Técnicas de Inferencia Estadística II. Tema 1. Contrastes de hipótesis

Transcripción

1 Técnicas de Inferencia Estadística II Tema 1. Contrastes de hipótesis Conchi Ausín Universidad Carlos III de Madrid Grado en Estadística y Empresa Curso 2013/14

2 Tema 1. Contrastes de hipótesis Contenidos Definición de contraste e hipótesis estadística. Tipos de hipótesis. Hipótesis nula y alternativa. Errores de tipo I y II. Metodología del contraste de hipótesis. Concepto de p-valor.

3 Hipótesis estadística Contraste de hipótesis Una hipótesis estadística es una afirmación respecto a una característica de una población. Contraste de hipótesis Un contraste de hipótesis tiene la finalidad de decidir si una hipótesis estadística coincide o no con la realidad que observamos en los datos. Suponemos una muestra aleatoria (X 1, X 2,..., X n ) de una población descrita por una variable aleatoria X con función de distribución F. Un contraste de hipótesis sirve para decidir si una determinada hipótesis sobre la distribución F es confirmada o invalidada a partir de las observaciones de la muestra.

4 Ejemplos de hipótesis estadísticas 1. El precio medio de alquiler un piso de dos habitaciones en un barrio es mayor a los 30 euros mensuales que pide un arrendador. 2. En unas elecciones municipales, la proporción de votantes a de un partido poĺıtico será mayor del 25 %. 3. El gasto medio mensual de los clientes de una compañía telefónica es diferente en clientes de tarjeta que de contrato. 4. Los riesgos asociados a las acciones de dos compañías son diferentes. 5. Más de la mitad de los españoles duerme como mucho 7 horas al día. 6. La distribución de los salarios en un país es diferente para hombres que para mujeres. 7. El ancho de los berberechos de la Ría de Arousa no sigue una distribución normal. 8. El sueldo de los empleados de una empresa depende de la edad.

5 Tipos de hipótesis Una hipótesis estadística puede ser: 1. Relativa a una única población, sobre la que se observa una variable, X, y se toma una muestra (X 1, X 2,..., X n). Relativa a más de una población, por ejemplo, relativa a dos poblaciones sobre las que se observan dos variables, X e Y, y se toman dos muestras (X 1, X 2,..., X n) e (Y 1, Y 2,..., Y m). 2. Paramétrica: Se asume un modelo paramétrico sobre la población y se plantea una hipótesis sobre uno o más parámetros, por ejemplo, se asume que X N(µ, σ 2 ) y se plantea la hipótesis µ < 2. No paramétrica: No se asume ningún modelo paramétrico sobre la población y se plantea una hipótesis sobre una característica de la misma, por ejemplo, Pr(X 7) = 0,5. 3. Simple: La hipótesis tiene un sólo elemento, por ejemplo, µ = 7. Compuesta: La hipótesis tiene más de un elemento, p.e., µ 7.

6 Hipótesis nula y alternativa Se denomina hipótesis nula, H 0, a la hipótesis que se desea contrastar. La hipótesis nula se mantiene a no ser que los datos indiquen su falsedad. La hipótesis nula nunca se considera probada, aunque puede ser rechazada por los datos. La hipótesis nula se enfrenta a la hipótesis alternativa, H 1. En los casos en los que no se especifica H 1 de manera expĺıcita, podemos considerar que ha quedado definida impĺıcitamente como H 0 es falsa. En un contraste de hipótesis no se trata de juzgar cuál de las dos hipótesis, H 0 ó H 1, es más verosímil, sino de decidir si la muestra proporciona o no evidencia suficiente para rechazar H 0 ; para lo cual hay que considerar H 1 que se corrobora cuando se rechaza H 0.

7 Definición Un contraste o test de hipótesis para contrastar H 0 frente a H 1 consiste en elegir una región de rechazo o región crítica, R, del espacio muestral de forma que: Si (x 1,..., x n ) R, se rechaza H 0. Si (x 1,..., x n ) R, no se rechaza H 0. Por tanto, un contraste de hipótesis es cualquier partición del espacio muestral, X, en dos regiones disjuntas: una región crítica o de rechazo, R, y una región de aceptación

8 Ejemplo Se desea saber si el precio medio por comensal en el Asador Felipe es mayor de los 30 euros que se indica en la Guía del Ocio. Para ello, se toma una muestra del gasto de 10 clientes independientes que hayan comido en este asador en distintos días. El objetivo es contrastar: H 0 : µ = 30 H 1 : µ > 30 (1) donde µ es la esperanza de una variable aleatoria, X, que representa el precio de la comida de un cliente tomado al azar en el Asador Felipe. Proponer regiones de rechazo que definan contrastes de hipótesis para resolver (1).

9 Errores de tipo I y de tipo II La elección de una región de rechazo adecuada se realizará en función de sus efectos. Hay cuatro posibilidades: H 0 es cierta H 0 es falsa Rechazar H 0 α = Error tipo I Decisión correcta No rechazar H 0 Decisión correcta β = Error tipo II Lo ideal sería encontrar un test que hiciese mínima las probabilidades de ambos errores. Sin embargo, esto no es posible ya que la reducción de la probabilidad de un tipo de error hace que aumente la probabilidad del otro tipo de error. Como se considera que el error más grave es el de tipo I, se impondrá una cota a la probabilidad de error de tipo I que llamaremos nivel de significación, α, y luego, se procurará que la probabilidad de error de tipo II, β, sea lo más pequeña posible.

