Simulación de la propagación de ondas acústicas en flujos potenciales mediante bases de ondas planas

Transcripción

1 Simulación de la propagación de ondas acústicas en flujos potenciales mediante bases de ondas planas Pablo Gamallo 1, Jeremy Astley 2 1 Dpto. Deseño na Enxeñería Universidade de Vigo 2 Institute of Sound and Vibration Research University of Southampton Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 1 / 39

2 Índice 1 Motivación 2 Definición del problema 3 Limitaciones del Método de los Elementos Finitos clásico 4 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz 5 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 2 / 39

3 Motivación Ruido producido por aviones comerciales Figura: Principales fuentes de ruido en un avión comercial. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 3 / 39

4 Ruido del motor Motivación Figura: Motor de aviación tipo turbofan. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 4 / 39

5 Motivación Esquema motor turbofan Figura: Esquema de motor de aviación tipo turbofan (vista interior). Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 5 / 39

6 Definición del problema Análisis del sonido radiado Simulación de la radiación acústica en motores turbofan Propagación acústica a través de flujos estacionarios Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 6 / 39

7 Definición del problema Análisis del sonido radiado Simulación de la radiación acústica en motores turbofan Propagación acústica a través de flujos estacionarios Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 6 / 39

8 Definición del problema Análisis del sonido radiado Simulación de la radiación acústica en motores turbofan Propagación acústica a través de flujos estacionarios Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 6 / 39

9 Definición del problema Conceptos previos Ecuación de ondas (medio homogéneo sin flujo), p 1 c 2 2 p t 2 = 0 c es velocidad de propagación en el medio. Régimen armónico: p(x, t) = p(x)e iωt Ecuación de Helmholtz p + ω2 c 2 p = 0 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 7 / 39

10 Definición del problema Conceptos previos Ecuación de ondas (medio homogéneo sin flujo), p 1 c 2 2 p t 2 = 0 c es velocidad de propagación en el medio. Régimen armónico: p(x, t) = p(x)e iωt Ecuación de Helmholtz p + ω2 c 2 p = 0 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 7 / 39

11 Definición del problema Algunas definiciones previas Frecuencia angular ω, frecuencia f y periodo T ω = 2πf = 2π T Número de onda y longitud de onda λ = 2π k Relación de dispersión k = ω c Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 8 / 39

12 Definición del problema Algunas definiciones previas Frecuencia angular ω, frecuencia f y periodo T ω = 2πf = 2π T Número de onda y longitud de onda λ = 2π k Relación de dispersión k = ω c Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 8 / 39

13 Definición del problema Algunas definiciones previas Frecuencia angular ω, frecuencia f y periodo T ω = 2πf = 2π T Número de onda y longitud de onda λ = 2π k Relación de dispersión k = ω c Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 8 / 39

14 Definición del problema Modelo matemático Flujo: compresible, isoentrópico y potencial Flujo total = flujo estacionario + perturbaciones acústicas Acústica: perturbaciones armónicas de pequeña amplitud u u 0 Linealización entorno al flujo estacionario u 0 : u t = u 0 + u Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 9 / 39

15 Definición del problema Modelo matemático Flujo: compresible, isoentrópico y potencial Flujo total = flujo estacionario + perturbaciones acústicas Acústica: perturbaciones armónicas de pequeña amplitud u u 0 Linealización entorno al flujo estacionario u 0 : u t = u 0 + u Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 9 / 39

16 Definición del problema Modelo matemático Flujo: compresible, isoentrópico y potencial Flujo total = flujo estacionario + perturbaciones acústicas Acústica: perturbaciones armónicas de pequeña amplitud u u 0 Linealización entorno al flujo estacionario u 0 : u t = u 0 + u Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 9 / 39

17 Definición del problema Modelo matemático Flujo: compresible, isoentrópico y potencial Flujo total = flujo estacionario + perturbaciones acústicas Acústica: perturbaciones armónicas de pequeña amplitud u u 0 Linealización entorno al flujo estacionario u 0 : u t = u 0 + u Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 9 / 39

18 Definición del problema Ecuaciones del flujo Ecuaciones del flujo estacionario (ρ 0 u 0 ) = 0 u 0 = φ u Kγ γ 1 ργ 1 0 = E p 0 = Kρ γ 0 c 2 0 = γ p 0 ρ 0 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 10 / 39

