INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD.

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD. 1. En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } se consideran los siguientes sucesos: A = { 2, 5, 6 } C = { 4, 5, 6 } B = { 1, 3, 4, 5 } D = { 3 } (a) Forma los sucesos contrarios. (b) A B (c) A C (d) A (B C ) (e) A (B C ) (f) (A B) C (g) Indica la equivalencia entre los siguientes conjuntos A B, A B, A B y A B 2. En el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico y anotar el resultado de la cara superior, calcula la probabilidad de: (a) Salir par. (b) Salir impar (c) Salir múltiplo de 3 (d) Salir múltiplo de 5 3. Una urna tiene 8 bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Se extrae una al azar. Determinar la probabilidad de que: (a) Sea roja (b) Sea verde (c) No sea amarilla. 4. Una urna tiene 8 bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Se extrae dos bolas al azar, sucesivamente y sin devolución. Determinar la probabilidad de que: (a) Sea roja (b) Sea verde (c) No sea amarilla. (d) Repetir los apartados anteriores en el caso de la extracción simultanea. 5. Se extrae una carta de una baraja española. Qué es más probable?: (a) Que salga la sota de bastos o el rey de espadas (b) Que salga un oro o una figura (c) Que salga un oro o un no oro. (d) Que salga una figura o que no salga una figura 6. Se lanza una moneda dos veces. Hallar las siguientes probabilidades: (a) Obtener dos caras (b) Las dos monedas son iguales (c) Obtener al menos una cara 1 / 15

2 7. Se lanzan dos monedas. Hallar las siguientes probabilidades: (a) Obtener dos caras (b) Las dos monedas son iguales (c) Obtener al menos una cara 8. Se lanza al aire una moneda tres veces. Determinar la probabilidad de que se obtenga al menos dos cruces. 9. Se lanzan al aire tres monedas. Determinar la probabilidad de que se obtenga al menos dos cruces. 10. Se lanza un dado dos veces y se suman las puntuaciones obtenidas. Cuál es la puntuación más probable?. 11. Se lanzan dos dados y se suman las puntuaciones obtenidas. Cuál es la puntuación más probable?. 12. Extraemos de forma sucesiva y sin devolución dos cartas de una baraja española. Calcular la probabilidad de obtener: (a) Dos espadas. (d) Al menos un oro (b) Dos sotas. (e) Un as y una figura. (c) El as de oros y el as de copas. (f) Al menos un rey. 13. Extraemos de una sola vez y al azar tres cartas de una baraja española. Calcular la probabilidad de obtener: (a) Tres figuras. (d) El as de espadas y dos copas. (b) Tres reyes. (e) Ningún as. (c) As de oros, as de copas y un rey. (f) Al menos una espada. 14. Lanzamos un dado perfectamente equilibrado sobre una mesa tres veces seguidas. Calcular la probabilidad de que: (a) En los tres lanzamientos salga 5. (d) Al menos un seis. (b) Dos, tres y cuatro. (e) Los dos primeros cinco y el tercero uno. (c) Nunca salga un tres. (f) Exactamente dos cincos. 15. Cogemos una moneda nueva y la lanzamos al azar cuatro veces seguidas sobre una mesa. Calcular la probabilidad de que: (a) Salgan cuatro cruces. (d) Tres caras. (b) Salgan exactamente dos cruces. (e) Al menos tres caras. (c) Al menos una cara. (f) Salgan cuatro caras. 16. Lanzamos al azar tres monedas nuevas, distintas, sobre una mesa. Calcular la probabilidad de que: (a) Una señale lo contrario de las otras dos. (b) Las tres señalen lo mismo. (c) Al menos salga una cruz. 2 / 15

