Tema 6: Contraste de hipótesis

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1 Tema 6: Contraste de hipótesis Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

2 Índice 1 Introducción 2 Planteamiento del problema 3 Contrastes de una muestra 4 Contrastes de dos muestras Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

3 1. Introducción Imaginemos que, en distintos experimentos estadísticos, queremos decidir sobre la verdad o falsedad de las siguientes hipótesis: Al lanzar al aire determinada moneda hay mayor probabilidad de que salga cara que de que salga cruz. Dos métodos de medición de concentraciones tienen distinta precisión. La altura media de los españoles es mayor que 180 cm. La altura de las mujeres españolas es menor que la de los hombres. La variable que estamos estudiando tiene distribución normal. Aunque hay procedimientos de decisión empíricos, la Estadística debe basarse en los datos que tomemos al repetir los experimentos un número determinado de veces. A partir de dichos datos hemos de ser capaces de tomar una decisión que sea completamente objetiva y en la cual tengamos una probabilidad pequeña de equivocarnos. El procedimiento estadístico que usaremos es el del Contraste de Hipótesis y al mecanismo que nos lleva a tomar dicha decisión lo llamaremos Test de Hipótesis. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

4 2. Planteamiento del problema Hipótesis estadística Es una afirmación sobre la distribución o distribuciones de probabilidad (desconocidas) asociadas al experimento que estamos realizando. Contraste de hipótesis Consiste en formular dos hipótesis sobre las distribuciones de probabilidad de las variables que estamos estudiando. Una de estas hipótesis es cierta, aunque nunca sabremos cuál de ellas lo es. Ambas hipótesis no son consideradas del mismo modo. La hipótesis nula ó inicial, H 0, es la que de partida se da como cierta y por ella nos decidiremos en caso de duda. La hipótesis alternativa, H 1, es la que pretendemos probar. Se trata de decidir entre ellas basándonos en la información que nos proporcionan los datos que tomemos de las variables bajo estudio. Cuando decidimos que H 0 es cierta, se dice que aceptamos H 0. Cuando decidimos que H 1 es cierta se dice que rechazamos H 0, aunque es también podemos decir que aceptamos H 1. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

5 2. Planteamiento del problema Test de Hipótesis Es un procedimiento matemático que nos lleva a tomar una decisión objetiva entre ambas hipótesis. Habitualmente consiste en la comparación de dos valores: Valor Experimental Se calcula a partir de los datos que hemos tomado. Si tenemos una muestra X 1,..., X n, el valor experimental del test se calcula mediante una fórmula o algoritmo, S = S(X 1,..., X n ). A la función S se la denomina Estadístico de Contraste. Sustituyendo X 1,..., X n por los valores que han tomado estas variables en el experimento obtenemos el valor experimental. Valor Teórico es un valor que no depende de la muestra que hemos tomado, sino de la distribución teórica del estadístico de contraste cuando la hipótesis nula es cierta. En los test que veremos a continuación lo calcularemos a partir de las tablas. En cualquier caso, los valores teóricos suelen estar tabulados. Llamaremos Región Crítica del test al conjunto de números reales tal que si el valor experimental es uno de estos números, la decisión tomada es rechazar H 0. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

6 2. Planteamiento del problema Errores El Test de Hipótesis nos lleva a decidir entre las dos hipótesis del Contraste, pero no sabemos cuál de ellas es cierta, por lo que podemos cometer errores. En la siguiente tabla se resumen las distintas posibilidades que se pueden dar tras tomar una decisión: aceptar H 0 aceptar H 1 H 0 verdadera acierto Error tipo I H 1 verdadera Error tipo II acierto Nivel de significación del test, α = P(Error de tipo I). β = P(Error de tipo II). A la cantidad 1 β la llamaremos potencia del test. Es imposible encontrar un test donde α y β sean pequeños simultáneamente. En la práctica, se considera más grave un Error de tipo I por lo que se buscan test que no cometan estos errores. Para ello nosotros mismos fijamos un nivel de significación, α, pequeño (habitualmente 0.05, 0.01, 0.001) y de entre todos los test con ese nivel de significación elegimos el que sea más potente. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

7 2. Planteamiento del problema Probabilidad de significación ó p-valor Cuando ya disponemos de los datos podemos proceder de una forma algo diferente a la descrita anteriormente, calculando el valor experimental y, una vez que contamos con este valor, planteándonos para qué niveles de significación, α, se rechazará H 0 y para cuáles se aceptará H 0. Obviamente, cuanto más pequeño sea α, más difícil será rechazar H 0. De este modo podemos encontrar un valor tal que si admitimos un nivel de significación mayor o igual que dicho valor, rechazaremos H 0 y habremos probado H 1. si realizamos el test a un nivel de significación menor que este valor, aceptaremos H 0. A dicho valor lo llamaremos probabilidad de significación o p-valor del test y se define como el menor de los niveles de significación para los que rechazamos H 0. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

