Exercicis amb vectors. IES Thos i Codina. Exercicis amb vectors. a. Indiqueu en quin sistema de coordenades està expressat cadascun.

Transcripción

1 Execicis amb vectos 1. Consideem els vectos a = (3,-1), b = (4,-3), c = (6,30º) i d = (7,10º). a. Indiqueu en quin sistema de coodenades està expessat cadascun. a i b estan expessats en coodenades catesianes. c i d estan expessats en coodenades polas. b. Canvia de sistema de coodenades els quate vectos. a = (3,-1): mòdul d a = a = ( ) = agument d a = ϕ a = 360º +actg º 3 a = (3.16,341.7º). b = (4,-3): mòdul de b = b = 4 + ( 3) = agument de b = ϕ b = 360º +actg º 4 b = (,33.13º). c = (6,30º): Component X de c = 6cos 30º.0 Component Y de c = 6sin 30º = 3 c = (.0,3). d = (7,10º): Component X de d = 7cos 10º Component Y de d = 7sin 10º = -3. d = (-6.06,-3.). c. Completa la taula següent: Coodenada Coodenada Vecto Mòdul Agument Quadant X Y a º 4t b º 4t c º 1 d º 3 d. Calcula analíticament i geomèticament a + b i a - b. a + b : Analíticament: a + b = (3,-1) + (4,-3) = (7,-4). 1

2 Geomèticament: a - b : Analíticament: a - b = (3,-1) (4,-3) = (6,-) + (-4,3) = (,1). Geomèticament: e. Calcula c - 3 d i expessa el esultat en coodenades polas. c - 3 d = (6,30º) - 3(7,10º) = (.0,3) - 3(-6.06,-3.) = (10.40,6) + (18.18,10.) = = (8.8,16.) Mòdul = Agument = actg 30.00º 8.8 c - 3 d (33,30º). f. Toba tots els vectos pependiculas a b que tinguin mòdul 00 i tots els que tinguin mòdul 1. b = (4,-3) els vectos v 1 = (3,4) i el seu oposat v (-3,-4) són pependiculas a b. Calculem els seus mòduls:

3 v1 = v = = Si volem vectos de mòdul 1, hauem de dividi-ne cada component pe : 1 n 1 = v 1 = 1 (3,4) 3 4 =, 1 n = v = ( 3, 4) =, Pe tant, hi ha dos vectos amb mòdul 1 que són pependiculas a b = (4,-3): 3 4 n =, i n = n 1 =,. Si volem que tinguin mòdul 00, només cal multiplica n 1 i n pe 00. Pe tant, hi ha dos vectos amb mòdul 00 que són pependiculas a b = (4,-3): n 3 = 00n 1 = ( 103,1604) i n 4 = 00n = ( 103, 1604). g. Toba el vecto paal lel a a sabent que la seva pimea coodenada catesiana és -6. Anomenem p al vecto que ens demanen. Llavos, p = (-6,x) i hem de toba x. Si p // a p 1 p 6 x = = a1 a 3 1 3x = 6 x = Pe tant, el vecto demanat és (-6,). h. Calcula l angle que fomen els vectos a i b pe dos mètodes difeents. Anomenem ϕ a l angle que fomen els vectos a i b. a b Mètode 1: Amb la fómula ϕ = accos a b a b = (3,-1) (4,-3) = = 1 a 3.16 b = 3 Pe tant, ϕ = accos º. Mètode : Expessant a i b en polas i estant els seus aguments: ϕ = ϕ a - ϕ b ϕ = ϕ a - ϕ b 341.7º º = 18.4º La difeència ente els esultats pels difeents mètodes és deguda als aodoniments en els esultats. i. Indica quines de les següents paelles de vectos són paal lels: 8 (-,3) i (,8): No, pequè 3 1 (1,6) i (-,-1): Sí, pequè = 1 6 3

4 (-6,3) i (-8,-4): No, pequè Calcula el valo de s sabent que el poducte escala de u = (3,s-1) i v = (s,) és = u v = (3,s-1) (s,) = 3s + (s-1) = 3s + s = 8s 8s = -13 s = Calcula, aodonint amb decimals, el valo de x si sabem que els vectos a = (3, x) i b = (-,1) fomen un angle de 78.93º. cos ϕ = a b a b cos 78.93º 0.19 a b = (3,x) (-,1) = x a = 3 + x = 9 + x b = + 1 = ( ) 13 Llavos, ens queda l equació: 0.19 = 1x x Resolem aquesta equació. Pe fe això, aïllem l ael quadada: x = 1x -1; x = 1x -1; Pe elimina l ael, elevem al quadat els dos membes de l equació: ( x ) = (1x -1) ; Opeem:.496 ( 9 + x ) = 144x - 360x + 6.3(9 + x ) =144x - 360x + ; Odenant l equació anteio, obtenim: x - 360x = 0; Resolent l equació de segon gau anteio, obtenim dues solucions:.00 i Pe tant, hi ha dues solucions: x.00 i x El següent dibuix epesenta una baca de massa m = 60 kg que es mou pe un iu ectilini (epesentat pe l eix d abscisses) pequè s estia d ella mitjançant dues codes amb foces F 1 i F de mòduls 100 N i x N, espectivament. 4

5 a. Calcula el mòdul de la foça F pe tal que la baca es mogui en la diecció del iu. Calculaem les coodenades catesianes de F 1 i F : F 1x = F 1 cos 30º = 100cos 30º N F 1y = F 1 sin 30º = 100sin 30º = 70 N F x = F cos 4º = xcos 4º F y = - F sin 4º = - xsin 4º Si volem que la baca es mogui en la diecció del iu, les components veticals de les foces F 1 + F han de teni la mateixa magnitud i signes oposats pe tal que la suma de les components veticals sigui zeo: F 1y = - F y 70 = xsin 4º x = Pe tant, el mòdul de la foça F ha de se N. 70 sin 4º N b. La foça esultant amb què s estia de la baca és F = F 1 + F. Calcula F i F. F = F 1 + F = (F 1x + F x, 0) = ( xcos4º,0) (049.04,0) F N. c. La foça de fegament ente la baca i l aigua és R, i el seu mòdul és R = m g µ, on m és la massa de la baca, g = 9.8 ms - és el valo de la gavetat i µ = 0.8 és el coeficient de fegament ente la baca i l aigua. Calcula R. R = m g µ = = N d. La baca es mouà si F > R. Si la baca es mou, ho fa amb una acceleació a segons la llei F - R = m a. Esbina si la baca es mou i, si ho fa, amb quina acceleació. Tenim que F N i R = N. Pe tant, F > R i la baca es mou. F - R = m a = 60 a a Pe tant, la baca es mou amb una acceleació de 0.04 ms -.