3 (d) Describe un suceso que tenga un 50% de probabilidad de ocurrir. 17. En una caja tenemos una bola blanca, dos bolas negras y tres bolas rojas. Si extraemos al azar dos bolas a la vez, por cuál de los siguientes sucesos apostarías? Suceso A: Las dos bolas son negras. Suceso B: Una bola es blanca y la otra, roja. Suceso C: Las dos bolas son del mismo color. Suceso D: Una de las dos bolas es la blanca. 18. Se ha trucado una moneda de forma que la probabilidad de obtener cara es triple que la probabilidad de obtener cruz. Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental? 19. Un dado está trucado de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es directamente proporcional a los números de éstas. Se pide: (a) La probabilidad de cada una de las caras. (b) La probabilidad de sacar un número par. 20. Un dado está trucado de modo que la probabilidad de obtener distintas caras es inversamente proporcional a los números de éstas. Se pide: (a) La probabilidad de cada una de las caras. (b) La probabilidad de sacar un número múltiplo de Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. (a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento. (b) Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"? (c) Describe el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el producto" 22. Dos personas juegan con una moneda, a Cara (C) o Cruz (X). La que apuesta por la cara gana cuando consiga dos caras seguidas o, en su defecto, tres caras; análogamente con la cruz. El juego acaba cuando gana uno de los jugadores. Halla: (a) El espacio muestral, E. (b) Los sucesos: A = En el juego salieron, al menos, dos caras seguidas; B = En el juego no salieron ni dos cruces ni dos caras seguidas. 23. Una urna contiene nueve bolas marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Se sacan dos bolas simultáneamente; sean a y b los números de dichas bolas. Formar 1os sucesos: (a) a b es un cubo perfecto. (la) a + b es un cuadrado perfecto. 24. Si A, B y C son tres sucesos de un experimento aleatorio, sean R y S los sucesos siguientes: R = Sucede A pero no suceden ni B ni C. S = Sucede A o sucede B, pero no sucede C. 3 / 15

4 Expresa R y S en función de A, B y C y haz los correspondientes diagramas de Venn. 25. Sean A, B y C tres sucesos de un experimento aleatorio. Considérense los sucesos: S = Suceden dos, al menos, de los A, B y C. T = Suceden dos, exactamente, de los A, B y C. Expresa S y T en función de A, B y C y haz los correspondientes diagramas de Venn. 26. Hallar la probabilidad de un suceso, sabiendo que la suma de su cuadrado y la del cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es igual a 5/ En un centro de Secundaria, aprueban las Matemáticas las aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, Calcula la probabilidad de que: (a) suspenda las dos asignaturas. (b) suspenda sólo una de ellas. 28. Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída? 29. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? 30. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída? 31. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber: (a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. (b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra. 32. De entre las 28 fichas de un domino, se toman dos al azar. Halla la probabilidad de que las sumas de los puntos de una y otra sean iguales. 33. Sean A y B dos sucesos, de un experimento aleatorio, de los que se sabe que: P (A)= 5 P (A B)= Halla las probabilidades de los sucesos A, B y A B P (A B)= Una urna contiene 10 bolas iguales; 9 de ellas son blancas y una es negra. Se extraen sucesivamente bolas hasta obtener la bola negra (las bolas no so restituyen a la urna). Halla el espacio muestral y las probabilidades de cada uno de sus resultados. 35. Una urna contiene 10 bolas iguales; 9 de ellas blancas y una negra. Se extraen sucesivamente bolas, que se restituyen a la urna antes de hacer la siguiente extracción, hasta que se obtiene la bola negra. Halla el espacio muestral y las probabilidades de cada uno de sus sucesos, y comprueba que la suma de todas ellas es igual a la unidad. 4 / 15

