UNIDAD Nº 8 RESPUESTA DE LOS COMPONENTES PASIVOS A LA CORRIENTE ALTERNA

Transcripción

1 UNIDAD Nº 8 RESPUESTA DE LOS COMPONENTES PASIOS A LA CORRIENTE ALTERNA

2 alor eficaz de una señal alterna v El valor eficaz de cualquier señal esta dado por la fórmula : ef 1 T T 0 v dt t ef 1 T T 0 sen wt dt sen wt ef T T 0 sen wt dt

3 T ef dt wt cos T 0 1 T T ef dt wt cos dt T 0 0 T T ef w wt sen t T 0 0 w sen w wt sen T T ef 0 0

4 Sabiendo que T w w sen ef 0 ef t v ef wt sen ef ef

5 Todos los instrumentos de medición indican el valor EFICAZ de la variable a medir. De esto que al medir con un multímetro la tensión de línea da por resultado 0 olts, su valor pico es ef 310 olts Cuando una corriente circula por una resistencia la misma NO produce algún defasaje entre la tensión y la corriente i i R v R wt I v

6 Cuando una corriente circula por una bobina la misma produce un defasaje entre la tensión y la corriente de 90º Esto se demuestra partiendo de que se conoce la corriente que circula por ella i I sen wt L L di dt L L d ( I sen dt wt ) L I cos wt. w L w L I cos wt v L cos wt

7 cos wt t i L v L wt I I sen wt Que unidad tiene el producto w L? w... f w T 1 seg 1

8 L L di dt L L dt di dt L L L di volts seg amp De 1 y se deduce : 1 seg seg amp volts amp w L volts A dicho producto se lo conoce como la oposición que presenta la bobina al paso de corriente alterna. Su nombre es REACTANCIA INDUCTIA X L

9 Cuando una corriente circula por un capacitor la misma produce un defasaje entre la tensión y la corriente de 90º i I sen wt 1 C C i dt 1 1 C I sen wt dt C C I cos w wt L 1 w C I cos wt v C cos wt

10 I sen wt t i C v C wt I cos wt 1 Que unidad tiene el cociente? w C. w.. f w T 1 seg 1

11 1 1 C i dt C C i dt 1 1 volts C i dt C amp. seg De 1 y se deduce : 1 w C 1 1 seg 1 amp. seg volts volts amp A dicho cociente se lo conoce como la oposición que presenta el capacitor al paso de corriente alterna. Su nombre es REACTANCIA CAPACITIA X C

12 De las fórmulas de reactancia inductiva y capacitiva se observa que: X L w. L.. f. L X L K. f K cte Es decir que la reactancia inductiva es directamente proporcional a la frecuencia, siendo nula para la corriente continua. x L f

13 X C w 1. C. 1. f. C X C K f K cte Es decir que la reactancia capacitiva es inversamente proporcional a la frecuencia, siendo muy elevada para la corriente continua. x L f

14 Combinación de R L C en serie vr v L vc R L C Partiendo de que se conoce la corriente cuya expresión es : i i I sen wt e Aplicando Kirchoff e v R v L v C e I R sen wt wl. I cos wt I wc cos wt

15 Graficando los tres valores de tensión en función del tiempo v C v R v L

16 Se observa que si se quiere hacer un análisis temporal es muy complicado por lo que se recurre al análisis fasorial L L - C E R I C Dividiendo cada vector en una cantidad fija el diagrama no varía llegando a lo que se conoce como TRIANGULO DE IMPEDANCIAS

17 A cada vector se lo divide en el valor de la corriente con lo cual queda: L I X L E I X L - X C Z R I R C I X C Aplicando Pitágoras y trigonometría en este triángulo se llega a : Z R X L X C tg 1 X L R X C

18 Ejercicio : Se desea hallar el valor de la corriente y el ángulo de defasaje que se produce en el siguiente circuito. R100 i f L1Hy E 0 50 Hz C 10 F Para hallar el valor de la corriente se debe calcular primero la impedancia que ofrece el circuito al paso de la corriente Z R X L X C X X L C..f.L 1..f.C X X L C.. 3, Hy 1 3, F X X L C ,5

