Medición y Transferencia de Riesgos Catastróficos Naturales

Transcripción

1 Medición y Transferencia de Riesgos Catastróficos Naturales Enrique de Alba INEGI y Universidad de Waterloo, Canadá Cuarto Seminario Actuarial Latinoamericano del Fondo de la AAI Ciudad de México 5 de Octubre de 2012

2 Magnitude of Large Earthquakes in Mexico Year

3 Se necesita un modelo que considere todos los aspectos del proceso Intensidad (frecuencia) Severidad (magnitud, daños) ERN ha desarrollado uno para México RS-Mex 2.1

4 Sitio magnitud Probabilidad de ocurrencia anual P0 P1 a b PES 329 Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E

5 Distribución de probabilidad de la pérdida de la cartera. F( y ) ν ( y ) = 1 ν (0) 1 P. Retorno = = 1 F(y) ν( 0) ν(y) Pr( Y > y M, f ) = Pr( S β > y M, f ) = Pr( β > i exp i y / S exp M, f i ) β = Y S exp f B ( 1 β ) = P0 δ ( β ) + (1 P0 P1 ) B( β; a, b M, f i ) + Pδ ( β 1) 0 β 1.

6 Se demuestra que: F( y) = Pr( Y y) = 1 ν( y) ν(0) Pr( Y max > y) = 1 e ν ( y ) (1) Si Wn es el tiempo de espera al n-ésimo sismo, sigue la distribución Gamma (n,v): f ( νt) Γ( n) n 1 ν t w n ( t) = νe, t > 0 Además para los tiempos entre sismos P[Ti > t] = e -ν t o bien F T i νt ( t) =1 e, (2) Una distribución exponencial con densidad f T i ( t) =νe vt

7 SIMULACIÓN

8 u Delta i Ti (años) Pi (MDP) F(y) =Pr(Y y) =1 ν(y) ν( 0) FT i (t) =1 e νt Pi (MDP)

9 u Delta i Ti (años) Pi (MDP) Sismos en un año Pi (MDP)

10 6000 Histograma de Pérdidas por Terremoto 5000 F r e q u e n c i a f(y) Pérdidas Descriptive Statistics: Pérdidas por Terremoto Variable N Mean StDev Min Q1 Median Q3 Max Pérdidas

11 Criterios de Medición Probabilidad de Ruina PML Medidas Tradicionales (VaR, TailVaR,...) Prima de Riesgo

12 Net Losses without Return Fn Gross Losses Net Losses Reinstatement % Reduction Period Premiums $ 300,710 $ 14,278 $ 9, % $ 231,938 $ 10,968 $ 8, % $ 143,763 $ 9,313 $ 7, % $ 90,040 $ 8,038 $ 7, % $ 78,011 $ 7,684 $ 7, % M EAN ST. D. MINIMUM Q1 M EDIAN Q3 MAXIMUM GROSS LOSS $ 4,873 $ 18,881 $ 6 $ 754 $ 1,565 $ 3,682 $ 1,213,000 NET LOSS $ 526 $ 5,970 $ 1 $ 75 $ 157 $ 368 $ 762,500 NET LOSS W.O. REINS $ 516 $ 5,815 $ 1 $ 75 $ 157 $ 368 $ 752,600 RETENTION 10.80% 31.62% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 62.86%

13 REASEGURO (Transferencia)

14 X 1,X 2,..., es una secuencia de montos de reclamaciones, y N(t), t 0, es el número de reclamaciones de una aseguradora en el período t. El monto total asegurado de las reclamaciones en este período es X( t ) : = X n, t 0, Contrato de reaseguro: es una regla mediante la cual cada reclamación individual X n se divide en dos partes I X n es la parte que paga directamente el asegurador, y es la cantidad cedida (reasegurada). N( t El monto total de reclamaciones X(t) se descompone como sigue: ) n= 1 I R X n = X n + X n, n =1, 2... N( t N( t I R I X( t ) = X ( t ) + X ( t ) = X n + X ) n= 1 ) n= 1 R n, t 0. R X n

15 (1) En un contrato de exceso de pérdida el reasegurador cubre la parte de la reclamación que excede del nivel de retención (prioridad) M 0 donde {x}+ = max{x,0}, x R. La compañía cedente cubre las reclamaciones que no exceden de la prioridad M y paga el monto M cuando X n > M; X (2) Contrato Cuota-Parte: el reasegurador acepta una proporción a, 0 < a < 1, de cada reclamación individual. La cedente retiene el restante 1 a, 1 a = retención X = { X M } +, n =1, R n n 2 min{ X,M },..., n =1, I n = n 2 X X I n R n = a X n, = ( 1 a ) X n....

