El σ-álgebra de Borel, la Medida de Lebesgue y la Medida de Probabilidad Uniforme.

Transcripción

1 El σ-álgebra de Borel, la Medida de Lebesgue y la Medida de Probabilidad Uniforme. 1 El Problema de la Teoría de la Probabilidad. Origen y definición del problema. Recordemos que la medida de probabilidad uniforme discreta, es el modelo matemático del experimento de elegir un número al azar del conjunto finito de números {1,..., n}. En este caso, si A {1,..., n}, entonces P[A] := #(A) n. Podemos extender esta idea al caso continuo del modo siguiente: Consideremos el experimento de elegir un punto al azar en en el intervalo abierto y acotado (a, b). En este caso, un sub-intervalo (x, y) (a, b) es interpretado como el evento el punto elegido está en (x, y). Definimos entonces P[(x, y)] = y x b a. (1) Es decir, la medida de proporcionalidad entre la longitud del subintervalo (x, y) sobre la longitud del intervalo (a, b). La pregunta importante es la siguiente: es posible encontrar una medida de probabilidad P que satisfaga la igualdad (1) y que además esté definida para todo subconjunto de (a, b), esto es, que P(E) esté definido para todo E (a, b)? Qué otras propiedades debe satisfacer la función P? Si tenemos en cuenta el sentido más general de medida de probabilidad, entonces P debe ser σ-aditiva. Si pretendemos que sea uniforme, además de (1), debe satisfacer una propiedad de invarianza, la cual se explica así: Note que si (x, y) es un subintervalo de (a, b), entonces para un número t, tal que a x t b y, la traslación t + (x, y) = (t + x, t + y) es un subintervalo de (a, b), y por tanto P[(x, y)] = P[t + (x, y)]. En general, esta misma condición debe satisfacerse para cualquier conjunto E de (a, b), si P es uniforme. 1

2 Hagamos enotonces un mejor perfil de lo que buscamos: El Problema de la Teoría de la Probabilidad consiste en encontrar una función conjuntista P sobre el intervalo (a, b), no-negativa, tal que (I) P(E) existe (está difinido) para todo E (a, b). (II) Si (x, y) (a, b), entonces P[(x, y)] = y x b a. En particular, P[ ] = 0 y P[(a, b)] = 1. (III) P es σ-aditiva: Si E n, n 1, es una colección numerable de subconjuntos ajenos de (a, b), entonces ( ) E n = P(E n ). P (IV) P es invariante bajo traslaciones: Sea E (a, b) y sea x (a, b) tales que x + E := {x + ξ : ξ E} (a, b). Entonces P(x + E) = P(E). Si una función conjuntista P sobre (a, b), no-negativa, satisface (I)-(IV), diremos que es una medida de probabilidad uniforme sobre (a, b) definida para todo subconjunto E de (a, b). La respuesta a este problema es sorprendente y en realidad casi elemental. El matemático italiano Giuseppe Vitali, publicó en un resultado cuya consecuencia es demoledora: Suponiendo el Axioma de Elección, es imposible definir una medida de probabilidad uniforme sobre (a, b) que esté definida para todo subconjunto E de (a, b). Es decir, si suponemos el Axioma de Elección, no existe función conjuntista alguna sobre ningún intervalo abierto y acotado (a, b), no-negativa y que satisfaga (I)-(IV). Conjuntos de Vitali La prueba de Vitali es constructiva, y requiere el uso del Axioma de Elección. El modelo de la prueba es por reducción al absurdo y la idea es probar que para ciertos conjuntos es imposible defininir una probabilidad uniforme. Estos conjuntos se construyen del siguiente modo: Sobre el intervalo [0, 1] de, definimos la relación x y x y. (2) 1 Vitali, Giuseppe. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna, Italy (1905). 2

