Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto. 6. Transformaciones Fraccionales Lineales

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto 6. Lineales Hanz Richter, PhD Profesor Visitante Cleveland State University Mechanical Engineering Department 1 / 14

2 Lineales Escalares La función compleja de una variable F(s) = a+bs c+ds se denomina transformación fraccional lineal (LFT por sus siglas en inglés). Si c 0, la LFT se puede escribir como: F(s) = α+βs(1 γs) 1 2 / 14

3 Se puede generalizar la forma anterior a un operador matricial como una LFT inferior: F i (M, i ) = M 11 +M 12 i (I M 22 i ) 1 M 21 o una LFT superior: En ambos casos F s (M, s ) = M 22 +M 21 s (I M 11 s ) 1 M 12 M = [ M11 M 12 M 21 M 22 Se asumen dimensiones compatibles para los bloques M ij y que I M 11 i y I M 22 s son invertibles. 3 / 14

4 : Interpretación z 1 y 1 Usar M i w1 u 1 y 2 s u 2 M z 2 w 2 [ w1 u 1 y [ w2 como vectores de entrada partidos de manera compatible con M y mostrar que las salidas z 1 y z 2 son iguales a F i (M, i )w 1 y F s (M, s )w 2. u 2 Notar que M podría ser una matriz de transferencia (planta). Entonces las LFT son simplemente matrices de transferencia en lazo cerrado, donde se puede usar para representar el controlador o la incertidumbre. 4 / 14

5 Resultado útil Sea M = [ M11 M 12 M 21 M 22 con M 22 invertible. Entonces (F i (M, )) 1 = F s (N, ) donde: N = [ M11 M 12 M22 1 M 21 M 12 M22 1 M22 1 M 21 M / 14

6 Esta operación es clave y necesita ser dominada. Ejemplo (Zhou y Doyle): Convertir a LFT inferior con w = [d n T, z = [v u f T y u = Ky ( = K): u f y W 1 K u P W 2 F d n v 6 / 14

7 Ejemplo Para el sistema con pre y realimentación, disturbio de proceso, ruido y dinámica de sensor, obtener la planta generalizada para una descripción LFT u p = F i (P,K)w, u = Ke, con w T = [r d p n. r F K u H d p u p G y n 7 / 14

8 Ejemplo Detallado Interconexión de Considerar el sistema masa-resorte-amortiguador: ẍ+ c mẋ+ k m = F m Suponer que m, k y c tienen valores nominales m, k y c y desviaciones de ±10%, ±30% y ±20% respectivamente. Representar el sistema como una LFT donde contiene los errores en los parámetros físicos. 8 / 14

9 Producto Estrella de Redheffer La razón principal para definir es que la interconexión de 2 sigue siendo una LFT. En lugar de cerrar 2 (una inferior y una superior) con u 1 = i y 1 y u 2 = s y 2 insertamos la LFT opuesta en lugar de : z ẑ y P K w u ŵ P K El operador se denomina producto. z ẑ w ŵ 9 / 14

10 Producto Estrella de Redheffer Sean P y K dos matrices cualesquiera, partidas de forma compatible como: [ [ P11 P P = 12 K11 K K = 12 P 21 P 22 K 21 K 22 de tal forma que P 22 K 11 sea cuadrada e I P 22 K 11 e I P 11 K 22 sean invertibles. El producto estrella de P y K se define como P K = [ F i (P,K 11 ) P 12 (I K 11 P 22 ) 1 K 12 K 21 (I P 22 K 11 ) 1 P 21 F s (K,P 22 ) 10 / 14

11 Interpretación como Matriz de Transferencia Producto Estrella de Redheffer Supongamos que tomamos P y K como arreglos formados con la representación de espacio-estado de 2 matrices de transferencia: y K : P : [ y ŵ [ w u [ u ẑ [ z y = = A B 1 B 2 C 1 D 11 D 12 C 2 D 21 D 22 A K B K1 B K2 C K1 D K11 D K12 C K2 D K21 D K22 Entonces P K contiene la realización de espacio-estado de la matriz de transferencia: [ [ Ā B1 B2 [ w z P K : = C ŵ ẑ 1 D11 D12 Ā B = C C D 2 D21 D22 11 / 14

12 ... Producto Estrella de Redheffer Las matrices Ā, B, C and D vienen dadas por: [ [ A B2 DK11 C Ā = K1 C 2 D 22 B K1 A K [ [ B1 B B = 2 DK11 D K12 D 21 D 22 B K1 B K2 [ [ C1 D C = 12 DK11 C K1 C 2 D 22 D K21 C K2 [ [ D11 D D = 12 DK11 D K12 D 21 D 22 D K21 D K22 En Matlab calculamos el producto estrella con starp(p,k,ny,nu), donde ny y nu son las dimensiones de y y u. 12 / 14

13 Términos de LFT En el tema anterior se vió que la condición para estabilidad robusta con incertidumbre aditiva es: con W 2 KS o W 1 1 S o = (I +GK) 1 Si definimos ˆK = K, la condición es o bien: W 2 ˆK(I G ˆK) 1 W 1 < 1 F i (M,K) < 1 donde M 11 = 0, M 12 = W 1, M 22 = G y M 21 = W 2, con u = ˆKy. El problema de estabilización robusta consiste en encontrar K que satisfaga ésta condición. Se estudiará la solución numérica en Matlab más adelante. 13 / 14

14 Términos de LFT Recordar que F i (P,K) es la función de transferencia de las entradas exógenas (disturbios, ruido y referencias) a las salidas a mantenerse pequeñas (error de seguimiento): z w P y K u El problema de regulación óptima consiste en encontrar K que estabilize F i (P,K) (lazo cerrado) y minimize la norma del mismo operador, sea bajo un criterio H 2 o H (o un promedio ponderado de ambos). La solución numérica de éstos problemas se estudiará más adelante. 14 / 14