En este texto, se describen los principales métodos y aplicaciones de la Simulación.

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1 UNIVER RSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA CARRERA DE INGENIERIA DE SISTEMAS DOSSIER SIMULACION Y MODELOS Miguel Angel Flores Chumacero Gestión I 2012 La Paz Bolivia

2 La Simulación consiste básicamente en construir modelos informáticos que describen la parte esencial del comportamiento de un sistema de interés, así como en diseñar y realizar experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados para apoyar la toma de decisiones. Típicamente, se utiliza en el análisis de sistemas tan complejos que no es posible su tratamiento analítico o mediante métodos del análisis numérico. La Simulación ha crecido como una metodología de experimentación fundamental en campos tan diversos como la Economía, la Estadística, la Informática o la Física. y con enormes aplicaciones industriales y comerciales, como los simuladores de vuelo, los juegos de simulación, o la predicción bursátil o meteorológica. En este texto, se describen los principales métodos y aplicaciones de la Simulación.

3 Contenido del Dossier Competencia... 3 I. Principios y Propiedades de Los Modelos y de Simulación... 4 A. Definición De Modelo... 4 B. Funciones Del Modelo... 4 C. Estructura Del Modelo... 4 D. Propiedades De Los Modelos... 5 E. Clasificación De Los Modelos... 7 F. Clasificación De Los Modelos De Simulación... 7 G. Ventajas Y Desventajas De La Simulación... 9 H. Criterios Para Que Un Modelo De Simulacion Sea Bueno I. Pasos Para La Construcción De Modelos De Simulación En Computadora II. Generación de números pseudo aleatorios A. Los números pseudo aleatorios B. Generación de números pseudo aleatorios C. Pruebas estadísticas para los números pseudo aleatorios III. Generación de Variables Aleatorias A. Definición de variable aleatoria B. Tipos de variables aleatorias C. Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos

4 IV. Autómatas Celulares A. Definición B. Descripción C. Aplicaciones D. Autómata celular unidimensional E. Autómata celular bidimensional V. Simulación de sucesos discretos A. Verificación y validación de los modelos de simulación B. Modelos de simulación VI. Bibliografía

5 Competencia Al final del curso el estudiante debe lograr: - Construir un modelo. - Generar números y variables pseudo aleatorias. - Comprobar la validez de números y variables pseudo aleatorias. - Simular sucesos y modelos discretos - Simular con promodel 3

6 I. Principios y Propiedades de Los Modelos y de Simulación A. Definición De Modelo Modelo es una representación de un objeto, sistema o idea de forma diferente a la de la identidad misma. Por lo general el modelo nos ayuda a entender un sistema. El modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de este. Con la diferencia del material que lo compone o de su escala, inclusive puede ser una abstracción de las propiedades dominantes del objeto. B. Funciones Del Modelo - Comparar - Predecir - Entrenar - Experimentar - Comunicar Ej: - La pintura es una réplica de algo que existe - Un carro de madera es la réplica de un original. C. Estructura Del Modelo El modelo se puede escribir de tal forma E = F(Xi, Yi) Donde E: Es el efecto del comportamiento del sistema Xi: Son las variables y parámetros que nosotros podemos controlar 4

7 Yi: Las variables y los parámetros que nosotros no podemos controlar F: Es la función con la cual relacionamos Xi con Yi con el fin de modificar o dar origen a E D. Propiedades De Los Modelos 1. COMPONENTES: Son las partes de un conjunto que forman el sistema 2. VARIABLES: Pueden ser de dos tipos (Exógenos, Endógenos) - Exógenas: Entradas son originadas por causas externas al sistema - Endógenas: Son producidas dentro del sistema que resultan de causas internas, las cuales pueden ser de Estado o de Salida i. Estado: Muestran las condiciones iniciales del sistema ii. Salida: Son aquellas variables que resultan del sistema Estadísticamente a las variables exógenas se las denomina como variables independientes 3. PARAMETROS: Son cantidades a las cuales el operador del modelo puede asignarle valores arbitrarios lo cual se diferencia de las variables. Los parámetros una vez establecidos se convierten en constantes. 4. RELACIONES FUNCIONALES: Describen a los parámetros de tal manera que muestran su comportamiento dentro de un componente o entre componentes de un sistema. Las relaciones funcionales pueden ser de tipo determinísticos o estocásticos. 5

8 - Determinísticas: Sus definiciones que relacionan ciertas variables o parámetros donde una salida del proceso es singularmente determinada por una estrada dada. - Estocásticas: Cuando el proceso tiene una salida indefinida, para una 5. RESTRICCIONES: entrada determinada las relaciones funcionales se representan por ecuaciones matemáticas y salen del análisis estadístico matemático. Estas son limitaciones impuestas a valores de las variables las cuales pueden ser de dos formas: - Autoimpuestas:Asignadas por el mismo operador. - Impuestas: Cuando son asignadas manualmente por el mismo sistema. 6. FUNCIONES DE OBJETIVO: Son las metas del sistema o el cómo evaluar al sistema, existen retentivas por ejemplo: la conservación de tiempo, energía y adquisitivas ejemplo: Ganancia en algo. Ejemplo de aplicación: Determinar las propiedades de un colegio. - PROPIEDADES DE UN COLEGIO: Componentes: profesores, estudiantes Variables: Exógenas: libros, enfermedades, transporte Parámetros: notas Endógenas: Número de alumnos, costos Relaciones Funcionales: libros-estudiantes(buenos libros, buenos resultados) Restricciones: cantidad de profesores Función Objetivo: prueba anual de estado 6

9 E. Clasificación De Los Modelos Los modelos se pueden clasificar en forma general, pero los modelos de simulación se pueden clasificar en forma más específica. Modelos Modelos a Modelos ModelosModelosModelos Físicos Escala Analógicos Administrativos Simulación Matemáticos Modelos Exactos/icónicos Modelos Abstractos - MODELOS FISICOS: Son los que más se asemejan a la realidad, se encargan de modelar procesos - MODELOS ANALOGICOS: Se encargan de representar una propiedad determinada de un objeto o sistema - MODELOS DENOMINADOS JUEGOS ADMINISTRATIVOS: Ya empieza a involucrarse al ser humano el comportamiento del ser humano Ej: modelos de planeación, estrategias militares - MODELOS ABSTRACTOS (simulación): Viene hacer una herramienta ya que se convierte en algo abstracto - MODELOS MATEMATICOS: Se tiene en cuenta las expresiones materia y lógicas ejemplo: representar un objeto. Aquí se debe hacer muchas suposiciones F. Clasificación De Los Modelos De Simulación Dentro de los modelos de simulación están: 7

10 1. MODELOS DETERMINISTICOS Ni las variables endógenas y exógenas se pueden tomar como datos al azar. Aquí se permite que las relaciones entre estas variables sean exactas o sea que no entren en ellas funciones de probabilidad. Este tipo determinístico quita menos de cómputo que otros modelos. 2. MODELOS ESTOCASTICOS Cuando por lo menos una variable es tomada como un dato al azar las relaciones entre variables se toman por medio de funciones probabilísticas, sirven por lo general para realizar grandes series de muestreos, quitan mucho tiempo en el computador son muy utilizados en investigaciones científicas. 3. MODELOS ESTATICOS Es que en ellos no se toma en cuenta el tiempo dentro del proceso, por ejemplo: los modelos de juegos, modelos donde se observa las ganancias de una empresa. Ejemplo: Arquitectónicos: líneas de teléfono, tubos de agua 4. MODELOS DINAMICOS Si se toma en cuenta la variación del tiempo, ejemplo: la variación de la temperatura, del aire durante un día, movimiento anual de las finanzas de una empresa. Ejemplo: Laboratorio de química: reacción entre elementos En estos modelos físicos podemos realizar modelos a escala o en forma natural, a escala menor, e escala mayor, sirven para hacer demostraciones de procesos como para hacer experimentos nuevos. 8

11 5. MODELOS A ESCALA Son los modelos sencillos de maquetas -> casa -> baño, cuartos, etc. También se pueden tener a tamaño natural a menor o mayor escala, bidimensional, tridimensional. G. Ventajas Y Desventajas De La Simulación DESVENTAJAS 1. Al empezar a simular podemos interferir en las operaciones del sistema. 2. En los sistemas entran a jugar las personas, cambiar el comportamiento natural de las personas que se relacionan con el sistema. 3. No todas las condiciones son continuas para el sistema. 4. Difícil obtener siempre el mismo tamaño de muestra, estos sistemas toman muestras tan grandes que pueden ser mucho más costosos 5. Explorar todas las alternativas o todas las variantes que pueden existir dentro del sistema. 6. Los modelos de simulación no generan soluciones ni respuestas a ciertas preguntas CUÁNDO SE DEBE UTILIZAR LA SIMULACIÓN? 1. Cuando no se tiene el modelo matemático definido. 2. Formulación exacta del sistema. 3. Cuando se tienen las fórmulas analíticas y se necesita un modelo para ponerlas a funcionar. 4. El costo o la corrida de un modelo no es costosa. 5. Cuando al ver un proceso físico, el cual nosotros queremos conocer, la simulación es la única forma (posibilidad) que tenemos para conocer el comportamiento de un proceso real, ejemplo: fenómeno climático. 6. Cuando se requiere acelerar o retrasar el tiempo de los procesos dentro de un sistema. 7. cuando se quiere por medio de la simulación encontrar o hacer estudios y/o experimentos. 9