16 El Grupo de Trabajo sobre Evaluación de la Solvencia de los Aseguradores (GTESA) de la Asociación Internacional de Actuarios señala que: Aunque es necesario el adecuado tratamiento y reconocimiento de los contratos de reaseguro para evaluar su impacto sobre el perfil de riesgo de la compañía cedente, esto resulta complicado por una serie de razones: a) A la dificultad de la evaluación riesgo por riesgo, debe añadirse la complejidad de esta estimación para el caso de carteras completas b) Los contratos de exceso de pérdida catastróficos cubren carteras con diferentes tipo de riesgos (huracán, terremoto y otros riesgos catastróficos) c) La inclusión de límites agregados en los contratos de exceso de pérdida. d) A diferencia del reaseguro proporcional, en los contratos de exceso de pérdida puede presentarse la necesidad de reinstalación e) Los contratos típicos de reaseguro incluyen coberturas tanto proporcionales como no proporcionales f) Otras

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18 8.9 Una cobertura cuota parte... significa que la pérdida esperada o cualquier percentil (como el percentil 90) se reducen en el mismo porcentaje. El riesgo de la cartera en sí se reduce en la misma proporción (es decir la parte cedida al reasegurador).

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20 q 90 q 90 µ n µb

21 8.10 El reaseguro de exceso de pérdida establece que cada pérdida que excede un límite fijo llamado prioridad o retención, es cubierta por el reasegurador, hasta cierto límite. Bajo una cobertura de exceso de pérdida con prioridad M y límite de cobertura L, el reasegurador asume la siguiente cantidad, por cada pérdida X de la compañía cedente: Max{0;Min(X-M;L)} El efecto de una cobertura de exceso de pérdida es que trunca la distribución de pérdidas de la cedente en la prioridad,...

22 q 90 q 90 Reaseguro µ b µ n

23 8.16 La distribución de probabilidades de la gráfica... muestra cómo el 90 percentil de la distribución de probabilidad de las pérdidas se desplaza a la izquierda, indicando una reducción en riesgo. Nótese en particular que la cola de la distribución se reduce materialmente, si no es que incluso se elimina El reaseguro, en particular el reaseguro no-proporcional, puede reducir enormemente o incluso eliminar la cola extrema de la distribución de pérdidas de la cedente. * Se puede complicar porque se aplica en capas

24 , la correcta evaluación del impacto en la reducción del riesgo de contratos de reaseguro no-proporcional aún no es posible sin transformaciones matemáticas complejas, que típicamente están fuera del alcance de mecanismos de control del supervisor, o mediante el uso de simulaciones, que son rutinas estándar para modelos de riesgo más complejos en modelos internos En última instancia, la medición más adecuada de la capacidad de transferencia del riesgo de un contrato de reaseguro o una combinación de varios contratos, es a través de la descripción del riesgo usando datos detallados de pérdidas y exposición. A partir de esta información, posiblemente mezclada con datos de la industria, la compañía puede derivar distribuciones de pérdida validadas y específicas. Estas distribuciones brutas se pueden alimentar a rutinas para transformar las muestras brutas simuladas en una distribución neta aplicando los términos relevantes de reaseguro para cada caso, y al agregar las simulaciones transformadas se puede obtener un resultado neto.

25 Mediante métodos de simulación es posible analizar y evaluar los siguientes elementos a) La ocurrencia de sismos que afectan al territorio nacional b) El impacto de los sismos sobre una cartera de una compañía de seguros c) Medida de la transferencia de riesgo de contratos que combinan distintos tipos de reaseguro. d) Estadísticas descriptivas de pérdidas brutas, pérdidas netas de reaseguro, retención, etc. e) Porcentaje de veces que se agota el reaseguro f) Costo anual promedio de las reinstalaciones del reaseguro noproporcional g) Distribución de las reclamaciones, según su magnitud, entre las capas del contrato de reaseguro, h) Porcentaje de años en que resultaría necesario contratar reinstalaciones adicionales i)