19 Definición del problema Ecuaciones para el campo acústico Ecuaciones del campo acústico iωρ + (ρ 0 φ + ρu 0 ) = 0 iωφ + u 0 φ + p ρ 0 = 0 Ecuación de ondas convectiva no homogénea ω 2 ρ ( 0 ρ0 u 0 c 2 φ iω 0 c 2 0 (( ρ0 u 0 c 2 0 ( ρ0 u 0 φ + p = c 2 0ρ c 2 0 )) φ ) ) φ u 0 + (ρ 0 φ) = 0 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 11 / 39

20 Definición del problema Ecuaciones para el campo acústico Ecuaciones del campo acústico iωρ + (ρ 0 φ + ρu 0 ) = 0 iωφ + u 0 φ + p ρ 0 = 0 Ecuación de ondas convectiva no homogénea ω 2 ρ ( 0 ρ0 u 0 c 2 φ iω 0 c 2 0 (( ρ0 u 0 c 2 0 ( ρ0 u 0 φ + p = c 2 0ρ c 2 0 )) φ ) ) φ u 0 + (ρ 0 φ) = 0 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 11 / 39

21 Definición del problema Condiciones de contorno acústicas Pared rígida: φ n = u n = 0 Pared blanda, forro acústico (condición de Myers): iω(u n) = {iω + u 0 n (n u 0 )} p Z Admisión: Modos prescritos (dato). Salida: Condiciones de no reflexión o radiación. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 12 / 39

22 Limitaciones del Método de los Elementos Finitos clásico Requisitos computacionales del MEF Figura: Requisitos computacionales del MEF (Fuente: J. Hamilton & R.J. Astley). Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 13 / 39

23 Limitaciones del Método de los Elementos Finitos clásico Propiedades del MEF: Error de Interpolación Para una buena interpolación se requieren 8-10 nodos por longitud de onda: h λ 2π kh Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 14 / 39

24 Limitaciones del Método de los Elementos Finitos clásico Propiedades del MEF: Error de Polución El error de polución hace que 8-10 nodos por longitud de onda NO sean suficientes cuando λ < L/ Exact: p Int.: p h I MEF:p h I p,p,ph h x Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 15 / 39

25 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Ecuación de Helmholtz homogénea Ondas planas son soluciones: p + k 2 p = 0 en Ω, + c.c. φ θ (x, y) = A e i(kx(θ)x+ky(θ)y) = A e ik(x cos θ+y sin θ), θ [0, 2π) Aproximación de p mediante bases de ondas planas: n V n = p n : p n = A j e ik(x cos θ j+y sin θ j ) j=1 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 16 / 39

26 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Propiedades de la aproximación Para toda p solución de la ecuación de Helmholtz en Ω p H s (Ω) ínf p p n H p 1 (Ω) C n V n (λπ es el menor ángulo exterior de Ω) ( ) ln n λ(s 1) p H s(ω) n p analítica: ínf p p n H p 1 (Ω) Ce γ n ln n p L2 (Ω) n V n Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 17 / 39

27 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Bases de ondas planas con partición (malla) del dominio Métodos de Trefftz: 1 Funciones de base discontinuas 2 Problema variacional definido sobre el esqueleto de la malla (aristas en 2D, caras 3D) para imponer condiciones de acople y cond. contorno El Método de la Partición de la unidad: 1 Funciones de base continuas 2 Formulación variacional estándar (misma que para el MEF) Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 18 / 39

28 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Métodos de Trefftz Métodos de Trefftz Γ k = Γ Ω k Γ j = Γ Ω j Ω j Ω k νk Σ kj Ω Γ = Ω Introduciendo el espacio K(Ω) = K(Ω 1 ) K(Ω Ne ) donde K(Ω j ) H 1 (Ω j ) es el subespacio de las funciones ϕ j H 1 (Ω j ) satisfaciendo ϕ j + κ 2 ϕ j = 0 en Ω j. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 19 / 39