12 H. Criterios Para Que Un Modelo De Simulacion Sea Bueno 1. Fácil de entender por el usuario 2. Tenga el modelo metas y objetivos 3. Modelo no me dé respuestas absurdas 4. Que sea fácil de manipular, la comunicación entre el usuario y la computadora debe ser sencilla 5. Que sea completa, tenga por lo menos las partes o funciones más importantes del sistema 6. Sea adaptable que podamos modificar, adaptarlo, actualizarlo 7. Que sea evolutiva.al principio sea simple y poco a poco empezamos a volverla compleja dependiendo de las necesidades de los usuarios 10

13 I. Pasos Para La Construcción De Modelos De Simulación En Computadora FORMULA- CION DEL PROBLEMA Observamos que tipo de sistema estamos viendo 1 DEFINICION DEL SISTEMA 2 USO DE LASIMULACIO NO SI FORMULACION DEL MODELO Se toma al sistema real, lo analizamos y hacemos abstracción PREPARACION DE DATOS Encontrar algunas de las desventajas TRASLACION DEL MODELO 11

14 Validación Del Modelo Malo 1 BUENA 2 PLANEACION ESTRATEGICA Diseñar un experimento para buscar una nueva información deseada PLANEACION TACTICA EXPERIMENTACION 2 Determinar cómo se va a realizar cada una de las corridas de prueba del diseño experimental Tomar esos resultados y buscar la sensibilidad del modelo como afecto al cambio de una determinada variable o condición al modelo INTERPRETACION Empezar a inferir con base en los datos generados a qué clase de sistema diferido Podemos atribuir lo que pasa con este 2 UTIL DOCUMENTACION Combinar a unas con otras situaciones, se va a explicar para que sirve, datos de entrada, etc GUSTO NO Volver al sitio donde más le gustó al usuario SI IMPLEMENTACION Se toma el modelo y se lo implementa donde va a funcionar, aquí se trabaja con los datos 12

15 II. Generación de números pseudo aleatorios A. Los números pseudo aleatorios Para poder realizar una simulación que incluya variabilidad dentro de sus eventos, es preciso generar una serie de números que sean aleatorios por sí mismos, y que su aleatoriedad se extrapole al modelo de simulación que se está construyendo. Como puede comprender, en la construcción del modelo los números aleatorios juegan un papel relevante. Así, una de las primeras tareas que es necesario llevar a cabo Consiste en determinar si los números que utilizaremos para correr o ejecutar la simulación son realmente aleatorios o no; por desgracia, precisar lo anterior con absoluta certidumbre resulta muy complicado, ya que para ello tendríamos que generar un número infinito de valores que nos permitiera comprobar la inexistencia de correlaciones entre ellos. Esto sería muy costoso, volviendo impráctico el uso de la simulación aun con las computadoras más avanzadas. A pesar de lo anterior, podemos asegurar con altos niveles de confiabilidad que el conjunto de números que utilizaremos en una simulación se comportan de manera muy similar a un conjunto de números totalmente aleatorios; por ello es que se les denomina números pseudo aleatorios. Casi todas las aplicaciones comerciales tienen varios generadores de números pseudo aleatorios que pueden generar un conjunto muy grande de números sin mostrar correlación entre ellos. En el presente capítulo discutiremos algunos de los métodos de generación de números pseudo aleatorios, y precisaremos qué características deben tener para emplearlos como una fuente confiable de variabilidad dentro de los modelos. Asimismo se mostrarán algunas de las pruebas más comunes para comprobar qué tan aleatorios son los números obtenidos con dichos generadores. 13

16 B. Generación de números pseudo aleatorios Para realizar una simulación se requieren números aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales se hará referencia como, es decir, una secuencia = {,,,.. } que contiene n números, todos ellos diferentes; n recibe el nombre de periodo o ciclo de vida del generador que creó la secuencia. Los constituyen la parte medular de la simulación de procesos estocásticos, y generalmente se usan para generar el comportamiento de variables aleatorias, tanto continúas como discretas. Debido a que no es posible generar números realmente aleatorios, consideramos los como números pseudo aleatorios, generados por medio de algoritmos determinísticos que requieren parámetros de arranque. Para simular el comportamiento de una o más variables aleatorias es necesario contar con un conjunto suficientemente grande de que permita, por ejemplo, que la secuencia tenga al menos un periodo de vida de n= = De acuerdo con, - una secuencia de con periodo de vida de n= es relativamente pequeña; de hecho, incluso una secuencia de que contenga un ciclo de vida de n= se considera pequeña. En la actualidad contamos ya con generadores y procesadores capaces de construir una secuencia de con periodo de vida de n=. Probablemente el lector se preguntará por qué debe interesarnos construir una secuencia de números suficientemente grande. A continuación ilustraremos la razón mediante un ejemplo. Suponga que queremos simular el tiempo de atención a clientes en un banco que tiene 5 cajeros en paralelo, cada uno de los cuales atiende aproximadamente 50 clientes diarios. Para simular el tiempo de atención se requiere un generador de variable aleatoria en función de, por ejemplo = 5 + 2, expresado minutos para toda i =1, 2,3,..., n. Si simulamos el tiempo de atención de manera aislada, es decir, sin considerar el tiempo transcurrido desde la llegada de éstos, serán necesarios 5 x 50 = 250 números para 14

17 simular un día; si deseáramos simular 5 días se necesitarían 250 x 5= 1250 si consideramos el tiempo desde la llegada de los clientes, precisaríamos de 250. Ahora bien, simular el tiempo transcurrido desde la llegada al banco de los 250 clientes por día, y 250 x 5 = 1250 para para simular el correspondiente al total de clientes atendidos durante 5 días. Por lo tanto, se requerirán 2500 números pseudo aleatorios del banco durante 5 días. para simular la operación Como se mencionó antes, los resultados no pueden basarse en una sola simulación del sistema; por el contrario, es necesario realizar varias réplicas de la misma, corriendo cada una de ellas con números pseudo aleatorios diferentes. Retomando el ejemplo del banco, simular 5 días otra vez significa que necesitamos otros 2500 números pseudo aleatorios en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5000 sistema de atención a clientes con dos réplicas. para realizar la simulación del Imagine cuántos números serán necesarios para simular la operación del banco durante un año con 9 réplicas, o cuántos números se requieren para simular un sistema productivo durante un año, con varias líneas de producción, y cada línea de producción con varias estaciones, y cada estación con uno o más procesos. Dada la importancia de contar con un conjunto de suficientemente grande, en esta sección se presentan diferentes algoritmos determinísticos para obtenerlo. Por otra parte, es conveniente señalar que el conjunto de debe ser sometido a una variedad de pruebas para verificar si los números que lo conforman son realmente independientes y uniformes. Una vez generado el conjunto mediante un algoritmo determinístico, es necesario someterlo a las pruebas, si las supera, podrá utilizarse en la simulación; de lo contrario, simplemente deberemos desecharlo. Un conjunto de por: debe seguir una distribución uniforme continua, la cual está definida 15

18 ( ) { Generar un conjunto de es una tarea relativamente sencilla; para ello tiene que diseñar su propio algoritmo de generación. Lo que resulta difícil es diseñar un algoritmo que genere un conjunto de con periodo de vida suficientemente grande (N), y que además pase sin problema las pruebas de uniformidad e independencia, lo cual implica evitar problemas como éstos: Que los números del conjunto no estén uniformemente distribuidos, es decir, que haya demasiados en un subintervalo y en otro muy pocos o ninguno. Que los números generados sean discretos en lugar de continuos. Que la media del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que esté por arriba o por debajo de 1/2. Que la varianza del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que se localice por arriba o por debajo del 1/12. En ocasiones se presentan también anomalías como números seguidos por arriba o por debajo de la media; secuencia de por arriba de la media, seguida de una secuencia por debajo de la media, y viceversa, o varios seguidos en forma ascendente o descendente. A continuación se presentan diferentes algoritmos determinísticos para generar los, los cuales se clasifican en algoritmos no congruenciales y congruenciales. Los algoritmos no congruenciales son cuadrados medios, productos medios y multiplicador constante. Entre los algoritmos congruenciales se encuentran los algoritmos congruenciales lineales y los no lineales. Abordaremos los algoritmos congruenciales lineales tales como algoritmo congruencial lineal, multiplicativo y aditivo, y los algoritmos no lineales, como el algoritmo de Blum, Blum y Shub, y el congruencial cuadrático. 16

