Tema 6 i 7 del vostre llibre de text

Transcripción

1 Tema 6 i 7 del voste llibe de text

2 ÍNDEX 6.0. Repàs de matemàtiques: Vectos i vectos unitais 6.2. Concepte de camp físic 6.3. Lleis de Keple i llei de la gavitació univesal 6.4. Intensitat de camp gavitatoi 6.5. Camp gavitatoi teeste 6.6. Potencial gavitatoi i potencial gavitatoi teeste 6.7. Enegia potencial i enegia potencial gavitatòia teeste 6.8. Satèl lits: enegia mecànica, velocitat posada en òbita, velocitat escapament Supefícies equipotencials i línies de camp

3 6.0. Repàs s de matemàtiques: tiques: vectos i vectos unitais D1 En FÍSICA utilitzem els vectos pe indica una diecció i sentit. m 3 F m 13 F 23 m 1 2 F 13 (FORÇA QUE FA LA ASSA 1 SOBRE LA ASSA 3) Diecció X i sentit cap a l esquea F 13 (-F 13,0) F 23 (FORÇA QUE FA LA ASSA 2 SOBRE LA ASSA 3) Diecció X i sentit cap a la deta F 23 (F 23,0)

4 D2 m 1 F 13 m 3 F 23 m 2 F 13 (FORÇA QUE FA LA ASSA 1 SOBRE LA ASSA 3) Diecció Y i sentit cap a amunt F 13 (0, F 13 ) F 23 (FORÇA QUE FA LA ASSA 2 SOBRE LA ASSA 3) Diecció Y i sentit cap avall F 23 (0, -F 23 )

5 D3 F 13,X F 13 m 3 F 13,y F 13 (FORÇA QUE FA LA ASSA 1 SOBRE LA ASSA 3) El vecto té component X i Y F 13 (F 13,x, F 13, y ) m 1

6 D4 A (0,0) m 1 F 13,X F 13 m 3 B (2,2) F 13,y El vecto indica la diecció (sobe quina ecta es toba) i el sentit (la punta de la fletxa). CO ES TROBA EL VECTOR? Necessitem dos punts A i B BA = extem - oigen B (2,2) BA = (0,0) (2,2) = (- 2, - 2) A (0,0) CO ES TROBA EL VECTOR UNITARI DE BA? u = BA BA ( u = BA BA 2 2 2) + ( 2) BA = = = (-2,- 2) u = = 8 2, 8 2 8

7 D5 F 13 m 3 BA u m 1 BA = (-2, -2) u = 2, Els tes vectos tenen la mateixa diecció i sentit, només es difeencien en el mòdul (la llagada del vecto).

8 6.1. Concepte de camp físicf D6 En FÍSICA s entèn pe CAP. Una egió de l espai on hi ha pesent una deteminada magnitud física. Si aquesta magnitud és escala (tempeatua) tenim un camp escala i si la magnitud és vectoial (velocitats, foces) tenim un camp vectoial. Cada punt d aquesta egió li coespon un valo d aquesta magnitud. Camp escala Un mapa de tempeatues A cada egió li coespon un valo de tempeatua Camp vectoial Cada molècula té una posició i una velocitat.

9 D7 Nosaltes estudiaem camps de foces centals, és a di, la magnitud física pesent són foces diigides cap a un punt: Foces gavitatòies Camp gavitatoi Foces elèctiques Camp elèctic Tant el camp gavitatoi com el camp elèctic són camps consevatius, ja que les foces gavitatòies i elèctiques són consevatives, és a di, el teball que ealitzen aquestes foces és independent del camí seguit, només depèn de la posició final i inicial.

10 D8 La massa m 1 cea un camp gavitatoi en l espai que l envolta. Com ho sabem? Pe què si col loquem una m 2, aquesta massa ep una foça gavitatòia. m 2 m 1 Analògament m 2 cea un camp gavitatoi que fa que m 1 ebi una foça gavitatòia.

11 D9 E A Camp ceat pe una massa puntual, D m B En cada punt hi ha un valo del camp gavitatoi (intensitat del camp gavitatoi), malgat no hi hagi massa. Com ho sabem? C Pequè si en cada punt col loquem una massa de pova (1 kg) quedaà sotmesa a la foça gavitatòia.