19 Z , , 5 Z 100, ,5 tg 1,58º 100 I Z , I, Amp I 3. 11A Ahora el valor de la corriente esta dado por i 3,11 Amp. sen ( 314 t,58º )

20 Realizando un diagrama vectorial se tiene X L = 314 Ω L R = 100 Ω R I X L - X c Z X C = 318,5 Ω C La corriente ADELANTA a la tensión

21 Ejercicio Nº : El mismo ejercicio anterior pero trabajando con números complejos 100 j 314 j 318 Z 100 j 314 j 318 i Z 100 j 4 E 0 f 50 Hz I Z j 0 j 4 Haciendo la división de complejos ocupando el conjugado del denominador se llega a :

22 I j 0 j j 4 j j 880 j 400 j 400 j 16 I 000 j ,196 j 0,088 Cuyo módulo es : I,196 0,088, Amp Y cuyo defasaje con la tensión es : tg 1 0,088,196,3 Aquí se observa que la corriente ADELANTA,3º respecto a la tensión aplicada

23 Ejercicio Nº 3 : Encuentre el defasaje entre la tensión y corriente trabaje con números complejos E 0 f 50 Hz Z 1 Z Z Z Z j j 60 0 Z 3 Z 4 Z 4 0 j 10

24 Ejercicio Nº 4 : Encuentre el valor de la corriente I, I 1 e I trabaje con números complejos I 1 I Re spuestas E 0 50 f 50 Hz I j 75 - J I I I 1 1,36 1,76 3,11 j,03 j 0,88 j 1,15

25 Combinación de R L C en paralelo i i R i L i C e R L C e i i R e R cos wt ir il ic 1 i R R cos wt Llamando al cociente G 1 R CONDUCTANCIA i R G.. cos wt

26 v L L di dt i L 1 L v L dt i L 1 L cos wt dt L sen wt w w L sen wt Llamando al cociente B L 1 w L SUCEPTANCIA INDUCTIA i L B.. sen wt 3 L v C 1 C i dt i C C dv dt

27 i C C. d cos dt wt C sen wt. w i C w C. sen wt Llamando al producto B C w. C SUCEPTANCIA CAPACITIA i C B.. sen wt 4 C Reemplazando 3 4 en 1 se llega a : i G. cos wt B L. sen wt B C. sen wt

28 i L i R I C I C - I L I R I E I L i C

29 Dividiendo en el valor de la tensión a cada vector se tiene I C I B C B C - B L Y I R G I L B L Y G 1 C L B B tg C L B B G

30 Ejercicio 5 : Encuentre el valor de la corriente por el circuito i E 0 f 50 Hz R L C R L C 10 0 mhy 160 F R 10 G 1 10 G 0,1 mho X L.. f. L 6,8 B L 0,16 mho 1 X C 19,9 BC 0, 05 mho.. f. C

31 Y G B B C L Y 0,1 0,05 0,16 0,01 Y 0,15 mho El valor de la corriente por el circuito esta dado por : I Y. 0,15 mho. 0 I 33 Amp tg 1 B C G B L tg 1 0,05 0,16 0,1 47,7 º I

32 RESONANCIA EN EL CIRCUITO SERIE R-L-C. El estudio de los circuitos serie en corriente alterna, en función de la frecuencia, presenta características que deben ser analizadas muy cuidadosamente para su mejor comprensión y posterior aplicaciones. En la figura se expone el circuito y su expresión compleja. R L C La expresión compleja de la impedancia es : R I L E C Z = R + j W. L 1 W. C

33 En la fórmula, el valor de la resistencia puede incluir: la propia de la inductancia (resistencia del alambre con que está construida), las pérdidas del capacitor y finalmente otras que posea el circuito. Analizando la expresión y el diagrama vectorial, es lógico suponer que la parte imaginaria podrá en alguna condición, valer cero. X L X C Z R Este es el caso para el cual: X L = X C. Debe observarse que ambas reactancias dependen exclusivamente de la frecuencia ya que L y C son constantes.

