5 Incertidumbre y errores

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1 5 Incertidumbre y errores 5.1 Introducción El proceso de medición está en la base de nuestra compresión del mundo. La medida nos permite cuantificar las magnitudes del mundo físico y con ello construir modelos matemáticos sobre las leyes que gobiernan los fenómenos físicos. Una ley física es una relación entre magnitudes y las magnitudes sólo tienen sentido si somos capaces de cuantificarlas, lo que se hace a través de la medida. No es nuestro objetivo dar definiciones precisas ni profundizar sobre la teoría de las magnitudes físicas y su medida. En este capítulo trataremos de ver algunos conceptos básicos asociados a la evaluación de la magnitud, o sea la medida y la incertidumbre o el error asociada a ella. La evaluación del margen de validez de la medida es tan importante como el valor del resultado; en el trabajo técnico muchas veces se olvida este hecho. Generalmente hacemos la suposición implícita de que el número de cifras significativas que damos de la lectura es tal que solo el último digito significativo es incierto; si no es este el caso, debería darse el intervalo de valores posibles del resultado de acuerdo a la incertidumbre en dicho valor. En este capítulo, intentaremos definir estos conceptos. Ejemplo Suponga que se mide una resistencia con un determinado procedimiento y que el valor es 37,142, con una incertidumbre de 0,1 asociada al instrumento de medida. De acuerdo al fabricante del instrumento, el valor puede ser cualquiera en el intervalo [37,042 37,242]. Posteriormente se comentará acerca de la probabilidad de que ocurra un determinado valor. En la práctica, podemos hablar de que la resistencia vale 37 y es razonable, ya que el 37 es una cifra segura y a falta de más información quien lo lee supondrá que es ±1. Si damos una precisión mayor, deberíamos especificar el margen de incertidumbre. Esto no se ve muy elegante ni muy correcto, pero es lo que generalmente hacemos. En este capítulo se tratará de conciliar los dos enfoques, el científico, donde cada medida debe estar acompañada de un intervalo de incertidumbre y el técnico, donde se da el valor y una cota de variación de la magnitud. Esta cota puede ser implícita o explícita.

2 5.2 Concepto de error e incertidumbre Problema de la nomenclatura Hasta no hace mucho tiempo se hablaba de error y de la teoría de errores de medición para estudiar el margen de validez de una medida. Aquí nos encontramos con un problema filosófico; para definir error debería existir un verdadero valor de la magnitud a medir en el sentido matemático, esto es, un número real que es la respuesta teórica a la medida que se quiere realizar. Lamentablemente esto no existe, no hay un verdadero valor asociado a una medida, siempre hay un margen de incertidumbre en lo que medimos. El antiguo concepto de error Si bien aún tiene validez, se ha limitado su alcance. Antiguamente se hablaba de errores groseros, errores sistemáticos y errores aleatorios. El error grosero corresponde a aquel introducido durante el proceso de medida debido a la manipulación errada: una persona que se equivoca. Sabiendo o no a priori que se está introduciendo un error, al detectar el problema luego de obtenido el resultado, se puede corregir o cuantificar este error grosero y descartar la medida si fuera el caso. El error sistemático corresponde a aquel introducido por los instrumentos o el procedimiento de medida y que puede ser corregido a posteriori. Por ejemplo, en la medida de voltaje RMS se introduce un diodo rectificador, el cual posee una caída de voltaje de aproximadamente 0,65 V cuando conduce. La lectura será inferior a la que debería ser de acuerdo al modelo del voltímetro en este valor. Esto puede corregirse para cancelar el efecto, sin embargo, esta corrección cambia el error por una incertidumbre en el problema. Otro ejemplo es la no linealidad en la respuesta de un instrumento, caso en el que puede realizarse una curva de calibración y corregir los valores de acuerdo a la misma. Errores aleatorios. Toda magnitud fluctúa su valor por causas aleatorias que están fuera del control del operador. Fluctuaciones térmicas, ruido electromagnético y vibraciones mecánicas, entre otros, pueden hacer que el resultado de nuestra medida tenga pequeñas variaciones. Antiguamente llamábamos a esto error aleatorio, sin embargo, no se trata de un error, sino de nuestra imposibilidad de conocer todas las variables que afectan la medida. Hoy en día, estos aspectos se consideran comprendidos en la incertidumbre. En general estas fluctuaciones son pequeñas, pero si nuestro instrumento tiene una apreciación pequeña, puede detectarlas. Perspectiva actual Como no existe un verdadero valor asociado a la magnitud, es incorrecto hablar de error en el resultado. Lo que sí hay son errores de procedimiento y de modelado, que pueden ser corregidos y por ello se trata de errores. Aquí caen los groseros y los sistemáticos.

