Actividades EbaU de Matemáticas II BLOQUE DE ANÁLISIS

Transcripción

1 . Sea la función f(x) = Actividades EbaU de Matemáticas II Ln 2x x BLOQUE DE ANÁLISIS. Estudie su dominio, asíntotas, crecimiento, posibles puntos máximos y mínimos relativos y haga un dibujo aproximado de la gráfica de f. 2. Estudie la gráfica de la función f(x) = ln (x 2 + ). 3. Representa la gráfica: f(x) = x 2 x 4. Representa la gráfica: f(x) = x 2 x 5. Estudie y dibuje la gráfica: f(x) = x 4 + 4x 2 6. Sea la función: f(x) = x6 Estudie el dominio, asíntotas, crecimiento, posibles puntos máximos x 6 + y mínimos relativos y haga un dibujo aproximado de la gráfica de f. 7. Represente aproximadamente, la gráfica de la función f(x) = sen x 2 cos x, en el intervalo [ π, π], haciendo uso del estudio del crecimiento y extremos relativos de f. x 2 si x < 8. Sea la función f(x) = { a 2x 2 si x. Determine los valores de a y b para que b si < x x sea continua en toda la recta real. Una vez determinados los valores de a y b en el apartado anterior, estudie la derivabilidad. 9. Estudie al existencia de rectas asíntotas correspondientes a la gráfica de la función f(x) = ln x2 3 x+ x Observación: ln x es el logaritmo neperiano de x 0. Sea la función f(x) = e x (x 2). Estudie el dominio, asíntotas, crecimiento, posibles extremos relativos, concavidad, convexidad y posibles puntos de inflexión. Haga un dibujo aproximado de la gráfica de f.. Sea la función f(x) = + ln x.estudie el dominio, asíntotas, crecimiento, posibles puntos x máximos y mínimos relativos y haga un dibujo aproximado de la gráfica de f. 2. Estudia todas las rectas asíntotas de la gráfica de la función f(x) = 2x3 4x 2 x 2 3x Estudia y dibuja la gráfica de la función: f(x) = x 5 8x 2 4. Representa la gráfica: f(x) = x2 2x x 2 3x+2 5. Representa la gráfica: f(x) = x2 2x 6. Representa la gráfica: f(x) = x+ x 2 +3x 7. Representa la función f(x) = x 2 +x 8. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la gráfica de la función f(x) = x 3 x 9. Representa la gráfica de la función: f(x) = 3x x Sea la función f(x) = x2. Estudie su dominio, asíntotas, crecimiento, posibles extremos x 2 + relativos, convexidad y haga un dibujo aproximado de la gráfica de f. 2. Estudia todas las rectas asíntotas de la gráfica de la función f(x) = x 3 x

2 22. Representa la gráfica de la función: f(x) = 23. Sea la función f(x) = Ln x x 3x x 2. Estudie su dominio, asíntotas, crecimiento, posibles extremos relativos, convexidad y haga un dibujo aproximado de la gráfica de f. x 2 si x < 24. Sea la función f(x) = { a 2x 2 si x. Estudie si existen valores de a y b para b si < x que f sea derivable en toda la recta real. 25. El valor de lim x + (3x+5 2x+ )x es: a) 3 2 b) 5 c) La derivada de la función f(x) = ln ( x2 + a) b) c) 2x 2x x 2 + x x x 2 5 2x 2x x 2 5 x El valor del lim + x x + 2x 3 x x 2 +5 ), donde ln x es el logaritmo neperiano de x, es: es igual a: a) b) 0 c) ½ 28. Los beneficios netos de una empresa, en millones de euros, se pueden aproximar mediante la expresión f(t) = 30t 60, donde t > 0, representa los años de vida de la empresa. Explicar 5t+7 razonadamente a partir de que año la empresa obtiene beneficios netos no negativos. Pueden crecer indefinidamente los beneficios netos de la empresa a medida que transcurre el tiempo t? En caso afirmativo, justificarlo formalmente. En caso negativo, determinar un valor que límite superiormente dichos beneficios netos. x 29. El valor del lim 2 6x+8 es igual a: a) + b) c) 2 x + x El número de puntos en los que las siguientes funciones f(x) = e x2 x+, g(x) = e x alcanzan el mismo valor es: a) x = 0 b) x = c) x = 2 3. Dada la parábola y = x 2, expresar la distancia desde el punto A(0, ) a un punto cualquiera de la parábola. Hallar entre (0, 0)y (3, 9) los puntos de la parábola cuyas distancias a A son máximas y mínimas. 32. Calcula el área de la región del plano delimitada por las gráficas de las funciones f(x) = x 3 x y g(x) = x, y las rectas verticales x = y x =. 33. Calcula: e x sen xdx = 34. Calcula la integral ln x x 2 dx = 2