12 6.3. Lleis de Keple i llei de la gavitació univesal D10 Des de la Gecia clàssica, època en què el filòsofs pensaven que la Tea ea el cente de l Unives, fins a aiba la llei de la gavitació univesal (enunciada pe Newton ), el coneixement humà va passa pe diveses etapes, una de les qual es la evolució científico-tècnia dels segles XVI i XVII. Segle XVI, Nicolau Copènic poposà el model heliocèntic, segons el qual el Sol és el cente del sistema Sola i el planetes gien al seu voltant. Segle XVII, Johannes Keple seguido del model heliocèntic, poposà tes lleis empíiques sobe el moviment dels planetes. IPORTANT!!!!

13 LLEIS DE KEPLER D11 1ª LLEI DE KEPLER Els planetes gien en òbites el liptíques en les quals el Sol ocupa un del focus. Recodem que és una ellipse: F F' Cente de l'el lipse planeta F sol Distància sol-planeta planeta sol

14 D12 2ª LLEI DE KEPLER El segment imaginai que uneix un planeta amb el Sol escomba àees iguals en temps iguals. Àea 1 = Àea 2 Àea 2 Àea 1 t t Això significa, que si en un mateix instant de temps, ha de ecóe un ac més gan voldà di que el planeta va més depessa. És a di, que quan el planeta està més pòxim al Sol, es mou més depessa que quan està més lluny.

15 D13 3ª LLEI DE KEPLER El quadat del peíode del moviment al voltant del Sol de qualsevol planeta és diectament popocional al cub de la distància mitjana al Sol. T 2 = k R 3 (on k = és la constant de popocionalitat) planeta F sol Distància sol-planeta és endavant deduïem la constant de popocionalitat (k)

16 LLEI DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL D14 Isaac Newton ( ), va se el pime científic que utilitzà les matemàtiques de manea igoosa i va dedui, a pati de les lleis de Keple, la llei de la Gavitació Univesal. F sol m 1 planeta m 2 Distància sol-planeta Llei de la gavitació univesal La foça d atacció ente dues patícules de masses m 1 i m 2 sepaades una distància, és diectament popocional al poducte de les masses, i invesament popocional al quadat de la distància que les sepaa. atemàticament: F = - G m 1 m 2 2 u G és la constant de la gavitació univesal, de valo 6, N m 2 /kg 2

17 F = - G m 1 m Les foces gavitatòies són sempe d atacció. u D15 - Degut a que G és molt petita, les foces d atacció només es noten, quan almenys una de les masses és molt gan (Tea i nosaltes, Tea i Sol). - Aquestes foces tenen la diecció de la ecta que uneix imaginàiament les dues masses (són foces centals). - Són foces a distància - Sempe van apaellades, són foces d acció-eacció F 12 (la foça que fa 1 sobe 2) F 21 (la foça que fa 2 sobe 1) m 1 m 2 m 1 m 2

18 F = - G m 1 m 2 2 u D17 - La foça gavitatòia i el vecto unitai sempe tenen la mateixa diecció peò sentit oposat. F 12 (la foça que fa 1 sobe 2) u 21 (oigen 2 i extem 1) F 21 (la foça que fa 2 sobe 1) m 1 m 2 u 12 (oigen 1 i extem 2) m 1 m 2 F 21 (la foça que fa 2 u 12 (oigen 1 i extem 2) F 12 (la foça que fa 1 sobe 2) sobe 1) u 21 (oigen 2 i extem 1) m 1 m 2 m 1 m 2

19 D17 Poblema 1. Calculeu la foça gavitatòia que actua sobe cada patícula. u 12 2 (0,40) F 12 = - G m 1 m 2 m 2 = 500 kg 2 u 12 F 12 (la foça que fa 1 sobe 2) m 1 = 100 kg 1 (30,0) 1. Busquem la distància,, ente les dues masses. Pitàgoes 2 = (40 m) 2 + (30 m) 2 = 2500: = 50 m. u 12 2n. Busquem el vecto unitai, és el vecto unitai al vecto = 2 1 = (0,40) (30, 0) = (-30, 40) u 12 = 12 = (-30,40) = 12 ( + = (-30/50,40/50) = (-0,6, 0,8) ) (40) 2500 = = 50

