INTERPOLACIÓN: Introducción

Transcripción

1 INTERPOLACIÓN: Introducción Prof. Carlos Conde LázaroL Prof. Arturo Hidalgo LópezL Prof. Alfredo LópezL Marzo,

2 OBJETIVOS 1º. Conocer el problema general de interpolación polinomial 2º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange a través de la resolución de un sistema de ecuaciones 3º. Conocer y definir los polinomios de base de Lagrange del espacio de polinomios de grado menor o igual que n asociados a un soporte de (n+1) puntos distintos. 4º. Calcular polinomios interpoladores de Lagrange utilizando los polinomios de base de Lagrange. 17

3 Ejemplo 1º Determinar la RECTA que pase por los puntos (1, 5) y (3,2) Gráficamente: Analíticamente: Ecuación General de una recta: y = a 0 +a 1 x x y = 13-3 x 2 2 Poliniomio de grado <1 (problema: hallar a 0 y a 1 ) En (1, 5): a 0 + a 1 1= 5 En (3, 2): a 0 + a 1 3 =2 a 1 = -3/2 ; a 0 = 13/2 18

4 Ejemplo 1º (Generalización) Hallar el polinomio de grado < 1 que en los 2 puntos {x 0, x 1 } tome los valores {f 0 y f 1 } respectivamente. Gráficamente: f 0 Analíticamente: Ecuación General: y = a 0 +a 1 x Poliniomio de grado < 1 (problema: hallar a 0 y a 1 ) f 1 En (x 0,f 0 ): a 0 +a 1 x 0 = f 0 En (x 1, f 1 ):a 0 +a 1 x 1 = f 1 x 0 x 1 x a 1 = (f 1 f 0 )/(x 1 x 0 ) a 0 =(f 0 x 1 f 1 x 0 )/(x 1 -x 0 ) 19

5 Ejemplo 2º Hallar la parábola que pasa por los puntos (1, 5), (3, 2) y (4, 3). Gráficamente: Analíticamente: y =9-29 x Ecuación General de una parábola: y = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 Poliniomio de grado < 2 (problema: hallar a 0, a 1 y a 2 ) En (1, 5): a 0 +a 1 1+a =5 En (3, 2): a 0 +a 1 3+a =2 x En (4, 3): a 0 +a 1 4+a =3 x 2 a 2 = 5/6 ; a 1 =-29/6; a 0 = 9 20

6 Ejemplo 2º: Generalización Hallar el polinomio de grado 2 que en los 3 puntos {x 0, x 1, x 2 } tome los valores {f 0, f 1, f 2 } respectivamente. Los coeficientes del polinomio se obtienen resolviendo el sistema: En (x 0, f 0 ):a 0 + a 1 x 0 + a 2 (x 0 ) 2 = f 0 En (x 1, f 1 ):a 0 + a 1 x 1 + a 2 (x 1 ) 2 = f 1 En (x 2, f 2 ):a 0 + a 1 x 2 + a 2 (x 2 ) 2 = f 2 Habrá otra vía más cómoda de calcularlo? 21

7 CASO GENERAL Hallar el polinomio de grado <n que en los (n+1) puntos {x 0, x 1,, x n } tome los valores {f 0,f 1,, f n } respectivamente. Siendo el polinomio buscado: p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + +c n x n Los coeficientes del polinomio se obtienen resolviendo el sistema: En (x 0, f 0 ): c n (x 0 ) n + + c 1 x 0 + c 0 = f 0 En (x 1, f 1 ): c n (x 1 ) n + + c 1 x 1 + c 0 = f 1 En (x n, f n ): c n (x n ) n + + c 1 x n + c 0 = f n Habrá otra vía más cómoda de calcularlo? 22

8 Ejemplo 1º: Aspectos a resaltar f 0 f 1 Gráficamente Analíticamente Ecuación General: y = a 0 +a 1 x En (x 0,f 0 ): a 0 +a 1 x 0 = f 0 En (x 1, f 1 ):a 0 +a 1 x 1 = f 1 x 0 x 1 x a 1 = (f 1 f 0 )/(x 1 x 0 ) a 0 =(f 0 x 1 f 1 x 0 )/(x 1 -x 0 ) (f 0 x 1 f 1 x 0 ) f p 1 (x) = + 1 -f 0 x x 1 -x 0 x 1 -x 0 23