3 35. Calcula la integral dx = 4+25x Calcula: (cos x) e x dx = e 37. Calcula la integral: Ln x 4 dx = 38. Calcula (2x 3 + 4x 2 + 2x) 3 dx = 39. Calcula el área de la región del plano delimitada por las gráficas de las funciones f(x) = cos x y g(x) = sen x, en el intervalo [0, 3π 4 ] 40. Calcula la integral cos 2 3x dx = 4. Calcula la integral Ln(x + )dx = 42. Calcula la integral (x 2 + ) 3 (x )dx = 43. Calcula la integral 5x 2 π 44. Calcula la integral sen 3 2x dx 45. Calcula la integral π 9 x 2 4 dx = = 6+25x 2 dx = 46. Calcula la integral x 2 sen 2x dx = 47. Calcula el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función f(x) = x 4 x, y el intervalo [ 2, ] del eje OX. 48. Calcula la integral x 2 sen 3x dx = 49. Calcula: (e x + 2)(e x+ ) dx = 50. Calcula: x cos x dx = e 5. Calcula la integral: Ln x 2 dx 52. Calcula: 6x2 dx = 8x Calcula la integral 4 = 25+6x 2 dx = 54. Calcula: x 2 sen (2 + x)dx = 55. Calcula el área de la región del plano delimitada por las gráficas de las funciones f(x) = x 3 x y g(x) = x 2, definidas en el intervalo [, ] 56. Calcula: xsen x dx = 57. Calcula (x 3 + 2x 2 + x) 4 dx 58. Calcula x2 +2x 5 x 3 +2x 2 +x 2 dx = 59. Calcula: x 2 tag 2 (x 3 )dx = 60. Calcula x2 +2x+ x 3 x 2 +x dx = 6. Calcula: e x+ cos x dx = 62. Calcula: x + cos 3 x dx = 5π La integral cos x dx 3π Calcula 2x 2 2x +2 dx = es: a) 0 b) - c) 2 3

4 π 65. Calcula la integral cos 2 3x dx = π 66. Calcula: x 2 e 2x dx = 67. Calcula x 2 e x dx = 68. El área limitada por al función y = sen x, el eje de abscisas y las rectas x = π, x = π vale: 4 4 a) 2 b) 2 2 c) BLOQUE DE ÁLGEBRA x y z = λ. Resuelva, dependiendo del valor de λ, el siguiente sistema S λ = { 2y + 3z + 3xλ = 0 3z 3x + 3yλ = 0 a 2. Sea a R. Calcule, en función de a, el rango de la matriz A = ( a ) a 3. Estudie la existencia de una matriz A x A = I, y calcúlela en caso afirmativo. Observación: A x A representa el producto de matrices A = ( a b 0 ), donde a + d 0 y I = ( c d 0 ) 4. Determine el conjunto de números reales α para los que el rango de la matriz A es menor que 3. α A = ( 3 α) α α α 5. Dados los números a y b, tales que ab 0, estudie si la matriz A t es inversible. En caso 0 afirmativo, calcula la inversa de A = ( a ). 0 b 0 NOTA.- A T representa la matriz traspuesta de A. a Dada la matriz A = ( 0 b 0 ), donde a y b son números no nulos, determine A a a 7. Sea a R. Calcule, en función de a, el rango de la matriz: A = ( 0 a ) a Estudie la existencia de una matriz X tal que A x X = B, y calcúlela en caso de existir. A = ( 2 ), B = ( ) Sea la matriz A = ( 0 ). Calcule la inversa de A. 4 2 x y z = λ 0. Resuelva, el sistema S λ = { 2y + 3z + 3xλ = 0, para aquellos valres de λ, que hacen al sistema 3z 3x + 3yλ = 0 compatible y determinado. 4

