TEOREMA DE BERNOULLI

Transcripción

1 TEOREMA DE BERNOULLI Introducción. En este escrito exponemos de forma detallada el Teorema de Bernoulli. Inroducimos primero el modelo de distribución Bernoulli parámetro p, ofreciendo una discusión sobre el sentido del teorema que nos ocupa. En la sección inmediata, formalizamos el concepto de independencia para variables aleatorias (y ensayos Bernoulli e introducimos el modelo de distribución binomial como una suma finita de variables aleatorias Bernoulli independientes y con mismo parámetro p. Complementariamente se probarán algunos propiedades útiles para la prueba del Teorema de Bernoulli, el cual se enuncia y se demuestra en la última parte de este texto. Lo aquí expuesto está basado enteramente en las referecias bibliogáficas que aparecen al final. Estas páginas están dedicadas a los autores. Contenido 1. Ensayos Bernoulli 2 2. Modelo de probabilidad y distribución Bernoulli 3 3. Modelo de probabilidad y distribución binomial 4 4. Teorema de Bernoulli 10 Referencias Ensayos Bernoulli Definición 1 (Ensayo Bernoulli. Un ensayo Bernoulli es un fenómeno aleatorio que solo admite dos posibles eventualidades, uno denominado éxito y otro fracaso. Los ejemplos clásicos de ensayos Bernoulli son los juegos de azar que consisten en ganar o perder, como los volados, la lotería y ciertos juegos de apuesta con cartas. Probabilidad de éxito en un ensayo Bernoulli. Un ensayo Bernoulli está asociado a un parámetro p determinado por la probabilidad de obtener éxito en la realización del ensayo. Definimos los parámetros p : Probabilidad de Éxito y q 1 p : Probabilidad de Fracaso. Ensayos Bernoulli independientes. Dos (o más ensayos Bernoulli son independientes si la realización de alguno de ellos (o algunos de ellos no altera en forma alguna, en términos estocásticos, el resultado de ningún otro (o ningunos otros. En tal caso, diremos que se trata de una sucesión (finita o infinita de ensayos Bernoulli independientes. Lanzar sucesivamente una moneda (o monedas distintas cada vez constituye el ejemplo típico de sucesión de ensayos Bernoulli independientes. 1

2 TEOREMA DE BERNOULLI 2 Sucesión de ensayos Bernoulli independientes con misma probabilidad de éxito. Debemos remarcar que las propiedades características de un ensayo Bernoulli son puramente estocásticas. Es decir, dos (o más ensayos Bernoulli se distinguen entre sí, según si las probabilidades de éxito (y por ende, las de fracaso de cada uno de ellos son también distintas. Una sucesión de repeticiones independientes (es decir, bajo las mismas e igualitarias condiciones de un mismo ensayo Bernoulli (como lanzar la misma modena, se interpreta como una sucesión de ensayos Bernoulli independientes con la misma probabilidad de éxito. Por ejemplo, lanzar una misma moneda 10 veces es equivalente a lanzar 10 modenas idénticas (aunque en la práctica ello puede parecer imposible. Principio de regularidad de las frecuencias relativas. La forma en que se determina el parámetro p no es una cuestión trivial. Por ejemplo, pensemos en el típico experimento de lanzar una modena al aire (volado. Decimos que una moneda es honesta si observamos, tras varios lanzamientos independientes que la regularidad con la que resulta águila es cercana al 50% de las veces, y en este caso, ateniendonos a un esquema de razonamiento frecuentista, aceptamos que la probabilidad de éxito (o fracaso es 0.5. Esto es, ambos resultados son equiprobables. En general, aún cuando la moneda podría estar cargada hacia un resultado, ya sea águila o sol, en la práctica, es posible observar que la regularidad frecuentista con la que ocurre tanto sol como águila tiende a ser estable, de modo que en principio, podemos aceptar que hay un valor teórico para las probabilidades de que la moneda caiga sol o bien águila, y que las distintas frecuencias relativas, tras numerosas sucesiones de repeticiones independientes del volado, son estimaciones de dicho valor teórico. Este hecho empírico es conocido como Principio de regularidad de las frecuencias relativas. No obstante, podríamos cuestionar si es válido aproximar el supuesto valor teórico de las probabilidades de éxito y fracaso (los parámetros p y q mediante sucesiones de repeticiones independientes del volado, en tanto que, en apariencia, no hay manera de saber qué número de volados hay que realizar para aproximar, dentro de un margen de error establecido a priori, los valores de los parámetros p y q. Y por otro lado, aunque en la práctica, desde siempre, se ha aceptado que el valor de p, sea cual fuere, puede aproximarse por este razonamiento de regularidad frecuentista, hasta el trabajo de Bernoulli no había manera de justificar de algún modo esta vía en la determinación de p y q, al menos dentro de una teoría matemática consistente. El Teorema de Bernoulli. Bernoulli trabajó, según sus propias palabras, cerca de 20 años en este problema. Bernoulli dio la primera forma matemática rigurosa de comprender una teoría de la probabilidad basada en los principios frecuentistas comunmente aceptados. Dentro de este marco teórico, demostró finalmente que en términos estocásticos (lo cual es relevante señalar, el esquema frecuentista de razonamiento en la aproximación del parámetro p, es efectivo. Intuitivamente, el Teorema de Bernuolli afirma que, dado un margen de error previamente establecido, tras un número grande de realizaciones independientes de un mismo ensayo Bernoulli, la diferencia entre la frecuencia relativa con que ocurre éxito y el valor teórico del parámetro p, es muy probablemente menor a dicho margen. Actualmente, este resultado se conoce también como Ley débil de los grandes números (para el caso de ensayos Bernoulli. Con las herramientas matemáticas