19 Algoritmo de cuadrados medios Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la década de los cuarenta del siglo XX por. Requiere un número entero detonador (llamado semilla) con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígitos del centro; el primer número se determina simplemente anteponiendo el 0 a esos dígitos. Para obtener el segundo se sigue el mismo procedimiento, sólo que ahora se elevan al cuadrado los D dígitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer. Este método se repite hasta obtener n números. A continuación se presentan con más detalle los pasos para generar números con el algoritmo de cuadrados medios. 1. Seleccionar una semilla ( ) con D dígitos (D> 3). 2. Sea = resultado de elevar al cuadrado; sea = los D dígitos del centro, y sea = 0.D dígitos del centro. 3. Sea = resultado de elevar al cuadrado; sea = los D dígitos del centro, y sea = 0.D dígitos del centro para toda i = 1,2,3,..n. 4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números deseados. Algoritmo de productos medios La mecánica de generación de números pseudo aleatorios de este algoritmo no congruencial es similar a la del algoritmo de cuadrados medios. La diferencia entre ambos radica en que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con D dígitos; además, en lugar de elevarlas al cuadrado, las semillas se multiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales formarán el primer número pseudo aleatorio = 0.D dígitos. Después se elimina una semilla, y la otra se multiplica por el primer número de D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conformarán un segundo número. Entonces se elimina la segunda semilla y se 17

20 multiplican el primer número de D dígitos por el segundo número de D dígitos; del producto se obtiene el tercer número. Siempre se irá eliminando el número más antiguo, y el procedimiento se repetirá hasta generar los n números pseudo aleatorios. A continuación se presentan con más detalle los pasos del método para generar números con el algoritmo de productos medios. 1. Seleccionar una semilla ( ) con D dígitos (D > 3). 2. Seleccionar una semilla ( ) con D dígitos (D > 3). 3. Sea = * sea = los D dígitos del centro, y sea = 0.D dígitos del centro. 4. Sea = * sea = los D dígitos del centro, y sea = 0.D dígitos del centro para toda i =1, 2, 3,.., n. 5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números deseados. Algoritmo congruencial multiplicativo El algoritmo congruencial multiplicativo surge del algoritmo congruencial lineal cuando c = 0. Entonces la ecuación recursiva es: = (a ) mod (m) i = 0, 1, 2, 3,.,n En comparación con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo multiplicativo es que implica una operación menos a realizar. Los parámetros de arranque de este algoritmo son, a y m, todos los cuales deben ser números enteros y mayores que cero. Para transformar los números en el intervalo (0,1) se usa la ecuación =, ( ). De acuerdo con -, las condiciones que deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su máximo periodo son: 18

21 m= a = 3 + 8k o a = 5 + 8k k = 0, 1, 2, 3,... debe ser un número impar g debe ser entero A partir de estas condiciones se logra un periodo de vida máximo N=k/4 = Algoritmo congruencial aditivo Este algoritmo requiere una secuencia previa de n números enteros,,,, para generar una nueva secuencia de números enteros que empieza en, Su ecuación recursiva es: = ( + ) mod (m) i = n + 1, n + 2, n + 3,.., N Los números pueden ser generados mediante la ecuación = /(m - 1) C. Pruebas estadísticas para los números pseudo aleatorios A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se emplean generalmente para determinar si un conjunto de números pseudo aleatorios entre 0 y 1 cumplen con las propiedades básicas de independencia y uniformidad. El objetivo, en otras palabras, es validar que el conjunto realmente está conformado por números aleatorios. Es importante mencionar que las pruebas que se discutirán no son las únicas. 19

22 Universidad Salesiana de Bolivia Prueba de medias Una de las propiedades que deben cumplir los números del conjunto,es que el valor esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determinar lo anterior es la llamada prueba de medias, en la cual se plantean las siguientes hipótesis: : 0.5 : 0.5 La prueba de medias consiste en determinar el promedio de los n números que contiene el conjunto mediante la ecuación siguiente: Posteriormente se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes: ( ) ( ) Si el valor de encuentra entre los limites de aceptación, concluimos que no se puede rechazar que el conjunto tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de aceptación de 1 -. En caso contrario se rechaza que el conjunto tiene un valor esperado de

23 Para el cálculo de los límites de aceptación se utiliza el estadístico determina por medio de la tabla de la distribución normal estándar. el cual se Prueba de varianza Otra de las propiedades que debe satisfacer el conjunto es que sus números tengan una varianza de 1/12. La prueba que busca determinar lo anterior es la prueba de varianza, que establece las siguientes hipótesis: La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que contiene el conjunto mediante la ecuación siguiente: ( ) ( ) Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes: ( ) ( ) ( ) ( ) Si el valor de ( ) se encuentra entre los límites de aceptación, decimos que no se puede rechazar que el conjunto tiene una varianza de 1/12, con un nivel de aceptación de 1 - ; de lo contrario, se rechaza que el conjunto tiene una varianza de 1/12. 21

24 Pruebas de uniformidad Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números es la uniformidad. Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas tales como las pruebas Chi-cuadrada y de Kolmogorov-Smirnov. En cualquiera de ambos casos, para probar la uniformidad de los números de un conjunto es necesario formular las siguientes hipótesis: no son uniformes ( ) Veamos a continuación cómo funciona cada una de estas pruebas. Prueba Chi-cuadrada La prueba Chi-cuadrada busca determinar si los números del conjunto se distribuyen uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el intervalo (0,1) en msubintervalos, en donde es recomendable. Posteriormente se clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto en los m intervalos. A la cantidad de números que se clasifican en cada intervalo se le denomina frecuencia observada ( ), y a la cantidad de números que se espera encontrar en cada intervalo se le llama frecuencia esperada ( ); teóricamente, la es igual. A partir de los valores de y se determina el estadístico mediante la ecuación ( ) 22

25 Si el valor del estadístico es menor al valor de tablas de entonces no se puede rechazar que el conjunto de números contrario, se rechaza que sigue una distribución uniforme. sigue una distribución uniforme. En caso Prueba Kolmogorov-Smirnov Propuesta por Kolmogorov y Smirnov, ésta es una prueba estadística que también nos sirve para determinar si un conjunto cumple la propiedad de uniformidad. Es recomendable aplicarla en conjuntos pequeños por ejemplo,. El procedimiento es el siguiente: 1. Ordenar de menor a mayor los números del conjunto. 2. Determinar los valores de: D, D y O con las siguientes ecuaciones: { } { } * + 3. Determinar el valor crítico de acuerdo con la tabla de valores críticos de Kolmogorov-Smirnov para un grado de confianza y según el tamaño de la muestra n. 4. Si el valor D es mayor que el valor crítico se concluye que los números del conjunto no siguen una distribución uniforme; de lo 23

26 contrario se dice que no se ha detectado diferencia significativa entre la distribución de los números del conjunto y la distribución uniforme. Pruebas de independencia Recuerde que las dos propiedades más importantes que deben satisfacer los números de un conjunto son uniformidad e independencia. A continuación hablaremos de las pruebas estadísticas que tratan de corroborar si los números en el intervalo (0,1) son independientes o, en otras palabras, si son pseudo aleatorios. Para probar la independencia de los números de un conjunto formular las siguientes hipótesis: primero es preciso los números del conjunto los números del conjunto son independientes no son independientes Prueba de corridas arriba y abajo El procedimiento de esta prueba consiste en determinar una secuencia de números (S) que sólo contiene unos y ceros, de acuerdo con una comparación entre y. Posteriormente se determina el número de corridas observadas, (una corrida se identifica como la cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valor esperado, la varianza del número de corridas y el estadístico mediante las ecuaciones: 24

27 Si el estadístico es mayor que el valor crftico de se concluye que los números del conjunto no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el conjunto de sea independiente. Considere el siguiente conjunto de 21 números: * + La secuencia de unos y ceros se construye de esta manera: se coloca un cero si el número es menor que o igual al número anterior; en caso de ser mayor que el número anterior, se pone un uno. Considerando la secuencia de los 21 números del conjunto que se dio arriba, la secuencia de unos y ceros es: * + Observe que la secuencia S contiene n - 1 números, en este caso 20. Esto se debe a que el primer número no tiene número anterior con el cual compararlo. Recuerde que una corrida se forma con unos consecutivos o ceros consecutivos. Por ejemplo los primeros dos ceros de la secuencia forman la primer corrida, la cual se dice que tiene una longitud de dos; el tercer número de la secuencia, uno, forma la segunda corrida con longitud de uno; después siguen dos ceros, los cuales forman la tercera corrida con longitud de dos; después sigue un uno, el cual forma la cuarta corrida con longitud de uno, etc. Siguiendo el proceso anterior se determina que el número de corridas de la secuencia es 25

