Parte III. TEORÍA DE LOS MERCADOS DE CAPITALES Y VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA FINANCIERA Parte I. INTRODUCCIÓN Tema 1. Fundamentos de Economía Financiera Parte II. TEORÍA DE LA ELECCIÓN INDIVIDUAL Tema 2. Consumo, inversión y mercados de capitales Tema 3. Teoría de carteras Parte III. TEORÍA DE LOS MERCADOS DE CAPITALES Y VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS Tema 4. El modelo de equilibrio de activos financieros 1

2 2

3 Estructura: 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Obtención de equivalentes de opciones 4. Valoración neutral al riesgo 5. Modelos de valoración de opciones Bibliografía básica: Bodie, Kane y Marcus (2004) caps Brealey, Myers y Allen (2006) caps Alexander, Sharpe y Bailey (2003) cap. 24 Bibliografía complementaria: Fernández y García (1992) cap. 15 Prácticas Problemas

4 Tema 5 El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Obtención de equivalentes de opciones 4. Valoración neutral al riesgo 5. Modelos de valoración de opciones 4

5 1. Definición y conceptos básicos Qué es una opción? Un contrato que otorga a su poseedor el derecho no la obligación- a comprar (op. compra o call) o vender (op. de venta o put) un determinado activo el activo subyacente- a un precio determinado precio de ejercicio-, pudiéndose ejercer el derecho hasta una fecha determinada fecha de expiración o vencimiento-, en cuyo caso es una opción americana, o sólo en dicha fecha, en cuyo caso se denomina opción europea La opción es un activo derivado o contingente (su valor depende del valor de otro activo, el subyacente) Existen otros activos derivados (futuros, warrants, )

6 1. Definición y conceptos básicos Partes del contrato de opción: Emisor o vendedor (está obligado). Posición corta El vendedor de la opción adquiere la obligación de entregar (call) o adquirir (put) el activo subyacente Comprador o poseedor (tiene el derecho). Posición larga El poseedor de la opción adquiere el derecho a comprar (call) o vender (put) el activo subyacente Tipos de opciones Según el vencimiento Europea: se puede ejercer sólo en el momento de vencimiento Americana: se puede ejercer hasta el momento de vencimiento La opción americana es más flexible que la europea, por lo que deberá tener más valor Según el derecho que otorga a su poseedor Call Put

7 1. Definición y conceptos básicos Compra/Venta Opción CALL PUT Prima Comprador Opc. Vendedor Opc. Opción Compra/Venta Activo Subyacente: Acción P. de Ejercicio Comprador Opc. Vendedor Opc. Acción P. de Ejercicio Comprador Opc. Vendedor Opc. Acción

8 1. Definición y conceptos básicos Conceptos asociados El activo subyacente puede ser un activo financiero, una divisa, un índice bursátil, una materia prima, un producto agrícola, etc. sobre el que se tiene el derecho Precio o cotización del subyacente (S): Valor del subyacente. Es incierto Precio de ejercicio (E ó X): Valor al que se puede comprar (call) o vender (put) el activo subyacente. Se conoce con certeza Fecha de vencimiento (T): Momento hasta el cual se puede ejercer (opción americana) o en el cual se puede ejercer (opción europea) la opción. Pasada esta fecha, la opción expira, se pierde el derecho. Se conoce con certeza

9 1. Definición y conceptos básicos Conceptos asociados La prima: Precio que paga el poseedor (y que cobra el emisor) de la opción por tener ese derecho. Se conoce con certeza Tiene dos componentes: valor intríseco + valor del tiempo Valor intrínseco (VI): el valor de la opción si se ejerce en este momento. Diferencia entre precio de mercado y precio de ejercicio. S-E para call y E-S para put, ambos con el límite de cero Valor del tiempo (VT): recoge el valor que se asigna a la posibilidad de que en el futuro el subyacente pueda tomar un valor tal que la opción valga más En función de su valor intrínseco las opciones se clasifican como: In the money (en dinero): valor intrínseco positivo Out of the money (fuera de dinero): valor intrínseco negativo At the money (a la par): valor intrínseco nulo: S=E