29 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Métodos de Trefftz Métodos de Trefftz: Formulación variacional Condiciones de acople y de contorno [v] Σkj := (v k v j ) Σkj [ ] ( v vk := v ) j ν k Σ kj ν k ν k Σ kj = B(v) = g, condiciones contorno ( vk ν k + v j ν j ) Imposición mediante mínimos cuadrados (hay otras alternativas) J(v) := 1 N e N e [ ] 2 v iκ [v] 2 ν Σkj dγ + 1 N e B(v) g 2 dγ, k Σ kj 2 Γ k δj(p), v = k=1 j=1 j k N e N e k=1 N e k=1 Σ kj j=1 j k Σ kj ( [ ] p ν k Σ kj iκ [p] Σkj k=1 ) ( [ ] v ν k Γ k (B(p) g) B(v) dγ = 0, v K(Ω) Σ kj Σ kj iκ [v] Σkj ) dγ + Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 20 / 39

30 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Métodos de Trefftz Métodos de Trefftz: Discretización Espacio discreto global K h,n (Ω) := K h,n1 (Ω 1 ) K h,nne (Ω Ne ) K(Ω) se construye a partir de espacios discretos locales (en cada elemento) donde, K h,nj (Ω k ) := {α j,l ϕ j,l : α j,l C, l = 1,..., n j } K(Ω j ) ϕ j,l = Cualquier función v h,p K h,p (Ω) se escribirá { e iκ(x cos φ l +y sin φ l ) in Ω j 0 elsewhere N e v h,n = α j,l ϕ j,l j=1 n j l=1 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 21 / 39

31 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Métodos de Trefftz Conjunto finito de vectores de onda Dado un número de direcciones n d, consideramos ángulos {θ 1,..., θ nd } equidistantes Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 22 / 39

32 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz El Método de la Partición de la Unidad El Método de la Partición de la Unidad Introducido por Melenk y Babuška en 1996 Características principales: 1 Permite enriquecer el espacio de elementos finitos con funciones de base generales 2 Comparte con el MEF: formulación variacional y definición local de las funciones de base (da lugar a matrices huecas). 3 Eligiendo funciones de base adecuadas (buenas propiedades de aproximación) se espera reducir notablemente el número de g.d.l. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 23 / 39

33 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz El Método de la Partición de la Unidad Ecuación de Helmholtz: Formulación Variacional Ω ( ) p φ dv κ 2 p φ 1 Q dv iκ p Ω 1 + Q φ dγ = Γ R 1 g 2 φ dγ + 1 g Γ N 1 + Q φ dγ, φ HΓ 1 D (Ω) Γ R Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 24 / 39

34 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Discretizaciones (conformes) El Método de la Partición de la Unidad Elementos Finitos estándar (MEF) φ h (x, y) = N nodes l=1 N l (x, y) φ l, φ l : valores nodales (g.d.l. del MEF) Método de la Partición de la Unidad (MPU) φ h,n (x, y) = N nodes l=1 A j l n d (l) A j l ψj l (x, y), donde ψj l (x, y) = N l(x, y)e ik(x cos θ j+y sin θ j ), j=1 : amplitudes de onda nodales (g.d.l. del MPU) Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 25 / 39

35 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Discretizaciones (conformes) El Método de la Partición de la Unidad Elementos Finitos estándar (MEF) φ h (x, y) = N nodes l=1 N l (x, y) φ l, φ l : valores nodales (g.d.l. del MEF) Método de la Partición de la Unidad (MPU) φ h,n (x, y) = N nodes l=1 A j l n d (l) A j l ψj l (x, y), donde ψj l (x, y) = N l(x, y)e ik(x cos θ j+y sin θ j ), j=1 : amplitudes de onda nodales (g.d.l. del MPU) Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 25 / 39

36 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Ejemplo de función de base del MPU El Método de la Partición de la Unidad ϑ q k q Trial basis function F p q (x,y) = N p(x,y).χ q (x,y) Local approximation function χ q (x,y) = exp(-ik q.x) Nodal interpolation function N p(x,y) Finite Element mesh y Node p x Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 26 / 39

37 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz El Método de la Partición de la Unidad Test numérico: Propagación en conductos Rigid walls 1 y = 1 y x y 0.5 y = 0 x = 0 x = x a) Dominio b) Malla inicial Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 27 / 39

38 Métodos numéricos con bases de ondas planas: Ec. de Helmholtz Estudio de la convergencia del PUM El Método de la Partición de la Unidad FEM Q FEM PUM n PUM h PUM h PUM vs FEM (ka=20) Relative error (%) N dof /λ 2 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 28 / 39