5 . Sea A una matriz de orden 3 que verifica la ecuación matricial A 2 = I 2A, siendo I la matriz identidad de orden 3. Pruebe que A es invertible y determine la matriz A - en función de A Dados dos números a y b, no nulos, estudie si la matriz A = ( a ) tiene matriz inversa. 0 b 0 En caso afirmativo, calcúlela Dada A = ( 0 3 ), estudie si existe la matriz inversa de A. En caso afirmativo calcúlela Dado un número a 0, determine si la matriz A = ( a 2 a) posee inversa en función a 2 4 a 2 del valor de a. 5. Estudie el rango de la matriz A en función del número real α y el número entero n. α n α A = ( n α n + ). α n + α 6. Dada la matriz A, estudie la existencia de una matriz X tal que X x A = I. Calcúlela en el caso de que exista y sea única A = ( 0 2), I = ( 0 0) Observación: X x A representa el producto de las matrices X y A 7. Sea A una matriz cuadradra de orden 3 que verifica la ecuación matricial A 2 + 2A = I, siendo I la matriz identidad de orden 3. Compruebe que A es invertible determinando la inversa de A en función de A Dados los números a y b, no nulos, estudie si la matriz A = ( a)tiene matriz inversa. En b 0 0 caso afirmativo, calcúlela. 0 a 0 9. Determine las potencias A 3k de la matriz A = ( 0 0 c), donde a, b y c son números no b 0 0 nulos y k, es un número natural mayor que. 20. Dada la matriz A, estudie la existencia de una matriz X tal que A x X = I, y calcúlela en el caso de que exista A = ( 0 2), I = ( 0 0) Observación: X x A representa el producto de las matrices X y A. 2. Discuta y resuelva, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: x + ay + 2z = 0 { y z = ax y + z = 22. Estudie si existe alguna matriz X tal que A x X x B = C, y en caso afirmativo, calcúlela. A = ( 2 0 ), B = (2 ), C = ( ) 5

6 Observación: A x X representa el producto de las matrices. 2λx + 2y + 3λz = 23. Resuelva, dependiendo del valor de λ, el siguiente sistema S λ = { λx λy z = 2 x y z = λ 24. Dados los números a y b distintos, determine si la matriz A = ( 2 a b ) posee inversa en 4 a 2 b 2 función de los valores de a y b. 25. Dadas las matrices A = ( ), C = ( ). Hállese una matriz X que sea solución de la 2 4 ecuación matricial A X A = C. 26. Dada la matriz M, estudie la existencia de una matriz Y tal que M x Y = I, y calcúlela en el caso de que exista. M = ( 0 2), I = ( 0 0) Observación: M x Y representa el producto de las matrices. 27. Estudie si existe alguna matriz X tal que B x X x A = C, y en caso afirmativo, calcúlela. A = ( 2 0 ), B = (2 ), C = ( ) Observación: A x X representa el producto de las matrices. 2 λ 28. Sea A = ( λ 3 ), con λ R, Para qué valores de λ la matriz A no tiene inversa?. 4 λ 29. Dados un número a, determine si la matriz A = ( 2 a a) posee inversa en función del 4 a 2 a 2 valor de a. a a + a Sea a R. Determine el valor del determinante: a + 3 a + 5 a + 7 a + 6 a + 9 a + 2 λx + 2y + λz = 2 3. Estudie si el sistema S λ posee solución, dependiendo del valor de λ, S λ = { λx λy z = λx y z = λ x + 2y + 3z = 32. Sea el sistema de ecuaciones { 2x + 5y + 4z = 2. Determine la solución, en función de a R x + 3y + a 2 z = a 2 en el caso de que sea compatible y determinado. 33. Dada la matriz A, estudie la existencia de una matriz X tal que A x X x A = A. Calcúlela en el caso de que exista A = ( 0 2), I = ( 0 0) Observación: X x A representa el producto de las matrices X y A. a 34. Sea a R. Calcule, en función de a, el rango de la matriz: A = ( 0 a ) a 0 2 6