10 1. Definición y conceptos básicos Quién compra/emite una call? La compra quien posee expectativas alcistas sobre un título: me aseguro comprar a un precio La emite quien posee expectativas bajistas sobre un título: me aseguro ganar la prima Quién compra/emite una put? La compra quien posee expectativas bajistas sobre un título: me aseguro vender a un precio La emite quien posee expectativas alcistas sobre un título: me aseguro ganar la prima

11 1. Definición y conceptos básicos Qué nos permiten las opciones? Completar el mercado: amplían el conjunto de oportunidades de inversión, al permitir diferir la operación a realizar por falta de información, liquidez o formación de expectativas Cobertura del riesgo: limitar las pérdidas posibles sin renunciar a las posibilidades de ganancias, obtener posiciones libres de riesgo Especulación, con menor inversión y beneficio esperado mayor: el efecto apalancamiento en las opciones

12 1. Definición y conceptos básicos Representación del valor de una opción sobre una acción en el momento de vencimiento (Diagramas de Bachelier). Valor intrínseco en T C T C T C T = max(s T -E,0) P T = max(e-s T,0) Posesión CALL E E S T -E Emisión CALL Valor ilimitado S T P T E-S T S T S T -E Pérdidas ilimitadas -E P T E Posesión PUT E-S T Valor limitado E Emisión PUT E Pérdidas limitadas S T S T Posesión y Emisión Call juego suma cero Posesión y Emisión Put juego suma cero

13 1. Definición y conceptos básicos Representación del resultado de una opción sobre una acción en el momento de vencimiento La prima de la call es C y el de la put es P Punto muerto *: Beneficio =0 Bº -c Bº c Posesión CALL E Pérdidas *E+C Emisión CALL Ganancias E * E+C S T S T Bº E-p -p Bº p p-e Posesión PUT * E-P E Pérdidas Emisión PUT E-P * Ganancias E S T S T Posesión y Emisión Call juego suma cero Posesión y Emisión Put juego suma cero

14 14

15 Tema 5 El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Obtención de equivalentes de opciones 4. Valoración neutral al riesgo 5. Modelos de valoración de opciones 15

16 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Partimos de cuatro activos financieros básicos: Una Put (P) y una Call (C) europeas que no reparten dividendos, con el mismo vencimiento (T), subyacente (S) y precio de ejercicio (E) El subyacente (S); el mismo sobre el que se definen las opciones La inversión (préstamo o endeudamiento) libre de riesgo por importe del precio de ejercicio (E) Comparación del valor al vencimiento de 2 carteras diferentes formadas a partir de los cuatro activos: Cartera 1: Poseer una call (C) y emitir una put (-P) Cartera 2: Poseer el subyacente (S) y endeudarse por el importe del precio de ejercicio de las opciones (-E)

17 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Cartera 1 (C-P): Poseer una Call y Emitir una Put C T Posesión CALL E S T + Si S T <E No ejercemos la Call, su valor es cero El comprador de la Put la ejerce, por lo que como somos emisores de la Put perdemos S T -E (-) RESULTADO= 0 + S T -E = S T -E (-) Si S T >E Ejercemos la Call, su valor es S T -E (+) P T -E Emisión PUT El comprador de la Put no la ejerce, por lo que como somos emisores de la Put su valor es cero RESULTADO= S T -E + 0 = S T -E (+) E La cartera 1 en T siempre vale S T -E, pero si S T <E tiene valor negativo y si S T >E tiene valor positivo S T Valor Cartera 1 en T = -E Posesión CALL y Emisión PUT E S T

18 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Cartera 2 (S-E): Poseer el Subyacente y Endeudarse S T Posesión Subyacente E S T Endeudamiento + = -E E La cartera 2 en T siempre vale S T -E, pero si S T <E tiene valor negativo y si S T >E tiene valor positivo S T Posesión Subyacente y Endeudamiento Valor Cartera 2 en T -E E S T

19 C T S T 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Cartera 1 (C-P): Poseer una Call y Emitir una Put Posesión CALL + P T Emisión PUT E E S T E S T E S -E T -E Las Carteras 1 y 2 proporcionan el mismo resultado en T deben valer lo mismo en T (ley de precio único, equilibrio en el mercado, arbitraje) Valor Cartera 1 en T= Valor Cartera 2 en T C T P T = S T E (Teorema de la Paridad) S T Valor Cartera 1 en T E S T -E -E Cartera 2 (S-E): Poseer el Subyacente y Endeudarse Posesión Subyacente Endeudamiento = + = Posesión CALL y Emisión PUT E S T Posesión Subyacente y Endeudamiento Valor Cartera 2 en T