28 III. Generación de Variables Aleatorias A. Definición de variable aleatoria A lo largo de los capítulos anteriores hemos mencionado que un modelo de simulación permite lograr un mejor entendimiento de prácticamente cualquier sistema. Para ello resulta indispensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí. Pero, Cómo podemos determinar qué tipo de distribución tiene una variable aleatoria? Cómo podemos usarla en el modelo, una vez que conocemos su distribución asociada? En este capítulo comentaremos los métodos y herramientas que pueden dar contestación a estas interrogantes clave para la generación del modelo. Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores: por lo general, la afluencia de clientes será mayor al mediodía que muy temprano por la mañana; la demanda será más alta el viernes que el miércoles; habrá más clientes un día de pago que un día normal, etc. Dadas estas características, las variables aleatorias deben cumplir reglas de distribución de probabilidad como éstas: La suma de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la variable aleatoria x es uno. La probabilidad de que un posible valor de la variables x se presente siempre es mayor que o igual a cero. El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la media de la misma, la cual a su vez estima la verdadera media de la población. Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria está definida por más de un parámetro, dichos parámetros pueden obtenerse 26

29 mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza de la población puede ser estimada usando la varianza de una muestra que es. De la misma manera, la desviación estándar de la población,, puede estimarse mediante la desviación estándar de la muestra s. B. Tipos de variables aleatorias Podemos diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tipo de valores aleatorios que representan. Por ejemplo, si habláramos del número de clientes que solicitan cierto servicio en un periodo de tiempo determinado, podríamos encontrar valores tales como 0, 1,2,..., n, es decir, un comportamiento como el que presentan las distribuciones de probabilidad discretas. Por otro lado, si habláramos del tiempo que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados como 1.54 minutos, horas o 1.37 días, es decir, un comportamiento similar al de las distribuciones de probabilidad continuas. Considerando lo anterior podemos diferenciar entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. Variables aleatorias discretas. Este tipo de variables deben cumplir con estos parámetros: ( ) ( ) 27

30 Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeométrica, la de Poisson y la binomial (vea la figura). Podemos asociar a estas u otras distribuciones de probabilidad el comportamiento de una variable aleatoria. Por ejemplo, si nuestro propósito al analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspección es buena o no, estamos realizando un experimento con dos posibles resultados: la pieza es buena o la pieza es mala. Este tipo de comportamiento está asociado a una distribución de Bernoulli. Por otro lado, si lo que queremos es modelar el número de usuarios que llamarán a un teléfono de atención a clientes, el tipo de comportamiento puede llegar a parecerse a una distribución de Poisson. Incluso podría ocurrir que el comportamiento de la variable no se pareciera a otras distribuciones de probabilidad conocidas. Si éste fuera el caso, es perfectamente válido usar una distribución empírica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad. Esta distribución puede ser una ecuación o una suma de términos que cumplan con las condiciones necesarias para ser consideradas una distribución de probabilidad. 28

31 0.35 p(x) Distribucióm binomial (N=5,p=5) 0, x Variables aleatorias continuas. Este tipo de variables se representan mediante una ecuación que se conoce como función de densidad deprobabilidad. Dada esta condición, cambiamos el uso de la sumatoria por la de una integral para conocer la función acumulada de la variable aleatoria, Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cumplir los siguientes parámetros: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 29

32 Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la figura). Al igual que en el caso de las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser asociados a ciertas distribuciones Distribución 2-Erlang con media Por ejemplo, es posible que el tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una distribución de probabilidad muy semejante a una exponencial, o que el tiempo que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de manera muy similar a la dispersión que presenta una distribución normal. Sin embargo, debemos hacer notar que este tipo de distribuciones tienen sus desventajas, dado que el rango de valores posibles implica que existe la posibilidad de tener tiempos infinitos de llegada de clientes o tiempos de ensamble infinitos, situaciones lejanas a la realidad. Por fortuna, es muy poco probable de se presenten este tipo de eventos, aunque el analista de la simulación debe estar consciente de cómo pueden impactar valores como los descritos en los resultados del modelo. En las siguientes secciones revisaremos algunas herramientas útiles para lograr ese objetivo. 30

33 C. Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determinarse mediante las pruebas Chi-cuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y de Anderson- Darling. En esta sección se revisarán los procedimientos de cada una de estas pruebas, así como la forma de realizarlas a través de Stat: :Fit, una herramienta complementaria de ProModel. Prueba Chi-cuadrada Se trata de una prueba de hipótesis a partir de datos, basada en el cálculo de un valor llamado estadístico de prueba, al cual suele comparársele con un valor conocido como valor crítico, mismo que se obtiene, generalmente, de tablas estadísticas. El procedimiento general de la prueba es: 1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar. 2. Calcular la media y varianza de los datos. 3. Crear un histograma de intervalos, y obtener la frecuencia observada en cada intervalo. 4. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma. 5. Calcular la frecuencia esperada,, a partir de la función de probabilidad propuesta. 6. Calcular el estadístico de prueba: ( ) 31

34 7. Definir el nivel de significancia de la prueba, y determinar el valor crítico de la prueba, (k es el número de parámetros estimados en la distribución propuesta). 8. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula. Prueba de Kolmogorov-Smirnov Esta prueba permite al igual que la prueba Chi-cuadrada determinar la distribución de probabilidad de una serie de datos. Una limitante de la prueba de Kolmogorov-Smirnov estriba en que solamente se puede aplicar al análisis de variables continuas. El procedimiento general de la prueba es: 1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar. 2. Calcular la media y la varianza de los datos. 3. Crear un histograma de intervalos, y obtener la frecuencia observada en cada intervalo. 4. Calcular la probabilidad observada en cada intervalo, esto es, dividir la frecuencia observada entre el número total de datos, n. 5. Acumular las probabilidades para obtener la probabilidad observada hasta el i-ésimo intervalo,. 6. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma. 7. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada intervalo,, a partir de la función de probabilidad propuesta. 8. Calcular el estadístico de prueba: 32

35 9. Definir el nivel de significancia de la prueba, y determinar el valor crítico de la prueba, (consulte la tabla de valores críticos de la prueba de KolmogorovSmirnov en la sección de apéndices). 10. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula. Prueba de Anderson-Darling Esta prueba tiene como propósito corroborar si una muestra de variables aleatorias proviene de una población con una distribución de probabilidad específica. En realidad se trata de una modificación de la prueba de Kolmogorov- Smirnov, aunque tiene la virtud de detectar las discrepancias en los extremos de las distribuciones. La principal desventaja de la prueba de Anderson-Darling estriba en que es necesario calcular los valores críticos para cada distribución. La prueba es muy sensible en los extremos de la distribución, por lo que debe ser usada con mucho cuidado en distribuciones con límite inferior acotado, y no es confiable para distribuciones de tipo de discreto. Actualmente es posible encontrar tablas de valores críticos para las distribuciones normal, lognormal, exponencial, loglogística, de Weibull y valor extremo tipo I. El procedimiento general de la prueba es: 1. Obtener n datos de la variable aleatoria a analizar. 2. Calcular la media y la varianza de los datos. 3. Organizar los datos en forma ascendente: 4. Ordenar los datos en forma descendente: 5. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad. 33

36 6. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada número, ( ), y la probabilidad esperada acumulada para cada número, ( ), a partir de la función de probabilidad propuesta. 7. Calcular el estadístico de prueba: [ ( ), ( ) ( ( )-] 8. Ajustar el estadístico de prueba de acuerdo con la distribución de probabilidad propuesta. 9. Definir el nivel de significancia de la prueba, y determinar su valor crítico, (vea la tabla). 10. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula. 34

37 Valores Críticos Distribución Estadístico de prueba ajustado 0, Parámetros conocidos Normal ( ) Exponencial ( ) De Weibull ( ) Log-logística ( )

38 IV. Autómatas Celulares A. Definición Un autómata celular (A.C.) es un modelo matemático para un sistema dinámico que evoluciona en pasos discretos. Es adecuado para modelar sistemas naturales que puedan ser descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente unos con otros. Son sistemas descubiertos dentro del campo de la física computacional por John von Neumann en la década de La teoría de los autómatas celulares se inicia con su precursor John von Neumann a finales de los década de 1940 con su libro Theory of SelfreproducingAutomata (editado y completado por A. W. Burks). Aunque John von Neumann puso en práctica los AA.CC., estos fueron concebidos en los años 40 por Konrad Zuse y StanislawUlam. Zuse pensó en los espacios de cómputo (computingspaces), como modelos discretos de sistemas físicos. Las contribuciones de Ulam vinieron al final de los 40, poco después de haber inventado con Nicholas Metropolis el Método de Montecarlo. B. Descripción No existe una definición formal y matemática aceptada de Autómata Celular; sin embargo, se puede describir a un A.C. como una tupla, es decir, un conjunto ordenado de objetos caracterizado por los siguientes componentes: Una rejilla o cuadriculado (lattice) de enteros (conjunto ) infinitamente extendida, y con dimensión. Cada celda de la cuadrícula se conoce como célula. Cada célula puede tomar un valor en a partir de un conjunto finito de estados k. Cada célula, además, se caracteriza por su vecindad, un conjunto finito de células en las cercanías de la misma. De acuerdo con esto, se aplica a todas las células de la cuadrícula una función de transición ( f ) que toma como argumentos los valores de la célula en cuestión y los valores 36