39 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Ecuación de ondas convectiva ω 2 ρ ( 0 ρ0 u 0 c 2 φ iω 0 c 2 0 (( ρ0 u 0 c 2 0 ( ρ0 u 0 φ + c 2 0 )) φ ) ) φ u 0 + (ρ 0 φ) = 0 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 29 / 39

40 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Funciones para el enriquecimiento local: soluciones localmente exactas Flujo uniforme 2D 2 φ y 2 + (1 M2 ) 2 φ φ 2ikM x2 x + k2 φ = 0 Ondas planas: φ(x, y) = A e i(kxx+kyy) (x cos θ+y sin θ) ik = A e 1+M cos θ k y/k 1 1/(1 M) θ 1/(1+M) k x/k 1 Figura: Lugar geométrico de vectores de onda k Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 30 / 39

41 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Funciones de base del MPU Elementos Finitos estándar (MEF) φ h (x, y) = N nodes l=1 N l (x, y) φ l, φ l : valores nodales (g.d.l. del MEF) Método de la Partición de la Unidad (MPU) φ h (x, y) = N nodes l=1 A j l n d (l) j=1 A j l ψj l (x, y), donde ψj l (x, y) = N l(x, y)e ik (x cos θ j+y sin θ j) 1+M cos θ j, : amplitudes de onda nodales (g.d.l. del MPU) Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 31 / 39

42 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Funciones de base del MPU Elementos Finitos estándar (MEF) φ h (x, y) = N nodes l=1 N l (x, y) φ l, φ l : valores nodales (g.d.l. del MEF) Método de la Partición de la Unidad (MPU) φ h (x, y) = N nodes l=1 A j l n d (l) j=1 A j l ψj l (x, y), donde ψj l (x, y) = N l(x, y)e ik (x cos θ j+y sin θ j) 1+M cos θ j, : amplitudes de onda nodales (g.d.l. del MPU) Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 31 / 39

43 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Conjunto finito de vectores de onda Dado un número { de direcciones n d, consideramos ángulos {θ 1,..., θ nd } tales que k(θ1 ),..., } k(θ nd ) son equidistantes Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 32 / 39

44 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Base del MPU ϑ q k q Trial basis function F p q (x,y) = N p(x,y).χ q (x,y) Mean flow streamlines Local approximation function χ q (x,y) = exp(-ik q.x) FE mesh Nodal interpolation function N p(x,y) U = Mc 0 node Finite Element mesh y Node p x local vector wavenumber k q a) Construcción de la base MPU b) Elipse local de vectores de onda Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 33 / 39

45 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Ecuaciones discretizadas Formulación Variacional ρ 0 Ω c 2 0 { } c 2 0 ψ φ (u 0 ψ)(u 0 φ) dv + iω ω 2 ρ 0 Ω c 2 0 ψφ dv = ρ 0 Γ c 2 0 ρ 0 Ω c 2 0 Formulación fuerte {ψ(u 0 φ) (u 0 ψ)φ} dv { c 2 0ψ φ u 0 ψ(u 0 φ) iωu 0 ψφ } n ds Conjunto discreto de funciones test ψ(x, y) ψ j l (x, y), l = 1,..., N nodes and j = 1,..., n d (l) Sistema de ecuaciones lineales [B(ω)]{A} = {F(ω)} Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 34 / 39

46 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Ecuaciones discretizadas Formulación Variacional ρ 0 Ω c 2 0 { } c 2 0 ψ φ (u 0 ψ)(u 0 φ) dv + iω ω 2 ρ 0 Ω c 2 0 ψφ dv = ρ 0 Γ c 2 0 ρ 0 Ω c 2 0 Formulación fuerte {ψ(u 0 φ) (u 0 ψ)φ} dv { c 2 0ψ φ u 0 ψ(u 0 φ) iωu 0 ψφ } n ds Conjunto discreto de funciones test ψ(x, y) ψ j l (x, y), l = 1,..., N nodes and j = 1,..., n d (l) Sistema de ecuaciones lineales [B(ω)]{A} = {F(ω)} Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 34 / 39