20 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad PARIDAD PUT-CALL En el vencimiento se verifica: C T P T = S T E En cualquier momento anterior al vencimiento se verificará: C 0 P 0 = S 0 E e -rt r=ln (1+r f ) A partir de esta relación se pueden obtener activos sintéticos: C 0 = P 0 + S 0 E e -rt C 0 = P 0 S 0 + E e -rt P 0 = C 0 S 0 + E e -rt P 0 = C 0 + S 0 E e -rt S 0 = C 0 P 0 + E e -rt S 0 = C 0 + P 0 E e -rt E e -rt = S 0 + P 0 C 0 E e -rt = S 0 -P 0 + C 0

21 21

22 Tema 5 El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Obtención de equivalentes de opciones 4. Valoración neutral al riesgo 5. Modelos de valoración de opciones 22

23 3. Obtención de equivalentes de opciones Ejemplo: Valorar una Call europea sobre una acción Precio de ejercicio (E)= 55 u.m. (no tiene por qué coincidir con la cotiz.) Fecha de ejercicio (T)= 6 meses Cotización de la acción hoy (S 0 ): 55 u.m. Tipo de interés libre de riesgo a 6 meses (R f ): 2% Subyacente. Solo puede registrar dos valores dentro de 6 meses (T): Bajar un 25%: 55 u.m. hoy 55x(1-0,25)=41,25 u.m. dentro de 6 meses (T) Subir un 33%: 55 u.m. hoy 55x(1+0,33)= 73,33 u.m. dentro de 6 meses (T) (es indiferente la probabilidad de subida y de bajada del subyacente) Valor de la Call dentro de 6 meses (depende del valor de S T ) Si S T =41,25 u.m. Valor C T = Max (S T -E, 0)= Max (41,25-55; 0)= 0 u.m. Si S T =73,33 u.m. Valor C T = Max (S T -E, 0)= Max (73,33-55; 0)= 18,33 u.m.

24 3. Obtención de equivalentes de opciones Valor de la Call dentro de 6 meses (depende del valor de S T ) Si S T =41,25 u.m. Valor C T = Max (S T -E, 0)= Max (41,25-55; 0)= 0 u.m. Si S T =73,33 u.m. Valor C T = Max (S T -E, 0)= Max (73,33-55; 0)= 18,33 u.m. Sea una cartera compuesta por: 0,5714 acciones endeudamiento libre de riesgo a 6 meses (momento de devolución) por importe de 23,11 u.m. Valor de la cartera dentro de 6 meses (depende del valor de S T ) Si S T =41,25 u.m. Valor cart.= 0,5714 x 41,25 23,11 x (1+0,02) = 0 u.m. Si S T =73,33 u.m. Valor cart.= 0,5714 x 73,33 23,11 x (1+0,02) = 18,33 u.m. DENTRO DE 6 MESES: Valor cartera = Valor opción (en cada estado de la naturaleza y con igual probabilidad) HOY: Valor cartera = Valor de la opción = 0,5714 x valor 1 acción hoy importe endeudamiento = 0,5714 x 55 23,11= 8,32 u.m. Valor de la CALL hoy (C 0 )

25 3. Obtención de equivalentes de opciones HEMOS CONSEGUIDO VALORAR (y replicar) UNA CALL HOY Valoración indirecta, a través de una cartera réplica o equivalente Debemos determinar: * Número de acciones (poseídas o emitidas) * Importe de la inversión libre de riesgo (endeudamiento o préstamo)

26 3. Obtención de equivalentes de opciones Cálculo del número de acciones (ratio de cobertura o delta de la opción): dispersión precios posibles de la opción dispersión precios posibles de la acción Cálculo de la inversión libre de riesgo: Valor Actual, al tipo de interés libre de riesgo, de (Resultado opción al alza Resultado acción al alza)= = (18,33-0,5714 x 73,33)/1,02 = - 23,11 u.m. ó Valor Actual, al tipo de interés libre de riesgo, de (Resultado opción a la baja Resultado acción a la baja) = (0 0,5714 x 41,25)/1,02 = - 23,11 u.m. = (18,33-0)/(73,33-41,25) = 0,5714 accs.