20 D18 u 12 2 (0,40) F 12 = - G m 1 m 2 m 2 = 500 kg 2 u 12 F 12 (la foça que fa 1 sobe 2) 3. Busquem la foça gavitatòia u 12 = (- 0,6, 0,8) F 12 m 1 = 100 kg 1 (30,0) F 12 = - 6, N m 2 kg 2 F 12 = - 1, kg 500 kg (50 m) 2 (-0,6, 0,8) (-0,6, 0,8) N F 12 = (8, , -1, ) N Si et demanen el mòdul de la foça F 12 = ( , ) + (1, ) = 1, N

21 D19 m 2 = 500 kg 2 (0,40) F 21 = - G m 1 m 2 2 u 21 u 21 = (0,6, - 0,8) F 21 (la foça que fa 2 sobe 1) Busquem la foça gavitatòia F 21 m 1 = 100 kg 1 (30,0) u 21 F 12 = (8, , -1, ) N F 21 = (-8, , 1, ) N Si et demanen el mòdul de la foça F = 21 (8, ) ( 1, ) = 1, N

22 Dedui la tecea llei de Keple a pati de la llei de la Gavitació Univesal. D20 Suposem el sistema Tea i Lluna, la Lluna desciu una òbita cicula al voltant de la Tea. R TL = 3, m; L (massa de la Lluna) i T (massa de la Tea) = 5, kg Volem sabe el peíode de otació de la Lluna al voltant de la Tea. v F TL (Foça que fa la Tea sobe la Lluna) Teballem en mòdul 2ª llei de Newton Llei de la gavitació univesal F TL = m L a n F TL = m L ω 2 R TL a n = V2 /R = (ωr)2 /R = ω 2 R F TL = G m L m T R 2 TL

23 v D21 F TL (Foça que fa la Tea sobe la Lluna) F TL = m L ω 2 R TL F TL = G m L m T R 2 TL G G m L m T R 2 TL m L m T m T R 2 TL G = 2π T R 2 TL = m L ω 2 R TL = m L ω 2 R TL 2 R TL ω = 2π/T T 2 4π 2 = R 3 TL G m T Constant de popocionalitat (k) G m T = 4π R TL R 2 TL T 2 2 T 2 = k R 3 3ª LLEI DE KEPLER T 2 m T G = 4π 2 R TL R 2 TL

24 v D22 F TL (Foça que fa la Tea sobe la Lluna) T 2 = 4π 2 G m T R 3 TL R TL = 3, m i T (massa de la Tea) = 5, kg 4π 2 T 2 = (3, m) 3-11 N m2 6, , kg kg 2 T 2 = 5, T = 2, h 1 dia s = 27,4 dies 3600 s 24 h

25 6.4. Intensitat del camp gavitatoi D23 Ja hem explicat que un camp físic és una egió de l espai on hi ha pesent una magnitud física. Camp vectoial agnitud vectoial Camp gavitatoi Foça gavitatòia Un camp gavitatoi és una egió de l espai on hi ha pesents foces gavitatòies.

26 D24 F g A m La massa cea un camp gavitatoi. Com ho sé? Només ho puc sabe col locant una massa m, i veue si ep o no la foça gavitatòia que fa sobe m. F g B m En cada punt del camp gavitatoi, la foça gavitatòia (magnitud física que es mesua) és difeent.

27 D25 El valo del camp gavitatoi, ep el nom d INTENSITAT DEL CAP GRAVITATORI g atemàticament: g = F m La intensitat del camp gavitatoi és la elació ente la foça gavitatòia i la massa que ep aquesta foça. F g A m Unitats N/kg IPORTANT: Difeencia ente qui cea el camp gavitatoi (massa ) i qui sent aquest camp gaviatoi (massa m)

28 D26 g A m g F = F m g = - G m 2 m g = - G 2 u u Com la massa sempe és positiva la foça gavitatòia i el camp gavitatoi sempe tenen la mateixa diecció i sentit. Aquesta expessió ens indica que la intensitat del camp gavitatoi disminueix amb el quadat de la distància. A l igual que la foça gavitatòia, el camp gavitatoi té sentit contai al vecto unitai. g