39 de sus vecinos, y regresa el nuevo valor que la célula tendrá en la siguiente etapa de tiempo. Esta función f se aplica, como ya se dijo, de forma homogénea a todas las células, por cada paso discreto de tiempo. Condiciones de frontera Topología del autómata celular de 2D plegado en 3D para el caso de frontera periódica. Por definición, un A.C. consiste de una retícula infinita de enteros. Sin embargo, para cuestiones prácticas (como en modelos de sistemas físicos llevados a cabo en ordenadores de memoria finita), se requiere tomar ciertas consideraciones a la hora de implementar un A.C. Por ello, la definición original se modifica para dar cabida a retículas finitas en las que las células del A.C. interactúen. Esto conlleva la consideración extra de lo que debe de suceder con aquellas células que se encuentren en los bordes de la retícula. A la implementación de una o varias consideraciones específicas se le conoce como condición de frontera. Dentro del ámbito de los A.C., se pueden implementar numerosas condiciones de frontera, en función de lo que el problema real requiera para su modelado. Por ejemplo: Frontera abierta. Se considera que fuera de la lattice residen células, todas con un valor fijo. En el caso particular del juego de la vida y de otros A.C. con dos estados en su conjunto k, una frontera se dice fría si las células fuera de la frontera se consideran muertas, y caliente si se consideran vivas. Frontera periódica. Se considera a la lattice como si sus extremos se tocaran. En una lattice de dimensión 1, esto puede visualizarse en dos dimensiones como una 37

40 circunferencia. En dimensión 2, la lattice podría visualizarse en tres dimensiones como un toroide. Frontera reflectora. Se considera que las células fuera de la lattice "reflejan" los valores de aquellas dentro de la lattice. Así, una célula que estuviera junto al borde de la lattice (fuera de ella) tomaría como valor el de la célula que esté junto al borde de la lattice, dentro de ella. Sin frontera. Haciendo uso de implementaciones que hagan crecer dinámicamente el uso de memoria de la lattice implementada, se puede asumir que cada vez que las células deben interactuar con células fuera de la lattice, esta se hace más grande para dar cabida a estas interacciones. Obviamente, existe un límite (impuesto por la memoria disponible) para esta condición. Es muy importante no confundir esta condición de frontera con la definición original de A.C. cuya lattice es inicialmente infinita. En el caso de un A.C. sin frontera, la lattice comienza con un tamaño definido y finito, y conforme se requiera va creciendo en el tiempo, lo cual no lo hace necesariamente un modelo más cercano a la realidad, pues si se inicializara la lattice aleatoriamente, con esta condición sólo se pueden inicializar las células dentro de la lattice inicial finita, mientras que en el caso de la definición original, en teoría todas las células de la lattice infinita deberían ser inicializadas. [editar] Variaciones Los A.C. pueden variar en alguna de las características antes mencionadas, derivando en autómatas celulares no estándar. Por ejemplo, un A.C. estándar tiene una cuadrícula donde se asume que las células son cuadros; es decir, que la retícula tiene una geometría cuadrada. Esto no es necesariamente un requisito, y se puede variar el A.C. para presentar una geometría triangular o hexagonal (en A.C. de 2 dimensiones, el cuadrado, el triángulo y el hexágono son las únicas figuras geométricas que llenan el plano). También puede variarse el conjunto de estados k que cada célula puede tomar, la función de transición f de forma que ya no sea homogénea, utilizar elementos estocásticos 38

41 (aleatoriedad) en f (lo que se conoce como A.C. probabilístico), variar las vecindades de cada célula, etc. C. Aplicaciones El caparazón de Conustextile muestra un patrón caracterizable en términos de autómatas celulares. Los autómatas celulares pueden ser usados para modelar numerosos sistemas físicos que se caractericen por un gran número de componentes homogéneos y que interactúen localmente entre sí. De hecho, cualquier sistema real al que se le puedan analogar los conceptos de "vecindad", "estados de los componentes" y "función de transición" es candidato para ser modelado por un A.C. Las características de los autómatas celulares harán que dichos modelos sean discretos en tiempo, espacio o ambos (dependiendo de la variante de la definición de A.C. que se use). Algunos ejemplos de áreas en donde se utilizan los autómatas celulares son: Modelado del flujo de tráfico y de peatones. Modelado de fluidos (gases o líquidos). Modelado de la evolución de células o virus como el VIH. Modelado de procesos de percolación. D. Autómata celular unidimensional El AC no trivial más simple consiste en una retícula unidimensional de células que sólo pueden tener dos estados («0» o «1»), con un vecindario constituido, para cada célula, de ella misma y de las dos células adyacentes (23=8 configuraciones posibles). Existen 28=256 modos de definir cuál ha de ser el estado de una célula en la generación siguiente para cada una de estas configuraciones, luego existen 256 AC diferentes de este tipo. Consideremos el AC definido por la tabla siguiente, que nos da la regla de evolución: 39

42 Motivo inicial Valor siguiente de la célula central E. Autómata celular bidimensional El juego de la vida El juego de la vida es el mejor ejemplo de un autómata celular, diseñado por el matemático británico John HortonConway en Hizo su primera aparición pública en el número de octubre de 1970 de la revista Scientific American, en la columna de juegos matemáticos de Martin Gardner. Desde un punto de vista teórico, es interesante porque es equivalente a una máquina universal de Turing, es decir, todo lo que se puede computar algorítmicamente se puede computar en el juego de la vida. Desde su publicación, ha atraído mucho interés debido a la gran variabilidad de la evolución de los patrones. Se considera que la vida es un buen ejemplo de emergencia y autoorganización. Es interesante para los científicos, matemáticos, economistas y otros observar cómo patrones complejos pueden provenir de la implementación de reglas muy sencillas. La vida tiene una variedad de patrones reconocidos que provienen de determinadas posiciones iniciales. Poco después de la publicación, se descubrieron el pentaminó R, el planeador o caminador (en inglés glider, conjunto de células que se desplazan) y el explosionador (células que parecen formar la onda expansiva de una explosión), lo que atrajo un mayor interés hacia el juego. Contribuyó a su popularidad el hecho de que se publicó justo cuando se estaba lanzando al mercado una nueva generación de miniordenadores baratos, lo que significaba que se podía jugar durante horas en máquinas que, por otro lado, no se utilizarían por la noche. 40

43 Para muchos aficionados, el juego de la vida sólo era un desafío de programación y una manera divertida de usar ciclos de la CPU. Para otros, sin embargo, el juego adquirió más connotaciones filosóficas. Desarrolló un seguimiento casi fanático a lo largo de los años 1970 hasta mediados de los 80. El juego de la vida es en realidad un juego de cero jugadores, lo que quiere decir que su evolución está determinada por el estado inicial y no necesita ninguna entrada de datos posterior. El "tablero de juego" es una malla formada por cuadrados ("células") que se extiende por el infinito en todas las direcciones. Cada célula tiene 8 células vecinas, que son las que están próximas a ella, incluso en las diagonales. Las células tienen dos estados: están "vivas" o "muertas" (o "encendidas" y "apagadas"). El estado de la malla evoluciona a lo largo de unidades de tiempo discretas (se podría decir que por turnos). El estado de todas las células se tiene en cuenta para calcular el estado de las mismas al turno siguiente. Todas las células se actualizan simultáneamente. Las transiciones dependen del número de células vecinas vivas: Una célula muerta con exactamente 3 células vecinas vivas "nace" (al turno siguiente estará viva). Una célula viva con 2 ó 3 células vecinas vivas sigue viva, en otro caso muere o permanece muerta (por "soledad" o "superpoblación"). Ejemplos de patrones Existen numerosos tipos de patrones que pueden tener lugar en el juego de la vida, como patrones estáticos ("vidas estáticas", en inglés stilllifes), patrones recurrentes ("osciladores", oscillators, un conjunto de vidas estáticas) y patrones que se trasladan por el tablero ("naves espaciales", spaceships). Los ejemplos más simples de estas tres clases de patrones se muestran abajo. Las células vivas se muestran en negro y las muertas en blanco. Los nombres son más conocidos en inglés, por lo que también se muestra el nombre de estas estructuras en dicho idioma. 41

