Practica nº4: Interpolación polinomial
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- Julián Martin Rey
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1 Practica nº4: Interpolación polinomial Uso del comando interno de Mathematica En esta práctica estudiaremos cómo construir el polinoimio interpolador de un conjunto de datos. Mathematica posee un comando muy flexible y versátil, InterpolatingPolynomial[nube,var], que permite construir el polinomio correspondiente: nube = 880, 2<, 82, 5<, 8 2, <<; p@x_d = InterpolatingPolynomial@nube, xd H 2+xL x Observe que el resultado se ofrece en forma de Newton. Para obtener la forma estándar, basta expandir el polinomio: Expand@p@xDD 2+x+ x2 4 Veamos el resultado gráficamente:
2 2 practica4.nb pt = ListPlot@nube, PlotStyle 8PointSize@0.05D<D; pol = Plot@p@xD, 8x, 2.5, 2.5<D; Show@pol, ptd Problema : -2-2 a) Tabule los valores de la función ghxl=log@x+ ê xd en los nodos x = 0., 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. b) Interpole la nube de puntos obtenida mediante el comando Interpolating Polynomial y halle una aproximación de gh0.26l. c) Estime el error de interpolación en ese punto. restando al valor exacto el valor aproximado. d) dibujar la funcion diferencia g(x) -p(x). puntos = Table@8i, Log@Hi+LêiD<, 8i, 0., 0.5, 0.<D 880., <, 80.2,.7976<, 80.3,.46634<, 80.4,.25276<, 80.5,.0986<< q@x_d = InterpolatingPolynomial@puntos, xd H H H H 0.2+xLL H 0.3+xLL H 0.+xLL H 0.5+xL
3 practica4.nb 3 Expand@q@xDD x x x x 4 q@xd ê. x Log@H0.26+Lê0.26D.5789 pt = ListPlot@puntos, PlotStyle 8PointSize@0.05D<D; pol = Plot@q@xD, 8x, 0, 0.6<, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D<D; fun = Plot@Log@Hx+LêxD, 8x, 0, 0.6<D; Show@8pt, pol, fun<d
4 4 practica4.nb 8x, 0., 0.5<D Problema 2 :Polinomio de Lagrange. Construcción de las funciones de base de Lagrange En caso de necesidad, podemos construir directamente los polinomios básicos de Lagrange L i HxL = j i Ix-x j M Ix i -x j M usando las capacidades del Mathematica para operar con listas:
5 practica4.nb 5 Sea f(x)=log[0,tan(x)].a partir de los valores:f(.00)=0.924,f(.05)=0.244,f(.0)= y f(.5)= se pide: º.-Calcular el polinomio de interpolación de Lagrange. Para ello, seguir los siguientes pasos. - Generar la lista de nodos xi - Plantear una lista L con elementos unidad donde se almacenarán los Li(x) - Calcular los Li(x) y almacenarlos - crear un vector y con los valores f(xi) El polinomio sera el producto escalar de los vectores y.l 2º.-Utilizar dicho polinomio para obtener un valor aproximado de f(.09) 4º.-Representar el error cometido, graficamente. f@x_d := Log@0, Tan@xDD Datos = Table@8i, f@id<, 8i,.,.5, 0.05<D 88., <, 8.05, <, 8., <, 8.5, << nodos = Table@Datos@@i, DD, 8i,, Length@DatosD<D 8.,.05,.,.5< L = Table@, 8Length@DatosD<D 8,,, < DoBIfBj i, L@@iDD = L@@iDD 8i,, Length@LD<, 8j,, Length@LD<F Hx nodos@@jddl Hnodos@@iDD nodos@@jddl ;F,
6 6 practica4.nb x x x 3, x x x 3, x x x 3, x x x 3 = y = Table@Datos@@i, 2DD, 8i,, 4<D , , , < p@x_d = Expand@L.yD x x x 3 p@.09d Plot@p@xD Log@0, Tan@xDD, 8x,.,.5<D µ µ0-6
7 practica4.nb 7 Problema 3: Polinomios interpoladores de Newton.- Calcular el polinomio interpolador de Newton para la misma función, mediante diferencias finitas. -Calcular las diferencias finitas. - Plantear el polinomio interpolador de newton. 2.- Calcular el error dibujando la función diferencia dif = Table@Datos@@i, 2DD, 8i,, Length@DatosD<D , , , < For@j = 2, j Length@difD, For@k = Length@difD, k j, dif@@kdd = dif@@kdd dif@@k DD; k D; j++d dif , , , < Polinomio Length@DatosD q@t_d = dif@@idd Binomial@t, i D i= t H +tl t H 2+tL H +tl t Clear@tD q@td t H +tl t H 2+tL H +tl t
8 8 practica4.nb 8t, 0, 5<D h = 0.05; x0 = ; Clear@tD x0 h 0.05 t = Hx x0lêh 20. H +xl p@x_d = q@td ê. t Hx x0lêh H +xl H +20. H +xll H +xl H H +xll H +20. H +xll H +xl
9 practica4.nb 9 Plot@f@xD, 8x, 0.95,.2<D Expand@p@xDD x x x 3 Plot@p@xD, 8x, 0.95,.2<D
10 0 practica4.nb 8x, 0.95,.2<D Efecto runge Interpolacion polinómica de la función f(x)= H+x^2L en el intervalo-5,5 utilizando once puntos igualmente espaciados, mediante diferencias finitas. - Dibujar la función f(x) - Dibujar simultaneamente f(x) y p(x) Clear@xD Clear@tD f@x_d := H+x^2L
11 practica4.nb grafico = Plot@f@xD, 8x, 5, 5<D lista = Table@8x, f@xd<, 8x, 5, 5<D :: 5, >, : 4, >, : 3, >, : 2, 5 >, :, 2 >, 80, <, :, 2 >, :2, >, :3, >, :4, >, :5, >> dif = Table@lista@@i, 2DD, 8i,, Length@listaD<D : 26, 7, 0, 5, 2,, 2, 5, 0, 7, 26 > For@j = 2, j Length@difD, For@k = Length@difD, k j, dif@@kdd = dif@@kdd dif@@k DD; k D; j++d dif : 26, 9 442, 23 05, 42 05, 4 05, 54 22, 80 22, , 05 05, , > coef = dif : 26, 9 442, 23 05, 42 05, 4 05, 54 22, 80 22, , 05 05, , >
12 2 practica4.nb 0D 0D = coef@@idd Binomial@t, i D i= t 23 H +tl t H 4+tL H 3+tL H 2+tL H +tl t Binomial@t, 8D 05 7 H 2+tL H +tl t 9 H 3+tL H 2+tL H +tl t Binomial@t, 7D Binomial@t, 6D Binomial@t, 9D Binomial@t, 0D 22 Factor@p@tDD 4420 I t+62 t2 40 t t 4 9 t Binomial@t, 6D Binomial@t, 7D Binomial@t, 8D Binomial@t, 9D Binomial@t, 0DM Plot@p@tD, 8t, 0, Length@listaD <D
13 practica4.nb 3 PlotB:p@tD ê. t > x+5, f@xd>, 8x, 5, 5<F PlotB: p@td ê. t > x+5 f@xd>, 8x, 5, 5<F Aproximación mediante splines cúbicos Needs@"Splines`"D lista = Table@8x, f@xd<, 8x, 5, 5<D :: 5, >, : 4, >, : 3, >, : 2, 5 >, :, 2 >, 80, <, :, 2 >, :2, >, :3, >, :4, >, :5, >>
14 4 practica4.nb ej2 = Show@Graphics@Spline@lista, CubicDDD Show@grafico, ej2d
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