29 IPORTANTÍSSI: assa que podueix el camp gavitatoi. D27 g = F m g = - G 2 u assa que ep la foça gavitatòia. g A m g B m F F

30 g = F m g = - G 2 u D28 El camp gavitatoi és un vecto. Com es epesenta? He d imagina que en el punt on vull sabe quan val el camp gavitatoi col loco una massa de pova d 1 kg i epesentem la foça que ep aquesta massa de pova. H A g B H 2g A B G C G 2 C F E D F E D

31 g = F m g = - G 2 u D29 Aa imagineu que en el punt A col loquem una massa m = 500 kg. Quan val la foça gavitatòia que sent la massa m? A g F m 1ª Foma. Si coneixem el valo del camp gavitatoi. F = g m F = g 500 kg 2ª Foma. A pati de l expessió de foça gavitatòia. F = - G u

32 Camp gavitatoi ceat pe una distibució de masses puntuals. D30 Pe detemina la intensitat del camp gavitatoi d una distibució de masses puntuals s aplica el pincipi de supeposició. Pincipi de supeposició: la intensitat de camp gavitatoi oiginada pe una distibució de masses en un punt de l espai és la suma vectoial de les intensitats de camp que ceen cadascuna de les masses puntuals sepaadament. 1 g 1 Punt P g 2 2 g 3 g 4 3 g T = g 1 + g 2 + g 3 + g 4 4

33 D31 1 g 1 m = 500 kg Punt P g 2 2 g 3 g 4 3 g T = g 1 + g 2 + g 3 + g 4 4 Aa ja sabem quan val el camp gavitatoi en el punt P, si en aquest punt col loquem una massa de 500 kg quina seà la foça gavitatòia que ep. F = g m F = g 500 kg

34 D32 Quant val el camp gavitatoi al mig del quadat? g 1 g 4 g 3 g 2 g T = 0 N/kg

35 D33 Poblema 2. a) Detemineu la intensitat de camp gavitatoi en el punt P del sistema fomat pe les masses puntuals indicades en la figua A. b) Si en el punt P col loquem una massa de 500 kg quina foça actua sobe ella. m 2 = 1000 kg Posició (0,8) m 3 = 1500 kg Posició (8,6) g 2 g 3 Punt P g 1 m 1 = 500 kg Posició (10,0)

36 D34 Poblema 3. Detemineu en quin punt de l espai la intensitat de camp gavitatoi s anul la, si consideem que només hi ha l inteacció gavitatòia ente la Tea i la Lluna. d = 3, m Dades: R T = 6, m T (massa de la Tea) = 5, kg R L = 1, m L (massa de la Lluna) = 7, kg D (Distància tea-lluna) = 3, m

37 6.5. Intensitat del camp gavitatoi teeste D35 El pincipi el teniu vosaltes en la vosta llibeta Pes d un d cos Vaiació del camp gavitatoi teeste amb l altual h g P T g = - G (RT + h) 2 T g 0 = - G (RT ) 2 = 9,8 N/kg o m/s 2 R T g (R T ) 2 g 0 = (RT + h) 2

38 D36 Poblema 4. Quina és la intensitat del camp gavitatoi en un punt de l espai que es toba a una altua especte la supefície teeste igual a la longitud del adi teeste? g (R T ) 2 R T h g P g g 0 = (RT + h) 2 R T 2 9,8 = (R T +R T ) 2 g R T 2 9,8 = (2R T ) 2 g R T 2 9,8 = 4R T 2 g = 9,8 4 = 2,45 N/kg o m/s 2

39 6.6. Potencial gavitatoi i potencial gavitatoi teeste D37 Abans d explica això anem a ecoda el concepte de teball. W (teball) = F. desplaçament El teball ealitzat pe una foça que actua sobe un cos. Aa ja sabem la foça que hi ha ente dues masses, la intensitat del camp gavitatoi, peò si volem estudia el noste sistema des del punt de vista enegètic, necessitem defini una nova magnitud que és el POTENCIAL GRAVITATORI.