5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 36. Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. en cada disparo la probabilidad de alcanzarlo es 1/10. Cuáles son las posibilidades de alcanzar el objetivo y las probabilidades de cada una de ellas? 37. Un jugador de baloncesto tiene una efectividad del 80 % en lanzamientos de tiros libres. Con el tiempo agotado debe lanzar cuatro tiros consecutivos. Si su equipo está perdiendo de dos puntos, Cuál es la probabilidad de que: (a) empate el partido (b)...lo gane? 38. Un jugador de baloncesto tiene una efectividad del 80 % en lanzamientos de tiros libres. Con el tiempo agotado debe lanzar cuatro tiros (si falla en algún lanzamiento deja de tirar). Si su equipo está perdiendo de dos puntos, Cuál es la probabilidad de que: (a) empate el partido (b)...lo gane? 39. Las probabilidades de aprobar los exámenes de Historia, Lengua e Inglés son, para un alumno determinado: 2/3, 4/5 y 3/5 respectivamente. Obtener las probabilidades de: (a) Suspender las tres asignaturas. (b) Suspender solo una de las tres. (c) Suspender Lengua si se sabe que solo suspendió una asignatura de las tres. 40. Se escriben a azar las cinco vocales. Cuál es la probabilidad de que se escriban en el orden correcto?. 41. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber: (a) La probabilidad de que las tres sean rojas. (b) La probabilidad de que dos sean rojas y una verde. (c) La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color. (d) La probabilidad de que todas sean de distinto color. (e) La probabilidad de que todas sean del mismo color. 42. En un grupo de personas hay doble cantidad de mujeres que de hombres. La mitad de las mujeres y la mitad de los hombres hablan ruso. Halla la probabilidad, P, de que una persona, elegida al azar, sea mujer o hable ruso. 43. Se lanza un dado 7 veces. Cuál es la probabilidad de que salga algún 1 en los 6 lanzamientos? 44. Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. Qué probabilidad hay de que sean del mismo color? 45. Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la 5 / 15

6 probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %? 46. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10 negras y 6 blancas. Tres niños sacan, sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas? 47. Si de 800 piezas fabricadas por una máquina con fiabilidad del 97% y se eligen 5 de aquéllas al azar. Cuál es la probabilidad de que haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas? 48. En una caja hay chinchetas del mismo tipo; de ella se extrae una chincheta al azar. El 55 % de las chinchetas tiene la cabeza blanca; el 25 % tiene la punta blanca; el 10 % tiene blancas la cabeza y la punta. Halla la probabilidad de que la chincheta extraída no tenga blanca ni la cabeza ni la punta. Halla la probabilidad de cabeza blanca o punta blanca 49. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Elegido al azar un estudiante, se pide: (a) Cuál es la probabilidad de que sea alumno? (b) Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso? (c) Cuál es la probabilidad de que sea alumna o repita el curso? Elegidos al azar dos estudiantes Cuál es la probabilidad de que ninguno repita curso? 50. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar: (a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. (b) La probabilidad de que no apruebe ninguna. (c) La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua. 51. Si A y B son dos sucesos tales que: P( A) = 3 P( B) = 1 y P( A B) = 1 calcular P( A B) Las tres opciones preferidas en cierto automóvil nuevo son : Transmisión automática (A) Dirección hidráulica (B) Radio (C) Se sabe que: 70% de los compradores piden A ; 80% B ; 75% C ; 85% A ó B ; 90% A ó C ; 95% B ó C y 98% A, B ó C. Hacer un diagrama de Venn para representar los tres eventos. Cuál es la probabilidad de el siguiente comprador: (a) escoja al menos una de las tres opciones. (b) no seleccione ninguna de las tres opciones. (c) sólo seleccione transmisión automática y ninguna de las otras. (d) seleccione sólo una de las tres opciones. 53. A un congreso de científicos asisten 100 congresistas. De ellos, 80 hablan francés y 40 inglés. Elegidos dos asistentes al azar: 6 / 15