26 Sitio magnitud Probabilidad de ocurrencia anual P0 P1 a b PES 329 Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en Guerrero M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E Costero en San Marcos M> E

27 El procedimiento (algoritmo) de simulación es el siguiente: 1) Se genera aleatoriamente un sismo (evento) de las posibles combinaciones fuente/magnitud, de entre los 3,000 que se tienen, usando para ello la Probabilidad de Ocurrencia Anual. 2) Para la combinación fuente/magnitud seleccionada se genera una pérdida, también aleatoriamente, a partir de la distribución beta especificada por los parámetros (P 0, P 1, a y b) para ese evento. 3) Se aplica el esquema de reaseguro El proceso anterior se repite cuantas veces sea necesario para completar el número de sismos en un año (simulado), y todo esto N veces para tener una muestra de N años. El valor de N se especifica de manera arbitraria. Para hacerlo se estima el tamaño de muestra que garantice confiabilidad, usando el esquema de reaseguro vigente y, se simulan un múltiplo de veces la condición de 1500 años.

28 No. DE COSTO CAPAS PRIORIDAD LIMITE PRIMA ROL REINS (% Prima) Inferior - $ 5,000, NA NA NA 1 $ 5,000, $ 5,000, $ 1,035, % 2 100% 2 $ 10,000, $ 10,000, $ 1,035, % 1 100% 3 $ 20,000, $ 20,000, $ 1,035, % 1 100% 4 $ 40,000, $ 60,000, $ 1,620, % 1 100% 5 $ 100,000, $ 185,000, $ 2,247, % 1 100% Superior $ 285,000, NA NA NA NA EJEMPLO

29 PERDIDA BRUTA PERDIDA NETA PERDIDA NETA SIN COSTO DE REINSTALACION $ 490,742,733 $ 196,817, ,844,687 $ 413,037,600 $ 111,066, ,093,819 $ 306,939,199 $ 28,159,210 22,622,186 $ 256,881,998 $ 15,110,577 11,560,772 $ 227,689,657 $ 9,587,782 5,352,147 $ 204,614,304 $ 8,133,517 2,521,573 $ 166,735,385 $ 7,226,432 2,024,813 $ 150,966,567 $ 6,896,810 1,921,596 $ 121,927,816 $ 6,288,929 1,749,384 $ 108,673,150 $ 6,036,561 1,678,611 % DE REDUCCION $ 59.89% $ 73.11% $ 90.83% $ 94.12% $ 95.79% $ 96.02% $ 95.67% $ 95.43% $ 94.84% $ 94.45% Fn PERIODOS DE RETORNO

30 MEDIA DESV. EST. MINIMO 1er CUARTIL MEDIANA 3er CUARTIL MAXIMO PERDIDA BRUTA $ 15,970,000 $ 36,864,151 $ 16,200 $ 2,347,000 $ 5,483,000 $ 14,870,000 $ 1,737,000,000 PERDIDA NETA $ 1,768,000 $ 15,137,915 $ 1,620 $ 234,700 $ 548,500 $ 1,951,000 $ 1,459,000,000 NETA SIN COSTO REINST. $ 1,024,000 $ 14,872,013 $ 1,620 $ 234,700 $ 538,200 $ 817,200 $ 1,452,000,000 RETENCION 10.44% 2.18% 1.80% 10.00% 10.00% 10.62% 83.98%

31 CAPAS % DE AÑOS QUE SE USARON LAS REINSTALACIONE S PERMITIDAS EN ESA CAPA % DE AÑOS QUE SE USO UNA SOLA REINSTALACION % DE AÑOS QUE SE USO LA 2a REINSTALA CION DE LA CAPA UNO DISTRIBUCION POR PERDIDA DEL EVENTO EN LAS CAPAS % DE AÑOS EN QUE SE AGOTO LA COBERTURA DE ESA CAPA % DE AÑOS EN QUE HICIERON FALTA REINSTALACION ES EN ESA CAPA (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Inf NA NA NA % NA NA % 30.10% 8.42% % % % % 25.13% NA % % % % 15.22% NA % % % % 7.33% NA % % % % 1.82% NA % % % Sup NA NA NA % NA NA En 3 años de los 150,000, se agotó la cobertura de TODAS las capas, es decir, en el % de los casos Las reinstalaciones de las capas se agotaron en 1,033 años de 150,000, esto es en el 0.69 % de los casos