3 Proposición 1. La relación (2) es de equivalencia. Demostración. Si x [0, 1], entonces x x = 0, de donde x x. Es obvio además que x y si, y sólo si, y x. Por último si x y y y z, entonces x y y y z, de donde x z = (x y) + (y z), por lo tanto x z. Proposición 2. Con respecto a la relación de equivalencia (2) sobre [0, 1], existen una infinidad no-numerable de clases de equivalencia, y cada clase de equivalencia es infinita numerable. Demostración. Para cada x [0, 1], la clase de equivalencia de x es el conjunto V x = {y [0, 1] : y = r + x, donde r }, de donde queda claro que V x es un conjunto numerable. Por otro lado, [0, 1] = V x, x [0,1] y dado que [0, 1] es infinito no-numerable y cada clase de equivalencia V x es numerable, entonces debe existir una cantidad no-numerable de clases de equivalencia. Un conjunto de Vitali es cualquier conjunto V formado con exactamente un elemento de cada clase de equivalencia V x. Esta definición tiene sentido cuando suponemos el Axioma de Elección. Observe que hay una infinidad no numerable de conjuntos de Vitali. Una característica clave de los conjuntos de Vitali se enuncia en el siguiente resultado. Proposición 3. Si V [0, 1] es un conjunto de Vitali, entonces para todo par de racionales r y s, tales que r s, (V + r) (V + s) =. Demostración. Si x (V + r) (V + s), entonces para algún v 1 y para algún v 2 en V, v 1 + r = x = v 2 + s, de donde v 1 v 2 = s r. Por lo tanto v 1 v 2, pero por definición de V, esto implica que v 1 = v 2, por consiguiente r = s. 3

4 El Teorema de Vitali Consideremos el problema particular de encontrar una medida de probabilidad uniforme sobre el intervalo ( 1, 2) definida para todo subconjunto E de ( 1, 2). En este caso, si (x, y) ( 1, 2), P[(x, y)] = y x. 3 El siguiente resultado resuelve de forma negativa el Problema de la Teoría de de la Probabilidad para este caso particular. Teorema 1. Suponiendo el Axioma de Elección, no existe ninguna función conjuntista no-negativa sobre le intervalo ( 1, 2), que satisfaga (I)-(IV). Es decir, no existe ninguna medida de probabilidad uniforme sobre el intervalo ( 1, 2), definida para todo subconjunto de ( 1, 2). Demostración. Sea V [0, 1] un conjunto de Vitali. Tomemos cualquier enumeración {r 1, r 2,...} de los números racionales contenidos en el intervalo ( 1, 1). Definimos V n := V + r n, la traslación de V por el factor racional r n, para cada n 1. Por la Proposición 3, (V + r n ) (V + r m ) = si n m. Por otro lado, (0, 1) (V + r n ) ( 1, 2). Ahora bien, supongamos que P es una medida conjuntista no-negativa sobre ( 1, 2) que satisface (I)-(IV). Entonces, de las contensiones anteriores y de la propiedad de σ-aditividad de P, tenemos 1 3 P(V + r n ) 1. (3) Sin embargo, dado que P es invariante bajo traslaciones, P(V + r n ) = P(V ), para cada n 1, por lo que la suma P(V + r n ) = P(V ) = lim n P(V ) n es igual a cero, si P(V ) = 0, o bien es infinito, si P(V ) > 0. Ambos casos son contradictorios con las desigualdades de (3). 4

5 Resta probar que este resultado es suficiente para el caso de cualquier intervalo (a, b). Primero recordemos que cualesquiera dos intervalos abiertos y acotados (a, b) y (c, d) son homeomorfos: La aplicación φ : (c, d) (a, b) dada por φ(x) = b a (x c) + a, x (c, d), (4) d c es una biyección continua, cuya función inversa es también continua (esto es, φ es un homeomorfismo). Lema 1. Si P es una medida de probabilidad sobre el intervalo (a, b) que satisface (I)-(IV), entonces, para cualquier intervalo (c, d), la medida P 0 (E) = P(φ(E)), E (c, d), donde φ(e) es la imagen de E bajo el el homeomorfismo dado por (4), es una medida de probabilidad sobre (c, d) que satisfac (I)-(IV) Demostración. Es claro que P 0 es una función conjuntista sobre (c, d) nonegativa que está definida para todo subconjunto E de (c, d). Ahora, notamos que φ es una función lineal creciente, por consiguiente, si (x, y) (c, d), entonces P 0 ((x, y)) = P ( (φ(x), φ(y)) ) φ(y) φ(x) = b a = y x d c. La propiedad de σ-aditividad es inmediata dado que φ es una aplicación biyectiva. Por último, si E (c, d), x (c, d) y E + x (c, d) entonces φ(x + E) = φ(x) + φ(e) (a,, b) y P 0 (E + x) = P(φ(x) + φ(e)) = P(φ(E)) = P 0 (E). Corolario (Teorema de Vitali para el Problema de la Teoría de la Probabilidad, Vitali, 1905). Suponiendo el Axioma de Elección, si (a, b) es un intervalo abierto y acotado, no existe ninguna medida de probabilidad uniforme sobre el intervalo (a, b), definida para todo subconjunto de (a, b). Es decir, no existe ninguna función conjuntista sobre (a, b), no-negativa que satisfaga (I)-(IV). Demostración. En caso contrario, entonces por el lema anterior, existiría una medida probabilidad uniforme sobre ( 1, 2), lo cual es imposible. 5