47 Ecuación de Helmholtz convectiva no uniforme Ecuaciones discretizadas Formulación Variacional ρ 0 Ω c 2 0 { } c 2 0 ψ φ (u 0 ψ)(u 0 φ) dv + iω ω 2 ρ 0 Ω c 2 0 ψφ dv = ρ 0 Γ c 2 0 ρ 0 Ω c 2 0 Formulación fuerte {ψ(u 0 φ) (u 0 ψ)φ} dv { c 2 0ψ φ u 0 ψ(u 0 φ) iωu 0 ψφ } n ds Conjunto discreto de funciones test ψ(x, y) ψ j l (x, y), l = 1,..., N nodes and j = 1,..., n d (l) Sistema de ecuaciones lineales [B(ω)]{A} = {F(ω)} Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 34 / 39

48 Test numérico Test numérico: Admisión de un motor turbofan tipo r r Geometría 1 Source plane Spinner Duct X Inlet plane (a) Dominio computacional. Terminal plane Spinner X (b) Isolíneas número de Mach. Terminal plane Y 0.04 Y X (c) MPU, h = 0, X (d) MEF cuadrático, h = 0,01. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 35 / 39

49 Test numérico Campo de presión acústica (parte real) para ω = 25 (e) MPU, g.d.l (1.500 pts., 8 dir.) (f) MEF cuadrático, d.o.f. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 36 / 39

50 Test numérico Presión acústica (parte real) en el plano final Pressure Terminal plane ω = PUFEM (1.5e3 pts, nd= 8, 12e3 dof) PUFEM (1.5e3 pts, nd=12, 18e3 dof) PUFEM (7.5e3 pts, nd= 4, 30e3 dof) PUFEM (7.5e3 pts, nd= 8, 60e3 dof) Q-FEM (100e3 dof) r (g) ω = 25 Pressure Terminal plane ω = PUFEM (17e3 pts, nd= 4, 68e3 dof) PUFEM (17e3 pts, nd= 8, 136 dof) Q-FEM (320e3 dof) r (h) ω = 45 Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 37 / 39

51 Conclusiones Conclusiones El estudio realizado indica que el MPU es más eficiente que el el MEF para resolver problemas de propagación acústica de onda corta en flujos irrotacionales. En los problemas bidimensionales se observan mejoras muy notables en la eficiencia. El mal condicionamiento de los sistemas de ecuaciones resultantes en el MPU limita el margen de mejora. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 38 / 39

52 Conclusiones Conclusiones El estudio realizado indica que el MPU es más eficiente que el el MEF para resolver problemas de propagación acústica de onda corta en flujos irrotacionales. En los problemas bidimensionales se observan mejoras muy notables en la eficiencia. El mal condicionamiento de los sistemas de ecuaciones resultantes en el MPU limita el margen de mejora. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 38 / 39

53 Conclusiones Conclusiones El estudio realizado indica que el MPU es más eficiente que el el MEF para resolver problemas de propagación acústica de onda corta en flujos irrotacionales. En los problemas bidimensionales se observan mejoras muy notables en la eficiencia. El mal condicionamiento de los sistemas de ecuaciones resultantes en el MPU limita el margen de mejora. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 38 / 39

54 Trabajo futuro Trabajo futuro Investigar posibles estrategias para solventar el problema del mal condicionamiento: métodos multimalla, refinamiento adaptativo, etc. Hacer un estudio análogo para evaluar la eficiencia del MPU para problemas tridimensionales. Comparar el MPU con otros métodos numéricos recientes que también se basan en el uso de bases de ondas planas: UWVF, Métodos Trefftz (LSM), DGM, etc. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 39 / 39

55 Trabajo futuro Trabajo futuro Investigar posibles estrategias para solventar el problema del mal condicionamiento: métodos multimalla, refinamiento adaptativo, etc. Hacer un estudio análogo para evaluar la eficiencia del MPU para problemas tridimensionales. Comparar el MPU con otros métodos numéricos recientes que también se basan en el uso de bases de ondas planas: UWVF, Métodos Trefftz (LSM), DGM, etc. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 39 / 39

56 Trabajo futuro Trabajo futuro Investigar posibles estrategias para solventar el problema del mal condicionamiento: métodos multimalla, refinamiento adaptativo, etc. Hacer un estudio análogo para evaluar la eficiencia del MPU para problemas tridimensionales. Comparar el MPU con otros métodos numéricos recientes que también se basan en el uso de bases de ondas planas: UWVF, Métodos Trefftz (LSM), DGM, etc. Simulación de la propagación de ondas con bases de ondas planas 39 / 39