3 TEOREMA DE BERNOULLI 3 actuales, se puede probar que, de hecho, es casi seguro que el valor teórico (supuesto de p es próximo a la la frecuencia relativa con que ocurre éxito, tras un número grande de repeticiones sucesivas e independientes de un mismo ensayo Bernoulli. Esto se conoce ahora como Ley fuerte de los grandes números (para el caso de ensayos Bernoulli. Aunque el Teorema de Bernoulli señala que es pausible determinar mediante regularidad frecuentista el valor de p en una sucesión de ensayos Bernoulli independientes, es importante observar que estos enunciados están expresadas en términos estocásticos, como algo que sucede muy probablemente, y de ninguna manera son conlusiones deterministas. 2. Modelo de probabilidad y distribución Bernoulli Al margen de toda discusión relativa al Principio de regularidad de las frecuencias relativas, cualquier ensayo Bernoulli tiene un modelo matemático preciso. Si denotamos como E el evento se obtiene éxito y F el evento se obtiene fracaso, entonces la clase de eventos es la familia de conjuntos complementarios F {E, F }. Si p denota la probabilidad de éxito, entonces la medida de probabilidad queda determinada con las fórmulas P(E p y P(F 1 p q. Debemos notar que el espacio muestral puede tener diversas formas, como en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Supongamos que lanzamos una moneda honesta. Podemos describir el espacio muestral como Ω {s, a}, donde s sol y a águila. Si definimos éxito como cae sol y fracaso como cae águila, entonces E {s} y F {a}. Luego, dado que la moneda es honesta, P(E 1 2 P(F. En general, si la probabilidad de que la moneda caiga en sol es p [0, 1], entonces P(E p y P(F 1 p q. Ejemplo 2. Un juego consiste en extraer una bola de una urna que contiene 50 bolas numeradas. Se gana el juego si la bola extraída está marcada con un número primo. En este juego, el espacio muestral es la colección Ω {1,..., 50}. Suponiendo que el juego es justo, la probabilidad de extraer cualquiera de las bolas es Por otro lado, el evento éxito es el conjunto E {2, 3, 5,..., 50}, o bien, E {1 n 50 :n es primo}. Así, P(E y P(F 1 P(E Es posible modelar cualquier ensayo Bernoulli mediante una variable aleatoria paramétrica. Definición 2 (Variable aleatoria Bernoulli. Una variable aleatoria discreta X es Bernoulli de parámetro p [0, 1] si solo toma los valores 1 y 0, con probabilidades p y 1 p respectivamente. Esto es, en un espacio de probabilidad (Ω, F, P, una v.a. X : Ω R es Bernoulli de parámetro p, con p [0, 1], si el rango de X es el conjunto {0, 1} y la función de probabilidades de X está dada por (1 p X (x P(X x p x (1 p 1 x, x 0, 1. Diremos que (?? es la distribución Bernoulli de parámetro p.