6 2 Longitudes en y el Problema de la Teoría de la Medida El Problema de la Teoría de la Probabilidad, es una particularidad de un problema más general. Para comprenderlo, notemos que la ecuación de la propiedad (II), del Problema de la Teoría de la Probabilidad, implica que para todo subintervalo (x, y) (a, b), (b a) P[(x, y)] = y x. Este número es simplemente la longitud del intervalo (x, y). Podemos entonces interpretar lel producto (b a) P como una medida de longitud sobre el intervalo (a, b): si A (a, b) entonces (b a) P(A) es la longitud de A. Desde esta perspectiva, el problema es si para todo conjunto A (a, b), es posible medir su longitud. En general, la pregunta es si es posible medir la longitud de todo subconjunto A de los números reales. En términos precisos, podemos formular este problema del siguente modo: Existe una función conjuntista λ, no-negativa, definida para todo conjunto A tal que λ(a) es igual a la longitud de A? Pero qué es una longitud? O mejor dicho: Qué propiedades cumple λ? La respuesta está en las propiedades (I)-(IV), por supuesto, ya que debemos interpretar λ como una medida uniforme pero ahora sobre. El Problema de la Teoría de la Medida consiste en encontrar un función conjuntista λ no-negativa, definida sobre tal que (λ1) λ(e) existe (está definido) paro todo E. (λ2) Si (a, b), entonces λ((a, b)) = b a. (λ3) λ es σ-aditiva. Si E n, n 1, es una colección numerable de subconjuntos ajenos de entonces ( ) λ E n = λ(e n ). (λ4) λ es invariante bajo traslaciones: Si E y x, entonces donde x + E = {x + ξ : ξ E}. λ(x + E) = λ(e), 6

7 Este problema es en realidad anterior (histórica y teóricamente hablando) al Problema de la Teoría de la Probabildiad, aunque conceptualmente son problemas equivalentes. Hasta principios del siglo XX, muchos matemáticos sostenían que era sólo cuestión de tiempo para que alguien encontrara tal función conjuntista λ, e incluso una medida para generalizaciones en n (donde λ sería una medida de área en 2 y una medida de volumen, en 3 ). Hubo algunos acercamientos propuestos por matemáticos como Stolz, Cantor y Jordan. Uno de estos intentos consiste en definir λ como una integral de Riemman de modo siguiente: Si E, entonces definimos λ(e) = 1 E (x)dx, donde 1 E : es la función indicadora (llamada también característica) del conjunto E y está dada por { 1 si x E, 1 E (x) = 0 si x / E. Es relativamente sencillo comprobar que esta definicón de λ satisface, bajo condiciones de existencia, las propiedades (λ2)-(λ4). Sin embargo, λ(q) no está definido, como todo mundo sabe. Como es de esperarse, la respuesta al Problema de la Teoría de la Medida está íntimamente ligada a la respuesta del problema de la Teoría de la Probabilidad, y ésta es en sentido negativo, por supuesto. Formalmente tenemos el siguiente resultado. Teorema 2 (Vitali, 1905). Suponiendo el Axioma de Elección, no existe ninguna función conjuntista sobre, no-negativa que satisfaga (λ1)-(λ4). Demostración. De lo contrario, es decir, si λ es una función conjuntista sobre no-negativa que satisface (λ1)-(λ4), entonces sobre ( 1, 2), la medida satisface (I)-(IV), lo cual es absurdo. P(E) = λ(e), E ( 1, 2), 3 La historia de este problema es mucho más amplia e interesante, pues toca diversos temas que fueron controversiales en su época, además de contribuir al origen de la integral de Lebesgue y de la propia Teoría de la Medida. De hecho, el teorema de Vitali, tal como aparece en su texto original (y en gran parte de la literatura de análisis), plantea y resuelve este problema (y no el problema de la Teoría de la Probabilidad). 7

