Métodos Bayesianos (Convocatoria Febrero 2005)

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1 Dpto. Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión Univ. de Las Palmas de G.C. Licenciatura en Economía Cuarto curso Curso 04/05 Métodos Bayesianos (Convocatoria Febrero 005) EJERCICIO 1. El método estándar de cribado para la detección de una enfermedad falla en un 15 % de los pacientes que actualmente tienen la enfermedad. Un nuevo método ha sido desarrollado y deseamos compararlo utilizando una muestra de tamaño n = 75. Sea φ la tasa de fallos del nuevo método. Si de los 75 pacientes, el nuevo método ha fallado en y = 6 casos, se pide: 1. Para una a priori B(1, 6) para φ, obtener la distribución a posteriori.. Obtener la estimación clásica de φ y comparar con la media a posteriori de la distribución obtenida anteriormente. Calcular la varianza a posteriori. Obtener también la probabilidad (a posteriori) de que el nuevo método sea mejor que el estándar. EJERCICIO. Una empresa desea contratar publicidad en una determinada página web pues piensa que dicha presencia le resultará beneficiosa. Para ello desea estudiar el número de visitas diarias que tiene dicha página. El número de visitas sigue una distribución de Poisson, P(λ). Para una muestra de tamaño n, x 1,..., x n, indica el número de visitas en cada uno de esos días, se pide: 1. Obtener una distribución a priori conjugada para el proceso de muestreo anterior e identificar la a posteriori.. Obtener una distribución a priori impropia no informativa tipo Jeffreys para dicho muestreo e identificar la a posteriori. Relacionar con la anterior. 3. Construir una tabla para comparar las dos situaciones anteriores respecto de las medidas de interés siguientes: estimador bayesiano bajo pérdidas cuadráticas y absolutas, moda a posteriori e intervalo bayesiano a posteriori al 95 %, cuando los datos observados fueron: 400, 300, 900, 450, 30, 100, 700, 110, 400, 35. Para el caso informativo, utilizar una priori con media 30 y varianza Supongamos ahora que estamos interesados en el test de hipótesis H 0 : λ = 300 vs H 1 : λ = 450. Para un caso no informativo, construir el factor Bayes, B 01, y obtenerlo con los datos anteriores. Comentar. 5. Con los datos del apartado 3 y bajo una a priori Jeffreys como la del apartado, obtener las probabilidades a posteriori para el test: H 0 : λ 300 vs H 1 : 300 < λ 500. Comentar.

2 EJERCICIO 3. Supongamos que disponemos de 0 observaciones de una distribución normal con media µ desconocida y varianza σ, conocida: Se pide: Calcular el HDI al 90 % para la distribución a posteriori de la media suponiendo una distribución a priori conjugada con media 0 y varianza 1. Construir una tabla para diferentes valores de la varianza muestral:, 10, 100, 500, y comentar los resultados.. Idem al anterior, pero con una a priori no informativa del tipo π(µ) 1. (Ayuda: debe calcularse analíticamente la distribución a posteriori y luego utilizar FirstBayes para obtener el intervalo bayesiano) 3. Realizar el mismo análisis anterior pero con ambos parámetros desconocidos y discutir la influencia de la varianza en el análisis. EJERCICIO 4. Consideremos que en los datos anteriores X N (0, σ ). Supongamos que estamos interesados en el contraste: H 0 : σ = 1 vs H 1 : σ = 4. Para una información a priori desinformativa para ambas hipótesis, obtener el factor Bayes obtenido en dicho contraste. IMPORTANTE Las calificaciones globales de la asignatura se depositarán en la página web el próximo 5 de febrero de 005, en su apartado de docencia->métodos Bayesianos o bien directamente a través del campus virtual de la asignatura, donde también se depositará un ejemplar resuelto del examen. La revisión de exámenes será los días 8 de febrero y 1 de marzo de 005, de 10:00 a 11:00 a.m. en el despacho D4.09.