34 Por ello, para un determinado valor de la frecuencia al que se denomina fo, se producirá la igualdad aludida y se encuentra que ambas reactancias son iguales; se anulan y el circuito se hace resistivo puro para fo. La primer consecuencia que se observa es que la impedancia se hace igual a la resistencia y es el menor valor que adquiere. La corriente circulante entonces se hace máxima y por ello se la denomina también: RESONANCIA DE CORRIENTE.

35 Se demostrará posteriormente, que las tensiones desarrolladas en ambos componentes reactivos quedan también en oposición y sus valores pueden tomar valores muy altos (mayores a la tensión del generador), lo que los hace peligrosos para las mismas reactancias y para el operador. La frecuencia a la cual se produce la resonancia se obtiene de: En la IMPEDANCIA a frecuencias menores y mayores a la frecuencia de resonancia, los que intervienen activamente son los componentes reactivos.

36 A frecuencias mayores, interviene predominantemente la reactancia inductiva ya que la misma es directamente proporcional a la frecuencia; y a frecuencias menores, la capacitiva, ya que ella es inversamente proporcional a la misma. El estudio detallado de esta situación se puede realizar desarrollando un diagrama de las componentes que intervienen en la impedancia, en función de la frecuencia Z = R + j W. L 1 W. C

37 X L X C R f 0 - X C f

38 olviendo a la figura en ella se puede advertir que el vértice de la, tiene mucha información, pero que en este diagrama no se observa. Por ello es más conveniente representar el módulo de la impedancia en función del logaritmo de la frecuencia. Así entonces se puede graficar el módulo de Z como una campana de Gauss simétrica cuyo valor mínimo es la resistencia del circuito. Z R = 0 f 0 R pequeña R grande log f

39 Consecuencias del circuito a la frecuencia de resonancia. a ) Al tratarse de un circuito serie y anularse las reactancias inductiva y capacitiva el circuito presenta una impedancia resistiva pura y esta será la impedancia óhmica del circuito que a su vez será mínima. O sea b ) Como la impedancia es mínima, la intensidad de la corriente que por la ley de Ohm generalizada vale, será máxima es decir

40 c) Para frecuencias superiores a la de resonancia, el circuito se comporta inductivamente, pues, y para frecuencias inferiores a la de resonancia, el circuito se comporta capacitivamente; pues. d) Ya hemos visto cómo la reactancia, a la frecuencia de resonancia, es nula y la impedancia total es solamente la de la resistencia óhmica, la cual puede ser, a su vez, la resistencia óhmica de la bobina - circuito L-C con bobina real - por lo que si la bobina fuera ideal (resistencia nula) tendríamos en el circuito una corriente infinita.

41 En la practica esto es imposible, ya que es imposible anular la resistencia óhmica de la bobina; esta imposibilidad da lugar al concepto de factor de calidad y selectividad del circuito. e) A pesar de que el circuito sea alimentado con una tensión pequeña, en los extremos de la bobina y del condensador podemos tener tensiones elevadas o muy elevadas, (éste es el fenómeno de la resonancia) o sea, mucha ganancia de tensión; sin embargo, a frecuencias distintas a la de resonancia las tensiones en la bobina y el condensador son despreciables.

42 No obstante ello, también es relevante representar el módulo de la admitancia en función del logaritmo de la frecuencia lo que también se ha esquematizado en la siguiente figura. Y f 0 log f

43 Esta nueva transformación permite verificar con mayor claridad la incidencia de R en el circuito. Por ello, para un valor de R cero, la admitancia se hace muy alta y la campana de Gauss que ahora la representa es muy angosta; en cambio para mayores valores de R el gráfico se achata. Por otro lado, también se puede analizar como varía el ángulo de fase con el logaritmo de la frecuencia para cada componente reactivo. Para el capacitor el ángulo de fase para frecuencia cero, es de +90º, ya que la corriente se adelanta ese valor en el capacitor, mientras que en la inductancia, se atrasa 90º con respecto a la tensión para frecuencia infinita.