8 3 El σ-álgebra de Borel en. A pesar de todo, el problema de la teoría de la medida (y por ende, el de la teoría de la probabilidad) tiene solución parcial: Es posible encontrar una función conjuntista no-negativa λ, la cual satisface (λ2)-(λ4), pero definida sobre una clase más reducida que el conjunto potencia de. Dicha clase es conocida hoy como el σ-álgebra de Borel y la función conjuntista λ es conocida como la medida de Lebesgue. El origen de estas ideas se encuentra, algunos años antes del resultado de Vitali, en los trabajos de los matemáticos franceses Émile Borel 2 y Henri Lebesgue 3, quienes dieron inovadoras pautas para otras formas de concebir la idea de medir conjuntos en, y del concepto de integral. En esta parte conoceremos el σ-álgebra de Borel. Definición 1. Sea I la clase de todos los intervalos abiertos y acotados de. Esto es, I = {(a, b) : < a b < }. El σ-álgebra de Borel sobre, denotado por B( ), es el σ-álgebra generado por la clase I. Es decir, B( ) := σ(i ). Si E B( ) decimos entonces que E es un conjunto de Borel o simplemente que es un boreliano. Es relativamente fácil mostrar algunos conjuntos de Borel de. Presentamos algunos. Proposición 4. Los siguientes conjuntos son borelianos de. i) {x}, para cualquier x. ii) F, finito. iii) F, numerable. iv), el conjunto de los números racionales de. v) \, el conjunto de los números irracionales de. 2 Borel, Emile. Leçons sur la théorie des fonctions. Paris, Gauthier-Villars et fils, Lebesgue, Henri. Sur une généralisation de l intégrale définie, Ac. Sci. C.R. 132 (1901),

9 Demostración. Si x, entonces ( {x} = x 1 n, x + 1 ) B( ) n Ahora, si F es finito o numerable, entonces, por lo anterior, F = {x} B( ), x F pues esta unión es o bien finita o bien numerable. En particular, B( ), dado que el conjuntos de números racionales es numerable. Por consiguiente, por propiedades de σ-álgebra, el conjunto de los números irracionales \ es también un boreliano de. El σ-álgebra de Borel puede ser descrito de muchas otras formas. Lema 2. Consideremos las siguientes clases de subconjuntos de, Entonces B( ) = σ(i i ), i = 0,..., 8. I 0 = {[a, b] : < a b < }, I 1 = {[a, b) : < a b < }, I 2 = {(a, b] : < a b < }, I 3 = {(, b) : < b < }, I 4 = {(, b] : < b < }, I 5 = {(a, ) : < a < }, I 6 = {[a, ) : < a < }, I 7 = {V : V es abierto }, I 8 = {C : C es cerrado }. Demostración. Sólo se hará la prueba cuando i = 0, 7, 8. Las demás se dejan al estudiante. Para el caso i = 0, tenemos ( [x, y] = x 1 n, y + 1 ) B( ). n Esto prueba que I 0 B( ), y por consiguiente σ(i 0 ) B( ). Inversamente, [ (x, y) = x + 1 n, y 1 ] σ(i 0 ). n Esto prueba que I σ(i 0 ), y por consiguiente B( ) σ(i 0 ). 9