7 (a) Cuál es la probabilidad de que se entiendan sin intérprete? (b) Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés? (c) Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma? (d) Cuál es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas? 54. Se ha comprobado que en una ciudad están enfermos con diarrea el 60% de los niños, con sarampión el 50% y el 20% con ambas enfermedades. (a) Calcula la probabilidad de que, elegido un niño al azar, esté enfermo con diarrea o sarampión o ambas enfermedades. (b) En un colegio con 450 alumnos, cuántos cabe esperar que estén sanos?. 55. En un banquete posterior a una boda se sienta en la presidencia al azar 10 personas, entre las cuales se encuentran lógicamente los novios. Halla la probabilidad de que los novios estén juntos. 56. Los números 1, 2, 3, 4,, n se alinean al azar. Calcular la probabilidad de que los números 2 y 3 aparezcan seguidos (no necesariamente en ese orden). 57. De una bolsa que contiene 15 bolas blancas y 15 negras se hacen sucesivamente dos extracciones de una bola cada vez. Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras en el caso: (a) Que la primera bola extraída no se devuelva a la bolsa. (b) Que la primera bola extraída se devuelva a la bolsa. 58. En una caja se han metido tres papeletas, y sólo en una de ellas está escrita la palabra Premio. Tres personas A, B y C eligen, una después de la otra, un papel de la caja y se lo guardan. Si pudieras escoger En qué lugar elegirías sacar el papel?. 59. Supongamos que los sucesos Nacer un niño y Nacer una niña son independientes y equi probables (con probabilidad igual a 0,5): (a) Describe todas las posibles familias con cuatro hijos (consideramos diferente ser la mayor con tres hermanos que ser la menor con tres hermanos). (b) Calcula la probabilidad de que, escogida una familia al azar, ésta tenga: 1. Tantos niños como niñas. 2. Tres niños y una niña 3. Sólo niñas 4. Todos los hijos del mismo sexo. 60. Supongamos que los sucesos Nacer un niño y Nacer una niña son independientes y no equi probables (con probabilidad 0,4 y 0,6 respectivamente): (a) Describe todas las posibles familias con cuatro hijos (consideramos diferente ser la mayor con tres hermanos que ser la menor con tres hermanos). (b) Calcula la probabilidad de que, escogida una familia al azar, ésta tenga: 1. Tantos niños como niñas. 2. Tres niños y una niña. 3. Sólo niñas 7 / 15

8 4. Todos los hijos del mismo sexo. 61. En un grupo de 40 alumnos, hay 25 chicas, de las que seis llevan merienda y 27 alumnos (chicos y chicas) no la llevan. Se escogido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que: (a) Lleve la merienda. (b) Sea una chica sin merienda. (c) Sea un chico. (d) O bien lleve la merienda o bien sea una chica. 62. En un grupo de 42 alumnos, 16 chicas miden menos de metro setenta, 11 chicos sobrepasan el metro setenta y hay 24 chicas en total. Calcula la probabilidad de que, escogido un alumno al azar: (a) Mida metro setenta o más. (b) Sea un chico. (c) Sea una chica de metro setenta o más. (d) O bien no llegue a metro setenta, o bien sea una chica. (e) Ni sea chico ni llegue a metro setenta. 63. En una caja se encuentran 60 bolas, de las cuales 5 son pequeñas y azules, 22 son rojas y 35, grandes. Calcula la probabilidad de que: (a) Sea azul. (e) Sea pequeña y roja. (b) Sea pequeña o roja. (f) Sea grande o azul. (c) No sea ni grande ni roja. (g) No sea pequeña ni azul. (d) Sea grande y azul. 64. En una caja se guardan caramelos de naranja y de limón. Unos están envueltos con papel transparente y otros no, porque son de marcas diferentes. El 58% son de naranja, el 32 % están envueltos con papel transparente y el 12 % son de limón envueltos en papel no transparente. Calcula la probabilidad de que, escogido un caramelo al azar: (a) Sea de limón o esté envuelto con papel transparente. (b) Ni sea de limón ni esté envuelto con papel transparente. (c) No sea de naranja o no esté envuelto con papel transparente. 65. Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus que actúan independientemente uno del otro. El programa P 1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0.9 y el programa P 2 detecta el virus con una probabilidad de 0.8. Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? 66. Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades : P (A)=0,4 ; P (B)=0,2 y P (A B)=0,5. Son los sucesos A y B incompatibles? Razona la respuesta. 67. El 20% de los habitantes de una determinada población son jubilados y otro 20% son estudiantes. La música clásica le gusta al 75% de los jubilados, al 50% de los estudiantes y al 20% del resto de la población. Calcula la probabilidad de que elegida al azar una persona a la que le gusta la música clásica sea jubilada. 8 / 15