4 TEOREMA DE BERNOULLI 4 Ejemplo 3. Si sabemos que una modena es honesta, entonces la v.a. X que es igual a 1 si se obtiene sol al lanzar la moneda (éxito, y vale 0 cuando cae águila, es una Bernoulli de parámetro 1 2. Ejemplo 4. Un juego consiste en extraer una bola de una urna que está compuesta de 8 bolas negras y 12 rojas. El juego se gana (éxito si se obtiene bola negra. Definimos X como la v.a. que vale 1 en caso de éxito y 0 en caso de fracaso. Entonces X es Bernoulli de parámetro Modelo de probabilidad y distribución binomial Modelo de probabilidad binomial. Muchos fenómenos aleatorios pueden descomponerse en una sucesión finita de ensayos Bernoulli independientes uno de otro. Un ejemplo típico consiste en lanzar cierto número de veces una misma moneda (balanceda o no en condiciones de igualdad. Aquí de se trata de una serie de ensayos Bernoulli con igual probabilidad de éxito. O bien, realizar tantos lanzamientos como monedas distintas se tenga. Aquí se trata de ensayos Bernoulli con distintas probabilidades de éxito. El modelo estocástico aplicado a los fenómenos consistentes en una serie finita de ensayos Bernoulli independientes con igual probabilidad de éxito es conocido como modelo binomial de probabilidad. En lo que sigue describimos cómo construir este modelo. Específicamente, supongamos que un experimento aleatorio consiste en una sucesión de n ensayos Bernoulli independientes con igual probabilidad de éxito p [0, 1]. El problema es encontrar un modelo de probabilidad adecuado a este fenómeno. El punto central será la condición de independencia de los ensayos Bernoulli. Dicha condición, impuesta a priori, no es siempre absoluta desde un punto de vista práctico. Por ejemplo, podemos cuestionar si es realmente posible lanzar dos veces la misma moneda exactamente bajo las misma condiciones. Omitiendo esta cuestión, en cuanto al modelo teórico, la condición de independencia tiene una clara formulación matemática. En efecto, si E i denota el evento se obtiene éxito en el i-ésimo ensayo, y F i el evento se obtiene fracaso, para 1 i n, y si suponemos que P es una medida de probabilidad adecuada, entonces, en primer lugar, P(E i p y P(F i q 1 p, 1 i n, y por otra parte, para cualquier colección finita de índices 1 i 1 < i 2 < i m n, los eventos A i1,...,a im, donde cada literal A puede sustituirse por las literales E ó F, son independientes respecto a P. Por ejemplo, (2 P(E 1 E 3 F 6 E 7 P(E 1 P(E 3 P(F 6 P(E 7 p 3 q Es fácil entender estas cualidades de P si asuminos que ningún ensayo Bernoulli altera o modifica a ningún otro, en términos estocásticos. Ahora bien, hay que notar que todo el experimento queda descrito mediante los conjuntos de la forma A i1 A i2 A im, donde 1 i 1 < i 2 < < i m n, y la literal A puede sustituirse con las literales E o F. Notamos además que tales conjuntos forman una partición del espacio