44 Bloque Barco Parpadeador Sapo Planeador Nave ligera Block Boat Blinker Toad Glider LWSS El bloque y el barco son vidas estáticas, el parpadeador y el sapo son osciladores y el planeador y la nave espacial ligera (LWSS, lightweightspaceship) son naves espaciales que recorren el tablero a lo largo del tiempo. Los patrones llamados "Matusalenes" (Methuselahs) pueden evolucionar a lo largo de muchos turnos, o generaciones, antes de estabilizarse. El patrón "Diehard" desaparece después de 130 turnos, mientras que "Acorn" tarda 5206 turnos en estabilizarse en forma de muchos osciladores, y en ese tiempo genera 13 planeadores. Diehard Acorn En la aparición original del juego en la revista, Conway ofreció un premio de 50 dólares por el descubrimiento de patrones que crecieran indefinidamente. El primero fue descubierto por Bill Gosper en noviembre de Entre los patrones que crecen indefinidamente se encuentran las "pistolas" (guns), que son estructuras fijas en el espacio que generan planeadores u otras naves espaciales; "locomotoras" (puffers), que se mueven y dejan un rastro de basura y "rastrillos" (rakes), que se mueven y emiten naves espaciales. Gosper descubrió posteriormente un patrón que crece cuadráticamente llamado "criadero" (breeder), que deja atrás un rastro de pistolas. Desde entonces se han creado construcciones más complicadas, como puertas lógicas de planeadores, un 42

45 sumador, un generador de números primos y una célula unidad que emula el juego de la vida a una escala mucho mayor y una velocidad menor. El primer planeador que se ha descubierto sigue siendo el más pequeño que se conoce: Pistola de planeadores de Gosper (GosperGliderGun) Se han hallado posteriormente patrones más simples que también crecen indefinidamente. Los tres patrones siguientes crecen indefinidamente. Los dos primeros generan un motor interruptor que deja bloques, mientras que el tercero genera dos. El primero tiene una población mínima de 10 células vivas, el segundo cabe en un cuadrado 5 5 y el tercero sólo tiene un cuadrado de altura: 43

46 Es posible que los planeadores interactúen con otros objetos de forma interesante. Por ejemplo, si se disparan dos planeadores hacia un bloque contra el que chocan de la forma correcta, el bloque se acercará al origen de los planeadores, pero si se disparan tres planeadores de forma correcta el bloque se alejará. Esta "memoria del bloque deslizante" se puede emplear para simular un contador. Es posible construir puertas lógicas AND (y, conjunción), OR (o, disyunción) y NOT (no, negación) mediante el uso de planeadores. También se puede construir una estructura que actúe como una máquina de estados finitos conectada a dos contadores. Esto tiene la misma potencia computacional que una máquina universal de Turing, así que el juego de la vida es tan potente como un ordenador con memoria ilimitada: por ello es Turing-completo. Además, una estructura puede contener un conjunto de pistolas que se combinen para construir nuevos objetos, incluso copias de la estructura original. Se puede construir un "constructor universal" que contenga un ordenador Turing-completo y que pueda generar muchos tipos de objetos complejos, incluso nuevas copias de sí mismo. (Vienen descripciones de estas construcciones en WinningWaysforyourMathematicalPlays de Conway, ElwynBerlekamp y Richard Guy) Variantes Desde la creación del juego se han desarrollado nuevas reglas. El juego estándar, en que nace una célula si tiene 3 células vecinas vivas, sigue viva si tiene 2 o 3 células vecinas vivas y muere en otro caso, se simboliza como "23/3". El primer número o lista de números es lo que requiere una célula para que siga viva, y el segundo es el requisito para su nacimiento. 44

47 Así, "16/6" significa que "una célula nace si tiene 6 vecinas y vive siempre que haya 1 o 6 vecinas". HighLife ("Alta Vida") es 23/36, porque es similar al juego original 23/3 sólo que también nace una célula si tiene 6 vecinas vivas. HighLife es conocida sobre todo por sus replicantes. Se conocen muchas variaciones del juego de la vida, aunque casi todas son demasiado caóticas o demasiado desoladas. /3 (estable) casi todo es una chispa 5678/35678 (caótico) diamantes, catástrofes 1357/1357 (crece) todo son replicantes 1358/357 (caótico) un reino equilibrado de amebas 23/3 (caótico) "Juego de la Vida de Conway" 23/36 (caótico) "HighLife" (tiene replicante) /3678 (estable) mancha de tinta que se seca rápidamente 245/368 (estable) muerte, locomotoras y naves 34/34 (crece) "Vida 34" 51/346 (estable) "Larga vida" casi todo son osciladores Parte de la lista que hay en Life32 Se han desarrollado variantes adicionales mediante la modificación de otros elementos del universo. Las variantes anteriores son para un universo bidimensional formado por cuadrados, pero también se han desarrollado variantes unidimensionales y tridimensionales, así como variantes 2-D donde la malla es hexagonal o triangular en lugar de cuadrada. 45

48 V. Simulación de sucesos discretos A. Verificación y validación de los modelos de simulación Gracias al avance tecnológico, en la actualidad existen en el mercado aplicaciones con interfaces gráficas tan poderosas que permiten a muchos usuarios con inclinaciones técnicas desarrollar modelos en el área de la simulación. Por desgracia, en general dichos usuarios aprenden a usar el lenguaje relacionado y manejan algunos de los conceptos básicos, pero ponen muy poca atención al análisis correcto de los resultados. Así, muchos estudios son interpretados de manera errónea y es muy probable que conduzcan, en consecuencia, a malas decisiones. Entre otras, el fenómeno que acabamos de describir ocurre por razones comoéstas: en primer lugar, el falso sentido de seguridad que desarrolla el usuario por el simple hecho de conocer el lenguaje utilizado en el área; la facilidad de uso del software de simulación actual y su capacidad para desarrollar gráficos y animaciones y, sobre todo, la dificultad implícita en el análisis estadístico de la información. Es muy común encontrar personas que después de simular un sistema estocástico aseguran de manera bastante ingenua que el resultado de la variable de respuesta es un valor único por ejemplo, que el número de piezas que se acumulan ante una máquina es tan sólo el promedio de la variable, dejando de lado un completo análisis estadístico de dicha variable. Para evitar que el lector se convierta en uno de esos usuarios, a continuación se discutirán los aspectos mínimos que deben cuidarse en el análisis de las variables de salida. Para empezar debemos distinguir dos categorías entre los modelos de simulación: modelos de categoría terminal y modelos no terminales o de estado estable. A continuación se explica esta clasificación con más detalle. 46

49 Simulaciones terminales Los modelos de tipo terminal tienen como característica principal la ocurrencia de un evento que da por terminada la simulación. Un ejemplo sería el siguiente: digamos que nos interesa conocer el tiempo que llevaría procesar un lote de 10 piezas, el tiempo requerido para vender 100 periódicos, o el número de clientes que se atiende en una cafetería entre las 8:00 y 9:00 a.m. El análisis estadístico recomendado para este tipo de simulaciones involucra la utilización de intervalos de confianza y la determinación de la distribución de probabilidad de la variable de salida. - Intervalos de confianza Debido a la naturaleza aleatoria de los resultados de este tipo de modelos, es necesario determinar su distribución de probabilidad y su intervalo de confianza en las diferentes réplicas. En la sección del capítulo anterior se discute cómo obtener la distribución de probabilidad de una variable aleatoria; por lo tanto, aquí nos ocuparemos de los intervalos de confianza. Si la variable aleatoria sigue una distribución normal, el intervalo de confianza está dado por: [ ( ) ( )] En caso de que la variable aleatoria siga otro tipo de distribución, el intervalo de confianza es relativamente más amplio, y se calcula como: [ ] En ambas ecuaciones: r = Número de réplicas = Nivel de rechazo 47

50 ( ( ) ) Simulaciones no terminales o de estado estable A diferencia de los modelos anteriores, las simulaciones no terminales o de estado estable no involucran una ocurrencia en el tiempo en que tengan que finalizar. Por ejemplo, si deseáramos conocer el número de máquinas que deben instalarse en un sistema de producción cuya operación tiene que mantenerse activa continuamente durante todo el año, podríamos modelar el sistema hasta que la variable de interés llegara a un estado estable. En este caso surge la necesidad de determinar la longitud de la corrida para asegurar la estabilización de los resultados del modelo. Veamos cómo satisfacer dicho requisito. - Longitud de las réplicas Para que el resultado de una variable aleatoria llegue al estado estable en una simulación no terminal, es necesario garantizar que la longitud de la réplica, n, sea lo suficientemente grande para que la variación entre réplicas no difiera de cierta exactitud,, el ( ) de las veces. En caso de normalidad el tamaño de corrida de la simulación se calcula como:. / 48