7 35. Sea A una matriz cuadradra de orden 3 que verifica la ecuación matricial A 2 I = 2A, siendo I la matriz identidad de orden 3. Compruebe que A es invertible determinando la inversa de A en función de A. 36. Dada la matriz M, estudie la existencia de una matriz Y tal que Y x M = I, y calcúlela en el caso de que exista. M = ( 0 2), I = ( 0 0) Observación: Y x M representa el producto de las matrices. 37. Dadas las matrices A = ( ), C = ( ). Hállese una matriz X que sea solución de la 2 4 ecuación matricial AX C = C. 3λx + 2y + 3z = 38. Resuelva el sistema S λ = { x λy z =, para aquellos valores de λ que hacen al sistema x y z = λ compatible y determinado. 39. Se desea recargar el cajero de un banco con billetes de 0, 20 y 50 euros. Por cada 5 billetes de 50 se ha de introducir de 20, mientras que por cada 2 billetes de 20 se han de introducir 3 de 0. Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la proporción de cada una de las denominaciones de billetes que hay introducir en el cajero. Resolver el sistema mediante la regla de Cramer. Si el importe total en euros de todos los billete ha de ser 28500, Cuántos billetes de cada denominación hay que introducir en el cajero? Sea la matriz A = ( 2 0), y sea A - su matriz inversa. Entonces el elemento a22 de la segunda fila y segunda columna de la matriz inversa A - es: a) 0 b) - c) 4. Sea la matriz A = ( 2 3 ). Entonces: a) A 2 = ( 4 9 ) b) A2 = ( 4 9 ) c) A2 = ( ) 42. Sea la matriz A = ( 2 ). Entonces la matriz inversa A es: a) A = ( 2 ) b) A = ( 2 ) c) A = ( 2 ) El rango de la matriz A = ( 0 ), tiene rango: 2 0 a) b) 2 c) En una tienda de deportes se han vendido 500 balones de baloncesto, nuevos y usados, y se han obtenido en total Los balones nuevos se venieron a 22 y los balones usados con descuentos del 20 % y 30 %. Se sabe que el número de balones usados vendidos ha sido la cuarta parte que los balones nuevos. a) Plantear un sistema de ecuaciones para hallar el número de abalones nuevos ue se han vendido. b) Calcular cúantos balones usados se vendieron con el descuento del 20 %. 7

8 45. Sea la matriz A = ( 4 3 ). Entonces la matriz inversa A es: a) A = ( 3 4 ) b) A = ( 3 4 ) c) A = ( 4 3 ) 46. Se consideran las matrices A = ( 2 ) y B = ( ). El producto de A B es: a) A B = (0 ) b) A B = ( 0) c) A B = ( 0 ) BLOQUE DE GEOMETRÍA. Estudie la posición relativa, dependiendo del valor del parámetro λ, del plano: 3z 2x + 2yλ 4 = 0 π 6 6z 6xλ 4y = 0 y la recta r { x y z 3 = 0 2. Halle unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A = (0, 2, ) y corta a las x = 4λ dos rectas r { y = 4λ y s: x = y = z z = 0 3. Estudie la posición relativa, dependiendo del valor del parámetro λ, del plano x λy z + 2 = 0 π 3λx + 2y + 3z 3 = 0 y la recta r { x y z 3 = 0 4. Halle a y b para que los tres planos π x + 2y z =, π 2x + y + az = 0, π 3x + 3y 2z = b, contengan a una misma recta r. Determine unas ecuaciones paramétricas de r. 5. Estudie la posición relativa de los tres planos siguiente, según el valor del parámetro λ π 3λx + 2y + 3z = 0, π 2 x λy z = 0, π 3 x y z = Determine el plano que contiene al punto A = (,, ) y que es perpendicular a la recta 0x + 5y + 8z 2 = 0 r { 2x 2y 2z + 2 = 0 4x + 3y + z 2 = 0 7. Se consideran la recta r { y el plano π x + my z = 6. Determine m 3x + y + 2z + = 0 para que r sea paralela a π. Calcule, para dicho valor de m, la distancia entre r y π 8. Dado el plano π, de ecuación general x + y z = 0, determine la ecuación general de cada uno de los planos paralelos que distan 3 unidades del plano π. 9. Dado el plano π x y + z = 3, determine todos los planos que contienen a los puntos A = (, 0, 0), B(0,, 0) y forman un ángulo de 30 con el plano π. 0. Dada la recta: r que pasa por los puntos A = (0,, ) y B(,, 0), y la recta r2 que pasa por los puntos C = (, 0, ) y D(0, 3, 0). Estudie si las dos rectas definen un plano que las contiene. Cuál es su ecuación general?. Qué relación existe entre los coeficientes de la ecuación del plano π ax + by + cz + d = 0 x + y z 2 = 0 para que π sea perpendicular a la recta r 2 { y que contenga al punto de x 3y z + = 0 origen de coordenadas? 8