5 TEOREMA DE BERNOULLI 5 muestral Ω (sea cual sea. Por lo que la medida de probabilidad buscada P queda completamente determinada por las probabilidades P(A i1 A i2 A im P(A i1 P(A i2 P(A im p a q b, donde a es el número de éxitos en la colección A i1,...,a im, y b el número de fracasos. Ejemplo 5. Un juego de azar consiste en extraer una bola de una urna que contiene 50 bolas numeradas del 1 al 50. El juego se gana si se obtiene una bola marcada con un número primo. Cuál es la probabilidad de ganar al menos 5 veces en una serie de 10 repeticiones independientes del juego? Notamos primero que el espacio muestral Ω está constituido por todas las sucesiones ordenadas de 10 números (n 1,..., n 10, donde 1 n i 50, para 1 i 10. Por otro lado, si E i denota el evento se gana en el i-ésimo juego (éxito, para cada 1 i 10, entonces De modo que E i {(n 1,..., n 10 Ω : n i es primo}. P(E i Por tanto, la probabilidad de perder (fracaso en el i-ésimo juego es P(F i 1 P(E i Ahora, para ganar exactamente veces en la serie de 10 repeticiones del juego, deben suceder exactamente extracciones con número primo, lo cual ocurre una cantidad de ( 10 de formas posibles. Luego, según el principio de aditividad finita, la probabilidad de ganar exactamente veces en la corrida de 10 juegos es 5 ( 10 ( 3 10 ( Finalmente, por el mismo principio de aditividad finita, la probabilidad de ganar al menos 5 juegos en la serie de 10 juegos está dada por 10 ( ( ( Variables aleatorias Bernoulli independientes. Podemos introducir un número finito de variables aleatorias Bernoulli (tantas como ensayos Bernoulli para modelar cada uno de las repeticiones del mismo ensayo Bernoulli. Concretamente, sea X i la v.a. Bernoulli parámetro p correspondiente a la i-ésima repetición de un ensayo Bernoulli (parámetro p, 1 i n. Es decir, X i es una variable aleatoria que admite el valor 1 si se obtiene éxito en el i-ésimo ensayo Bernoulli, y 0 si sucede fracaso. La extensión del concepto de idependencia para estas variables aleatorias es entonces natural. Por ejemplo, podemos reescribir la igualdad (??, como P(X 1 1, X 3 1, X 6 0, X 7 1 P(X 1 1P(X 3 1P(X 6 0P(X 7 1.

6 TEOREMA DE BERNOULLI 6 Definición 3. Decimos que las variables aleatorias X 1, X 2,...,X n Bernoulli con probabilidad de éxito p [0, 1], definidas sobre un mismo espacio de probabilidad (Ω, F, P, son independientes si para cualesquiera números x j {0, 1}, j 1,..., m n, (3 P[X i1 x 1,..., X im x m ] P[X i1 x 1 ] P[X im x m ]. Dado que P(X x i p xi (1 p 1 xi, entonces la igualdad (?? tiene la expresión específica P[X i1 x 1,..., X im x m ] p m j1 xj (1 p m m j1 xj. Note que esta probabilidad depende únicamente de los números x 1,...,x m y de la muestra x 1,...,x m. Suma de variables aleatorias Bernoulli independientes. Distribución Binomial. En n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p, si X i es la v.a. Bernoulli parámetro p correspondiente al i-ésimo ensayo, i 1,..., n, entonces la variable aleatoria X definida como la suma de tales variables aletorias, es decir, X : X 1 + X X n, cuenta el número de éxitos obtenidos en la sucesión de n ensayos Bernoulli. Para un valor {0,..., n}, la v.a. X es igual a únicamente cuando de las n variables X 1,...,X n toma el valor 1, y las restantes n toman el valor 0. Esta hecho sugiere cómo debe ser la disribución de X. Teorema. Supongamos que X 1,...,X n son variables aleatorias independientes con misma distrución Bernoulli parámetro p [0, 1], definidas sobre un mismo espacio de probabilidad (Ω, F, P. Entonces la función de probabilidades de X : n i1 X i está dada por para 0,..., n. p X ( : P(X ( n p (1 p n, Demostración. Claramente, el rango de X es el conjunto R {0, 1, 2,..., n}. Para cada R, definimos la clase de subconjuntos Γ {A R : A }. Por ejemplo, Γ 0 { }, Γ 1 {{0}, {1},..., {n}} y Γ n {{0, 1, 2,..., n}}. Entonces ( n Γ. La clase Γ respresenta todas las formas posibles en que podemos elegir ensayos de n ensayos realizados. Ahora, para cada A Γ definimos el evento S A (X j 1 (X j 0. j A Es decir, después de realizar una particular elección de ensayos de n realizados (el evento A, S A es el caso en donde se obtienen exactamente éxitos (o equivalentemente, n fracasos es estas repitciones elegidas dentro de las n repeteticiones j / A

