x y x 0 y 0 I(x, y): Ingresos expresados en I(x, y) = 17.5x + 18y y 500 x x y x y x y

Transcripción

1 bel Martín "Programación Lineal" 026 Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco grabado por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es 17.5 y 18, respectivamente, siendo editadas 1500 copias del disco más caro. Para cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como del más barato. (a) uántas copias de cada disco puede vender?. Plantea el problema y representa gráficamente su conjunto de soluciones. (b) uántas copias deberá vender de cada uno para maximizar sus ingresos uál será su importe?. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 PU OVIEDO junio 1997 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de copias vendidas a 17.5 ". y "número de copias vendidas a 18 ". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE y 1500 x + y 500 x y x 0 y 0 I(x, y): Ingresos expresados en I(x, y) = 17.5x + 18y y 500 x x y x y x y D y 1500 x y x + y 500 El número de copias que puede vender de cada disco viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de copias vendidas a e "y" es el número de copias vendidas a 18, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Ejemplo: (200, 600) Región factible 200 copias de 17.5 y 600 copias de 18. Otros puntos: (211, 1020), (200, 650), (410, 990), (600, 1020), (611, 995), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS: : Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (500, 0) (1500, 1500) D (0, 1500) (x, y) Resolvemos el sistema 14 Matemáticas y TI

2 urso ON LINE Tema 6 x + y = 500 x = y NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS 2x = 500 x = 250 y = 250 (250, 250) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices Ingresos = 17.5 x + 18 y Valor (500, 0) (250, 250) (1500, 1500) D (0, 1500) NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS El máximo beneficio se obtendrá cuando se vendan copias del disco de 17.5 y copias de 18, momento en el que los ingresos ascenderán a Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 7.6 y el de cada novedad 3.7. Se desea un coste total que no supere los 945. Por otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 unidades. (a) De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido?. Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, de cuántas unidades de cada tipo ha de constar el pedido? cuál es entonces el coste del pedido? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 PU OVIEDO Sept 1998 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS: : x "Número de películas de estreno". y "Número de películas de novedades". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 7.6x + 3.7y 945 x y/2 y + x/2 100 x 0 y 0 7.6x + 3.7y 945 2x y 0 2y + x 200 x 0 y 0 7.6x + 3.7y 945 2x y 0 2y + x 200 x y x y x y x y 0 x + 2y x + 3.7y 945 El número de unidades de cada tipo de película que pueden constituir el pedido viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número

3 bel Martín "Programación Lineal" de unidades de películas de estreno e "y" es el número de unidades de películas de novedades, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales: Ejemplo: (50, 80) Región factible 50 películas de estreno y 80 películas de novedades. Otros puntos: (65, 82), (57, 97), (71, 94), (82, 67), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO N(x, y): Número total de unidades pedidas N(x, y) = x + y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS (x, y) (2) 2x y = 0 (1) x + 2y = 200 (x, y) Resolvemos el sistema: 4x 2y = 0 5x = 200 x = 40 y = 80 x + 2y = 200 (40, 80) Resolvemos el sistema: (10) 7.6x y = 945 ( 76) x + 2y = 200 (x, y) Resolvemos el sistema: 76x + 37y = y = x 152y = y = 50 x = 100 (100, 50) (10) 7.6x y = x + 37y = x = 9450 (37) 2x y = 0 74x 37y = 0 x = 63 y = 126 (63, 126) NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS plicamos el TEOREM mencionado: Vértices N(x, y) = x + y Valor (40, 80) (100, 50) (63, 126) oste (x) = 7.60x y oste (x) = = 600 Para que el número de unidades sea mínimo el pedido ha de constar de 40 películas de estreno y 80 películas de novedades; En dicho momento el coste del pedido ascenderá a Matemáticas y TI

