IES Fernando de Herrera Curso 2014 / 15 Tercer trimestre - Primer examen 2º Bach CT NOMBRE:

Transcripción

1 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. k ) (8-6, Opc.B) Dada la matriz A = k 7 k a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. ( punto) b) Para k =, halla la matriz inversa de A. ( punto) ) (7-, Opc. A) Halla los dos puntos que dividen al segmento de etremos A(,, ) B(,, ) en tres partes iguales. ( punto) ) (7-, Opc. B) Considera los vectores u = (,, m), v = (, m, ) w = (, m, ). a) Determina el valor de m para que los vectores u, v w sean linealmente dependientes. ( punto) b) Para m =, epresa el vector w como combinación lineal de los vectores u v. ( punto) ) (7-, Opc. B) Considera el sistema de ecuaciones a z a z z a a) Clasifícalo según los valores de a resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. ( puntos) b) Resuelve el sistema que se obtiene para a =. ( punto) 5) (7-, Opc. B) Considera los puntos A(,, ), B(,, 5) C(,, ) a) Calcula los valores de sabiendo que el triángulo ABC tiene un ángulo recto en C. ( punto) b) Calcula el área del triángulo ABC para =. ( punto)

2 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT SOLUCIONES k ) (8-6, Opc.B) Dada la matriz A = k 7 k a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. ( punto) k Como A = k = k 7, se tiene: k = k k k k = k = k = Si k = k = A r(a) =. Si k = A = r(a) =. Si k = A = r(a) =. 7 7, dado que, dado que = = + b) Para k =, halla la matriz inversa de A. ( punto) A = 7 A = = = A. A t = A Adj(At ) = 7 9 Adj(A t ) = 9 7 / = / / / / / / ) (7-, Opc. A) Halla los dos puntos que dividen al segmento de etremos A(,, ) B(,, ) en tres partes iguales. ( punto) Para hallar P Q tenemos en cuenta que (ver Q B gráfico): P A OP OA AP OA AB OA OBOA = O = (,, ) + [(,, ) (,, )] = IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

3 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT 5 = (,, ) + (,, ) =,, =,, OQ OA AQ OA AB OA OB OA = = (,, ) + [(,, ) (,, )] = (,, ) + (,, ) = =,, = 7,, ) (7-, Opc. B) Considera los vectores u = (,, m), v = (, m, ) w = (, m, ). a) Determina el valor de m para que los vectores u, v w sean linealmente dependientes. ( punto) Los vectores serán linealmente dependientes si, sólo si el rango de la matriz formada por ellos, distribuidos en tres filas, tiene rango menor que : m m r m = m m + m m m Resolvemos m m + = (m ) = m =. Luego el rango es menor que, con lo que los vectores son linealmente dependientes si sólo si m =. b) Para m =, epresa el vector w como combinación lineal de los vectores u v. ( punto) Para dicho valor, son linealmente dependientes, con lo que cualquiera de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto: w = u + v. Lo que equivale a: (,, ) = (,, ) + (,, ) = (, +, ) El sistema tiene solución única, puesto que = con = verifican las tres igualdades, con lo que la combinación lineal es: (,, ) = (,, ) + (,, ) ) (7-, Opc. B) Considera el sistema de ecuaciones a z a z z a a) Clasifícalo resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. ( puntos) Estudiamos los rangos de la matriz de los coeficientes de la ampliada. Escribimos ésta última, cuas tres primeras columnas formarían la primera: IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

4 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de A' = a a a Como A = a a = a a a = a + = a =, se tiene que: Si a a : A r(a) = r(a') = (no puede ser maor, porque no ha más filas) el sistema es compatible determinado, con solución única. Si a = : A' =, que está triangularizada. La tercera ecuación sería imposible: =, por lo que el sistema es incompatible. Si a = : A' =, la fila puede eliminarse, por ser igual a la (es decir, es combinación lineal de las otras: + ). De las dos filas restantes, el menor = r(a) = r(a') = el sistema resulta ser compatible indeterminado, con infinitas soluciones. Nos piden resolverlo. Lo triangularizamos, para hacerlo por Gauss: Llamamos z = t: ª ec: = = / ª ec: + = t = t / = 5/ t Las soluciones tienen la estructura: t t, 5,. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a =. ( punto) Según la clasificación anterior, el sistema es compatible determinado tendrá solución única. La matriz ampliada: A' = Triangularizamos: que está triangularizado.