51 B. Modelos de simulación Con el propósito de dar una idea de cómo desarrollar un modelo de simulación y de qué manera emplear los conceptos expuestos a lo largo del presente capítulo, a continuación se presentan algunos ejemplos programados en un programa de hoja de cálculo. - Modelo de una línea de espera con un servidor Ejemplo El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una estación de inspección sigue una distribución exponencial con media de 5 minutos/pieza. El proceso está a cargo de un operario, y la duración de la inspección sigue una distribución normal con media de 4.0 y desviación estándar de 0.5 minutos/pieza. Calcular el tiempo promedio de permanencia de las piezas en el proceso de inspección. Para solucionar el problema anterior se debe: 1. Construir una tabla de eventos en la que se describa la relación entre las variables involucradas en el proceso. Para la construcción de dicha tabla es preciso identificar los elementos que se listan a continuación. 49

52 Variable de estado Tiempo en el sistema de inspección (7) Entidades Piezas Eventos Tiempo de llegada (2) Fin de la inspección (5) Evento secundario Inicio de la inspección (3) Actividades Tiempo entre llegadas (1) Tiempo de inspección (4) Los números entre paréntesis indican la columna que ocupa cada elemento en las tablas siguientes 2. Definir las relaciones lógico-matemáticas entre los elementos; de la siguiente tabla se describen, por ejemplo, las siguientes relaciones: a. El tiempo entre llegadas es una variable aleatoria, simulada utilizando el generador RAND( ) o ALEATORIO( ) de la hoja de cálculo de Excel y la función generadora de variables exponenciales ( ). b. El evento tiempo de llegada de la pieza corresponde al valor acumulado de la columna (1). c. Tomando en cuenta que solamente existe un operario encargado de la tarea, el inicio de la inspección puede ocurrir cuando la pieza entra al sistema, en caso de que el operario esté ocioso (2), o bien cuando termina de inspeccionar la pieza anterior (5). d. El tiempo de inspección es una variable aleatoria normal con media 4 y desviación estándar 0.5, generada mediante la función interna normal acumulada inversa (NORMINV o DISTNORMINV) y como 50

53 probabilidad el generador de números aleatorios RAND( ) o ALEATORIO( ). e. El fin de la inspección se calcula sumando el tiempo de inspección (4) al tiempo de inicio de la inspección (3). f. La variable tiempo en inspección se calcula, finalmente, como la diferencia entre el tiempo de llegada (2) y el fin de la inspección (5). g. Si bien no forma parte del objetivo del ejemplo, también es posible determinar el tiempo de espera de una pieza antes de ser inspeccionada, ya que es igual a la diferencia entre el tiempo de inicio de inspección (3) y el tiempo de llegada de la pieza (2). h. Esta última columna permite calcular el tiempo promedio de inspección como promedio móvil: cada vez que una nueva pieza es simulada, el tiempo promedio de inspección se recalcula. 51

54 Tabla a. Relación entre los eventos y actividades involucradas en el proceso C D E F G H I J K Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo entre de Inicio de la Fin de la en en Tiempo promedio llegadas llegada inspección Tiempo de inspección inspección espera en inspección 3 Pieza (1) (2) (3) inspección (4) (5) (6) (7) (8) =5*LN(1- RAND( )) =D5 =E5 =NORMINV(RAND( ),4,0.5) =F5+G5 =H5-E5 =F5-E5 =AVERAGE($I$5:15) 6 2 =5*LN(1- RAND( )) =D6+E5 =MAX(E6,H5) =NORMINV(RAND( ),4,0.5) =F6+G6 =H6-E6 =F6-E6 =AVERAGE($I$5:16) 7 3 =5*LN(1- RAND( )) =D7+E6 =MAX(E7,H6) =NORMINV(RAND( ),4,0.5) =F7+G7 =H7-E7 =F7-E7 =AVERAGE($I$5:17) 8 4 =5*LN(1- RAND( )) =D8+E7 =MAX(E8,H7) =NORMINV(RAND( ),4,0.5) =F8+G8 =H8-E8 =F8-E8 =AVERAGE($I$5:18) 52

55 3. Una vez definidas las relaciones se simula el proceso, teniendo cuidado de que el tamaño de la réplica o experimento sea lo suficientemente grande para asegurar la estabilidad del resultado final. La réplica cuyos resultados se ilustran en la tabla 4.2 se realizó con 1500 piezas; la información nos indica que el tiempo promedio de espera es de minutos/pieza. Además de este resultado, la columna 8 permite visualizar la estabilización del sistema mediante una gráfica de líneas. 53

56 Tabla b. Simulación del proceso de inspección (en una hoja de cálculo de Excel) Tiempo Tiempo Tiempo Inicio de Tiempo Tiempo Tiempo promedio entre de la de Fin de la en en en llegadas llegada inspección inspección inspección inspección espera inspección Pieza (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

57

58 La gráfica de estabilización que se obtuvo a partir de la columna 8 (Tiempo promedio en inspección) se muestra en la gráfica. Dicha gráfica nos indica que el tamaño de la réplica es lo suficientemente grande para asegurar la convergencia del resultado. Cabe señalar que esta gráfica de estabilización corresponde a una réplica diferente a la de la tabla de eventos. Al trabajar con procesos donde se involucran variables, actividades y eventos aleatorios, las variables de estado o variables de respuesta serán, en consecuencia, aleatorias. La gráfica siguiente muestra las gráficas de estabilización de 5 diferentes réplicas del mismo modelo. Si bien la estabilización está asegurada, el resultado final nunca es el mismo; es evidente que replicar el experimento debe ser una práctica común en cualquier simulación. 56

59 Al replicar el experimento 50 veces se obtienen los resultados que se listan en la siguiente tabla. Para comprender el comportamiento de la variable es necesario analizar estadísticamente esta información. Tabla Resultados de 50 réplicas del experimento El análisis estadístico de la réplicas realizado en este caso con la herramienta Stat: :Fit de ProModel permite concluir, a través de una prueba de bondad de ajuste, que el tiempo promedio de espera en el proceso de inspección sigue una distribución de Erlang con los siguientes parámetros: localización 9, forma 3 y escala 1.06; además tenemos los siguientes estadísticos básicos: Media: minutos/pieza. Desviación estándar: 1.76 minutos/pieza. Intervalo de confianza con, - minutos/pieza. 57

60 Valor mínimo en la muestra: 9.69 minutos/pieza. Valor máximo en la muestra: minutos/pieza. Coeficiente de asimetría (skewness): Curtosis: Modelo de un proceso de ensamble e inspección Ejemplo Dos barras metálicas de diferente longitud son unidas mediante un proceso de soldadura para formar una barra de mayor longitud. La longitud del primer tipo de barra sigue una distribución uniforme entre 45 y55 cm. La longitud del segundo tipo de barra sigue una distribución 4-Erlang con media de 30 cm. Las especificaciones del producto final son de 80±10 cm. Determinar el porcentaje de barras fuera de especificación. Para la solución del ejemplo se requiere: 58

61 Identificación de los elementos: Variable de estado Entidades Evento Cantidad de barras fuera de especificación Barras Comparación contra especificaciones 0: Dentro de especificaciones 1: Fuera de especificaciones Actividades Medición de la longitud de la barra 1 Medición de la longitud de la barra 2 Soldadura de las barras 1 y 2 Construcción de la tabla de eventos. 59

62 Tabla Inicial: Relación entre los elementos C D E F G H I K Probabilidad de Longitud barra Longitud barra 2 Longitud estar fuera de 1 (cm) (cm) total (cm) Ei Es Estado de la barra especificaciones Ensamble (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) =(55- = )*RAND ( (30/4)*LN(RAND( =D5+E =IF(F5<G5,1,IF(F5>H5,1,0)) =SUM($I$5:I5)/C5 )+45 ) =(55- = )*RAND ( (30/4)*LN(RAND( =D6+E =IF(F6<G6,1,IF(F6>H6,1,0)) =SUM($I$5:I6)/C6 )+45 ) 3 =(55-45)*RAND ( = - (30/4)*LN(RAND( =D7+E =IF(F7<G7,1,IF(F7>H7,1,0)) =SUM($I$5:I7)/C7 60