40 D38 El potencial gavitatoi és una magnitud física ESCALAR (OLT IPORTANT NO VECTORIAL) que ens pemet estudia el noste sistema gavitatoi des del punt de vista enegètic. Definim el POTENCIAL GRAVITATORI D UNA ASSA PUNTUAL EN UN PUNT A (V A ) com el teball, canviat de signe, ealitzat pe la foça gavitatòia que efectua la massa pe desplaça una alta massa de pova d 1kg des de l infinit fins a A. A V A = - W A (molt lluny) m = 1 kg Pe toba la fómula es necessita intega peò com de moment no sabeu intega us la poso i ja està. V A = - G

41 D39 V = - G Unitats: J/kg. Nm 2 kg 2 kg m El potencial és una magnitud elativa, el seu valo depèn del u sistema de efeència, pe conveni, nomalment es pen com a V = O en un punt molt llunya del noste sistema gavitatoi. A B A (molt lluny) B VB V A V = 0 N/kg V El potencial gavitatoi en un punt és negatiu V B V A

42 D Potencial gavitatoi teeste P h V P = - G T RT + h R T A mesua que ens allunyem de la supefície Teeste el camp gavitatoi disminueix i el potencial gavitatoi cada vegada és menys negatiu, pe tant més gan. V Poblema 5. Calculeu el potencial gavitatoi ceat pe la Tea suposant que intensitat gavitatòia només actua: a) A la seva supefície b) A una altua de 3 adis V = - 6, Nm 2 kg 2 5, kg = - 6, J/kg 6, m c) A l infinit V = - 6, V = - 6, Nm 2 kg 2 Nm 2 kg 2 5, kg = - 1, J/kg 4 6, m 5, kg = 0 J/kg

43 6.6.2 Potencial gavitatoi ceat pe una distibució de masses puntuals D41 1 Punt P 2 3 V T = V 1,P + V 2,P + V 3,P Poblema 6. Calculeu el potencial ceat en el punt A pe la distibució de masses esfèiques indicada en la figua. m 3 = 2000 kg (0,6) P (8,6) V 1,P = - 6, Nm 2 kg kg = - 6, J/kg 10 m (Es teu fent Pitàgoes) m 1 = 1000 kg m 2 = 3000 kg (8,0) V 2,P = - 6, V 3,P = - 6, Nm 2 kg 2 Nm 2 kg kg 6 m 2000 kg 8 m = - 3, J/kg = - 1, J/kg V T = V 1,P + V 2,P + V 3,P = -5, J/kg

44 D42 Poblema 6. En els vètexs d un quadat de costat 10 m hi ha quate esfees iguals de 1000 kg. Calculeu: g 1 g 4 a) La intensitat del camp gavitatoi en el cente del quadat. g = 0 N/kg T b) El potencial en el cente del quadat. V T = V 1,c + V 2,c + V 3,c + V 4,c g 3 g Diagonal = (10m) + (10m) = 200 m V T = 4-6, Nm 1000 kg 2 kg 2 (distància de la massa al cente) = diagonal/2 = 200 m 2 V 1,c = - 6, Nm 2 kg 2 = -3, J/kg 1000 kg 200 m m

45 6.7. Enegia potencial gavitatòia i enegia potèncial gavitatòia teeste. D43 Es l enegia que té un cos de massa m pel fet d esta dins d un camp gavitatoi ceat pe una massa. B A E p = m V Unitats: kg J/kg = J B V B E p,b = m V B V A E p,a = m V A E p = m - G E p E p = - G m L enegia potencial (E p ) que té un cos m és negativa i zeo quan es toba molt lluny del sistema gavitatoi, ja que pe conveni V = 0 J/kg.

46 Enegia potencial gavitatòia teeste D44 h m E p = - G T m (RT + h) (conveni Ep = 0 J a l infinit) R T Recodeu que en el tema 3 feieu sevi una alta fómula T E p = m g h Aquestes dues fómules són difeents pe la mateixa magnitud. E p = - G T m (RT + h) Conveni E P = 0 J a l infinit Té en compte la vaiació del camp gavitatoi teeste amb la distància E p = m g h Conveni E P = 0 J a la supefície teeste Nómés és vàlida pe altues molt popees a la supefície teeste on podem considea g constant = 9,8 m/s 2.