8 3. Contrastes de una muestra Para la media Sea X 1,..., X n una Muestra Aleatoria Simple de una variable N(µ, σ). Contraste σ conocida σ desconocida H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 X µ 0 σ/ n > z α/2 X µ 0 S/ n > t n 1,α/2 X µ 0 σ/ n > zα X µ 0 σ/ n > zα X µ 0 S/ n > t n 1,α X µ 0 S/ n > t n 1,α Si n 60, los test anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

9 3. Contrastes de una muestra Para la varianza Sea X 1,..., X n una Muestra Aleatoria Simple de una variable N(µ, σ). Contraste H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 H 0 : σ 2 σ 2 0 H 1 : σ 2 > σ 2 0 H 0 : σ 2 σ 2 0 H 1 : σ 2 < σ 2 0 µ conocida P ni=1 (X i µ) 2 σ 0 2 ó P ni=1 (X i µ) 2 < χ 2 n,1 α 2 σ 2 0 > χ 2 n, α 2 np (X i µ) 2 i=1 σ0 2 >χ 2 n,α np i=1 (X i µ) 2 σ0 2 <χ 2 n,1 α µ desconocida (n 1)S 2 σ 2 0 (n 1)S 2 σ 2 0 < χ 2 n 1,1 α 2 ó > χ 2 n 1, α 2 (n 1)S 2 σ0 2 >χ 2 n 1,α (n 1)S 2 σ0 2 <χ 2 n 1,1 α Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

10 3. Contrastes de una muestra Para una proporción Sea X 1,..., X n una Muestra Aleatoria Simple de una variable de Bernoulli de parámetro p. Contraste Se rechaza H 0 H 0 : p = p 0 H 0 : p p 0 H 0 : p p 0 H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 n (ˆp p0 ) p p0 (1 p 0 ) > z α/2 n (ˆp p0 ) p p0 (1 p 0 ) > zα n (ˆp p0 ) p p0 (1 p 0 ) > zα Puesto que se utiliza la aproximación de la binomial por normal, los test anteriores son válidos si np 0 (1 p 0 ) > 5. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

11 4. Contrastes de dos muestras Muestras independientes: comparación de varianzas Sean X 1,..., X n e Y 1,..., Y m muestras independientes de dos variables X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ). Contraste 8 >< >: S 2 X S 2 Y S 2 X S 2 Y H 0 : σ 2 X = σ2 Y H 1 : σ 2 X σ2 Y > F n 1,m 1,α/2 ó < F n 1,m 1,1 α/2 S 2 X S 2 Y H 0 : σ 2 X σ2 Y H 1 : σ 2 X > σ2 Y > F n 1,m 1,α S 2 X S 2 Y H 0 : σ 2 X σ2 Y H 1 : σ 2 X < σ2 Y < F n 1,m 1,1 α Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

12 4. Contrastes de dos muestras Muestras independientes: comparación de medias Sean X 1,..., X n e Y 1,..., Y m muestras independientes de dos variables X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ). Contraste σ 2 X = σ2 Y H 0 : µ X = µ Y H 1 : µ X µ Y X Ȳ r Sp 2 1n + m 1 > t n+m 2,α/2 H 0 : µ X µ Y H 1 : µ X > µ Y X Ȳ r Sp 2 1n + m 1 > t n+m 2,α σ 2 X σ2 Y X Ȳ r S 2 Xn + S2 Ym > t f,α/2 X Ȳ r S 2 Xn + S2 Ym > t f,α S 2 Xn + S2 Ym «2 siendo S 2 p = (n 1)S2 X + (m 1)S2 Y n + m 2 y f el número entero más próximo a S 4 X n 2 (n+1) + 2. S4 Y m 2 (m+1) Si n, m 60, los test anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

13 4. Contrastes de dos muestras Muestras apareadas: comparación de medias Sean (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) muestras de X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ), tales que las variables X k, Y k están relacionadas para todo k = 1,..., n. Contraste H 0 : µ X = µ Y H 1 : µ X µ Y X Ȳ S d / n > t n 1,α/2 H 0 : µ X µ Y H 1 : µ X > µ Y X Ȳ S d / n > t n 1,α siendo S d la desviación típica de la muestra X 1 Y 1,..., X n Y n. Si n 60, los intervalos anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14

14 4. Contrastes de dos muestras Muestras independientes: comparación de proporciones Sean X 1,..., X n e Y 1,..., Y m muestras independientes de dos variables X e Y con distribuciones de Bernoulli de parámetros p X y p Y, respectivamente. Contraste H 0 : p X = p Y H 1 : p X p Y s ˆp X ˆp Y 1 ˆpˆq n + 1 «> z α/2 m H 0 : p X p Y H 1 : p X > p Y ˆp X ˆp Y 1 sˆpˆq n + 1 «> zα m siendo ˆp X y ˆp Y los estimadores de p X y p Y, respectivamente, ˆp = nˆp X + mˆp Y n + m y ˆq = 1 ˆp. Puesto que se utiliza la aproximación de la binomial por la normal, para que los test anteriores sean válidos se ha de verificas que nˆpˆq 5 y mˆpˆq 5. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 6: Contraste de hipótesis Curso / 14