9 68. En una empresa, el 20% de los trabajadores son mayores de 45 anos, el 8% desempeña algún puesto directivo y el 6% es mayor de 45 años y desempeña algún puesto directivo. (a) Qué porcentaje de los trabajadores tienen más de 45 años y no desempeña ningún cargo directivo? (b) Qué porcentaje de los trabajadores no es directivo ni mayor de 45 años? (c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, cuántos son directivos y no tienen más de 45 años? 69. El 60% de las personas que visitaron un museo durante el mes de mayo eran españolas. De éstos el 40% eran menores de 20 años. En cambio, de los que no eran españoles, tenían menos de 20 años el 30%. Calcular: (a) La probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 años. (b) Si se escoge un visitante al azar, la probabilidad de que no sea español y tenga 20 años o más. 70. Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos: A = obtener cruz en el primer lanzamiento. B = tres caras. C = obtener dos cruces o tres caras. Se desea saber: (a) Si A y B son incompatibles. (b) Si A y B son independientes. (c) Si A y C son incompatibles. (d) Si A y C son independientes. (e) Si B y C son incompatibles. (f) Si B y C son independientes 71. De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber: (a) Cuál es la probabilidad de que ninguno hable francés? (b) Cuál es la probabilidad de que hablen castellano? (c) Cuál es la probabilidad de que sen entiendan sólo en castellano? (d) Cuál es la probabilidad de que sólo hablen un idioma? (e) Cuál es la probabilidad de que hablen los tres idiomas? 72. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. Se pide: (a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales? (b) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, cuál es la probabilidad de que no consume pan integral? (c) Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan? 9 / 15

10 73. Un equipo de fútbol gana (G), pierde (P) y empata (E) con probabilidades: 0.5, 0.4 y 0.1, respectivamente. Dicho equipo juega tres partidos de un cierto campeonato; por cada partido ganado obtiene 3 puntos, si empata se le da 1 punto y si pierde no obtiene puntos. Halla la probabilidad de que obtenga 4 puntos por los tres partidos (se supone que el resultado de un partido no influye en los otros resultados). 74. Tres cañones disparan a un blanco, uno tras otro. Las probabilidades de acertar en el blanco son 0,5, 0,4 y 0,3, del primer, segundo y tercer cañón, respectivamente. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos: A = Se acierta en el blanco al primer disparo. B = Se acierta en el blanco al Segundo disparo (no antes). C = Se acierta en el blanco al tercer disparo (no antes}. D = Uno, al menos, de los dos primeros disparos acierta en el blanco. E = Uno, al menos, de los tres disparos acierta en el blanco. 75. Una carretera principal, de dirección única, tiene 3 bifurcaciones secundarias, por cada una de ellas se desvía el 10 % del tráfico que pasa por el correspondiente punto de confluencia. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos: A = desviarse por la carretera secundaria i ésima (i = 1, 2, 3); B = no desviarse por ninguna de las bifurcaciones. 76. Un mecanismo consta de 4 componentes independientes, montados en serie. La fiabilidad de cada componente es del 95%. Cuál será la fiabilidad del mecanismo?. 77. Un mecanismo consta de 4 componentes independientes, montados en paralelo. La fiabilidad de cada componente es del 95%. Cuál será la fiabilidad del mecanismo?. 78. Calcular la fiabilidad de los siguientes mecanismos (todos los componentes son independientes y tienen una probabilidad de fallo del 0,1). (a) (b) 79. Un mecanismo consta de 25 componentes. Para que el mecanismo funcione, no debe estar averiado ninguno de ellos. El hecho de que un componente se averíe es independiente de lo hagan o no los demás. Sabiendo que todos los componentes tienen la misma probabilidad de averiarse, que es 0,03, halla la probabilidad de que el mecanismo funcione. 80. Un mecanismo consta de n componentes. El sistema funciona si lo hace uno, al menos, de los aparatos. La probabilidad de que funcione uno cualquiera de los aparatos es p = 0,92. (a) Cuántos aparatos deben configurar el sistema para poder asegurar su funcionamiento con probabilidad mayor que 0,999?. (b) Con tal número de aparatos y si éstos se conectan en serie, cuál es la probabilidad de que funcione el sistema?. 10 / 15