47 D45 Imagineu que té una distibució de masses puntuals, nomalment us demanaen en aquest ode: Punt P a) Calcula el potencial gavitatoi en el punt P. V T = V 1,P + V 2,P + V 3,P b) Aa en el punt P col loquem una massa m = 500 kg, quina E p adquieix la massa? E p = m V = 500 kg V T

48 D46 Aibat a aquest punt faem un esum que vull que copieu a la vosta llibeta: agnituds vectoials agnituds escalas g P P g = - G 2 u Unitats: N/kg V = - G Unitats: J/kg F F = g m F = - G m 1 m 2 2 Unitats: N u E p = m V m E p = - G Unitats: J

49 D47 Impotant, quan teballaem de foma numèica amb el camp gavitatoi i la foça gavitatòia i NO DE FORA VECTORIAL. a) En el cas de poblemes on el sistema gavitatoi sigui la Tea o qualsevol alte planeta, on la diecció sempe és adial i el sentit cap al cente del planeta. R T h m b) En el cas de poblemes on tots els vectos tenen la mateixa diecció. F F

50 Teball fet pel sistema gavitatoi D48 m A B h A h B R T Quin és el teball ealitzat pe la foça gavitatòia que efectua la Tea pe desplaça la massa m des de la posició A a la posició B? T W sistema = - E p W sistema = - (E pb - E pa ) = - (m V B m V A ) = - m (V B V A ) W sistema = - m - G (RT + h B ) T T G = G T m (RT + h A ) (RT + h B ) - 1 (R T + h A )

51 D49 m A m A B h A B h A h B h B T R T Quin és el teball ealitzat pel sistema gavitatoi? W sistema = - E p = - (E pb - E pa ) T R T Pe desplaça la massa m de la posició B a la posició B, aquest teball no el fa la Tea, sinó que es necessai una foça extena. Quin és el teball fet pe la foça extena (oposada a la gavitatòia)? W foça extena = E p

52 E p = - G T m (RT + h) D50 Poblema 7. Tenim una massa de 10 kg en epòs sobe una supefície teeste. Quin teball cal fe pe puja-la fins a una altua de 10 m. I fins una altua de 630 km? R T m Dades: R T = 6, m T (massa de la Tea) = 5, kg W foça extena = E p W foça extena = E p,2 - E p,1 W foça extena = ,3 - ( ,3) = 983 J E p,1 = - 6, Nm 2 kg 2 5, kg 10 kg 6, m = ,3 J E p,2 = - 6, Nm 2 kg 2 5, kg 10 kg m = ,3 J

53 E p = - G T m (RT + h) 2 D51 I fins una altua de 630 km? R T m W foça extena = E p W foça extena = E p,2 - E p,1 E p,1 = - 6, Nm 2 kg 2 5, kg 10 kg 6, m = ,3 J = - 6, J E p,2 = - 6, Nm 2 kg 2 5, kg 10 kg (6, ) = - 5, J W foça extena = - 5, J (- 6, J) = 5, J

54 D52 Poblema 8. Consideem tes punts A, B i C. Calculeu el teball efectuat pe les foces extenes pe desplaça un satèl lit de massa m pels tes camins següents: a) Des del punt A de la supefície de la Tea fins a B diectament. b) Des de A fins a B passant pe C. c) Des de A fins a B pe un camí D qualsevol. B B B A A A R T C R T C R T C

55 D53 B A W foça extena = E p R T W foça extena = E p,b - E p,a = - G T m - - G T m R T W foça extena = - G T m + G T m = G T m - G T m R T R T W foça extena = G T m 1 R T - 1

56 D54 A B El teball que fa la foça extena pe ana de A a C, val zeo, ja que en els dos punts la massa té la mateixa enegia potencial, ja que aquests punts es toben a la mateixa distància de la Tea. R T C W foça extena = E p = E p,c - E p,a = 0 J W foça extena = E p = E p,b - E p,c = G T m 1 R T - 1 Veiem que el teball és el mateix que el de l apatat A. Aquest esultat ea pevisible, ja que el camp gavitatoi és consevatiu, és a di, el teball només depèn de la posició inicial i final, i no del camí seguit.

57 D55 B El teball pe ana de A cap a B pe un camí qualsevol ha de se el mateix, ja que el camp gavitatoi és consevatiu. A R T W foça extena = E p = E p,b - E p,a = G T m 1 R T - 1