3 Soluciones A continuación se presentan los cálculos básicos para obtener las soluciones de los ejercicios. EJERCICIO La verosimilitud asociada será l(y φ) φ 6 (1 φ) 69, que junto con la a priori seleccionada π(φ) (1 φ) 5, nos proporciona una a posteriori, π(φ y) φ 6 (1 φ) 74, que corresponde a una distribución B(7, 75).. La estimación clásica conocemos que es el cociente y n = 6 = 0,08(8 %). La media a posteriori 75 (que es el estimador bayesiano bajo pérdidas cuadráticas) es 0,085366( 8,54 %). La varianza a posteriori es 0, La probabildad a posteriori de que el nuevo método sea mejor es Pr(φ < 15 %) = Pr(φ < 0,15) = 0, EJERCICIO. La función de verosimilitud será: f(x 1,..., x n λ) e nλ λ nx. 1. Puesto que se trata de una verosimilitud de tipo Poisson, su densidad conjugada sabemos que es de tipo Gamma, G(α, β) : π(λ) λ α 1 e βλ, λ > 0. Por tanto, la a posteriori será: es decir, G(α + nx, n + β). π(λ x) f(x λ)π(λ) λ α+nx 1 e (n+β)λ,. Para la obtención de la densidad tipo Jeffreys procederemos de la siguiente manera: En consecuencia, log f λ log f Por tanto, E λ Jeffreys será: log f(x 1,..., x n λ) = nλ + (nx) log λ + cte.. n + nx λ = log f λ nx λ. = nλ λ. Luego, I (λ x) = n, y en consecuencia, la densidad tipo λ π(λ) 1 λ = λ 1/, que puede intrepretarse como caso límite de una densidad Gamma del tipo: G( 1, β) con β 0. La a posteriori será pues: es decir, G(nx + 1, n). π(λ x) λ 1/ λ nx e nλ = λ nx 1/ e nλ,

4 3. Observemos que para la a priori informativa, los valores de α y β se deducen de la relación: α β = 30 y α β = 10 α = (3) 10 = 1040 y β = 3. Puesto que nx = 400,5 y n = 10, ahora utilizamos FirstBayes directamente desde su icono de distribuciones para obtener las medidas de interés (también pueden cargarse los datos y hacer un análisis con datos de Poisson). Los resultados obtenidos son: Priori informativa Priori Jeffreys Media a post. 91,55 400,55 Mediana a post. 91,54 400,5 Moda 91,5 400,55 HDI 95 % [86,39; 96,7] [388,17; 41,98] Como puede observarse los resultados dependen bastante de la elección de la densidad a priori. 4. Para el test propuesto tenemos: π 0 = π 1 = 1. Por tanto, el factor Bayes será: B 01 = p 0π 1 = p 0 = f(x λ ( ) nx 0) p 1 π 0 p 1 f(x λ 1 ) = e n(λ 0 λ 1 ) λ0. Para nuestro ejemplo, n = 10, nx = 4005, tenemos B 01 = e 1500 ( 3 ) Es decir, hay evidencia muestral para apoyar la hipótesis alternativa frente a la nula. 5. Debemos calcular p 0 = Pr H 0 cierta x = Pr λ 300 x y p 1 = Pr H 1 cierta x = Pr 300 < λ 500 x, usando como a priori G(1/, 0), que como sabemos produce una a posteriori G(nx + 1, n) que en nuestro caso es G(4005,5, 10). Basta usar FirstBayes para obtener estas cantidades: p 0 = 0, p 1 = 1 y por tanto a posteriori H 1 es infinitamente más creible que H 0. EJERCICIO Basta utilizar FirstBayes para un análisis conjugado Normal Normal: - Verosimilitud, N (µ, σ ) : f(x 1,..., x n µ) exp 1 n (x i µ) σ - Priori, N (µ 0, σ0) : π(µ) exp 1 (µ µ 0 ) σ0 Los resultado obtenidos pueden verse en la siguiente tabla: HDI 90 % HDI 90 % σ Priori inf. Priori no inf. [19,68; 0,67] [19,67; 0,7] 10 [19,18; 1,08] [19,03; 1,36] 100 [18,53; 1,53] [16,5; 3,88] 500 [18,39; 1,6] [11,97; 8,4] λ 1

5 . Para una a priori π(µ) 1, la a posteriori se obtiene de manera usual multiplicando priori por verosimilitud, de donde se deduce fácilmente que π(µ x) N (x, σ /n). Los intervalos obtenidos pueden verse en la columna correspondiente a una a priori noinformativa de la tabla anterior. Como observamos las diferencias fundamentales aparecen para varianza muy alta en los datos muestrales. 3. Se trata de hacer un análisis de población normal con ambos parámetros desconocidos y conocimiento a priori vago. Su implementación en FirstBayes es inmediata y el intervalo obtenido es: [19,69; 0,69]. Como vemos muy próximo a aquellos intervalos obtenidos bajo varianza conocida pero baja. EJERCICIO 4. El factor Bayes será: B 01 = p 0π 1 p 1 π 0 = f(x 1,..., x n σ = 1) f(x 1,.., x n σ = 4), con π 0 = π 1 = 1 (pues nos indican información a priori desinformativa) y siendo f(x 1,..., x n σ ) = 1 exp 1 n (x i 0). Luego tendremos: (π) n/ (σ ) n/ σ B 01 = (σ1) n/ exp 1 (σ0) n/ exp 1 n (x i 0) σ0 n (x i 0) σ 1 = ( σ 1 σ 0 ) n/ exp 1 ( ) ( ) σ 1 σ0 n (x σ1σ 0 i 0). En nuestro caso, B 01 = 4 10 exp 1 ( ) (x i 0) 5,5; con (x i 0) = 3,