44 En resonancia, el circuito se hace resistivo puro y el ángulo es cero. Todo esto queda representado en el diagrama de la siguiente figura 90º sin pérdida mucha pérdida log f - 90º En ella se ha dibujado la variación del ángulo de fase con la frecuencia para tres casos a saber: sin pérdida, ya que la resistencia asociada a la inductancia es cero

45 el otro extremo es de mucha pérdida para R grande y entre ellos se ha representado un valor intermedio. Su significado es el siguiente: si las resistencias asociadas al circuito son pequeñas, la variación del ángulo de fase cambia muy rápidamente, recordando que en resonancia es cero. En caso de que las resistencias asociadas son muy grandes, la variación del ángulo de fase es muy lenta. Otra consecuencia a tener en cuenta, es que la corriente varía en forma proporcional a la admitancia. Esto es fácilmente demostrable

46 dado que E es constante, la corriente es una función directa de la admitancia o inversa de la impedancia. Por ello la curva dibujada de la admitancia lo es también de la corriente a menos de una constante. Después de haber introducido las aclaraciones anteriores se hará el análisis del circuito serie. Así entonces, para que se manifieste en forma contundente la incidencia de la resistencia en el circuito serie (o paralelo), se introducirá un nuevo parámetro denominado: factor de mérito o Q del circuito. Matemáticamente se define entonces que:

47 Se observa entonces que Q es un número adimensional, ya que X L y R son elementos resistivos cuya unidad es el Ohm. Este número indica que mientras mayor sea el valor de R, el Q es cada vez menor Otro factor a tener en cuenta, es el ancho de banda o banda pasante del circuito, quien está íntimamente relacionado con el Q.

48 Este nuevo concepto y que es de mucha trascendencia, se introducirá en el estudio de la curva universal de resonancia para que el lector pueda interpretar sin ningún error las propiedades de estos circuitos de amplia utilización en electrónica, particularmente en comunicaciones y en innumerables aplicaciones en las cuales es necesario anular o dejar pasar determinadas frecuencias o bandas de ellas; que en realidad son filtros de frecuencia.

49 A modo de ejemplo R L C I, Y R L C I Carga E f 0 log f El generador E es quien produce una tensión con diferentes frecuencias, y está conectado a través de un circuito serie a la carga. La impedancia del circuito será mínima para cierta frecuencia de resonancia definida por los componentes L y C.

50 Para esta frecuencia la carga recibirá la máxima corriente limitada exclusivamente por R. Por debajo y por encima de resonancia, la impedancia aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima. Esta configuración entonces, define un filtro selectivo para ciertas frecuencias que interesan que lleguen a la carga. CURA UNIERSAL DE RESONANCIA Hay una familia de curvas para cada frecuencia de resonancia, la pregunta es si es posible desarrollar una sola gráfica que permita aplicarla a cualquier circuito, independientemente de su frecuencia de resonancia y de los valores de R.?

51 Con algunas definiciones y simplificaciones, si se puede llegar a construir una única curva universal de resonancia. Además se podrán definir otros parámetros de mucha importancia. El efecto de buscar en el dial del receptor una estación de radio buscada, es la sintonía de la misma, lográndose ello cuando la señal recibida es perfectamente legible. La variación hacia ambos lados de la frecuencia sintonizada, es la sintonización o desintonización de la frecuencia de resonancia elegida.