7 TEOREMA DE BERNOULLI 7 independientes del ensayo Bernoulli. Por independencia, tenemos P[S A ] P[X j 1] P[X j 0] j A j / A p (1 p n. Por otro lado, si A, B Γ, entonces A B si y sólo si S A S B. Además, (X (X 1 + X X n A Γ S A. De este modo, P[X ] A Γ P[S A ] Γ p (1 p n ( n p (1 p n. Esta distribución, que depende de dos parámetros n y p, es también conocida con un nombre especial dada su relevancia. Definición 4. Decimos que una variable aleatoria X tiene distribución binomial parámetros n N y p (0, 1, si la función de probabilidades de X está dada por ( n p X (x p x (1 p n x, para x {0,..., n}. Ejemplo 6. Pensemos en experimento descrito en el ejemplo??. Definimos X i como la v.a. que toma al valor 1 si se obtiene número primo en la i-ésima extracción y 0 si no, 1 i n. Claramente, las variables aleatorias X 1,...,X 10 son Bernoulli independientes de parámetro De modo que X 10 i1 X i es binomial de parámetros n 10 y p De modo que la probabilidad de obtener al menos 5 número primos en 10 extracciones es ( ( ( P(X 5 P(X Podemos programar en Octave este ejemplo. Describimos el código a continuación. Creamos primero la función binomial con el código function yfp_binomial(x,n,p >for i1:length(x >y(i(nchoose(n,x(i*(p^x(i*((1-p^(n-x(i; >end >endfunction Ahora creamos la función de distribución binomial de parámetros n 10 y p y generamos la gráfica

8 TEOREMA DE BERNOULLI 8 >x0:10; >yfp_binomial(x,10,0.33; >stem(x,y, -. Obtenemos Figure 1. Distribución binomial parámetros n 10 y p El valor máximo se alcanza en x 3. Antes de este valor, la distribución es creciente, en seguida la distribución decrece. A continuación verificamos que este comportamiento de campana, es característico de la distribución binomial, el cual liga esta distribución con una de las distribuciones más importantes, la distribución normal o gaussina. Si x es un número real, recordemos que x denota la parte entera de x, esto es el máximo entero menor o igual que x. Teorema. Si X es una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n y p (0 p < 1, entonces la función de probabilidades p X es creciente en {0, 1,..., p(n + 1 }, y es decreciente en { p(n + 1,..., n 1, n}. Así, p X alcanza su valor máximo en p(n + 1. Si p 1, p X es creciente y el valor máximo se alcanza en n. Demostración. Si p 0 ó p 1, la afirmación es obvia. Supongamos 0 < p < 1, entonces p(n + 1 < n + 1, luego p(n + 1 n. Por tanto 0 p(n + 1 n. Ahora, sea j {1,..., n 1}. Entonces p X (j 1 p X (j j 1 j p j 1 (1 p n j+1 pj (1 p n j j(1 p (n j + 1p.