5 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Primer eamen º Bach CT ª ec: = = / ª ec: + = = ª ec: z = z = 8 = Solución:,, 5) (7-, Opc. B) Considera los puntos A(,, ), B(,, 5) C(,, ) a) Calcula los valores de sabiendo que el triángulo ABC tiene un ángulo recto en C. ( punto) Tiene que ser CA CB CA CB = Como: CA = OA OC = (,, ) (,, ) = = (,, ) CB = OB OC = (,, 5) (,, ) = = (,, ) se tiene: CA CB =(,, ) (,, ) = + 8 = 5 = = 5 (ha dos soluciones, como se aprecia en el gráfico). b) Calcula el área del triángulo ABC para =. ( punto) El área de un triángulo ABC es la mitad del área del tetraedro que se forma con el simétrico de A respecto del segmento que une B con C: AB = OB OA = (,, 5) (,, ) = (,, 6) AC = OC OA = (,, ) (,, ) = (,, ). AB AB AC = (,, 6) (,, ) = 6 6,, = (,, ) A AC S = AB AC = (,, ) = = = 7 u A C B C' B C IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

6 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ALUMNOS CON LA ª Y ª EVALUACIÓN APROBADA ) (-, Opc. B) Dada la matriz A =, sea B la matriz que verifica que 5 AB =. 7 a) Comprueba que las matrices A B poseen inversas. ( punto) b) Resuelve la ecuación matricial A X B = BA. (,5 puntos) ) (-, Opc. B) Considera el siguiente sistema de ecuaciones m z m z mz a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. (,5 puntos) b) Si es posible, resuelve el sistema para m =. ( punto) ) (-, Opc. B) Encuentra los puntos de la recta r z cua distancia al plano + z = vale cuatro unidades. (,5 puntos) ) (-, Opc. B) Considera el plano de ecuación + z + =, la recta r de ecuación: 5 z 6 a) Determina la posición relativa de r. (,5 puntos) b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r es perpendicular a. ( punto) c) Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a que contiene a r. ( punto) Enlace a las soluciones Enlace a las soluciones

7 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Eamen Global º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ALUMNOS CON LA ª Y ª EVALUACIÓN SUSPENDIDA ) (-, Opc. B) Sea la función f : R R definida por f() = ln( + + ) donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los intervalos de crecimiento de decrecimiento los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen valores que se alcanzan). (,5 puntos) b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. ( punto) ) (-, Opc. B) Calcula los valores de a b sabiendo que la función f: (, +) R definida por f() = a + b ln(), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un etremo relativo en = que f ( ) d 7 8ln() (,5 puntos) ) (-, Opc. B) Dada la matriz A =, sea B la matriz que verifica que 5 AB =. 7 a) Comprueba que las matrices A B poseen inversas. ( punto) b) Resuelve la ecuación matricial A X B = BA. (,5 puntos) ) (-, Opc. B) Encuentra los puntos de la recta r z cua distancia al plano + z = vale cuatro unidades. (,5 puntos) Enlace a las soluciones

8 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Recuperación º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. (Septiembre ) Ejercicio.- Sea la función f definida por f() = para. (a) ['5 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. (b) ['5 puntos] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen valores que se alcanzan) los intervalos de crecimiento de decrecimiento de f. 9 Ejercicio.- Sea f : R R la función definida por f() = (a) ['75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (b) ['75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + = 5 el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto. Ejercicio.- Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas z z (a) ['5 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro. (b) ['5 puntos] Resuélvelo para = =. Ejercicio.- ['5 puntos] Halla el punto simétrico de P(,, 5) respecto de la recta r definida por z e

9 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Subida de nota º Bach CT SOLUCIONES CRITERIOS GENERALES. Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento sin la resolución efectiva no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente: - En los ejercicios en los que se pida epresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos. - Los estudiantes pueden utilizar calculadoras; no obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados. - Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente. - Los errores no conceptuales en las operaciones se penalizarán con un máimo del % de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizará la redacción incorrecta el uso incorrecto de símbolos. - La presentación clara ordenada del ejercicio se valorará positivamente. - Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de eamen. CRITERIOS ESPECÍICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: " puntos por A", ha que interpretar que se deben conceder puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluendo, si así se pide en el enunciado, la justificación oportuna. Ejercicio.- (a) Hasta '5 por la asíntota vertical. Hasta '5 puntos por el estudio en más infinito. (b) Hasta '5 puntos por el cálculo de la derivada. Hasta '5 puntos por determinar los intervalos de crecimiento de decrecimiento. Ejercicio.- (a) Hasta '5 puntos por determinar la pendiente de la recta tangente. (b) Hasta '5 puntos por el esbozo. Hasta punto por epresar el área en términos de integrales. Ejercicio.- (a) Hasta '5 puntos por encontrar los valores críticos. Hasta '5 puntos por el caso compatible determinado. (b) Hasta '75 puntos por la resolución en el caso =. Ejercicio.- Hasta '5 puntos por el planteamiento. Ejercicio.- Sea la función f definida por f() = para. (a) ['5 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. Asíntotas verticales: Sólo puede tenerlas en =, que es la única discontinuidad: e lim = e = La recta = es asíntota vertical. No ha que estudiar los límites laterales, salvo que se quiera clasificar la discontinuidad, eso no se nos pide. Tampoco es necesario si quisiéramos dibujar la gráfica, porque la monotonía nos daría esa información. Asíntotas horizontales: El comportamiento de la eponencial difiere en en +, por lo que los estudiamos por separado: e lim = e e = lim = + No tiene si Se ha aplicado L'Hôpital, que puede hacerse al tener en el numerador en el denominador funciones derivables en todo R. e lim = = La recta = es asíntota horizontal en +. IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5 e