3 Síntesis: error vs. incertidumbre Resumiendo, actualmente se le llama error a lo que puede ser entendido, modelado y corregido. Este concepto no involucra la diferencia respecto a ningún valor ideal, simplemente reconoce que se erra en el procedimiento y puede hacerse la corrección. Los errores, en la mayoría de los casos, no tienen sesgo estadístico. A partir de determinada apreciación en una medida, se llega a un límite donde los resultados fluctúan aleatoriamente y es imposible obtener un valor único. En este caso, se habla de incertidumbre. El error puede ser corregido, pero la incertidumbre no. La incertidumbre tiene asociada una estadística que nos dice la probabilidad de que el valor de la medida caiga en un determinado intervalo. La estadística pude obtenerse de forma directa o estimarla a partir de datos y modelos. Existen diversas fuentes de incertidumbre, las cuales se discuten con más detalle en la próxima sección. Límites de incertidumbre a distintos niveles 1- Hay un nivel de apreciación en que una magnitud física deja de tener sentido desde el punto de vista experimental. A modo de ejemplo, en medidas de longitud y masa macroscópicas, no tienen sentido resoluciones menores que el tamaño y la masa de un electrón respectivamente. Puede discutirse el límite, pero es claro que existe, no podemos asociar cualquier número real al resultado de una medida. Lo anterior es válido aplicando razonamientos clásicos; el mundo microscópico es cuántico y esencialmente probabilístico. 2- Un nivel más alto corresponde al objeto a medir (mesurando). Por ejemplo, la longitud de una barra depende del paralelismo y el pulido de sus extremos. También la masa de un objeto depende de la limpieza de su superficie. 3- Un nivel más alto corresponde a las fluctuaciones provocadas por la variabilidad del ambiente de medida. Siempre existen factores externos fuera de nuestro control: temperatura, humedad, ruido electromagnético, vibraciones, etc. Puede lograrse algún control sobre las condiciones, pero nunca es completo. Por ejemplo, se puede trabajar a temperatura controlada, pero no es posible evitar la fluctuación térmica. 4- Otra fuente de incertidumbre es dada por la apreciación del instrumento de medida.

4 Todos los instrumentos tienen un valor mínimo que permiten detectar. Desconocemos el valor de la magnitud con una resolución menor que la del instrumento. Hay casos especiales en que la adición de ruido aleatorio con estadística conocida puede reducir esta incertidumbre. Se discutirá este caso más adelante. 5- Existen otras fuentes de incertidumbre, como en el caso de obtener el resultado a partir de un cálculo indirecto. Los datos ajenos a la medida en sí, por ejemplo constantes físicas y medidas auxiliares, también tienen una incertidumbre, que se trasladará a nuestro resultado. 5.3 Definiciones y estadística de incertidumbre Daremos algunas definiciones para el análisis de incertidumbre basada en una estadística asociada al resultado de la medida. 1 En este punto, suponemos que todas las fuentes de error fueron removidas de las medidas realizadas. La palabra incertidumbre en este contexto refleja la imposibilidad de asignar un número real al resultado de una medida. El objetivo de una medida consiste en determinar el valor de un mesurando. La medida implica la especificación del mesurando, el método y el procedimiento. En la práctica, depende de la resolución que quiere alcanzarse con la medida. En general, el resultado de una medida tiene un valor estimado (o más probable) y un margen de incertidumbre o desconocimiento, generalmente asociado a una estadística. La incertidumbre se divide en dos categorías: Incertidumbre tipo A: puede ser evaluada por métodos estadísticos mediante la repetición de una serie de medidas. Se considera cuando la apreciación es menor que la fluctuación aleatoria del valor a medir. Se toman n valores experimentales para estimar el valor más probable y la incertidumbre. Incertidumbre tipo B: Todas las que no son A: Falta de definición en el objeto a medir Aproximaciones en los cálculos y modelos Influencia del operador Incertidumbre en los datos de constantes y parámetros Resolución limitada de los instrumentos Uso de factores de corrección Otros 1 La referencia fundamental es el documento Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty in measurement producido por el Joint Committee for Guides in Metrology.