9 2. Estudie si existe algún punto común a las rectas r y r 2. En caso de no existir, determine la x + y z 2 = 0 distancia entre ambas rectas. r { x y + z + = 0 y r 2x + 2y z 3 = 0 2 { x 3y + 3z + 2 = 0 3. Estudie y determine, en caso de existir, el plano que contiene a los puntos 3x + 2y + 3z 5 = 0 A = (, 2, ) y B(7, 0, 0), y que es perpendicular a la recta r { x y z + 3 = 0 4. Estudie el número de rectas que determinan los tres planos siguientes: π 3x + 5y 4z = 0, π 2 x + 2y z 2 = 0, π 3 3x 4y + 5z 4 = Determine el punto Q que es simétrico del punto P = (2,, 3) respecto al plano que determinan los puntos A = (, 0, 0), B(0,, 0) y C = (0, 0, ) Observación: El punto Q es la imagen especular del punto P supuesto que el plano fuera un espejo. 6. Halle unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A = (3, 5, ) y corta a las x = λ dos rectas r { y = λ y s: x = y = z 2 z = 0 7. Del paralelogramo ABCD se conocen únicamente los puntos A = (3,, 0), B(, 2, ) y C = ( 2, 0, 4). Se pide determinar el cuarto punto D y el área del triángulo CDA. Observación: ABCD es el paralelogramo que una A con B, B con C, C con D y D con A. 3x + 2y + 3z = 0 8. Determine la distancia del punto A = (,, ) a la recta r { x y z + = 0 9. Dada la recta r que pasa por los puntos A = (0,, ) y B(,, 0), y la recta r2 que pasa por los puntos C = (, 0, ) y D(0, 3, 0). Qué plano definen estas dos rectas? 20. Se consideran las rectas: r que pasa por los puntos A = (0,, ) y B(,, 0) y la recta 2x + y z = 0 r 2 {. Calcule la distancia entre ellas, en el caso de que sean paralelas o x y z + = 0 que se crucen. 2. Cuál es la mínima distancia entre el punto A = (,, ) y un punto de la recta 3x + 2y + 3z = 0 r { x y z + = Determine la ecuación general de un plano que contiene al origen de coordenadas y es perpendicular a los planos que determinan la recta de ecuación general. x + y z 2 = 0 r { x y + z + = Determine el área del cuadrilátero ABCD tal que A = (, 2, ), B(4, 4, ), C = (6,, ) y D(2,,). Observación: Cuadrilátero: Figura plana de cuatro lados. x = λ 24. Dada la recta r { y = λ y el plano π 2x y + z = 0, halle las ecuaciones z = 2λ paramétricas de la recta s, proyección ortogonal de r sobre π 25. Determine la recta s que está contenida en los planos π y π 2, donde π es el plano que 2x 2y z + 2 = 0 contiene al origen y es perpendicular a la recta r { x 2y z 3 = 0, y π 2 es el plano que pasa por el origen y es paralelo al plano π 3x + 2y + 3z 2 = 0 9