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35 Cifras en Millones de Dólares. Cia. 1 Cia. 2 Cia. 3 Cia. 4 Prima Pura Retenida Simulación: Pérdida Bruta 1500 PML(RS-Mex) Pérdida Neta Pérdida Bruta Pérdida Neta Pérdida Bruta (media)

36 La Probabilidad de Quiebra (Ruina) Pr = 1 e T T ex ret Periodo de retorno de la reserva (años) Periodo de exposición (años) Histograma % 18.1% 33.0% 86.5% % 4.9% 9.5% 39.3% % 2.0% 3.9% 18.1% % 1.0% 2.0% 9.5% % 0.7% 1.3% 6.4%

37 1-P 0 -P 1 P 0 density Beta Distribution x Shape 1,Shape 2 2,4 P 1

38 q 90 q 90 Reaseguro µ b µ n

39 (con límite-1) q 90 Reaseguro µ b

40 (con límite-1) q 90 q 90 µ b µ n

41 (con límite-2) q 90 Reaseguro µ b

42 (con límite-2) q 90 q 90 µ b µ n

43 Tamaño de Muestra: n = t E 2 p 0 ( 1 p0 ) p = > ) 0 P re ( P N p N donde p 0 es la probabilidad (de excedencia) que se desea estimar, t es el cuantil de la distribución Normal correspondiente a un nivel de significancia α (para dos colas), y E el margen de error con el que se desea estimar.

44 Tamaños de muestra Retorno p 0 Nivel de Confianza Nivel de Confianza 95% 90% 95% 90% Error = Error = 20% de (1-pe) n n n n , , , , , ,332 95,944 67, , ,123 47,924 33, ,530,493 1,078,080 23,914 16, ,048,694 2,147,501 11,909 8, ,803,184 2,678,965 9,508 6, ,529,536 5,303,809 4,706 3, ,247,600 12,853,619 1,825 1, ,574,400 24,354,

45 Retorno (años) p Retorno (evento) pe PML n = 100,000 n = 300,000 n = 500,000 n = 1,100, , $ 173,405,975 $ 183,242,157 $ 174,430,379 $ 182,997, , $ 163,980,924 $ 166,526,515 $ 166,116,219 $ 156,744, , $ 143,410,491 $ 124,983,959 $ 112,342,721 $ 94,387, , $ 88,551,737 $ 72,082,046 $ 70,702,948 $ 71,218, , $ 67,164,258 $ 61,703,364 $ 61,171,740 $ 63,483, , $ 43,717,740 $ 53,291,748 $ 49,251,534 $ 51,634, , $ 37,830,948 $ 42,854,925 $ 43,302,466 $ 46,551, , $ 29,385,937 $ 28,299,941 $ 28,072,995 $ 30,579, , $ 17,614,215 $ 17,138,648 $ 17,275,578 $ 17,531,197 n Media por 10,000 $ 88,240 50,000 $ 88, ,000 $ 86, ,000 $ 84, ,000 $ 83,246 1,100,000 $ 83,936

46 Análisis Adicionales

47 Conditional Tail Expectation (tail-var) Tail-VaR Gross Losses Net Losses alpha Return k CTE(alpha) FSE(CTE) LL UL CTE(alpha) FSE(CTE) LL UL , , ,030 16, ,443 19, , , ,733 26, ,697 32, , , ,130 53, ,535 66, , , ,599 96, , , , , , , , ,695

48 Análisis de Valores Extremos ),, ( 0, 0, if if 1 ) ( / 1/, β ξ ξ ξ β ξ β ξ β ξ D x e x x G x = + = 0. 0, if if ] / [0, ) [0, ), ( < = ξ ξ ξ β β D ξ donde u is un umbral y + = 1 ) (1 ˆ ˆ ˆ ξˆ ξ β p N n u x u p Los cuantiles están dados por

49 RETURN PERIODS SIMULATION EXTREME VALUE LOWER LIMIT UPPER LIMIT ERN 1500 $ 300,710 $ 280,076 $ 256,524 $ 309,758 $ 284, $ 231,938 $ 217,937 $ 203,170 $ 235,519 $ 224, $ 143,763 $ 141,439 $ 134,747 $ 148,824 $ 144,087

50 Probability Plot Quantile Plot Model Empirical Empirical Model Return Level Plo Density Plot Return level f(x) Return period (years) x