Sobre la estructura algebraica de anillo. Característica de un anillo

Transcripción

1 Sobre la estructura algebraica de anillo. Característica de un anillo 0. Anillos 0. Subanillos 03. Característica 04. Ordenación. 05. Bibliografía 0. Anillos Definición 0. (Conceto de anillo) Se define el anillo coo una estructura algebraica constituida or un conjunto y dos leyes de coosición interna, que denoinareos ley aditiva y ley ultilicativa, culiendo las siguientes condiciones: a) La ley aditiva confiere al conjunto estructura de gruo abeliano. b) La ley ultilicativa confiere al conjunto estructura de seigruo. c) La ley ultilicativa es distributiva, a abos lados, con resecto a la ley aditiva. Notas: - Reresentaos el anillo or (A,,.), donde A es el conjunto, es la ley aditiva, y. es la ley ultilicativa. El eleento neutro del gruo conutativo lo reresentareos or 0. - Si la ley ultilicativa fuera tabién conutativa, direos que el anillo es conutativo. - Si la ley ultilicativa tuviera tabién eleento neutro, direos que se trata de un anillo con eleento unidad. Tal eleento lo reresentareos ediante. - Un anillo nunca es vacío, ues contiene necesariaente al eleento 0, neutro de la ley aditiva, ley que, tal coo se ha indicado, ha de conferir a A estructura de gruo abeliano. - Si un anillo tiene coo único eleento el 0, éste sería tabién su eleento unidad. Se conviene en ecluir este caso cuando haceos referencia a un anillo con eleento unidad. Teorea 0.: ) Si (A,,.) es un anillo se verifica que. 0 0, A. ) Si un anillo no está reducido al eleento 0, entonces cule que 0. ) y. y.( y 0). y.0. y. y.0.0 0, A ) Veaos que si se suone 0 se llegará a una contradicción: y el anillo se reduce al eleento 0, contradiciendo la hiótesis. Definición 0. (Divisor de cero): Sea un anillo (A,,.).

2 Se llaa divisor de cero a la izquierda a un eleento a A {} 0 que cule que b A / a. b 0. Se llaa divisor de cero a la derecha a un eleento a A {} 0 que cule que b A/ b. a 0. Un eleento a a 0, se dice divisor de cero si es divisor de cero a la izquierda y tabién es divisor de cero a la derecha. Definición 0.3 (Doinio de integridad): Se llaa anillo cancelativo a un anillo sin divisores de cero. Se llaa anillo íntegro a un anillo cancelativo y conutativo. Se llaa doinio íntegro o doinio de integridad a un anillo con eleento unidad, conutativo y sin divisores de cero, es decir, a un anillo cancelativo, conutativo y con eleento unidad. Definición 0.4 (Eleento nilotente): Un eleento a A se dice nilotente si eiste algún núero natural n tal n n que a a... a 0 Es obvio que si a 0 es nilotente, entonces a es divisor de cero. Asiiso, en un doinio de integridad, solo el cero es nilotente. Teorea 0.: En todo anillo cancelativo se verifica la ley de cancelación o silificación ara el roducto., y, z A/ c. a c. b c 0 c. a c. b 0 c.( a b) 0 c 0 c.( b a) 0 b a 0 a b 0. Subanillos Definición 0.: Se dice que una arte B de un anillo A es un subanillo de A si tiene estructura de anillo con resecto a las isas leyes internas que confieren estructura de anillo a A. Es decir, (A,,.) anillo ( B,,.) anillo, or lo cual ha de culirse que: ) (B,) es subgruo de (A,). ) B es arte estable de A ara la ley ultilicativa. Recírocaente, si se verifican abas condiciones, ello es suficiente ara que B sea subanillo de A. Notas: En el conjunto de todos los subanillos de un anillo (A,,.) se encuentran el iso A y el conjunto { 0 }. Abos se dicen subanillos iroios. Los restantes subanillos de A se dicen roios. Un subanillo de un anillo con divisores de cero odría no tenerlos, es decir, ser cancelativo. Asiiso ueden darse casos de anillos con eleento unidad con subanillos que no lo tienen, o bien que tienen un eleento unidad distinto. Teorea 0.: La failia Γ de los subanillos de A es una failia de Moore.

3 Una failia de Moore de artes de un conjunto es un conjunto de artes del iso que verifica las condiciones: a) El conjunto es una de las artes de la failia. b) La intersección de dos artes de la failia es tabién una arte de la failia. En el caso de la failia de los subanillos de A, sabeos que es la intersección de la failia de Moore de los subgruos conutativos de A (con resecto a la ley aditiva), y la failia de Moore de las artes estables de A con resecto a la ley ultilicativa, or lo que tabién es, consecuenteente, failia de Moore. Si Γ es failia de Moore, ara toda arte M de A eiste lo que odeos llaar clausura de Moore de M, M, que es el ínio subanillo de Γ que contiene a M. Se dice que M es el subanillo engendrado or M. Definición 0.: Si B es un subanillo de A, se dice tabién que A es sueranillo de B. Un anillo A se dice que es etensión de un anillo B, si A contiene un subanillo B isoorfo a B. Definición 0.3: Sea A un anillo y sea B un subanillo de A. Si S A es una arte cualquiera de A, direos que el subanillo J de A es obtenido or adjunción de B y S si J es la intersección de todos los subanillos de A que contienen a B y a S, es decir, si J es la clausura de Moore de la unión B S. Se uede reresentar ediante J B[ S], o, con la notación de la clausura de Moore, J BUS. O sea: Teorea 0.: [ ] J B S Se verifica que B[ S ][ S ] B[ S ] S ) B S [ S S ] B ( S S ) ( B S S B S S B[ S ] S B[ S ][ S ] B Definición 0.4: En un anillo A con eleento unidad, se dice que un eleento u A es una unidad, o que es un eleento unitario, si es inversible, es decir, si eiste otro eleento del anillo, v tal que u. v. Teorea 0.3: El conjunto U de las unidades de un anillo es gruo con resecto a la ley ultilicativa del anillo. Se trata de corobar que u, u U, u u U : u, u U u, u U. Por tanto: ( u. u ).( u. u ) ( u.. u ).( u. u ) ( u. u ) U 3