52 Admitancia relativa o impedancia Debajo de resonancia Arriba de resonancia Total Componente real Componente imaginaria

53 En esta gráfica se ha desplegado en el eje horizontal, una nueva variable que se denomina: DESINTONIA fraccional relativa. Así mismo, en el eje vertical se grafican las componentes real e imaginarias relativas normalizadas y respectivamente. Como así también la suma de ambas que da como resultado la admitancia relativa

54 También se ha colocado en el eje vertical la impedancia relativa normalizada, dado que este mismo diagrama se utiliza en los circuitos paralelo de dos ramas. Finalmente, para el correcto trabajo de los circuitos serie y que se hace extensivo al paralelo de dos ramas, se utiliza la curva universal de resonancia, pero ahora dibujada con más versatilidad para su aplicación. Esta grafica se aprecia en la siguiente figura :

55

56 Mediante dos ejemplos prácticos quedará plasmada el uso de la misma. Ejemplo Nº 1: Se desea saber cuantos ciclos debe desintonizarse un circuito serie para reducir la corriente a la mitad del valor de resonancia, siendo el y la frecuencia de resonancia. Si la corriente debe reducirse a la mitad y sabiendo que la corriente es directamente proporcional a la admitancia se entra en la curva por la mitad del eje vertical y se encuentra el valor correspondiente en el eje horizontal

57 De la curva universal, se observa que la respuesta se reduce a 0,5 cuando a = 0,86

58 luego aplicando la expresión de desintonía en : Además el ángulo de fase de la corriente, obtenido de la curva de desfasaje del mismo gráfico es: 60º.

59 Ejemplo : Con el mismo circuito del ejemplo anterior, se desea saber que respuesta se obtendrá a una frecuencia de 10KHz por debajo de resonancia. Para resolverlo, es necesario primero encontrar el valor de a La respuesta se reduce en un factor de 0,37. La fase de la corriente es de 68º en atraso.

60 PUNTOS DE MEDIA POTENCIA Analizando la figura se puede Y G B observar en ella que se distinguen dos puntos singulares a saber: Q o = 0,5, aquí se produce la igualdad de la parte real con la imaginaria.

61 En otras palabras, la susceptancias se hacen iguales a la resistencia del circuito, con lo que el ángulo de fase se hace 45º. Téngase en cuenta que la admitancia relativa, para estos puntos vale 0,7. Se sabe que en serie la corriente circulante en el circuito es directamente proporcional a la admitancia, ya que es una fuente de tensión constante de alterna, por ello la corriente depende de la admitancia. Para Qo = 0,5 en la curva de la admitancia su valor es de 0,707 de su valor en resonancia, con lo cuál la corriente toma 0,707 del valor máximo en resonancia.

62 Así entonces, la potencia para resonancia, es máxima, e igual a R I (la corriente depende solo de R) para los puntos en los cuales B L = B C, la misma variará en proporción a 0,7; por ello entonces la potencia será igual a: que 0,707 es igual a 0,5, la misma valdrá la mitad. ; y dado Por esto, los puntos que definen esta condición se denominan: puntos de media potencia, y significa que la potencia cae a la mitad de la correspondiente a resonancia en los puntos en donde Qo = 1/. Los puntos de media potencia definen al ancho de banda haciendo las consideraciones siguientes

63 Teniendo en cuenta la figura 0,707 a Ahora recordando el valor de :

64 Puede escribirse que : y Reemplazando en a se llega a : Despejando se encuentra : Este concepto está indicando que cuando la potencia transferida por el circuito serie a la carga cae en el 50% de la potencia total (100%), las frecuencias comprendidas en esa banda son las que pasan a la carga.

65 Se llama ancho de banda, anchura de banda, banda de paso, o banda pasante, al número de ciclos a uno y otro lado de la frecuencia de resonancia comprendidos entre las frecuencias de corte superior e inferior. También se denomina así a la diferencia de frecuencias, en las cuales la potencia disipada por el circuito es la mitad de la disipada a la frecuencia de resonancia por dicho circuito. Se suele representar por f - f 1, o bien por f siendo f la frecuencia de corte superior, y f 1 la frecuencia de corte inferior, por lo que cabe una nueva definición de banda de paso, diciendo que es el número de frecuencias comprendido entre ambas frecuencias de corte.