27 Tema 5 El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Obtención de equivalentes de opciones 4. Valoración neutral al riesgo 5. Modelos de valoración de opciones 27

28 3. Obtención de equivalentes de opciones Ejemplo: Valorar una Call europea sobre una acción Precio de ejercicio (E)= 55 u.m. (no tiene por qué coincidir con la cotiz.) Fecha de ejercicio (T)= 6 meses Cotización de la acción hoy (S 0 ): 55 u.m. Tipo de interés libre de riesgo a 6 meses (R f ): 2% Subyacente. Solo puede registrar dos valores dentro de 6 meses (T): Bajar un 25%: 55 u.m. hoy 41,25 u.m. dentro de 6 meses (T) Subir un 33%: 55 u.m. hoy 73,33 u.m. dentro de 6 meses (T) Valor de la Call dentro de 6 meses (depende del valor de S T ) Si S T =41,25 u.m. Valor C T = Max (S T -E, 0)= Max (41,25-55; 0)= 0 u.m. Si S T =73,33 u.m. Valor C T = Max (S T -E, 0)= Max (73,33-55; 0)= 18,33 u.m. Valor de la Call hoy= 8,32 u.m.

29 4. Valoración neutral al riesgo Valor de la Call hoy= 8,32 u.m. NO depende de la aversión al riesgo de los inversores Supongamos un mundo neutral al riesgo: inversores indiferentes frente al riesgo La rentabilidad esperada de la acción será el tipo de interés libre de riesgo (2% para 6 meses) Cuál es la probabilidad (neutral al riesgo) que ofrece esa rentabilidad? Rentabilidad esperada acción = Probabilidad x Modificación al alza del precio de la acción +(1-Probabilidad) x Modificación a la baja del precio de la acción 2% = Probabilidad x 33% + (1-Probabilidad) x (-25%) Probabilidad = 46,3% tipo de interés cambio a la baja Probabilidad neutral = =(2-(-25))/(33-(-25))= 46,3% al riesgo cambio al alza cambio a la baja

30 4. Valoración neutral al riesgo Cuál es el valor esperado futuro de la Call en el mundo neutral al riesgo? Valor esperado futuro Call = = Probabilidad neutral al riesgo x Resultado de la Call (al alza) +(1- Probabilidad neutral al riesgo) x Resultado de la Call a la baja = [(46,3% x 18,33) + (1-46,3%) x 0] = 8,49 u.m. (de t= 6 meses) Valor actual Call (C 0 )= = Valor futuro / (1+ tipo de interés libre de riesgo) = = 8,49 / 1,02= 8,32 u.m. ENCONTRAMOS OTRA FORMA DE VALORAR UNA OPCIÓN (No se ha necesitado las probabilidades originales de ocurrencia de los dos estados de la naturaleza, al alza y a la baja, para la acción y la opción. Este dato no influye en el valor de C 0 )

31 31

32 Tema 5 El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Obtención de equivalentes de opciones 4. Valoración neutral al riesgo 5. Modelos de valoración de opciones 32

33 5. Modelos de valoración de opciones Modelo en tiempo continuo: Black y Scholes (1973) Modelo en tiempo discreto: Cox, Ross y Rubinstein (1979) Los dos modelos se fundamentan en unos supuestos o hipótesis: 1.- El tipo de interés libre de riesgo a corto plazo es conocido, positivo y constante 2.- La acción no proporciona dividendos durante el tiempo de vida de la opción 3.- La opción es europea 4.- El mercado de capitales es perfecto 5.- Se puede pedir prestado, sin restricciones, al tipo libre de riesgo 6.- No hay limitación ni penalización a la venta de acciones al descubierto (venta a crédito) o a la emisión de opciones 7.- El precio de las acciones sigue un proceso estocástico complejo (Proceso de Itô) en el modelo MBS (1973) o un proceso estocástico binomial multiplicativo en el modelo CRR (1979)