10 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Subida de nota º Bach CT Asíntota oblicua: Sólo podría tenerla si, pues si tratásemos de calcularla por el otro lado, obtendríamos la horizontal que a conocemos. e e e lim m = lim = lim =, L' Hôpital = =, L' Hôpital = e = lim = No tiene asíntotas oblicuas. (b) ['5 puntos] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen valores que se alcanzan) los intervalos de crecimiento de decrecimiento de f. e ( ) e e f '() = = ( ) ( ) Discontinuidades de f ó de f ': =. f '() = : e = = ó e =, que no puede ser. (, ) (, ) (, +) f ' / + f mín / Tiene un mínimo relativo en (, ), pues f() =, es decreciente en (, ) creciente en (, ) en (, +). 9 Ejercicio.- Sea f : R R la función definida por f() = (a) ['75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. f '() = / Punto de tangencia: f() = : (, ). Pendiente de la tangente: m = f '() = /. Ecuación: =.5( ) + 5 =. (b) ['75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + = 5 el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto. + = 5 es una recta, sólo requiere una pequeña tabla de valores. Además, la recta que trabajamos es la pendiente que resulta en el apartado anterior. f es una parábola cóncava, pues el coeficiente de la máima potencia es negativo: /. Sus características son: o Eje: = b/a =. o Vértice: (, 9/). o Cortes con los ejes: = = 9/: (, 9/). = 9 = = 9 = : (, ) (, ). o Algunos puntos adicionales: (, ), (, ), (, ), (, ). Luego el recinto es el de la figura. El recinto cua área debemos calcular es el coloreado, es el área del triángulo de base el segmento de a 5 en el eje OX, de altura (el segmento sobre = ), que vale / =, menos el área bajo la parábola entre = = : IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5

11 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Subida de nota º Bach CT IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5 A = 9 d = 9 = = 5 u Ejercicio.- Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas z z (a) ['5 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro. La matriz ampliada es: A' = El determinante de la matriz de los coeficientes es: = + + = ( + ) = = ó = Entonces: : A Como éste es un menor tanto de A como de A', se tiene que ambas tienen rango (el orden de este menor). Si r(a) = r(a') = = nº de incógnitas, tendremos un sistema compatible determinado. = : Se tiene: A' = donde r(a) = (vimos antes que no puede ser, porque para este valor teníamos A = ). Orlamos este menor con la última columna de A', para ver el rango de ésta, el menor resultante vale, porque la última columna es de : = Luego el menor anterior, que también lo es de A', es el de maor orden que podemos encontrar en esta matriz, por lo que r(a') =. Como r(a) = r(a') < nº de incógnitas, es un sistema compatible indeterminado. = : A' = Como A = r(a) =. Orlamos dicho menor, que también lo es de A', para ver el rango de ésta última:

12 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Subida de nota º Bach CT IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5 = + = Como no ha ninguna otra posibilidad de orlar el menor no nulo de orden que tenemos r(a') =. Al coincidir los rangos ser menor que el número de incógnitas, es un sistema compatible indeterminado. (b) ['5 puntos] Resuélvelo para = =. = : A' = Eliminamos la fila : = =. Sobre z no ha ninguna condición, por lo que su valor es libremente elegido por nosotros, de modo que las infinitas soluciones tienen la forma: (,, t). La forma de este sistema, triangularizado, es especial. Estaría triangularizado antes de la transformación de filas que hemos hecho. Pero cuando una columna es completa de, dicha incógnita queda libre: puede tomar cualquier valor, porque no influe en que las ecuaciones dejen de ser ciertas, al multiplicar por dicho valor en cada ecuación. Hemos de resolver el sistema que queda con las restantes incógnitas añadir este valor de forma libremente elegida por nosotros. = : A' = Llamamos = t. ª ec: t z = z = t ª ec: t = = + t Las infinitas soluciones tienen la forma: ( + t, t, t). Ejercicio.- ['5 puntos] Halla el punto simétrico de P(,, 5) respecto de la recta r definida por z Ponemos la recta en paramétricas, llamando = t: r t z t t de donde su vector de dirección es d = (,, ). Este vector es normal al plano perpendicular a la recta r que contiene a P, cua ecuación es, pues: ( ) ( ) + (z + 5) = + z + =. P P ' M r

13 IES ernando de Herrera Curso / 5 Tercer trimestre - Subida de nota º Bach CT Calculamos el punto M intersección de con r. Sustituendo la forma de un punto general de r en : t ( t) + t + = t + 6 = t = Llevando este valor a las paramétricas de r, tenemos que M(,, ). Como M es el punto medio entre P(,, 5) su simétrico P'(a, b, c): a a 6 b b P'( 6,, ). 5 c c IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 5 de 5