5 En el ejemplo del diodo en la medida RMS del apartado anterior, se tiene una incertidumbre tipo B debida al factor de corrección. El voltaje del diodo depende de la temperatura, la corriente en el circuito, ruido eléctrico, etc. Entonces, al asignarle un valor para eliminar el error, se introduce una incertidumbre. En la incertidumbre tipo B también hay un valor más probable y una estadística, solo que se obtienen de forma indirecta a partir del conocimiento de la fuente de incertidumbre y la experiencia del observador. Cálculo de la incertidumbre Evaluación estadística de la incertidumbre tipo A: Se considera que para determinar el valor de una magnitud X a partir de xi mediciones, la mejor estimación es tomar el valor medio. Valor medio: x = n i=1 x i n Desviación estándar: σ ori = n i=1 (x i x ) 2 n 1 Eq 5.1 Eq 5.2 Donde se han tomado n mediciones. La desviación estándar σ ori se toma generalmente como un indicador de la dispersión de los valores respecto al promedio. Puede tomarse un múltiplo de σ ori como incertidumbre de la medida, dependiendo del intervalo de confianza que se desee. Por ejemplo, para una distribución gaussiana, el intervalo ± está asociado con una probabilidad del 68%, mientras que uno de ±2 con 96%. Cuando realizamos una serie de medidas, decimos que tomamos una muestra del universo de valores posibles. Este conjunto tiene media x y desviación estándar ori. Si dividimos el conjunto en subconjuntos de p valores cada uno, obtenemos un nuevo conjunto cuyos elementos son los valores medios de cada subconjunto. El conjunto de subconjuntos tiene la misma media que el original, pero una desviación estándar σ med menor, estando las desviaciones estándar relacionadas por la ec σ med = σ ori p Eq 5.3 Podemos reducir la cantidad de subconjuntos haciendo crecer p. El máximo valor es p = n, que en la práctica se toma como desviación de la media. Un problema del práctico aclara estos conceptos. Tomamos el valor de σ med como la incertidumbre tipo A asociada al valor estimado de la magnitud. Parecería que tomando un número grande de medidas puede reducirse la incertidumbre por el factor que se quiera, pero esto choca con la posibilidad de mantener el experimento constante durante un tiempo largo.

6 Evaluación estadística de la incertidumbre tipo B: No se dispone de un conjunto de datos numéricos, por lo que debe asumirse que la magnitud varía según una determinada distribución de probabilidad. En este curso consideraremos dos distribuciones de probabilidad posibles para nuestras variables: la distribución de densidad uniforme y la distribución gaussiana. Genéricamente Llamando p(x) a la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria x, la probabilidad P [x1,x 2 ] de que una medida caiga en el intervalo [x 1, x 2 ] es x 2 P [x1,x 2 ] = p(x)dx. Eq 5.4 x 1 A partir de la densidad de probabilidad, el valor medio puede calcularse como x = x. p(x)dx. Eq 5.5 Al valor de σ 2 lo llamamos varianza. Para el caso continuo, se la puede calcular como el valor medio de (x x ) 2, como se muestra en la ec σ 2 = (x x ) 2. p(x)dx = x 2. p(x)dx x 2. Eq Distribución de densidad uniforme La densidad uniforme supone que todos los valores en un determinado intervalo [a, b], en particular cada intervalo de diferencias, dx, poseen la misma probabilidad. Figura 5.1 Densidad uniforme de probabilidad Función de densidad de probabilidad: { p(x) = 1 b a, p(x) = 0, para a < x < b para otro caso Eq 5.7 Desviación estándar: σ = b a 2 3 Eq 5.8

