':. c) Puntos que anulan f ': 0 ( ) Los puntos obtenidos son 0, y. Mediante ellos, dividimos R en intervalos para estudiar el signo de f y, de ahí, deducir la monotonía de f: (, 0) 0 (0, ) (, ) (, +) f ' / 0 + tg f (crec) hor (crec) / (decrec) mín (crec) En 0 la función tiene tangente horizontal. Y las coordenadas del mínimo obtenido son: 7 Si f() 6, 75 mín en (, 6.75) ( ) 6) Curvatura: Comenzamos calculando la derivada segunda: ( 6)( ) ( f "() [( ) ] )( ) ( ) [( 6 6)( ) ( ( ) )] 6 6 ( ) 9 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

9 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT 6 ( ) Separamos R en intervalos mediante los puntos siguientes: a) Discontinuidades de f y f ':. b) Discontinuidades de f ":. c) Puntos que anulan f ": Dividimos R en intervalos mediante los puntos obtenidos: 0 y. Creamos el cuadro correspondiente, para estudiar el signo de f ", el cual es el mismo dentro de cada uno de los intervalos resultantes.el signo de f " nos dice la curvatura de f: (, 0) 0 (0, ) (, +) f " 0 + / + f (cóncava) P.I. (convea) / (convea) El punto de infleión es (0, 0), puesto que f(0) 0. 7) Gráfica: Utilizando todos los resultados anteriores, y completando, si es necesario, con una pequeña tabla de valores, obtenemos la gráfica de la función, que es la siguiente. En el dibujo se han incluido las asíntotas, en color verde, que sirven de ayuda para dibujar la función. ALUMNOS CON LA ª Y ª EVALUACIÓN SUSPENDIDA ) Resolver la ecuación: log 0 log 0 Como no podemos ponerlo todo en función de log, vamos a intentar einar los logaritmos: log 0 log log 0 log 0 log 0 0 log 0 log IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

10 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT Ninguna de las dos hace 0 ni negativo ningún argumento de logaritmos en la ecuación original, por lo que son válidas: ó. ) (Sólo se obtendrán puntos por la resolución si se llega a la solución final correcta completa). Aplicando el método de Gauss en su forma matricial (no es válido ningún otro método ni forma), clasificar y resolver el sistema siguiente. y z 5y 5z 7 y z F F F F F 7F Es un sistema compatible indeterminado, en el que puede einarse la fila. Reconstruimos el sistema y resolvemos. Para ello, llamamos z t (podríamos también haber elegido y t, pero nos conviene dejar las soluciones en función de z porque nos piden una con un valor determinado de z): y t 9y 0 6t 0 6t ª ec: y 9 0 6t 60 78t ª ec: + t t t 60 78t 56 0t 5t t 0 6t Solución general:,, t 9 9 ) Sabiendo que cos, siendo (0, ), hallar, sin calculadora: a) cos ; b) sen ; c) tg ( + /). En primer lugar, como el coseno es negativo y el ángulo se encuentra en el primer o segundo cuadrante, no queda más posibilidad que estemos en el segundo cuadrante. Calculamos, primeramente, el seno, considerando que debe ser positivo en el cuadrante en el que se halla: sen + cos a) cos cos sen IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 5 de 6

11 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT b) sen sen cos sen c) Se tiene que: tg cos tg tg Por tanto: tg( + /) tg tg 6 ) Resolver la ecuación: z 5 5 i Despejando: z 5 5 i. Para calcular una raíz de un número complejo, tenemos que tenerlo en forma polar. Convirtámoslo: r 5 5 tg 60º. Como la parte real es positiva: 5 y la imaginaria, 5 negativa: 5, estamos en el º cuadrante 00º. Por tanto, z 000 º. El módulo de las tres soluciones será 0. Los argumentos: º º º Las tres soluciones son, entonces: 0 00º ; 0 0º ; 0º 5) Derivar: y ln ( ) ; y e ( ) Está resuelto en la parte correspondiente a alumnos con la ª evaluación aprobada. 0 6) Estudiar y dibujar la gráfica de y ( ) 6 derivadas son: y ' ; y " ( ) ( ), comprobando previamente que sus Derivadas: punto Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos Asíntotas: 0,5 puntos Monotonía/Etr.relativos: punto Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior): punto Está resuelto en la parte correspondiente a los alumnos con la ª evaluación aprobada. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 6 de 6