4 urso ON LINE Tema Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando 2 posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 1 millón de PTS por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de PTS por cuña. No obstante, no pueden gastar más de 100 millones de PTS para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en el número de copias que se venderán por anuncio de televisión, y en copias por cuña radiofónica emitida. a) De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de copias posible? se llegan a gastar los 100 millones de PTS?. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 PU OVIEDO JUNIO 1999 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de anuncios en televisión". y "número de cuñas radiofónicas". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS x y y 50 y 100 ; x 0 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 10x + y 1000 x y x + y 1000 y 50 y 100 ; x 0 D y 100 y x + y 1000 El número de anuncios y el número de cuñas viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el de anuncios en televisión e "y" es el número de cuñas radiofónicas, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Ejemplo: (52, 65) Región factible 52 anuncios de televisión y 65 cuñas radiofónicas. Otros puntos: (37, 63), (15, 52), (5, 90), (55, 88), (88, 81), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO (x, y): Número total de copias que se venderán (x, y) = x y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que

5 bel Martín "Programación Lineal" ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS Los vértices y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (0, 50) D (0, 100) (x, 50) Resolvemos el sistema 10x + y = 1000 y = 50 10x + 50 = x = 950 x = 95 (x, 100) Resolvemos el sistema 10x + y = 1000 y = 100 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS (95, 50) 10x = x = 900 x = 90 (90, 100) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = x y Valor (0, 50) (95, 50) (90, 100) D (0, 100) Gasto = = PTS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS Para vender el mayor número de copias posible se han de emitir en la campaña 90 anuncios en televisión y 100 cuñas radiofónicas, momento en el que se esperan vender copias, gastándose en ese instante los 100 millones de PTS. 032 Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, "clásico" () y "funcional" (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. (a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar?. (c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación º= 3 + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? cuál es el beneficio máximo?. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 PU OVIEDO JUNIO 2000 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "Número de muebles de estilo clásico". y "Número de muebles de estilo funcional". uadro resumen onstrucción (Unidades de tiempo) Pintura (Unidades de tiempo) Mueble clásico 1u 3u Mueble funcional 2u 1u OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 1x + 2y 10 Tiempo construcción 3x + 1y 15 Tiempo de pintura x 0 y 0 x + 2y = 10 3x + y = 15 x + 2y 10 3x + y 15 x 0 y 0 18 Matemáticas y TI

6 urso ON LINE Tema 6 x y x y x + 2y 10 3x + y D Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) El número de muebles de cada tipo que puede fabricar viene determinado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de muebles de estilo clásico e "y" es el número de muebles de estilo funcional, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. sí pues, las combinaciones de muebles que se pueden fabricar son las siguientes: x + 2y 10 3x + y D Mueble Mueble Mueble Mueble Mueble Mueble funcional clásico clásico funcional clásico funcional Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (c) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO (x, y): eneficio expresado en unidades de beneficio (x, y) = 3 x + 2 y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (0, 0) (0, 5) D(5, 0) (x, y) Resolvemos el sistema:

7 bel Martín "Programación Lineal" ( 3) x + 2y = 10 3x 6y = 30 5y = 15 y = 3 (1) 3x + y = 15 3x + y = 15 3x + 3 = 15 3x = 12 x = 4 (4, 3) NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = 3 x + 2 y Valor (0, 0) (0, 5) (4, 3) D (5, 0) Para obtener el máximo beneficio empresarial han de fabricarse 4 muebles de estilo clásico y 3 muebles de estilo funcional, momento en el que éste ascenderá a 18 unidades de beneficio. NÁLISIS GRÁFIO DE ÓPTIMOS ON L YUD DE UN LULDOR GRÁFI Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos: 3 x + 2 y = 0 3 En forma explícita y = x m = 3/2 2 De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos beneficios máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma y y 1 = m ( x x 1 ) Ésta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x 1, y 1 ). En forma explícita, para representarla en la calculadora, vendrá determinada por: y = m ( x x 1 ) + y 1 (4, 3) 040 Una compañía minera tiene dos explotaciones: Una explotación obtiene diariamente 200 Kg de inc, 100 Kg de obre y 400 Kg de Plomo. La explotación obtiene diariamente 100 Kg de inc, 200 Kg de obre y 400 Kg de Plomo. La compañía necesita en los próximos años, al menos 40 Toneladas de inc, 50 Toneladas de obre y 140 Toneladas de Plomo. Sabiendo que el coste diario por Kg es de 60 en la mina y 45 en la mina uántos Kg se deben de extraer de cada mina para que el coste sea mínimo? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS: : x "Número de días de trabajo en la mina. y "Número de días de trabajo en la mina. OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS 200 x +100 y Kg inc y 400 2x 20 Matemáticas y TI