11 PROBABILIDAD CONDICIONADA. TEOREMA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES Y TEOREMA DE BAYES. 81. En un grupo de 40 alumnos, hay 25 chicas, de las que seis llevan merienda y 27 alumnos (chicos y chicas) no la llevan. Se ha escogido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que: (a) Sabiendo que es un chico, se haya traído la merienda. (b) Sabiendo que es una chica, no se haya traído la merienda. (c) Sabiendo que se ha traído la merienda, sea una chica. (d) Sabiendo que no se ha traído la merienda, sea un chico. (e) Son independientes los sucesos Ser chico y Traerse la merienda? 82. En una caja se encuentran 60 bolas, de las cuales 5 son pequeñas y azules, 22 son rojas y 35, grandes. Calcula la probabilidad de que: (a) Sabiendo que la bola es roja, sea pequeña. (b) Sabiendo que la bola es azul, sea grande. (c) Sabiendo que es grande, sea roja. (d) Son independientes los sucesos "Ser roja y "Ser pequeña? 83. La probabilidad de que un alumno escogido al azar estudie alemán es del 2 %, mientras que la probabilidad de que estudie cualquier otro idioma extranjero es del 98%. Sabiendo que un alumno estudia alemán, la probabilidad de que tenga algún familiar alemán es del 80 %. La probabilidad de que un alumno que no estudie alemán tenga algún familiar alemán es del 1 %. Sean los sucesos: A el suceso: "Un alumno estudia alemán» F el suceso: "Un alumno tiene algún familiar alemán». Calcula la probabilidad de los sucesos siguientes: (a) "Estudiar alemán y tener un familiar alemán (b) "Tener algún familiar alemán (c) "Escogido un alumno que tiene algún familiar alemán, que estudie este idioma 84. Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que: P (B)= 3 y P (A)=P ( A/ B)= (a) Razone si los sucesos A y B son independientes. (b) Calcule P (A B). 85. Si A y B son dos sucesos independientes, de un cieno experimento aleatorio, tales que P (A)=1/3 y P (A B)=1/2, halla P (B) y P (( A B)/ A). 86. En un colectivo de 330 personas: 200 hablan inglés, 90 hablan francés y 70 no hablan ni inglés ni francés. Sabiendo que una persona del colectivo habla francés, halla la probabilidad, P, de que también hable inglés. 11 / 15