10 Para el caso i = 7, es claro que I I 7, de donde B( ) σ(i 7 ). Por otro lado, si G es abierto, entonces para todo q G, podemos elegir un intervalo abierto (x q, y q ) tal que Es fácil demostrar que q (x q, y q ) G. G = q G (x q, y q ), y dado que esta unión es numerable, se sigue que G es un boreliano de, y por consiguiente I 7 B( ), de donde σ(i 7 ) B( ). El caso i = 8 es inmediato de este hecho. La pregunta ahora es que tan amplia es la clase B( ). Proposición 5. Hay tantos conjuntos de Borel en como números reales. Demostración. La demostración completa escapa a los alcances de este curso, sin embargo, podemos ver que para cada x > 0, tenemos que (0, x) B( ), y por supuesto, estos intervalos son distintos para cada x > 0, lo que prueba que hay al menos tantos conjuntos de Borel como números reales. La siguiente pregunta es si acaso la clase B( ) reúne todos los subconjuntos de. La respuesta es negativa. Proposición 6. B( ) P( ). La prueba de esta proposición será casi obvia después de estudiar la sección siguiente. 4 La medida de Lebesgue en Los intervalos abiertos son el alma del σ-álgebra de Borel, y tienen propiedades elementales, aunque útiles y relevantes en el contexto de la solución parcial del problema de la Teoría de la Medida (y por supuesto del Problema de la Teoría de la probabilidad). La idea intuitiva es convencerse de que, si lo piensa uno bien, es bastante natural que una medida de longitud sobre tenga una estrecha relación con longitudes de intervalos abiertos, pues la longitud de estos conjuntos es la más inmediata de encontrar. Convenimos la siguiente notación: Si J = (a, b), entonces la longitud de J es el número J = b a. 10

11 Para cada E, definimos la medida exterior de Lebesgue de E, como el número no-negativo { } λ(e) := inf J n : E J n, y J n intervalo abierto, n 1. (5) Note que esta definición tiene sentido pues para cualquier conjunto E, es siempre posible encontrar una familia de intervalos abiertos y acotados J n, n 1, tales que cubren a E, i.e. E n J n. Observe además que λ(e) puede ser incluso infinito, por ejemplo λ( ) =. Puede probarse que λ satisface las propiedades (λ2) y (λ4). También puede demostrarse que es σ-sub-aditiva, esto es, si E n, n 1 es una colección numerable de subconjuntos de entonces ( ) λ E n λ(e n ). Ahora bien, la medida exterior de Lebesgue λ, restringida al σ-álgebra de Borel B( ) es además σ-aditiva. Formalmente exponemos el siguiente Teorema 3. Sobre B( ), la medida exterior de Lebesgue λ satisface L1) λ(e) 0 para todo B B( ). L2) λ((a, b)) = b a, para todo intervalo abierto y acotado (a, b). L3) λ es σ-aditiva sobre B( ). Si E n B( ), para cada n 1, es una colección de subconjuntos ajenos, entonces ( ) λ E n = λ(e n ). L4) λ es invariante bajo traslaciones. Si E B( ) y x, entonces λ(e + x) = λ(e). En este contexto, λ es llamada simplemente medida de Lebesgue sobre. Demostración. La demostración completa no está al alcance de este curso, sin embargo, salvo σ-aditividad, es posible verificar las restantes propiedades. 11

12 Es obvio que λ(e) 0 para todo E B( ). Ahora, para un intervalo (a, b), definimos J 1 = (a, b) y J n =, cuando n 1. Si I n es un colección numerable de intervalos tales que (a, b) n I n, entonces J n I n, n n y por tanto b a = n J n n I n, de donde es fácil deducir que λ((a, b)) = b a. La última propiedad es también obvia, pues si J es un intervalo abierto y x, entonces J + x es también un intervalo abierto y J + x = J. Este resultado ofrece entonces una solución parcial al problema de la Teoría de la Medida, y de paso, nos da una manera fácil de deducir la Proposición 6. Los detalles de esto último se dejan al estudiante. Mostraremos ahora cuál es la medida de Lebesgue de algunos conjuntos familiares. Proposición 7. Si λ es la medida de Lebesgue sobre B( ), entonces i) λ({x}) = 0, para todo x. ii) Si I es cualquiera de los intervalos acotados (a, b), (a, b], [a, b) ó [a, b], entonces λ(i) = b a. iii) Si F es finito o numerable, λ(f ) = 0. iv) λ( ) = 0. v) Si B es un boreliano de, entonces λ(b\ ) = λ(b). vi) Si C [0, 1] es el conjunto de Cantor, entonces λ(c) = 0. Demostración. Para la prueba necesitamos conocer un par de propiedades de la medida de Lebesgue λ que exponemos en el siguiente Lema 3. Si λ es la medida de Lebesgue sobre B( ), entonces a) λ es finitamente aditiva. b) Si A y B son borelianos de tales que A B, entonces λ(a) λ(b). 12