8 urso ON LINE Tema 6 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 100 x y Kg obre 400 x y Kg Plomo x 0 y 0 y x y 350 x x 0 y 0 2x + y = 400 x + 2y = 500 x + y = 350 x y x y x y x + 2y = 500 D 2x + y = 400 x + y = 350 FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS.. ( (xx,, yy) ) == 6600 xx yy Teorema: omo la región factible no es acotada, la función objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región. Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS: : Los vértices y se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (0, 400) D(500, 0) (x, y) Resolvemos el sistema ( 1) x + y = 350 2x + y = 400 (x, y) ( 1) x + 2y = 500 (1) x + y = 350 x y = 350 x = 50 y = 350 x 2x + y = 400 y = y = 300 (50, 300) Resolvemos el sistema NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS x 2y = 500 y = y = 150 x + y = 350 x = y x = x = 200 (200, 150) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = 60 x + 45 y Valor (0, 400) = (200, 150) = (50, 300) = D (500, 0) = Tanteamos a ojo y vemos que no hay otros valores de la región factible que la hagan menor que el del punto a (50, 300). NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS

9 bel Martín "Programación Lineal" En la mina se debe de trabajar 50 días y en la mina 300 días para que el coste sea mínimo, momento en el que dicho coste asciende a NÁLISIS GRÁFIO DE ÓPTIMOS ON L YUD DE UN LULDOR GRÁFI Veamos la recta que representa los costes son nulos:: (x, y) = 60 x + 45 y 60 x + 45 y = En forma explícita y = x y = ( 4/3)x 4500 De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de costes nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a un mínimo será aquella que corte al eje OY por el punto más cercano al origen. Veamos cuál es ésta, trazando mentalmente paralelas a la recta y = (- 4/3)x y que pasen por los vértices: onfirmado!: en la mina se debe de trabajar 50 días y en la mina 300 días para que el coste sea mínimo, momento en el que dicho coste asciende a Una persona decide invertir parte o todo su dinero, , en un banco, atendiendo a la siguiente oferta: Una cantidad, que será inferior a , tendrá un rendimiento del 7% y otra cantidad un rendimiento de 9%, debiendo de invertir, como máximo, más en la de rendimiento de 7%. (a) uánto debe invertir en cada modalidad para que el beneficio obtenido sea el máximo?. (b) cuánto asciende dicho beneficio?. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS: : x " ( expresados en 10 millares) que debe de invertir al 7%. y " ( expresados en 10 millares) que debe de invertir al 9%. OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x 3 x + y 5 x y + 1 (x 1 y) x 0 y 0 x + y = 5 x - y = 1 x y x y Matemáticas y TI

10 urso ON LINE Tema 6 D x = y x + y = 5 FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS.. RR( (xx,, yy) ) == xx yy Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS: : Los vértices y se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (0, 0) (1, 0) D(0, 5) (x, y) Resolvemos el sistema x + y = 5 x = y + 1 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS y y = 5 2y = 4 y = 2 x = y + 1 = x = 3 (3, 2) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices R(x, y) = 0.07x y Valor (0, 0) = 0 (1, 0) = 0.07 (3, 2) = 0.39 D (0, 5) = 0.45 NOT: Recuerda que las unidades venían expresadas en 10 millares: = NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS El máximo rendimiento se obtendrá cuando se coloquen 0 al 7% y al 9% momento en el que se obtiene un rendimiento de NÁLISIS GRÁFIO DE ÓPTIMOS ON L YUD DE UN LULDOR GRÁFI Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyo rendimiento es nulo: R(x, y) = 0.07x y = 0 En forma explícita y = x y = ( 7/9)x EN L PRÁTI representamos esta recta y buscamos MENTLMENTE, de todas las infinitas rectas paralelas a ésta (m = 7/9), la que corresponde a unos rendimientos máximos, es decir, la que corta al eje OY por el punto más lejano al origen