12 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre Recuperación por trimestres º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras, ni las de un trimestre con las de otro. 5) Los alumnos que se eaminan de ó más evaluaciones, pueden einar, si quieren, un problema de entre el, 5 y 6 (a elegir) y el problema 0 y se les calificará proporcionalmente. TRIMESTRES DE LOS QUE SE EXAMINA: PRIMERO SEGUNDO TERCERO ) Clasificar y resolver el siguiente sistema, aplicando el método de Gauss en su forma matricial. Si tuviese más de una solución, escribir dos soluciones concretas: (,5 ptos) y z y 5z 8 5 9y 7z 8 ) Resolver la ecuación: log( ) log( + ) log 50 ( puntos) 8 0 ) Resolver el sistema: (,5 puntos) ) Resolver un triángulo conociendo que a, b 5 y A 0º. (,5 puntos) 5) Demostrar que es cierta la siguiente identidad para todos los ángulos para los que tenga sentido: (sen α + cos α) + tg α cos α (,5 puntos) 6) Sin usar calculadora (es decir, apoyándose en fórmulas de trigonometría y/o en las razones trigonométricas de ángulos conocidos, como 0º, 5º, etc.), hallar tg 5º, sen 75º, tg 00º. (,5 puntos) 7) Sin usar calculadora, a) Realizar los cálculos en polares para hallar el resultado de: i ; b) Pasar a binómica 0º (,5+ puntos) i 8) Hallar el simétrico de A(, ) respecto de la recta + 5y 0 ( puntos) 9) Derivar y simplificar: y cos ; ln y ; arcsen y ; y e ( ptos) 0) Hallar la(s) rectas tangente(s) a la función f() que sea(n) paralela(s) a la recta y + 0. ( puntos) ) Para la función f(), se pide: a) Dominio, intersecciones con los ejes y asíntotas. b) Comprobar que f '() ( ) y estudiar su monotonía y etremos relativos. c) Comprobar que f "() ( ) y estudiar su curvatura y puntos de infleión. d) Gráfica, basada en el estudio anterior.

13 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre Recuperación por trimestres º Bach CT SOLUCIONES ) Clasificar y resolver el siguiente sistema, aplicando el método de Gauss en su forma matricial. Si tuviese más de una solución, escribir dos soluciones concretas: (,5 ptos) y z y 5z 8 5 9y 7z 8 Escribimos la matriz ampliada y la triangularizamos. Recordemos: ) En un sólo paso, se debe convertir toda una columna en 0, salvo una posición, y dicha columna no puede ser la última: C. ) En cada paso, se utiliza siempre una única fila para hacer 0 las demás (por ej., en el primer paso es F. ) El coeficiente de la fila sustituida es positivo (por ej., y en las operaciones del primer paso). ) La fila usada para hacer 0 las demás posiciones de una misma columna, no se usa en ningún paso posterior (por ej. F en el primer paso). Así: F F F F F F Como tenemos triangularizada la matriz y podemos einar la F por ser toda de 0, nos quedan menos ecuaciones () que incógnitas (), por lo que estamos ante un sistema compatible indeterminado. Lo reconstruimos: y z 7 z 6 Llamamos z t, siendo t un número arbitrario (ya no es incógnita), y lo pasamos al segundo miembro (también podríamos haber llamado t, pero no deberíamos hacerlo con y, porque perderíamos la triangularización): y t 6 t 6 t (ª ec.): 7 6 t 7 7 Nunca debe dejarse, en una epresión final, un denominador negativo, por lo que hemos multiplicado numerador y denominador por para evitarlo (al hacerlo, la epresión que tenemos tiene el mismo valor, pues /( ) ). Sustituimos en la ª ec: 6 t y t ( 6 + t) + 5y 68 t t + 5y 68 t 5t t t 78t 6t y t 6t Así, la estructura general de las soluciones es:,, t. 7 7 Obtendremos dos soluciones concretas dando valores arbitrarios a t. Por ejemplo: t : (,, ) t 0: ( 6/7, /7, 0) ) Resolver la ecuación: log( ) log( + ) log 50 ( puntos) Como no se puede simplificar el logaritmo de una suma (o resta), no podemos pretender aislar, y calcular, log. De modo que intentaremos quitar logaritmos: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