13 c) λ es continua: Si E n, n 1, es una colección de borelianos de tal que E n E n+1, entonces ( ) λ E n = lim λ(e n). n Y si E n+1 E n, entonces ( λ E n ) = lim n λ(e n). La prueba de este lema depende básicamente de la propiedad de σ-aditividad de λ, y es análoga al caso de una medida de probabilidad. Se deja como ejercicio al estudiante. Para probar i) de la proposición, observamos que x (x n 1, x + n 1 ), para todo n 1, y esta sucesión de intervalos es decreciente y convergente a {x}. Por lo tanto, ( ) λ({x}) = λ (x n 1, x + n 1 ) = lim λ((x n n 1, x + n 1 )) 2 = lim n n = 0. La parte ii) es ovbia de la parte anterior. Por ejemplo, si I = (a, b], entonces λ((a, b]) = λ((a, b)) + λ({b}) = b a, y así con todos los demás intervalos. Para la parte iii), cuando F es finito o numerable, ( ) λ(f ) = λ {x} = λ({x}) = 0. x F x F En particular, λ(q) = 0 (parte iv)). Por tanto, si B es un boreliano de, λ(b) = λ(b Q) + λ(b\q) = λ(b\q), lo que prueba v). Se deja al estudiante el inciso vi). 13

14 Observaciones 1. Hay algunos otros resultados interesantes en torno a B( ) y la medida de Lebesgue λ. Por ejemplo, puede probarse que si λ(e) > 0, entonces existe un conjunto D E que no es boreliano. Como consecuencia, hay al menos tantos subconjuntos de que no son borelianos, como números reales. Es decir, aun cuando B( ) es relativamente grande, no agota ni por asomo, todos los conjuntos de. De hecho, puede probarse que existen tantos conjuntos en que no son borelianos como subconjuntos en. 2. Si en el Problema de la Teoría de la Medida sustituimos la propiedad (λ3) por (λ3 ) λ es finitamente aditiva: Si E n, n = 1,..., m, es una colección finita de subconjuntos ajenos de, entonces λ(e 1 E m ) = λ(e 1 ) + + λ(e m ). Entonces puede demostrarse que existe más de una función conjuntista no-negativa, sobre que satisface (λ1), (λ2), (λ3 ) y (λ4). 3. Existe otro σ-álgebra denotado por L ( ), llamado σ-álgebra de Lebesgue, para el cual B( ) L ( ) P( ), y en donde la medida exterior de Lebesgue λ, dada por (5), también satisface las propiedades (λ2)-(λ4) sobre L ( ). 4. Los conjuntos que pertenecen a L ( ) son llamados Lebesgue medibles. Puede probarse que existen tantos conjuntos Lebesgue medibles como subconjuntos de. Muchísimos más que conjuntos de Borel. A pesar de ello, también puede probarse que existen tantos conjuntos que no son Lebesgue medibles como subconjuntos de. 5 La Medida de Probabilidad Uniforme. Finalmente podemos proponer una solución parcial al Problema de la Teoría de la Probabilidad del siguiente modo. Sea E no-vacío. Consideremos la siguiente clase de subconjuntos sobre E, I E = {(x, y) E : x y}. Es decir, I E es la clase de todos los intervalos abiertos del conjunto E. 14

15 Definición 2. El σ-álgebra de Borel sobre E, denotado por B(E) es el σ-álgebra sobre E generado por la clase I E. Es decir, B(E) := σ(i E ). Si B B(E), decimos que B es un conjunto de Borel ó simplemente un boreliano de E. Recordemos que si F es un σ-álgebra sobre algún espacio Ω, y A Ω, no-vacío, entonces F A = {F A : F F }, es un σ-álgebra sobre A. Si además existe una clase C sobre Ω tal que σ(c ) = F, entonces para la clase sobre A, C A = {C A : C C }, se tiene que σ(c A) = F A. En particular, B(E) = B( ) E. En consecuencia, si E B( ), entonces B(E) B( ). Definición 3. Sea E B( ) tal que λ(e) > 0. Sea P : B(E) [0, 1] dada por P(A) = λ(a) λ(e), A B(E). Entonces P es la Medida de Probabilidad Uniforme sobre E. En particular, si E es cualquiera de los intervalos (a, b), (a, b], [a, b) ó [a, b], entonces P(A) = λ(a) b a, A B(E). Remarcamos el hecho de que la medida de probabilidad uniforme definida arriba, es σ-aditiva e invariante bajo traslaciones, propiedades que hereda de la medida de Lebesgue λ. 15