10 x + y = Se consideran la recta r { y el plano π x + my z = 6. Determine m para x + z + = 0 que r sea paralela a π. Calcule, para dicho valor de m, la distancia entre r y π 27. Los planos α x + y 5z = 4 y α 3x 3y + 5z = a) Se cortan en una recta b) Son paralelos c) Son coincidentes 28. La distancia del punto A = (, 2, 5) al plano α 2x + 2y z 5 = 0 vale: a) 5/3 b) 2/3 c) 4/3 29. El vector director de la recta r x = 2t +, y = 3t, z = t 7, es el vector: a) (,, 7) b) (2, 3, ) c) (3, 2, 6) 30. Elmódulo del vector u = (, 3, 5) es: a) 9 b) 35 c) La recta r x = + 2t, y = + 3t, z = 7 + t y el plano π 3x + 4y 5z = a) Son paralelos b) Se cortan c) La recta está contenida en el plano 32. Para que los planos π 3x 2y + 5z = 2 π 2 kx + 7y + z = 0 Sean perpendiculares, k debe valer: a) k = b) k = 3 c) k = La ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,, 0) y tiene por vector director a v = (, 2, ) es: a) (x, y, z) = (, 2, ) + t(2,, 0) b) x+2 = y+ = z 2 2x y 3 = 0 c) { x z 2 = Los planos { π 3x 3y + 2z 9 = 0 π 2 x + y 4z + 3 = 0 son: a) Secantes b) Paralelos c) Coincidentes b) La distancia del punto A(2, 3, 4) a la recta x 2 = y+ = z vale: 3 2 a) 44 4 b) c)

11 BLOQUE DE PROBABILIDAD. Si A y B son sucesos de un espacio de probabilidad, la afirmación: P(A B) = P(A) + P(B) P(A) P(B) Es correcta: a) Si A y B son sucesos disjuntos b) Si A y B son sucesos independientes c) Para cualquier par de sucesos A y B 2. Si A y B son sucesos con P(A B) = 0 7 y P(B A) = 0 6, entonces P(A) vale: d) 0 e) 0 2 f) En una determinada población, la probabilidad de que un recién nacido sea varón es 0 5. Entonces la probabilidad de que una familia con cautro hijos tenga al menos una niña, suponiendo que los distintos nacimientos son independientes, es aproximadamente: a) b) c) Si A y B son dos sucesos de un espacio de probabilidad, la afirmación: P(A B) = P(A) + P(B), es correcta si: a) A y B son sucesos disjuntos b) A y B son sucesos independientes c) Para cualquier par de sucesos A y B. 5. Si A y B son sucesos con P(A) = 0 3 y P(B A) = 0 45, entonces P(A B) vale: a) 0 35 b) 0 5 c) Una población está compuesta en un 60 % de mujeres. El 4 % de las mujeres y el 22 % de lso hombres son fumadores. Si una persona elegida al azar fuma, la probabilidad de que sea una mujer es: a) b) c) Si A y B son dos sucesos de un espacio de probabilidad, P(A) = P(B) = 3, P(A B) = 6, entonces P(A B) es igual a: a) 2 b) 3 c) En una determinada población, la probabilidad de que un recién nacido sea varón es 0 5. Entonces la probabilidad de que una familia con cuatro hijos tenga al menos una niña, suponiendo que los distintos nacimientos son independientes, es aproximadamente: a) b) c)

12 9. Dado el conjunto C = {a, b, c, d, e} y la familia de subconjuntos S = {, {b}, {b, e}, {a, c, d}, {a, c, d, e}}, entonces esta familia es un álgebra de sucesos si se completa con: a) Un suceso b) Dos sucesos c) Tres sucesos 0. En la clase de º de la Facultad de Medicina, el 60 % son chicas y el 40 % son chicos. El 25 % de las chicas y el 5 % de los chicos escucha músicas mientras estudia. Si una persona elegida al azar dentro de esta clase, escucha música mientras estudia, Cuál es la probabilidad de que sea chica?. a) 5/2 b) 0/2 c) 25/40 2