9 Ejemplo 1º (Ejercicio Propuesto 2) 2) 2º. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x x + 3 x2 sobre el soporte {1, 2}. Para ello: a) Escríbase el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio b) Resuélvase el sistema anterior y escríbase el polinomio. c) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [0, 3]). Solución: a) y b) f( 1) = 2 ; f(2) = 0 Sea p 1 (x) = a 0 + a 1 x el polinomio buscado. Se debe verificar que: a 0 + a 1 1 = 2 a a 0 + a 1 2 = 0 0 = 4 ; a 1 = - 2 p 1 (x) = 4-2 x 24

10 Ejemplo 1º (Ejercicio Propuesto 2) 25

11 Ejemplo 1º: Aspectos a resaltar f 0 Gráficamente Analíticamente Ecuación General: y = a 0 +a 1 x En (x 0,f 0 ): a 0 +a 1 x 0 = f 0 f 1 x 0 x 1 x En (x 1, f 1 ):a 0 +a 1 x 1 = f 1 a 1 = (f 1 f 0 )/(x 1 x 0 ) a 0 =(f 0 x 1 f 1 x 0 )/(x 1 -x 0 ) 1º. Por 2 puntos pasa una única recta (o, con dos puntos de soporte sólo existe un único polinomio de grado < 1 que toma valores predeterminados en ellos) (f 0 x 1 f 1 x 0 ) f p 1 (x) = + 1 -f 0 x x 1 -x 0 x 1 -x 0 26

12 Ejemplo 1º : Aspectos a resaltar (f 0 x 1 f 1 x 0 ) f p 1 (x) = + 1 -f 0 x x 1 -x 0 x 1 -x 0 2º. 1 p 1 (x) = ( f 1 x - f 0 x + f 0 x 1 f 1 x 0 ) x 1 -x 0 x-x x x 0 p 1 (x) = f f 1 x 0 -x 1 x 1 -x 0 L 0 (x) p 1 (x) = f 0 L 0 (x) + f 1 L 1 (x) L 1 (x) Son dos expresiones distintas del MISMO polinomio 27

13 Ejemplo 1º : Aspectos a resaltar 3º. x-x 1 (x x 0 ) L 0 (x) = L x 0 -x 1 (x) = 1 x 1 -x 0 1 L 0 (x) L 1 (x) L i (x j ) = δ i,j x 0 x 1 4º. L 0 (x) y L 1 (x) son linealmente independientes (es decir, ningún múltiplo de L 0 (x) puede convertirse en L 1 (x) y viceversa). LUEGO SON UNA BASE DE P 1 28

14 Ejemplo 1º : Aspectos a resaltar x-x 1 (x x 0 ) L 0 (x) = L x 0 -x 1 (x) = 1 x 1 -x 0 5º. Cualquier polinomio p 1 (x) de grado < 1 puede expresarse como combinación lineal de L 0 (x) y L 1 (x) p 1 (x 0 ) p 1 (x 1 ) p 1 (x) = p 1 (x 0 ) L 0 (x) + p 1 (x 1 ) L 1 (x) 1 L 0 (x) L 1 (x) x 0 x 1 x 0 x 1 29

15 Ejemplo 1º : Aspectos a resaltar 4º. L 0 (x) y L 1 (x) son linealmente independientes 5º. Cualquier polinomio p 1 (x) de grado < 1 puede expresarse como combinación lineal de L 0 (x) y L 1 (x) L 0 (x) = x-x 1 x 0 -x 1 L 1 (x) = (x x 0 ) x 1 -x 0 L 0 (x) y L 1 (x) FORMAN UNA BASE DEL ESPACIO DE POLINOMIOS DE GRADO MENOR O IGUAL A 1 ( P 1 ) LAMADA BASE DE LAGRANGE DE P 1 ASOCIADA AL SOPORTE {x 0, x 1 } 30