16 6 El σ-álgebra de Borel y la Medida de Lebesgue sobre n Todos los conceptos anteriores pueden extenderse a dimensiones superiores. Definición 4. Sea I n la clase que reúne todos los rectángulos abiertos y acotados de n. Esto es, I n = {(a 1, b 1 ) (a n, b n ) n : < a i b i <, i = 1,..., n}. El σ-álgebra de Borel sobre n, denotado por B( n ), es el σ-álgebra generado por la clase I n. Es decir, B( n ) = σ(i n ). Si E B( n ), decimos que E es un conjunto de Borel, o simplemente que E es un boreliano de n. Existe una forma muy útil de expresar el σ-álgebra de Borel sobre n, que exponemos en el siguiente resultado. Proposición 8. Sobre n, definimos la clase R n := {B 1 B n n : B i B( ), i = 1,..., n}. Entonces B( n ) = σ(r n ). Demostración. Haremos el caso n = 2, el caso general es completamente análogo. Claramente B( 2 ) σ(r 2 ). Ahora, defimos las clases Q 1 = {A : A B( ) y A B( 2 )}, Q 2 = {B : B B( ) y B B( 2 )}. Note que Q i B( ). Ahora bien, Q i es un σ-álgebra sobre y contiene a todos los intervalos abiertos y acotados de, por lo tanto B( ) = Q i. Esto prueba que para todo A B( ) y B B( ), de donde A B( 2 ) y B B( 2 ), A B = (A ) ( B) B( 2 ). Por consiguiente R 2 B( 2 ) y σ(r 2 ) B( 2 ). 16

17 Finalmente, podemos generalizar el concepto de medida de Lebesgue. En dimensión n = 2, esta medida se interpreta como una medida de área y para n 3, decimos que es una medida de volumen. Teorema 4. Sobre B( n ) existe una única función conjuntista λ n, tal que L1) λ n (E) está definido para todo E B( n ) y λ n (E) 0. L2) Si B i B( ), para todo i = 1,..., n, entonces λ n (B 1 B n ) = λ(b 1 ) λ(b n ), donde λ es la medida de Lebesgue en. En particular, λ n ((a 1, b 1 ) (a n, b n )) = (b 1 a 1 ) (b n a n ). Este número es el volumen del rectángulo (a 1, b 1 ) (a n, b n ). L3) λ n es σ-aditiva sobre B( n ). Si E i B( n ), i 1, es una colección de subconjuntos ajenos, entonces ( ) λ n E i = λ n (E i ). i=1 L4) λ n es invariante bajo transformaciones rígidas. Sea E B( n ) y sea también φ : n n una transformación rígida (traslación, reflexión o rotación), entonces λ n (φ(e)) = λ n (E). i=1 Decimos que λ n es la Medida de Lebesgue sobre n. 7 Medida de Probabilidad Uniforme sobre n. Sea E n no-vacío. Consideremos la siguiente clase de subconjuntos sobre el conjunto E, { [(a1 I n (E) =, b 1 ) (a n, b n ) ] } E : < a i b i <, i = 1,..., n. Es decir, I n (E) es la clase de todos los rectángulos abiertos del conjunto E. 17

18 Definición 5. El σ-álgebra de Borel sobre E, denotado por B(E) es el σ-álgebra sobre E generado por la clase I n (E). Es decir, B(E) := σ(i n (E)). Si B B(E), decimos que B es un conjunto de Borel ó simplemente un boreliano de E. Notamos que B(E) = B( n ) E. Es particular, si E B( n ), entonces B(E) B( n ). Definición 6. Sea E B( n ) tal que λ n (E) > 0. Sea P : B(E) [0, 1] dada por P(A) = λ n(a) λ n (E), A B(E). Entonces P es la Medida de Probabilidad Uniforme sobre E. 18