66 Observe la relación del Qo con el ancho de banda, a mayor Qo, el ancho de banda es menor y viceversa. La importancia del mismo se manifiesta en que para diversas aplicaciones, el circuito debe ser más selectivo debiendo tener menor ancho de banda. AUMENTO DE LA TENSION EN RESONANCIA La tensión que se obtienen en los elementos reactivos en resonancia, al ser iguales y contrarias, se anulan; pero pueden alcanzar valores importantes y que dependerán de Q o. Para este análisis, se dibuja nuevamente el circuito serie en resonancia y en él se aplica Kirchoff en forma vectorial:

67 R L C R L C En resonancia: I E e Reemplazando el valor de la corriente queda :

68 Haciendo lo mismo para el condensador se llega a : Reemplazando el valor de la corriente queda : Esto indica que en resonancia, las tensiones que se desarrollan tanto en la bobina como en el capacitor, alcanza Q o veces la tensión del generador. Como conclusión de esto se tiene que los elementos reactivos amplifican la tensión.

69 Se debe recordar que ambas tensiones son vectoriales; y esta situación presupone que tanto el capacitor como la inductancia estarán sometidos a altas tensiones con Q altos, y por ello en los circuitos diseñados para trabajar en estas condiciones, se deben elegir cuidadosamente los componentes reactivos. RESUMEN En ciertas condiciones, la combinación en serie de elementos reactivos, puede provocar la resonancia de los mismos. Ello sucede particularmente, cuando las reactancias inductiva y capacitiva se hacen iguales para una determinada frecuencia

70 De aquí se obtiene la frecuencia de resonancia apartir de la igualdad de las reactancias del circuito: Para esta frecuencia, la impedancia se hace mínima y la corriente circulante, máxima, mientras que el ángulo de fase se hace cero y el circuito se comporta como resistivo puro. En estos circuitos resonantes, aparece el concepto de calidad de los mismos, Qo y el ancho de banda W.

71 El Qo es igual a la relación entre cualquiera de las reactancias en resonancia sobre la resistencia que posee el circuito serie. Si R es muy pequeña, Qo grande, la curva se hace estrecha y alta y el circuito es muy selectivo y si R es grande, Qo pequeño, la curva se achata y es menos selectivo. En cuanto al ancho de banda, el mismo indica qué frecuencias admiten la máxima corriente y cuales no. Así entonces, se define el ancho de banda como las frecuencias para las cuales la potencia que es máxima en resonancia, cae a la mitad, y el ángulo de fase en esos puntos es de 45º.

72 Asimismo, cuando un circuito de este tipo está en resonancia y el Qo es muy grande, aparecen importantes voltajes en los elementos reactivos ya que: L = C = Qo. E PROBLEMAS Sea el circuito de la figura en que R = 100Ω, L = mhy y C = 80 pf. Apliquémosle una tensión alterna de 300 voltios y veamos qué ocurre. La frecuencia de resonancia f 0 vale:

73 La corriente que circula por el circuito para esta frecuencia es : Las reactancias inductiva y capacitiva son : Las caídas de tensión que origina la corriente tanto en la bobina como en el condensador son:

74 El factor de calidad es : El ancho de banda vale : correspondiendo resonancia a cada lado de la frecuencia de

75 Las frecuencias de corte son : EJERCICIOS PROPUESTOS 1 ) Un circuito formado por una L = 0 mh (RL = 50 Ω) y un condensador de capacidad desconocida en serie, deben resonar a Hz. Hallar el valor del condensador, el ancho de banda y sus frecuencias de corte f 1 y f. Solución: C = 10 nf; f = 400Hz; f 1 = Hz; f = Hz

76 ) Una L = 10 mhy cuya RL = 0Ω y un C= 10KpF en serie, a qué frecuencia resuenan?. Cuál es su ancho de banda?, y sus frecuencias de corte?. Solución : f 0 = 15.93,5Hz; f = 318Hz ; f 1 = Hz; f = 16.08Hz MUCHAS GRACIAS