16 Ejemplo 1º: El El método de de Lagrange Existe un único polinomio de grado < 1 que en los 2 puntos {x 0, x 1 } tome los valores {f 0, f 1 } respectivamente. ADEMÁS dicho polinomio puede expresarse como: p 2 (x) = L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f 1 donde: j = 1 (x-x j ) L i (x) = Π (i = 0, 1) j = 0 (x i -x j ) j i Ej.: L 1 (x) = (x-x 0 ) (x 1 -x 0 ) Joseph Louis Lagrange (Turín, 1736 París, 1813) 31

17 Ejemplo 2º: Generalización Hallar el polinomio de grado 2 que en los 3 puntos {x 0, x 1, x 2 } tome los valores {f 0, f 1, f 2 } respectivamente. Los coeficientes del polinomio se obtienen resolviendo el sistema: En (x 0, f 0 ):a 0 + a 1 x 0 + a 2 (x 0 ) 2 = f 0 En (x 1, f 1 ):a 0 + a 1 x 1 + a 2 (x 1 ) 2 = f 1 En (x 2, f 2 ):a 0 + a 1 x 2 + a 2 (x 2 ) 2 = f 2 32

18 Ejemplo 2º: (Ejercicio Propuesto 4) 4) 4. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x x e x sobre el soporte {-1, 1, 2}. Para ello: a) Escríbase el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio b) Resuélvase el sistema anterior y escríbase el polinomio. c) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [-2, 3]). Solución: a) f(-1) = -e -1, f(1) = e, f(2) = 2 e 2 a 0 + a 1 (-1) + a 2 (-1) 2 = -e -1 a 0 + a a 2 (1) 2 = e a 0 + a 1 (2) + a 2 (2) 2 = 2 e 2 33

19 Ejemplo 2º: (Ejercicio Propuesto 4) 4) b) 1 a 0 = ( e ) 2 e 2 e 2 e 1 a 1 = ( e ) 2 e a 2 = ( e ) 2 e 4 e 2 e p 2 (x) = a 0 + a 1 x a 2 x 2 c) 34

20 Ejemplo 2º: Generalización Hallar el polinomio de grado 2 que en los 3 puntos {x 0, x 1, x 2 } tome los valores {f 0, f 1, f 2 } respectivamente. Los coeficientes del polinomio se obtienen resolviendo el sistema: En (x 0, f 0 ):a 0 + a 1 x 0 + a 2 (x 0 ) 2 = f 0 En (x 1, f 1 ):a 0 + a 1 x 1 + a 2 (x 1 ) 2 = f 1 En (x 2, f 2 ):a 0 + a 1 x 2 + a 2 (x 2 ) 2 = f 2 Habrá otra vía más cómoda de calcularlo? 35

21 Ejemplo 2º: El El método de de Lagrange IDEA QUÉ PASARÍA SI USO LA BASE DE LAGRANGE Y BUSCO EL MISMO POLINOMIO EN LA FORMA (x-x 1 ) (x-x 2 ) p 2 (x) = c 0 (x 0 -x 1 ) (x 0 -x 2 ) (x-x 0 ) (x-x 2 ) + c 1 (x 1 -x 0 ) (x 1 -x 2 ) (x-x 0 ) (x-x 1 ) + c 2 (x 2 -x 0 ) (x 2 -x 1 ) + +? En x 0 : p 2 (x 0 ) = c c c 2 0 = f 0 En x 1 : p 2 (x 1 ) = c c c 2 0 = f 1 En x 2 : p 2 (x 2 ) = c c c 2 1 = f 2 c 0 = f 0 c 1 = f 1 c 2 = f 2 36