12 87. En una cesta hay 70 huevos de tres tamaños: 25.«grandes», 15 «intermedios» y 30 «pequeños». Se toman dos huevos, al azar, y resulta que el primero as mayor que el segundo. Halla la probabilidad de que el segundo sea «pequeño». 88. Considera los sucesos A = «una familia tiene hijos de ambos sexos» y B = «una familia no tiene mas de un hijo varón» (aquí nada se dice de las hijas que pueda tener). Analiza si los sucesos A y B son o no independientes en los dos casos siguientes: (a) La familia tiene dos hijos. (b) La familia tiene tres hijos. 89. Un examen de química consta de una primera parte práctica y de una segunda parte teórica; hay que superar ambas partes para aprobar la asignatura. La prueba práctica la suspendió el 22 % de los alumnos; de los que la aprobaron, el 15 % suspendió la prueba teórica. Halla la probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura. 90. Tres nadadores A, B y C han competido, entre sí, en muchas ocasiones. El tanto por ciento de veces que cada uno de ellos ganó, en los distintos estilos, se refleja en el siguiente cuadro: A(%) B (%) C (%) Crowl Braza Espalda Mariposa Los tres compiten nadando a crowl y, después, a aquel de los tres estilos restantes en el que el que gano tenga mas éxito, según el anterior cuadro. Halla las probabilidades de que cada uno de los tres nadadores gane la segunda carrera. 91. Se considera el experimento aleatorio lanzar dos veces un dado. Cuál es la probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? Son dependientes o independientes estos sucesos? Por qué? 92. En una ciudad hay dos examinadores para la obtención del carné de conducir; el primero examina los lunes, miércoles y viernes; y el segundo los martes y jueves. El primero aprueba a 4 de cada 7 examinados; el segundo aprueba a 5 de cada 9 examinados. Si es igualmente probable examinarse en uno u otro día de la semana, halla la probabilidad de aprobar el examen. 93. En una asignatura de primer curso de una titulación universitaria, asisten a clase regularmente 210 alumnos de los 300 que hay matriculados. Además se sabe que aprueban el 80% de los alumnos que asisten a clase y el 15% de los que no asisten. Calcular la probabilidad de los sucesos siguientes: Se elige al azar un alumno matriculado y resulta que: 1. Ha asistido a clase. 2. No ha asistido a clase y ha aprobado. 12 / 15

13 3. Ha aprobado. 94. Se tiene tres urnas de igual aspecto. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras; en la segunda hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se desea saber: Si se extrae una bola de una urna, elegida al azar, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra. 95. En un supermercado el 70% de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por estas, el 80% supera las 12, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. Elegido un ticket de compra al azar, cuál es la probabilidad de que supere las 12? 96. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey, nos dirigimos a la urna I; en caso contrario a la urna II. A continuación, extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Halla: (a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II. (b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. 97. Un monedero contiene 2 monedas de plata y 3 de cobre, y otro contiene 4 de plata y 3 de cobre. Si se elige un monedero al azar y se extrae una moneda cuál es la probabilidad de que sea de plata? 98. En una bolsa hay 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Se saca una bola de la bolsa y, después, se introduce en ella una bola de distinto color del que tuviera. la que se saco. Finalmente, se extrae de la bolsa una segunda bola. Halla las probabilidades de los sucesos: S = la segunda bola es blanca y T= las dos bolas extraídas son del mismo color. 99. Dos expertos, E 1 y E 2, realizan peritaciones para una cierta compañía de seguros. La probabilidad de que una peritación haya sido realizada por E 1 es 0,55 y por E 2 es 0,45. Si una peritación ha sido realizada por E 1, la probabilidad de que de lugar al pago de una indemnización es 0,98 y si ha sido realizada por E 2, la probabilidad de que de lugar al pago de una indemnización es 0,90. Un siniestro ha supuesto a la compañía el pago de una indemnización. Hallar la probabilidad de que la peritación haya sido realizada por E En una empresa se producen dos tipos de bombillas: halógenas y de bajo consumo, en una proporción de 3 a 4, respectivamente. La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es 0,02 y de que una de bajo consumo sea defectuosa es 0,09. Se escoge al azar una bombilla y resulta no defectuosa, cuál es la probabilidad de que sea halógena? 101. Para ir al trabajo, un individuo toma el bus, el 30% de las veces, o el metro (el 70% restante), y llega tarde el 40% de las veces que va en bus y el 20% de las que va en metro. Cierto día llegó tarde. Cuál es la probabilidad de que tomara el bus? 102. La urna I contiene 5 bolas blancas y 4 negras y otra urna II contiene 1 blanca y dos negras. Se extrae una bola al azar de la urna I y se introduce en la II. Después se extrae de la urna II un bola al azar. 13 / 15

