7. Escriba la suma de Riemann para la función f(x) = 1 x y donde ci es elegido como: a) El extremo izquierdo del i-ésimo sub-intervalo.

Transcripción

1 Escuela Superior Politécnica del Litoral Práctica 2.1 de Cálculo Integral 1. Para la función f(x) = x 3 en [0, 1], determine: a) La suma superior y la suma inferior, respecto a la partición P = { 0, 1, 1, 5, 1} b) De ser posible, el área de la región limitada por la curva y = x 3, las rectas x = 0, x = 1 y el eje X. 2. Determine la suma superior y la suma inferior de f(x) = sen(x) respecto a la partición P = { 0, π, π, π, 2π, 5π, π} Dada la función f(x) = 1 + x 4, determine la suma superior respecto a las particiones P = { 1, 1, 2, 5, 3} y Q = { 1, 5, 3, 7, 2, 9, 5, 11, 3}. Compare los resultados obtenidos y justique cuál de ellos aproxima mejor el área de la región denida a partir de la gráca de f. 4. Calique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justique su respuesta. a) Existe una función continua no negativa f en [a, b] y una partición P de [a, b], tales que S f (P ) = 3 y S f (P ) = 2. b) Toda función acotada no negativa, denida en un intervalo cerrado [a, b], tiene integral denida. 5. Suponga que f es continua y creciente en [a, b] y suponga que P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b} es un partición de [a, b] tal que x i = h; para todo 1 i n (paso constante). Demuestre que S f (P ) S f (P ) = h(f(b) f(a)). 6. Escriba la suma de Riemann para la función f(x) = tan(x) empleando la partición P = { 0, π, π, π, } π y donde ci es elegido como el punto medio del i-ésimo sub-intervalo. 7. Escriba la suma de Riemann para la función f(x) = 1 x P = { 1, 9, 8, 7, 6, } y donde ci es elegido como: empleando la partición a) El extremo izquierdo del i-ésimo sub-intervalo. b) El punto medio del i-ésimo sub-intervalo. c) El extremo derecho del i-ésimo sub-intervalo. SS 1

2 Escuela Superior Politécnica del Litoral Práctica 2.1 de Cálculo Integral Ahora compare estos resultados y justique si son coherentes con la teoría vista en clases. 8. Identique si las siguientes sumas representan una suma de Riemann. En tal caso especique la función cuya integral denida aproxima y en qué intervalo cerrado ocurre la aproximación. Justique su respuesta. a) b) n [sen(x i )cos(x i 1 ) + sen(x i 1 )cos(x i )](x 2 i x 2 i 1) i=1 n i=1 e i n n 9. Dada la función f(x) = x 2 x; x [1, 3]. a) Aproxime 3 1 f(x)dx eligiendo c i equiespaciada con n = 5. b) Aproxime 3 1 f(x)dx eligiendo c i equiespaciada con n = 10. c) De ser posible, el valor de 3 1 f(x)dx. como punto medio y una partición como punto medio y una partición d) Con los resultados anteriores, calcule el error de las aproximaciones realizadas en a) y en b). 10. La velocidad de una partícula en una dimensión está dada por v(t) = 1 2 t2 + 3t + 1; t 0. Determine la distancia recorrida por la partícula entre t = 0 y t = 3 unidades de tiempo. SS 2