34 5. Modelos de valoración de opciones Modelo de Black y Scholes (1973) El trabajo de Black y Scholes (1973) constituye el punto de partida de la teoría de valoración de opciones al hacer explícito el cálculo del valor de una opción de compra europea, en el caso particular de una acción de una empresa que no distribuye dividendos en el período de vida de la opción El valor de la opción de compra viene determinado por la siguiente fórmula: C 0 = S 0 N(d 1 ) - E e -r t N(d 2 ) 2 S ln r t E 2 d d2 d1 t 1 t Siendo: S 0 = precio actual de la acción E = precio de ejercicio de la opción r = tipo de interés libre de riesgo en capitalización compuesta y continua r = ln (1+R F ) t = tiempo hasta el vencimiento de la opción 2 = varianza del rendimiento de la acción N(d) = función de distribución normal tipificada -N(0,1)-. Representa la probabilidad de que la variable aleatoria z tome un valor que d

35 5. Modelos de valoración de opciones C 0 = S 0 N(d 1 ) - E e -r t N(d 2 ) P 0 = E e -r t N(-d 2 ) S 0 N(-d 1 ) Interpretación de la expresión: En el momento del vencimiento de la opción (T), el poseedor de la misma recibirá la acción menos el precio de ejercicio; ello ocurrirá si el precio de la acción S 0 - supera la precio de ejercicio -E- El primer término de la fórmula representa el valor actual de la acción si y sólo si S 0 >E El segundo término es el valor actual del precio de ejercicio si y sólo si S 0 >E Son distintos d 1 y d 2 porque los determinantes del precio final de la acción y la opción son distintos En el caso de que S >>>E, entonces N(d 1 ) N(d 2 ) 1 y por tanto C 0 S 0 -E e -r t Para aplicar la expresión de B-S es necesario conocer cinco parámetros: S 0, E, r, t y

36 Ejemplo-Black y Scholes 5. Modelos de valoración de opciones El CBOE comercia opciones call de CISCO. Las opciones tienen un precio de ejercicio de 20 $ con vencimiento a 2 meses. Si la cotización actual de CISCO es $, cuál será el valor de la call? Qué sucedería si el precio de CISCO hubiese sido 19 $ o 20 $? S 0 = E = 20. r= 1%. T = 2/12. σ= 36 1% 2 S0 ln r T E 2 d 1 0'694 N(d 1 ) 0'24375 T d 1 2 d T 0'842 N(d 2 ) 0'19999 Precio call: C 0 = S 0 N(d 1 ) - E e -r t N(d 2 ) = $ S 0 CALL PUT

37 5. Modelos de valoración de opciones Modelo Binomial de Cox, Ross y Rubinstein (1979): El modelo de Cox, Ross y Rubinstein se fundamenta en los mismos supuestos que el modelo de B-S, excepto que el precio de las acciones sigue un proceso estocástico binomial multiplicativo, de parámetros u (al alza) y d (a la baja), con probabilidades respectivas q y 1-q, cumpliéndose que u y d son independientes y que u>1, 0<d<1 y d<1+r f <u Modelo de valoración Call T=1 S 0 C 0? q 1-q q 1-q S 1u = us 0 S 1d = ds 0 Árbol binomial del precio del subyacente C 1u = Max (S 1u -E, 0)= Max (us 0 -E, 0) Árbol binomial del precio de la opción C 1d = Max (S 1d -E, 0)= Max (ds 0 -E, 0)

38 5. Modelos de valoración de opciones Modelo Binomial de Cox, Ross y Rubinstein (1979): En nuestro ejemplo: (u=1,33 y d= 0,75) Árbol binomial del precio del subyacente 55x(1+0,33)=73,33 u.m. q 55 u.m. 1-q 55x(1-0,25)=41,25 u.m. Árbol binomial del precio de la opción C 1u = Max (S 1u -E, 0)= Max (73,33-55, 0)=18,33 u.m. q C 0? 1-q C 1d = Max (S 1d -E, 0)= Max (41,25-55, 0)=0 u.m.