11 bel Martín "Programación Lineal" onfirmado!: El máximo rendimiento se obtendrá cuando se coloquen 0 al 7% y al 9% momento en el que se obtiene un rendimiento de Un inversor dispone de que quiere invertir en dos tipos de bonos. La rentabilidad de los bonos es del 17% y la de los bonos tienen una rentabilidad del 9%. Si por cada invertido en bonos es preciso invertir al menos dos en bonos. a) uánto dinero se debe colocar en cada tipo de bonos para que el rendimiento sea máximo?. b) cuanto ascenderá dicha rentabilidad?. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS: : x "Miles de invertidos en bonos del tipo ". y "Miles de invertido en bonos del tipo ". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS x + y 20 2x y x 0 y 0 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + y = 20 y = 2x x y x y x y 5 5 x + y 20 FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO (x, y) = 0.17x y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS.. Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS: : Los vértices y se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (0, 0) (0, 20) 24 Matemáticas y TI

12 urso ON LINE Tema 6 (x, y) Resolvemos el sistema 2x y = 0 3x = 20 x = 20/3 y = 40/3 x + y = 20 (20/3, 40/3) NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS plicamos el TEOREM mencionado: Vértices eneficio = 0.17 x y Valor (0,0) (6.6, 13.3) (0, 20) NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS El máximo beneficio se obtendrá cuando se inviertan en bonos de tipo y en bonos de tipo, momento en el que la rentabilidad será de En la elaboración de un determinado producto farmacológico se utilizan dos tipos de pastillas de 40 gr. y 30 gr. ada frasco ha de contener como máximo 600 gramos, necesitándose, por razones de stock, al menos tres pastillas grandes y al menos el doble de pequeñas que de grandes. ada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequeña de 1. uántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL H2 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de pastillas grandes". y "número de pastillas pequeñas". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 40x + 30y 600 y 2x x 3 y 0 4x + 3y = 60 y = 2x x y x y x + 3y 60 y 2x x 3 y 0 y 2x 5 4x + 3y 60 5 FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO (x, y): eneficio expresado en (x, y) = 2x + y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS

13 bel Martín "Programación Lineal" Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS: : (3, y) Resolvemos el sistema por sustitución: y = 2x y = 2 3 y = 6 (3, 6) (x, y) Resolvemos el sistema por sustitución: 4x + 3y = 60 4x + 3 2x = 60 4x + 6x = 60 10x = 60 x = 6 y = 2x (6, 12) (3, y) Resolvemos el sistema por sustitución: 4x + 3y = y = 60 3y = y = 16 (3, 16) NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = 2 x + 1 y Valor (3, 6) (6, 12) (3, 16) Para que el beneficio sea máximo se tendrán que elaborar 6 pastillas de 40 gramos y 12 pastillas de 30 gramos, momento en el que el beneficio ascenderá a Se dispone de 600 gramos de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 gramos y las pequeñas 30 gramos. Se necesitan como mínimo 5 pastillas pequeñas y al menos el doble de las pequeñas que de las grandes. ada pastilla grande proporciona un beneficio de 50 céntimos de euro y las pequeñas de 30 céntimos de euro. (a) Plantea el problema, representa e indica el conjunto solución para saber el número de pastillas de cada clase que se pueden elaborar. (b) alcula el número de pastillas de cada clase para que el beneficio sea máximo. cuánto asciende dicho beneficio? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de pastillas grandes". y "número de pastillas pequeñas". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 40x + 30y 600 y 5 y 2x x 0 4x + 3y = 60 y = 2x x y x y x + 3y 60 y 5 y 2x x 0 26 Matemáticas y TI

14 urso ON LINE Tema D 10 y 2x y 5 5 4x + 3y 60 FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO (x, y): eneficio expresado en céntimos de (x, y) = 50x + 30y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS: : Los vértices y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (0, 5) D(0, 15) (x, 5) Resolvemos el sistema por sustitución: y = 2x 5 = 2x x = 2.5 (2.5, 5) (x, y) Resolvemos el sistema por sustitución: 4x + 3y = 60 y = 2x NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS 4x + 3 2x = 60 4x + 6x = 60 10x = 60 x = 6 (6, 12) Vértices plicamos el TEOREM mencionado: ( (xx,, yy) ) == 5500 xx yy Valor (0, 5) ct os (2.5, 5) ct os (6, 12) ct os D(0, 15) ct os NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS Para que el beneficio sea máximo se tendrán que elaborar 6 pastillas de 40 gramos y 12 pastillas de 30 gramos, momento en el que el beneficio ascenderá a