22 Ejemplo 2º: El El método de de Lagrange Existe un único polinomio de grado < 2 que en los 3 puntos {x 0, x 1, x 2 } tome los valores {f 0, f 1, f 2 } respectivamente. ADEMÁS dicho polinomio puede expresarse como: p 2 (x) = L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f 1 + L 2 (x) f 2 donde: j = 2 (x-x j ) L i (x) = Π (i = 0, 1, 2) j = 0 (x i -x j ) j i Ej.: L 1 (x) = (x-x 0 ) (x 1 -x 0 ) (x-x 2 ) (x 1 -x 2 ) Joseph Louis Lagrange (Turín, 1736 París, 1813) 37

23 Ejemplo 2º: El El método de de Lagrange L 0 (x) = L 1 (x) = (x-x 1 ) (x 0 -x 1 ) (x-x 0 ) (x 1 -x 0 ) (x-x 2 ) (x 0 -x 2 ) (x-x 2 ) (x 1 -x 2 ) L 0 (x) 1 L i (x j ) = δ i,j x 1 L 2 (x) = (x-x 0 ) (x 2 -x 0 ) (x-x 1 ) (x 2 -x 1 ) 1 x 2 L 2 (x) L 1 (x) 1 x 3 38

24 Ejemplo 2º: El El método de de Lagrange 1º. L 0 (x), L 1 (x) y L 2 (x) son linealmente independientes (es decir, ninguna combinación de L 0 (x) y L 1 (x) puede convertirse en L 2 (x); ninguna combinación de L 1 (x) y L 2 (x) puede conducirnos a L 0 (x); ninguna combinación de L 0 (x) y L 2 (x) puede proporcionarnos L 1 (x)) E.P.: Justificarlo 2º. Cualquier polinomio p(x) de grado <2 puede expresarse como combinación lineal de L 0 (x), L 1 (x) y L 2 (x) p(x) = p(x 0 ) L 0 (x) + p(x 1 ) L 1 (x) + p(x 2 ) L 2 (x) = Σ i=0 i=2 p(xi ) L i (x) 39

25 Ejemplo 2º: El El método de Lagrange L 0 (x), L 1 (x) y L 2 (x) FORMAN UNA BASE DEL ESPACIO DE POLINOMIOS DE GRADO MENOR O IGUAL A 2 (P 2 ) LAMADA BASE DE LAGRANGE DE P 2 ASOCIADA AL SOPORTE {x 0, x 1, x 2 } 40

26 CASO GENERAL Existe un único polinomio de grado <n que en los (n+1) puntos {x 0, x 1,., x n } tome los valores {f 0, f 1,., f n } respectivamente. ADEMÁS dicho polinomio peude expresarse por: p 2 (x) = L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f L n (x) f n donde: j = n (x-x j ) L i (x) = Π (i = 0, 1,, n) j = 0 (x i -x j ) j i E.P.: JUSTIFICARLO Joseph Louis Lagrange (Turín, 1736 París, 1813) 41

27 CASO GENERAL L 0 (x) = (x-x 1 ) (x 0 -x 1 ) (x-x 2 ) (x 0 -x 2 ) (x-x n ) (x 0 -x n ). L i (x) = (x-x 0 ) (x i -x 0 ) (x-x i-1 ) (x i -x i-1 ) (x-x i+1 ) (x i -x i+1 ) (x-x n ) (x i -x n ). L n (x) = (x-x 0 ) (x n -x 0 ) (x-x 1 ) (x n -x 1 ) (x-x n-1 ) (x n -x n-1 ) L i (x j ) = δ i,j 42

28 CASO GENERAL 1º. L 0 (x),., L n (x) son linealmente independientes E.P.: Justificarlo 2º. Cualquier polinomio p(x) de grado <n puede expresarse como combinación lineal de L 0 (x), L 1 (x) L 2 (x) p(x) = p(x 0 ) L 0 (x) p(x n ) L n (x) = Σ i=0 i=n p(xi ) L i (x) 43

29 CASO GENERAL L 0 (x),., L n (x) FORMAN UNA BASE DEL ESPACIO DE POLINOMIOS DE GRADO MENOR O IGUAL QUE n (P n ) LAMADA BASE DE LAGRANGE DE P n ASOCIADA AL SOPORTE {x 0, x 1,., x n } 44

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