4 03. Característica Definición 03.: Se llaa característica de un anillo A al núero natural ositivo ínio, n, tal que n. 0, A Si no eiste ningún núero natural ositivo tal que n. 0, A, se dice que el anillo A es de característica nula, ues siere se verifica, or teorea 0., que 0. 0, A. Teorea 03.: Sea un anillo con característica n > 0 y sea un eleento dado del anillo. Si v es el ínio entero ositivo tal que v. 0 se verifica que v divide a n. Si no fuera así, se tendría que n q. v r, con 0 r v. Coo es n. 0 se tendrá: n. q. v r. 0 0 r. r. 0 contra la hiótesis de que es v el ínio entero tal que v. 0. Luego r0. Teorea 03.: Sea A un anillo. a) Si A es de característica nula, entonces los eleentos no divisores de cero a izquierda y derecha generan gruos cíclicos aditivos infinitos. b) Si A es de característica n no nula, entonces los eleentos no divisores de cero a izquierda y derecha generan gruos cíclicos aditivos de orden n. Sea r A un eleento no divisor de cero a derecha (or ejelo), lo que nos indica que si a.r0 entonces a0. Por otra arte, siere se cule que ( n. ). r.( n., ya que es ( n. ). r (... ). r. r.... r.( r....( n.. a) Si A es de característica nula no eistirá nunca un n Z / n 0, A. Ahora bien, ara un r no divisor de cero a derecha deterinado uede eistir un v r Z tal que v r. r 0?. Si fuera así, se tendría de la relación anterior: ( vr. ). r.( vr..0 0 ( vr. ). r 0 r no div cero a der v r 0. Es decir, sería vr. 0 A no es de característica nula. Por tanto, nunca odrá eistir un v r Z tal que v r. r 0. Lo iso odeos razonar si consideraos un r que no sea divisor de cero a izquierda. Entonces, el gruo aditivo ( engendrado or un eleento r no divisor de cero a derecha y a izquierda es cíclico infinito, ya que nunca v. r 0, v Z b) Si A no es de característica nula ( n 0 ) Si ara un r dado no divisor de cero a derecha eistiera un v r Z tal que v r. r 0, entonces ha de ser v r n, ues si fuera v r < n se tendría que ( vr. ). r.( vr..0 0 ( vr. ). r 0 r no div cero derch v r. 0, con lo que la característica no sería n, sino v r < n, contra la hiótesis. 4

5 Luego n. r 0, y ( es un gruo aditivo cíclico de orden n. Corolario 03..: Si A es anillo íntegro y no reducido al cero, entonces todos los gruos cíclicos aditivos () distintos del (0) tienen el iso orden, infinito si A es de característica nula o igual a la característica si ésta es no nula. Corolario 03..: En un anillo A con eleento unidad se verifica que si v Z es finito, entonces A es de característica n v 0, en caso contrario ( v 0 ), A es de característica nula. Teorea 03.3: La característica de un anillo íntegro es nula o bien es un núero rio. Coo en A eiste algún eleento distinto de cero, la característica n es distinta de : n. Suongaos que la característica n no es un núero rio, sino que uede descoonerse en roducto de al enos dos enteros y veaos que esto ilicaría una contradicción: n n. n n. 0 n. 0 ( n. )( n. ) 0 n. n. 0 n.. 0. A n no es característica de A. Corolario : Para A conutativo con característica no nula se cule que, a) ( ) b) ( ) a) k k ( ) k k b)si sustituios en la fórula anterior or - : ( ) ( ), A : Corolario : (Pequeño Teorea de Ferat) Si es un núero rio, entonces ara cada núero natural se verifica que 0 (od ) Alicando la fórula del corolario anterior ara eleentos del anillo: (... )... y ara el eleento unidad del anillo, haciendo... : ( ) (... )... (od ) 5

6 04. Ordenación Definición 04.: Un anillo A se dice ordenado si eiste una relación de orden coatible con la estructura de anillo. Es decir, si eiste una clase ositiva P A. Definición 04.: Se define la idea de valor absoluto en un anillo ordenado coo una alicación : A P U{} 0, dada or la condición: a, { } 05. Bibliografía: Abellanas C., P.; Eleentos de Mateáticas. Ediciones Roo, Madrid, 975. Atiyah, Michael; Introducción al álgebra conutativa. Editorial Reverté, 973. Birkhoff, G.-McLane, S.; Álgebra oderna. Vicens Vives, 974. Bourbaki, N.; "Eleents of atheatics. Coutative algebra". Addison- Wesley, 97. Dubreil, P.-Jacotin, M.L.; Lecciones de álgebra oderna. Reverté, 975. Godeent, R.; Algebra. Tecnos, 978. Kalansky,I.; "Coutative rings", Allyn & Bacon, 970. Lang, S.; Algebra. Aguilar, 977. Lentin, A.-Rivaud, J.-Motilva, E.; Algebra oderna. Aguilar, 98 Queysanne, M.; Algebra Básica. Vicens Vives,