63 )+45 ) =(55- = )*RAND ( (30/4)*LN(RAND( =D8+E =IF(F8<G8,1,IF(F8>H8,1,0)) =SUM($I$5:I8)/C8 )+45 ) 61

64 La tabla anterior muestra la relación matemática entre las diferentes variables o elementos del sistema; fue desarrollada en una hoja de cálculo y el significado de cada columna es el siguiente: 1. La longitud de la barra 1 es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 45 y 50 cm. Fue simulada con el generador RAND( ) o ALEATORIO( ) de la hoja de cálculo, y CON la ecuación generadora de variables uniformes ( ). 2. La longitud de la barra 2 es una variable aleatoria simulada con la función RAND( ) o ALEATORIO( ), y CON la ecuación generadora de eventos Erlang: ( ) 3. Longitud total: Esta columna representa el proceso de soldadura, y se obtiene sumando las longitudes de las barras pequeñas de las columnas (1) y (2). 4. La variable Ei simula el límite inferior de las especificaciones. 5. La variable Es simula el límite superior de las especificaciones. 6. Se asigna el atributo de calidad a cada pieza, denominado Estado de la barra, mediante la comparación de la longitud total de la barra y los límites de especificación. 7. Para determinar la Probabilidad de estar fuera de especificaciones se divide el número de piezas defectuosas entre el número de piezas totales. Esto permite obtener la probabilidad como promedio móvil, de manera que cada vez que es simulado un nuevo ensamble la probabilidad se recalcula. 62

65 Simulación de sistema. Una réplica con los resultados numéricos de las ecuaciones se muestra en la tabla siguiente. A partir de la información de la variable aleatoria Estado de la barra (columna 6) y mediante una prueba de bondad de ajuste, es posible demostrar que esa variable sigue una distribución de probabilidad de Bernoulli con media 0.5. Tabla resultante: Simulación del proceso (en Excel) Longitud Longitud Longitud Estado barra 1 barra 2 total de la (cm) (cm) (cm) Ei Es barra Probabilidad Ensamble (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

66 Construcción de la gráfica de estabilización. La gráfica de estabilización siguiente de la información de la Probabilidad (columna 7) de la tabla resultante permite visualizar que la réplica entra a la zona de estado estable después de 200 ensambles, y se mantiene oscilando alrededor de 0.5 hasta el final de la simulación, Ésta nos permite comprobar visualmente que el experimento tiene las dimensiones suficientes para asegurar la convergencia del resultado. 64

67 Réplicas. Al replicar el experimento 42 veces, modificando sólo la secuencia de números pseudo aleatorios, se obtienen los resultados de la tabla siguiente. Tabla Resultados de 42 réplicas del experimento Análisis estadístico de la variable de estado: El análisis del resultado de las réplicas de la tabla realizado con ayuda de la herramienta Stat: :Fit de ProModel permite concluir, a través de una prueba de bondad de ajuste, que la Probabilidad de que un ensamble esté fuera de especificaciones sigue una distribución de Erlang con estos parámetros: localización, 0, forma 31.5, y escala,

68 Además, la variable de respuesta tiene los siguientes estadísticos: Media: Desviación estándar: Intervalo de confianza con, - minutos/pieza. Valor mínimo en la muestra: Valor máximo en la muestra: Coeficiente de asimetría: Curtosis: Modelo de un sistema de inventarios Ejemplo La demanda de azúcar en una tienda sigue una distribución exponencial con media de 100 kg/día. El dueño de la tienda revisa el inventario cada 7 días, y hace un pedido a la planta igual a la capacidad de la bodega menos la cantidad de azúcar que tiene disponible en ese momento; la entrega es inmediata. La demanda no surtida por falta de existencias representa ventas perdidas. La capacidad de almacenamiento de la bodega es de 700 kg. El costo de ordenar es de $1000/orden. El costo de faltante es de $6/kg, y el costo de llevar el inventario es 66

69 de $1/kg. Determinar el comportamiento del inventario a lo largo del tiempo y el costo promedio/día para un horizonte de dos meses. Para la solución del ejemplo se requiere: Identificación de los elementos: Variable de estado Entidades Evento Cantidad de barras fuera de especificación Clientes Demanda Ventas Entrega de material por parte del proveedor Actividades Cálculo de los costos Construcción de la tabla de eventos. 67

70 Tablas de eventos para el ejemplo 9 B C D E F G 1 0 Día Entregas del proveedor Inventar io inicial Demanda Ventas Inventario final =C11 RAND( )) =IF(D11>=E11,E1 1,D11) = -100*LN(1- =MAX(0,$D11- $E11) 1 =B11 =IF(MOD(B12,7)=0,70 =G11+C =IF(D12>=E12,E1 = -100*LN(1- =MAX(0,$D G11,0) 12 RAND( )) 2,D12) $E12) 1 =B12 =IF(MOD(B13,7)=0,70 =G12+C =IF(D13>=E13,E1 = -100*LN(1- =MAX(0,$D G12,0) 13 RAND( )) 3,D13) $E13) 1 =B13 =IF(MOD(B14,7)=0,70 =G13+C =IF(D14>=E14,E1 = -100*LN(1- =MAX(0,$D G13,0) 14 RAND( )) 4,D14) $E14) 1 =B14 =IF(MOD(B15,7)=0,70 =G14+C =IF(D15>=E15,E1 = -100*LN(1- =MAX(0,$D G14,0) 15 RAND( )) 5,D15) $E15) (a) Relación entre los elementos 68

71 9 H I J K L Costo de 1 0 Costo de ordenar llevar inventario Costo de faltante Costo total Costo promedio 1 =IF(MOD(B11,7)=0 =1*(D11+G =IF(D11<=E11,6*(E11 =SUM(J11: =AVERAGE($M$11 1,1000,0) 11)/2 -D11),0) L11) :M11) 1 =IF(MOD(B12,7)=0 =1*(D12+G =IF(D12<=E12,6*(E12 =SUM(J12: =AVERAGE($M$11 2,1000,0) 11)/2 -D12),0) L12) :M12) 1 =IF(MOD(B13,7)=0 =1*(D13+G =IF(D13<=E13,6*(E13 =SUM(J13: =AVERAGE($M$11 3,1000,0) 11)/2 -D13),0) L13) :M13) 1 =IF(MOD(B14,7)=0 =1*(D14+G =IF(D14<=E14,6*(E14 =SUM(J14: =AVERAGE($M$11 4,1000,0) 11)/2 -D14),0) L14) :M14) 1 =IF(MOD(B15,7)=0 =1*(D15+G =IF(D15<=E15,6*(E15 =SUM(J15: =AVERAGE($M$11 5,1000,0) 11)/2 -D15),0) L15) :M15) (b) Relación entre los costos Las tablas (a) y (b) muestran la relación matemática entre las diferentes variables o elementos del sistema; la tabla está desarrollada en un programa de hoja de cálculo, y el significado de cada columna es el siguiente: B: Contador de los Días transcurridos. C: En esta columna se simulan las Entregas de material: cada siete días se restablece el inventario en un nivel de 700 kg. Los valores se calculan como la diferencia entre la Capacidad del almacén y el Inventario final 69

72 del día anterior. El uso de la función residuo o módulo (MOD) permite controlar que la entrega se realice cada vez que el Día (columna B) sea múltiplo de siete. D: El Inventario al inicio del día se calcula sumando el Inventario final del día anterior y las Entregas de material por parte del proveedor. E: La Demanda es una variable aleatoria con distribución exponencial y media de 100 kg. Se simula mediante el generador RAND( ) o ALEATORIO( ) de la hoja de cálculo y la ecuación generadora ( ) F: Las Ventas representan la cantidad que le fue entregada al cliente, y se calcula como el valor mínimo entre el Inventario al inicio del día y la Demanda. G: El Inventario al final del día se calcula restando las Ventas (columna F) del Inventario inicial del día (columna D), verificando previamente que no exista faltante. H: En esta columna la función residuo o módulo (MOD) permite incrementar en $ 1000 el Costo de ordenar cada vez que llegue una orden a la tienda. I: Se calcula el inventario promedio durante el día, y el resultado se multiplica por $1/kg. J: En caso de no cubrir la Demanda, el Costo de faltante se calcula multiplicando la demanda no surtida en ese día por el costo de faltante por unidad, que en el ejemplo es de $6/kg. K: El Costo total se determina mediante la suma de las columnas Costos de inventario, Faltante y Ordenar. L: La forma de calcular esta columna permite tener el Costo total como promedio móvil: cada vez que se simula un nuevo día, el costo se 70

73 recalcula. Con esta columna se analiza la estabilidad de la variable inventario promedio. Simulación de sistema: La tabla 4.8 muestra que los resultados es una réplica de 14 días de la simulación del sistema, utilizando las ecuaciones de las tablas (a) y (b). 71

74 Tabla de eventos del sistema de inventarios Entregas Costo Costo de Costo del Inventario Inventario de llevar de Costo Costo Día proveedor inicial Demanda Ventas final ordenar inventario faltante total promedio

75

76 Resultados: La figura 4.11 muestra el comportamiento del inventario al inicio del día (columna C) a lo largo del tiempo, para el periodo simulado de 60 días. El análisis del costo promedio de operación de la tienda incluye primeramente las gráficas de estado estable de cinco réplicas independientes de los resultados de la tabla anterior. El resultado nos permite observar la convergencia del costo respecto del tiempo. 74