39 5. Modelos de valoración de opciones Cartera réplica G: Compuesta por acciones S y una inversión en bonos libres de riesgo por importe de B unidades monetarias (son dos activos financieros cuyos precios se conocen con certeza en t=0). Las probabilidades al alza (q) y a la baja (1-q) son las del subyacente Árbol binomial de la cartera G G 0 = S 0 +B q 1-q En nuestro ejemplo: G 0 = x55+b q 1-q G 1u = S 1u +B(1+R F )= us 0 +B(1+R F ) G 1d = S 1d +B(1+R F )= ds 0 +B(1+R F ) G 1u = x73,33+bx(1+0,02) G 1d = x41,25+bx(1+0,02)

40 5. Modelos de valoración de opciones Si se impone la condición que la cartera G replique los resultados (el valor) de la opción (C) al vencimiento en cada estado de la naturaleza: G 1u = C 1u G 1d = C 1d siendo r = (1+r F ) En nuestro ejemplo: G 1u = C 1u G 1d = C 1d G 0 = S 0 +B G 0 = x55+b q 1-q G 1u = us 0 +Br = Max (us 0 -E, 0) [C 1u ] G 1d = ds 0 +Br = Max (ds 0 -E, 0) [C 1d ] Sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas: y B q G 1u = x73,33+bx(1+0,02)=18,33 u.m. 1-q G 1d = x41,25+bx(1+0,02)=0 u.m. Sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas: y B

41 5. Modelos de valoración de opciones Si no hay posibilidades de arbitraje en el mercado, entonces: G 0 =C 0, dado que ambos activos (cartera réplica y opción de compra) presentan el mismo resultado futuro ante los mismos estados de la naturaleza y con igual probabilidad de ocurrencia Resolviendo en y B el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, resulta: = C 1u -C 1d (u-d)s 0 En nuestro ejemplo: B = uc 1d -dc 1u (u-d)r = (18,33-0)/(73,33-41,25) = 0,5714 accs. C 0 = G 0 = S 0 +B B = (1,33x0)-(0,75x18,33)/((1,33-0,75)x1,02) = - 23,11 u.m. C 0 = G 0 = S 0 +B= 0,5714x55-23,11= 8,32 u.m.

42 5. Modelos de valoración de opciones C 0 = S 0 +B C 1u -C 1d uc 1d -dc 1u Sustituyendo y B por sus valores = B = (u-d)s 0 (u-d)r y operando se obtiene: r - d u - r 1 C 0 = (u - d) C 1u + C (u - d) 1d r 1 C 0 = p C 1u + (1 p) C 1d r r - d u - r siendo p = y 1 - p = probabilidades neutrales al riesgo (u - d) (u - d) En nuestro ejemplo: 1+0,02-0,75 p = = 0,465 C 0 =(0,465x18,33+(1-0,465)x0)/(1+0,02)= 8,3 u.m. (1,33-0,75)

43 5. Modelos de valoración de opciones Modelo de valoración Call europea T=2 q S 2uu = us 1u =u 2 S 0 S 0 C 0? q 1-q q 1-q S 1u = us 0 S 1d = ds 0 C 1u? C 1d? 1-q q 1-q q 1-q q S 2ud = ds 1u =uds 0 = S 2du = us 1d =dus 0 S 2dd = ds 1d =d 2 S 0 C 2uu = Max (u 2 S 0 -E, 0) C 2ud = Max (uds 0 -E, 0) C 2du = Max (dus 0 -E, 0) = 1-q C 2dd = Max (d 2 S 0 -E, 0)

44 5. Modelos de valoración de opciones Dos problemas de valoración uniperiodo: C 1u y C 1d, para después valorar C 0 Valorar de t=2 a t=1 Valorar C 1u (problema de valoración uniperiodo) S 1u = us 0 C 1u? Resolver por réplica y arbitraje q 1-q q 1-q S 2uu = us 1u =u 2 S 0 S 2ud = ds 1u =uds 0 C 2uu = Max (u 2 S 0 -E, 0) C 2ud = Max (uds 0 -E, 0)

45 5. Modelos de valoración de opciones Valorar de t=2 a t=1 Valorar C 1d (problema de valoración uniperiodo) q S 2du= us 1d=duS 0 S 1d = ds 0 1-q S 2dd = ds 1d =d 2 S 0 q C 2du = Max (dus 0 -E, 0) C 1d? 1-q C 2dd = Max (d 2 S 0 -E, 0) Resolver por réplica y arbitraje

46 Valorar de t=1 a t=0 5. Modelos de valoración de opciones Valorar C 0 (problema de valoración uniperiodo) S 0 C 0? q 1-q q 1-q S 1u = us 0 S 1d = ds 0 C 1u C 1d Resolver por réplica y arbitraje Sus valores se han determinado por dos procesos de arbitraje