9 TEOREMA DE BERNOULLI 9 De este modo, p X (j 1 < p X (j p X(j 1 < 1 p X (j j(1 p (n j + 1p < 1 j jp < np jp + p j < p(n + 1 j p(n + 1. Entonces p X es creciente en {0, 1,..., p(n + 1 }. Por otra parte, si j {0, 2,..., n 1}, entonces p X (j p X (j + 1 j p j (1 p n j j+1 p j+1 (1 p n j 1 (j + 1(1 p. (n jp De este modo, p X (j > p X (j + 1 p X (j p X (j + 1 > 1 (j + 1(1 p > 1 (n jp j jp + 1 p > np jp j > p(n j p(n + 1. Entonces p X es decreciente en { p(n + 1,..., n 1, n}. De lo anterior se sigue que p X alcanza su valor máximo en p(n + 1. Naturalmente, si X tiene distribución binomial y cuenta el número de éxitos en n ensayos Bernoulli, entonces n X, que cuenta el número de fracasos en el mismo número de ensayos Bernoulli, tiene también distribución binomial. Proposición. Si X es una variable aleatoria binomial parámetros n y p, entonces Y n X es una variable aleatoria con distribución binomial parámetros n y q 1 p. Demostración. Claramente el rango de Y es el conjunto {0, 1,..., n}. Ahora, si es un número en este rango, entonces ( n P[Y ] P[n X ] P[X n ] p n (1 p n (n n ( n q (1 q n.

10 TEOREMA DE BERNOULLI Teorema de Bernoulli Ahora estamos en condiciones de probar el resultado principal de estas notas. Teorema de Bernoulli. Supongamos que para cada n 1, X 1,..., X n es una colección de variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribución Bernoulli parámetro p, donde 0 p 1. Entonces, para toda ɛ > 0 [ n lim P i1 X ] i p n n > ɛ 0. Demostración. Para n N consideremos la variable aleatoria Z n n i1 X i. Entonces Z n tiene distribución Binomial parámetros n y p. Para cada j {1,..., n}, para reducir notación, definimos ( n t j P[Z n j] p j (1 p n j. j También nombramos s j t j t j 1 j p j (1 p n j j 1 p j 1 (1 p n j+1 (n j + 1p. j(1 p Dado que n j +1 < n j +2 y j 1 < j, entonces (n j +1(j 1 < (n j +2j, de aquí, (n j + 1p (n j + 2p s j < j(1 p (j 1(1 p s j 1. Es decir, la colección de números {s j } n j1 es decreciente. Ahora, consideremos j > (n + 1p, entonces de donde Por lo tanto, y dado que se sigue t j t j t j 1 t j 1 s j t j 1 s t j 1, t j s t j 1 s 2 t j 2 s j t j (j s j t. n j s j P[Z n ] (4 P[Z n ] < n t j t j n j s j, 1 sn +1 < 1 (1 p 1 s 1 s (n + 1p, (1 p (n + 1p t. Ahora bien, sea m [(n + 1p] (notamos que, por definición, m (n + 1p. Dado que t m > t m+1 > > t 1 > t,

11 TEOREMA DE BERNOULLI 11 entonces 1 > P[ > Z n m] t m + t m t 1 > ( mt ( (n + 1pt, de donde Comparando con (??, t < P[Z n ] < 1 (n + 1p. (1 p ( (n + 1p 2. Sea ɛ > 0 y sea n N tal que nɛ > 1 (propiedad arquimideana. Sea 0 [n(p + ɛ] + 1. Observamos que 0 es el único entero tal que De este modo, Por lo tanto Ahora bien, n(p + 1 < n(p + ɛ < 0 n(p + ɛ + 1. [ n i1 P X ] [ ] i Zn p > ɛ P n n p > ɛ P [Z n > n(p + ɛ] P [Z n 0 ] 0 (1 p < ( 0 (n + 1p 2 (np + nɛ + 1(1 p (np + nɛ + 1 (n + 1p 2 (np + nɛ + 1(1 p (nɛ + p 2. [ n lim P i1 X ] i p > ɛ 0. n n ( n i1 p X ( i > ɛ n n > ɛ p Z n ( n Zn (1 p > ɛ n ( Yn n q > ɛ, donde q 1 p y Y n n Z n tiene distribución binomial parámetros n y q. Entonces, repitiendo todo el proceso anterior, obtenemos que [ n lim P i1 p X ] i > ɛ 0. n n Por lo tanto, [ n lim P i1 X i n n Referencias ] p > ɛ 0.