10 Recapitulando... Un contraste de hipótesis puede rechazar la hipótesis nula. Un contraste de hipótesis no puede probar la hipótesis nula. Se puede hacer la probabilidad de error de tipo I tan pequeña como se quiera, pero esto hará que aumente la probabilidad de error de tipo II. Si aceptamos la hipótesis nula, debe interpretarse como que las observaciones no han aportado evidencia para descartarla. Por el contrario, si rechazamos la hipótesis nula es porque se está razonablemente seguro de que H 0 es falsa, ya que Pr(R H 0 ) α, y estamos aceptando impĺıcitamente la hipótesis alternativa.

11 Metodología del contraste Es necesario desarrollar un procedimiento general para construir regiones de rechazo razonables. El procedimiento habitual consiste en definir una medida de discrepancia entre las observaciones y la hipótesis nula. Si la discrepancia es grande, se rechazará la hipótesis nula. En caso contrario, no hay evidencias para rechazarla. En contrastes paramétricos, es habitual tomar medidas de discrepacia basadas en un estimador del parámetro de interés: Discrepancia = Estimador Parámetro Desviación típica del estimador

12 Ejemplo Consideramos de nuevo el siguiente contraste sobre el precio medio de un restaurante. H 0 : µ = 30 H 1 : µ > 30 Parece natural que la medida de discrepancia dependa de la media muestral, X, que es el mejor estimador de µ. Tiene sentido rechazar H 0 si X es mucho mayor que 30 euros. Para que el concepto de mucho mayor no esté afectado por las unidades de medida, se debe dividir por las desviación típica del estimador, por tanto, una medida de discrepancia razonable es, Discrepancia = X 30 σ/ n, donde σ es la desviación típica del precio, X.

13 Metodología del contraste Una vez definida una medida de discrepancia, hay que definir la discrepancia máxima admisible, lo que depende de: La distribución de la medida de discrepancia cuando H 0 es cierta. El signo de H 1 que lleva a considerar regiones de rechazo en una direción o en dos direcciones.

14 -rechazo dependen de la hipótesis alternativa, H1: Ejemplo Qué valores puede tomar la medida de discrepancia del ejemplo anterior b) H 1 : θ < θ. La región de rechazo la forman 0 y con qué probabilidad? Si asumimos que X N(µ, σ 2 ) y si H 0 es cierta: hazo la forman istribución del con la misma la cola inferior de la distribución del X 30 σ/ N(0, 1) n estadístico bajo H0, con la probabilidad α. Aceptación chazo 2 Rechazo Así, para que el error de tipo I sea inferior a un nivel de significación, α, fijado previamente, la región de rechazo más razonable es: { 1 α } α X 30 R = σ/ n > z α. chazo la forman distribución del robabilidad α. Aceptación 1 α Rechazo α

15 Ejercicio 1.1. Se desea saber si el precio medio por comensal en el Asador Felipe es mayor de los 30 euros que se indica en la Guía del Ocio. Para ello, se toma una muestra del gasto de 10 clientes independientes que hayan comido en este asador en distintos días dando lugar a una media muestral de x = 33,3 euros. Suponiendo que el precio de la comida en el asador, X, sigue una distribución normal, X N(µ, σ 2 ), y que la desviación típica es conocida (no realista) e igual a 5 euros. Resolver el siguiente contraste al nivel α = 0,05: H 0 : µ = 30 H 1 : µ > 30

16 Metodología del contraste Recapitulando, los pasos para resolver un contraste de hipótesis son: 1. Plantear las hipótesis nula, H 0, y alternativa, H Definir una medida de discrepancia entre los datos muestrales y la hipótesis nula, denominada estadístico de contraste, cuya distribución sea conocida cuando H 0 es cierta. 3. Fijar un nivel de significación, α, que normalmente se fija en 0,05 o 0,01, y determinar la discrepancia máxima admisible que da lugar a la región de rechazo. 4. Calcular la discrepancia observada y examinar si es mayor que la discrepancia máxima admisible, en cuyo caso se rechaza H 0.

17 Nivel crítico o p-valor El procedimiento para obtener la región de rechazo usando el nivel de significación tiene dos incovenientes: 1. El resultado del test puede depender mucho del valor de α. 2. Dar sólo el resultado del test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H 0. Ejercicio 1.2. Resolver el contraste del Ejercicio 1.1. al nivel α = 0,01: H 0 : µ = 30 H 1 : µ > 30

18 Nivel crítico o p-valor Definición El nivel crítico p o p-valor es es la probabilidad de encontrar una discrepancia mayor o igual que la observada en los datos, cuando H 0 es cierta. El p-valor no se fija a priori, sino que depende de los datos. Usando el p-valor podemos resolver el contraste para cualquier α: Si α > p-valor, se rechaza H 0 al nivel α. Si α < p-valor, no se rechaza H 0 al nivel α. El p-valor es el nivel de significación más pequeño para el que la muestra obtenida obligaría a rechazar la hipótesis nula.

19 Nivel crítico o p-valor Ejercicio 1.3. Se desea saber si el precio medio por comensal en el Asador Felipe es mayor de los 30 euros que se indica en la Guía del Ocio. Para ello, se toma una muestra del gasto de 10 clientes independientes que hayan comido en este asador en distintos días dando lugar a una media muestral de x = 33,3 euros. Suponiendo que el precio de la comida en el asador, X, sigue una distribución normal, X N(µ, σ 2 ), y que la desviación típica es conocida (no realista) e igual a 5 euros. Resolver el siguiente contraste para cualquier nivel usando el p-valor. H 0 : µ = 30 H 1 : µ > 30

20 Metodología del contraste Recapitulando, los pasos para resolver un contraste de hipótesis utilizando el p-valor son: 1. Plantear la hipótesis nula, H 0, y alternativa, H Definir un estadístico de contraste cuya distribución sea conocida si H 0 es cierta. 3. Fijar un nivel de significación, α. 4. Calcular el p-valor. Si este es suficientemente pequeño (menor que α), rechazar H 0.