14 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre Recuperación por trimestres º Bach CT log( ) log( + ) log 50 log( 0 ) log( + ) log 0 log 50 log log 50 Usamos la propiedad de los logaritmos que dice que, si, y > 0, entonces log log y y: Comprobamos la validez sustituyendo en la ecuación original y comprobando que ni se anulan ni se hacen negativos los argumentos de los logaritmos que aparecen no es válida. 0 0 > 0 y + > 0 es válida. La ecuación tiene una única solución:. 8 0 ) Resolver el sistema: Resolvemos cada inecuación por separado. + 8 > 0. Podríamos factorizar y crear un cuadro de signos. Pero una inecuación polinómica de segundo grado también se resuelve llamando y + 8 y buscando los valores de que hacen estrictamente positivo y. La ecuación anterior tiene, como gráfica, una parábola cóncava (pues el coeficiente de es negativo), y que corta al eje OX en: : los cortes son (, 0) y (, 0). Por consiguiente, un esbozo de su gráfica lo tenemos en el gráfico adjunto. De ahí deducimos que los valores de que cumplen lo que antes dijimos y que, en consecuencia, resuelven la inecuación son los del conjunto (, ) /8. Llevamos a un mismo gráfico ambas soluciones: (,5 puntos) /8 Las dos condiciones deben cumplirse simultáneamente. Por tanto, la solución del sistema es la parte común a ambas, es decir: (, /8]. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

15 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre Recuperación por trimestres º Bach CT ) Resolver un triángulo conociendo que a, b 5 y A 0º. (,5 puntos) Por el Teorema de los Senos: C 5 5 / a sen B sen 0º sen B b 5 B.5º º 9' 7." ó B 80º.5º A 0º c B 58.85º. Pero ésta última no es válida, puesto que 58.85º + 0º > 80º, y los tres ángulos de un triángulo suman 80º. Por tanto: B.5º º 9' 7." De aquí: C 80º (A + B) 80º (0º +.5º) 8.85º 8º 50' 5.68" Por último, por el Teorema del Coseno: c a b abcos C 5 5 cos8.85º ) Demostrar que es cierta la siguiente identidad para todos los ángulos para los que tenga sentido: (sen α + cos α) + tg α cos α (,5 puntos) Recordemos que: sen (sen ), y lo mismo ocurre con cualquier función con nombre y argumento elevada a una potencia. Desarrollamos ambos miembros por separado hasta llegar a la misma epresión: (sen α + cos α) sen + cos + sen cos + sen cos + tg α cos sen α cos + sen cos cos Por tanto, la igualdad es siempre cierta, cuando tenga sentido. 6) Sin usar calculadora (es decir, apoyándose en fórmulas de trigonometría y/o en las razones trigonométricas de ángulos conocidos, como 0º, 5º, etc.), hallar tg 5º, sen 75º, tg 00º. (,5 puntos) tg5º tg 0º tg 5º tg (5º 0º) tg 5º tg 0º º sen 75º sen (5º + 0º) sen 5º cos 0º + cos 5º sen 0º 6 tg 00 º tg 60º (ver gráfico adjunto) 7) Sin usar calculadora, a) Realizar los cálculos en polares para hallar el resultado de: i ; b) Pasar a binómica 0º (,5+ puntos) i a) Si z + i z 8 00º IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