14 (a) Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna II sea blanca. (b) Supongamos que la bola extraída de la urna II sea blanca, calcula la probabilidad de que la extraída de la urna I también sea blanca Las máquinas A y B producen 50 y 250 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del 1%, respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas fabricadas en una hora y elegimos una pieza al azar. Calcular: (a) La probabilidad de que sea una pieza no defectuosa fabricada en la máquina B. (b) La probabilidad de que esté fabricada en la máquina A, si sabemos que es defectuosa En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumonía y un 20 % con gripe. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis Hay una epidemia de cólera. Un síntoma muy importante es la diarrea, pero ese síntoma también se presenta en personas con intoxicación, y, aún, en personas que no tienen nada serio. La probabilidad de tener diarrea teniendo cólera, intoxicación y no teniendo nada serio es de 0,99; 0,5 y 0,004 respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 2% de la población tiene cólera, el 0,5 % intoxicación y el resto (97,5 %), nada serio. Se desea saber: (a) Elegido un individuo de la población Qué probabilidad hay de que tenga diarrea? (b) Se sabe que determinado individuo tiene diarrea Cuál es la probabilidad de tenga cólera? 106. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A 1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A 2 es 0,3. Se sabe que la fábrica A 1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A 2 un 8 por mil. (a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A 2? (b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. Cuál es la probabilidad de que no esté defectuoso? 107. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide: (a) Elegido al azar un individuo de esa población Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? (b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho? 108. En una Universidad existen tres facultades: A, B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y 50 chicos; en B, 300 chicas y 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos. (a) Calcula la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea chico. (b) Si un estudiante elegido al azar resultara ser chico, cuál es su facultad más probable? 14 / 15

15 109. En una oficina el 70% de los empleados son asturianos. De entre los asturianos, el 50% son hombres, mientras que de los no asturianos, sólo son hombres el 20%. (a) Qué porcentaje de empleados nos asturianos son mujeres? (b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer. (c) Fernando trabaja en dicha oficina. Cuál es la probabilidad de que sea asturiano? 110. El 12% de los habitantes de un país padece cierta enfermedad endémica. Para el diagnóstico de esta, se dispone de un procedimiento que no es completamente fiable ya que da positivo en el 90% de los casos de personas realmente enfermas, pero también da positivo en el 5% de personas sanas. Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que el procedimiento le ha dado positivo? En un colegio el 4% de los chicos y el 1% de las chicas miden más de 175 cm de estatura. Además el 60% de los estudiantes son chicas. Si se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 175 cm, cuál es la probabilidad de que el estudiante sea chica? 112. Una determinada enfermedad puede ester provocada por tres causas, A, B o C, en las proporciones 30%, 20% y 50% (en cada enfermo solo se presenta una de las causas). E1 tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si esta provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. (a) Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad no necesite hospitalización? (b) Si un enfermo está hospitalizado, cuál es la probabilidad de que la causa sea A? 113. En un centro escolar hay tres grupos de 2º de Bachillerato. El primero esta compuesto por 10 alumnos de los que 7 prefieren la musica moderna, 2 prefieren la clásica y 1 que no le gusta la musica. En el segundo grupo hay 12 alumnos, la distribución de preferencias es 5, 7, 0, respectivamente; y en el tercero, formado por I4 alumnos, la distribución es 6, 6 y 2 respectivamente. Se elige al azar un grupo y se regalan dos entradas para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar. (a) Calcular la probabilidad de que las entradas se regalen en el primer grupo. (b) Probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a la musica moderna. (c) Si los dos alumnos agraciados son aficionados a la musica clásica, cuál es la probabilidad de que procedan del primer grupo? 114. Tengo dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber como debo distribuir las bolas en las urnas para que, al elegir una urna al azar, sea máxima la probabilidad de obtener una bola blanca. La única condición exigida es que cada una tenga al menos una bola Tenemos dos urnas. Urna I: 4 bolas rojas y 6 blancas; Urna II: 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extras una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color. 15 / 15