47 5. Modelos de valoración de opciones Valorar mediante probabilidad neutral al riesgo (valorar de t=2 a t=0) 1 C 0 = p 2 C 2uu + 2p (1-p) C (1 p) 2 2ud + C 2dd siendo p = r - d (u - d) y 1 - p = u - r (u - d) (p = probabilidad neutral al riesgo) Valor futuro esperado de la call actualizado al tipo de interés libre de riesgo r 2

48 5. Modelos de valoración de opciones Modelo de valoración Call americana T=2 Determinación del momento óptimo de ejercicio Ejercer en t=1 o aplazar la decisión? No ejercer en t=1 no implica ejercer en t=2 Analizar los resultados de ejercer la opción en t=1 (se obtendría el valor intrínseco en t=1) frente a esperar y posponer esta decisión hasta t=2 (vencimiento): Si el valor de ejercicio en t=1 es superior al valor de esperar hasta t=2 ejercer en t=1 Si el valor de ejercicio en t=1 es inferior al valor de esperar hasta t=2 no ejercer en t=1

49 5. Modelos de valoración de opciones Modelo de valoración Call T=1 con reparto de dividendos S 0 C 0? q 1-q q 1-q S 1u = us 0 S 1d =ds 0 Árbol binomial del precio del subyacente ex dividendo (S 1u, S 1d ) u y d no coinciden con Call T=1 sin dividendos C 1u = Max (S 1u -E, 0)= Max (us 0 -E, 0) C 1d = Max (S 1d -E, 0)= Max (ds 0 -E, 0)

50 5. Modelos de valoración de opciones Cartera réplica G: acciones S y una inversión en bonos libres de riesgo por importe de B unidades monetarias G 0 = S 0 +B q 1-q G 1u = us 0 + Dividendo + B(1+R F ) G 1d = ds 0 + Dividendo + B(1+R F ) (La posesión de acciones da derecho a la percepción de los dividendos)

51 5. Modelos de valoración de opciones Si se impone la condición que la cartera Grepliquelos resultados de la opción (C), entonces: G 1u = C 1u G 1d = C 1d siendo r = (1+r F ) G 0 = S 0 +B q 1-q G 1u = us 0 + Div +Br= Max (us 0 -E, 0) G 1d = ds 0 + Div +Br= Max (ds 0 -E, 0) Si no hay posibilidades de arbitraje en el mercado, entonces: G 0 =C 0 Resolviendo en y B el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, resulta: = C 1u -C 1d (u-d)s 0 B = (u+div/s 0 )C 1d -(d +Div/S 0 )C 1u (u-d)r

52 5. Modelos de valoración de opciones C 0 = G 0 = S 0 +B (r Div/S 0 ) d u (r Div/S 0 ) 1 C 0 = C (u d) 1u + (u d) C 1d r 1 C 0 = p C 1u + (1 p) C 1d r siendo p = (r Div/S 0 ) d (u d) y 1 p = u (r Div/S 0 ) (u d) (p = probabilidad neutral al riesgo, que coincide con la calculada cuando no se reparten dividendos)

53 5. Modelos de valoración de opciones Si representa la rentabilidad por dividendo en el periodo: (Div/S 0 ) (r ) d C 0 = (u d) C 1u + 1 C 0 = p C 1u + (1 p) C 1d r siendo p = (r ) d (u d) y 1 p = (p = probabilidad neutral al riesgo) u (r ) (u d) u (r ) (u d) 1 C 1d r El valor de la Call/Put se modifica (baja/sube) cuando hay reparto de dividendos, porque cambian los resultados de la Call/Put en t=1, al cambiar (bajar) el valor del subyacente en t=1

54 5. Modelos de valoración de opciones Conclusiones del modelo binomial: 1. Las probabilidades del precio futuro de la acción, q y 1-q, no influyen en el precio de la opción 2. El valor de la opción no depende de la actitud del inversor ante el riesgo: valor neutral al riesgo 3. 0<p<1, por lo que se puede interpretar como una probabilidad. Si los inversores son neutrales ante el riesgo, p es la probabilidad de que el precio de la acción suba hasta us 0 al final del periodo y 1-p la probabilidad de que baje hasta ds 0 4. El precio de la opción depende de S, E, r, T, u, d 5. La única variable aleatoria de la que depende el precio de la opción es el precio de la acción (S)