7 5.3.2 Distribución Normal o Gaussiana Siendo su función de densidad de probabilidad como la de la figura 5.2, su expresión normalizada es la de la ec. 5.9, en función del valor medio y la desviación estándar. p(x) = 1 (x x ) 2 2πσ e 2σ 2 Eq 5.9 Figura 5.2 Densidad de probabilidad gaussiana 5.4 Incertidumbre y margen de seguridad dependientes del instrumento Cuando realizamos una medida en la práctica, generalmente tomamos un valor único. La información de que disponemos es la del fabricante del instrumento, que nos da un margen de validez de la medida; se cubre de errores sistemáticos, que se sabe que existen, pero sería muy costoso corregir y cubre los márgenes de incertidumbre. De esta forma, bajo lo que muchas veces el fabricante llama error, se engloban la incertidumbre y errores de diversa causa. Cómo proceder? No sabemos cómo corregir los errores sistemáticos y, lo que es peor, no sabemos su peso dentro del error del fabricante. Tenemos dos alternativas: suponer una estadística y que todo el intervalo es incertidumbre o definir un margen de seguridad dado por los valores máximos del fabricante, como una cota para los valores posibles. El primer enfoque es mejor para instrumentos de calidad, mientras que el segundo es más conservador y puede ser útil en el caso de instrumentos donde se supone que pueden existir errores sistemáticos importantes. Instrumentos de mala calidad No podemos asegurar que, en un punto particular de la escala, la distribución de incertidumbre esté centrada en el valor leído: puede incluso variar dependiendo del punto de la escala en que se toma la lectura. El segundo enfoque es conservador en la mayoría de los puntos de la escala, pero al menos estamos del lado seguro.

8 Instrumentos de calidad Identificamos dos fuentes de incertidumbre: la apreciación finita del instrumento y la incertidumbre de medida informada por el fabricante. Para determinar la incertidumbre de la medida a partir de esto, debe suponerse una estadística y calcular la desviación estándar. Cálculo para densidad de probabilidad gaussiana La incertidumbre de medida podría también ser gaussiana, con un intervalo de confianza de un determinado porcentaje. Esto es, el fabricante nos da un valor que corresponde a kσ, donde k es un factor de cobertura para asegurar un determinado porcentaje en el intervalo. En este caso hablamos de incertidumbre extendida. La siguiente tabla muestra valores posibles de k y la probabilidad asociada. Intervalo de confianza [%] Factor de cobertura (k) Tabla 5.1 Factores de cobertura para cálculo de incertidumbre extendida en distribución gaussiana. Como en el caso anterior, el resultado pertenece al conjunto [M m, M + m]. Podemos asumir que = m, conociendo el intervalo de confianza. k Cálculo para densidad de probabilidad uniforme A falta de más datos, puede suponerse esta distribución. Si el valor leído por el instrumento es M y el fabricante dice que el margen de validez es m, esto significa que el resultado pertenece al conjunto [M m, M + m]. Si se supone la estadística uniforme, la desviación estándar es σ = m. 3 Es importante tener en cuenta que, en las hojas de datos, los fabricantes informan: m para la incertidumbre de medida 2m para la apreciación Para el cálculo de la incertidumbre extendida, se tiene en cuenta la siguiente tabla. Observar que k = 3 implica tomar el intervalo completo, por lo que el intervalo de confianza da 100%.

9 Tabla 5.2 Factores de cobertura para cálculo de incertidumbre extendida en distribución uniforme. Combinación de ambas incertidumbres La varianza total en este caso es la suma de las varianzas, teniendo ambos factores el mismo peso. 2 σ = σ med + σ2 apr Eq 5.9 Combinación con incertidumbre tipo A Si en este instrumento además se realiza una serie de medias para evaluar las condiciones ambientales y la fluctuación del resultado, esta da una incertidumbre de tipo A, cuya varianza se suma dentro de la raíz en la Eq Cálculo de la incertidumbre y margen de seguridad combinadas En muchos casos, las magnitudes se expresan a partir de una fórmula de cálculo, dónde se miden algunas variables y se obtienen otras de tablas o datos de fabricantes. Esto es, la magnitud y es función de otras magnitudes x i. y = f(x 1, x 2,, x i,, ) Eq 5.10 Si cada una de las variables tiene una varianza σ i 2, en el caso de variables estadísticamente independientes se tiene σ y = ( f x i ) 2 σ i 2. Eq 5.11 El margen de incertidumbre asociado a la magnitud y es la varianza obtenida de En el caso de que las magnitudes tengan correlación estadística, deben considerarse las covarianzas.

10 En el caso de una medida realizada con un instrumento de calidad, procedemos de esta manera, agregando al final un factor de cobertura para dar un margen de confianza del porcentaje deseado. En caso de mayor duda sobre los datos, puede calcularse una cota o margen de seguridad de la forma y = f x i xi. Eq 5.12 Esta estimación es más conservadora que 5.11, pero es mucho más simple de utilizar, ya que considera sólo los valores extremos del intervalo y de esta forma se está del lado seguro.