16 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre Recuperación por trimestres º Bach CT tg 5º ó 5º. Como la parte real es negativa y la imaginaria, positiva, el complejo está en el II cuadrante, por lo que 5º. En definitiva, z + i ( ) 5º. Por otra parte, si z ' i z '. tg 60º ó 0º. Como tanto parte real como imagi- naria son negativas, 0º. Por tanto: z ' i 0º. Por tanto: z z' i i ( ) b) 0º (cos 0º + i sen 0º) 0º 5º 5º 0º ( ) 05º 60º ) 55 º (. i + i. ( ) 05º 8) Hallar el simétrico de A(, ) respecto de la recta + 5y 0 ( puntos) Calculamos la recta s perpendicular a r que pasa por A (dibujada en trazo discontinuo azul). Su vector de dirección será el normal de r, es decir: (, 5). Y como pasa r A por A(, ): M y s y y 0 5 A ' Calculamos el punto M intersección de r y s, resolviendo el sistema formado por ambas rectas: 5y 0 5y 60 Sumando: 9y 58 y 5 y 0 y Sustituyendo en la primera: + 0. Por tanto, M(, ). M(, ) es el punto medio entre A(, ) y su simétrico A'(a, b). Luego: a a a A'(, 7). b b b 7 9) Derivar y simplificar: y cos ; ln y ; arcsen y ; a) y cos y ' cos ( sen ) 6 sen cos b) y ln ln( ) y ' ln( ) ln( ) c) y arcsen y ' ( ) ( ) y e ( ptos) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 6

17 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre Recuperación por trimestres º Bach CT d) y e y ' e e 0) Hallar la(s) rectas tangente(s) a la función f() que sea(n) paralela(s) a la recta y + 0. ( puntos) La pendiente de la recta y + 0 y + vale. Para ser paralelas, las tangentes que nos piden deben tener por pendiente. Y la pendiente de la tangente en un punto (, f()) vale m f '(). Luego hemos de buscar los valores de tales que f '(). Como f '() 6, esto se traduce en Punto de tangencia: f() (, ). Pendiente de la tangente: m f '() Recta tangente: y ( ) y + y. ) Para la función f(), se pide: a) Dominio, intersecciones con los ejes y asíntotas. D(f) R {}, pues anula el denominador. Intersecciones con los ejes: o 0 y 0: (0, 0). o y ( + ) 0 0 ó, y ambas son válidas porque no anulan el denominador: (, 0) y (0, 0). Asíntotas: o AV: La única discontinuidad está en. Como 0 La recta es asíntota vertical. o AH: No tiene AH. f ( ) o AO: m n [ f ( ) m] ( ) Por tanto, y + es A.O. b) Comprobar que f '() y estudiar su monotonía y etremos relativos. ( ) ( )( ) ( ) f '() ( ) ( ) ( ) Discontinuidades de f ó f ':. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 5 de 6

18 IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Tercer trimestre Recuperación por trimestres º Bach CT Puntos que anulan f ': 0. (, ) (, ) (, + ) + (+, +) f ' + 0 / 0 + f (crec) Má (decrec) / (decrec) mín (crec) Máimo en (apro.): ( 0., 0.7). Mínimo en (apro.): (., 5.8). 8 c) Comprobar que f "() ( ) y estudiar su curvatura y puntos de infleión. ( )( ) ( )( ) f "() ( ) ( )[( )( ) ( )] ( ) ( ) Discontinuidades de f, f ' ó f ":. Puntos que anulan f ": No hay (, ) (, +) f " / + f (cóncava) / (convea) No tiene puntos de infleión. ( ) d) Gráfica, basada en el estudio anterior. En verde hemos dibujado las asíntotas. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 6 de 6