INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMILIANO GARCÍA

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1 1. Área MATEMÀTICAS Grado: Noveno Educador: Mauricio Salazar Periodo: 4 Eje temático: Función Lineal y cuadrática Tiempo estimado: 9 semanas 2. ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. Funciones Lineales y Cuadráticas Halla la ecuación de una función lineal a partir de dos puntos. Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones polinómicas, racionales exponenciales. y Funciones Grafica funciones lineales y cuadráticas a partir de su expresión algebraica. Calcula la pendiente y los interceptos de una función lineal. Obtiene los interceptos y el vértice de una función cuadrática.

2 3.PRESENTACIÓN Ahora vamos a iniciar el estudio (repaso) de las funciones lineales y cuadráticas. Actividad 1.- Camino del cole. Fernando, Herminia, Maruja y Yolanda, viven en una urbanización cercana a Bello. Cuando van al Colegio, suelen hacerlo en bicicleta. La primera clase empieza a las ocho y cuarto, lo cual significa que deben salir de casa alrededor de las siete y media. Porque llegar tarde... La distancia de la urbanización al colegio es de (casi) 10 km. Las cuatro gráficas que vienen a continuación muestran cómo las cosas son distintas para cada uno de ellos cuando van al colegio. A.- YOLANDA Yo siempre salgo con calma. Porque, yo me digo, a esas horas de la mañana no te puedes precipitar... Ya en el camino empiezo a pedalear más de prisa, porque no me gusta llegar tarde. FERNANDO Esta mañana con la motocicleta al cole "vaya". Bien rápido. Pero por el camino: Ploff, ploff. Sin gasolina! Yo, hasta la coronilla! Motocicleta de la mano y andando el resto. Llegué por los pelos... HERMINIA Acababa de salir de casa, cuando me di cuenta que hoy tenemos gimnasia. Y me había olvidado el uniforme y los tenis. Qué tonta verdad? Otra vez a casa para buscarlos. Después tuve que pedalear muy de prisa para llegar a tiempo.

3 MARUJA 1. A quién corresponde cada gráfica? 2. Imagínate lo que puede haber dicho Maruja. 4. CONOCIMIENTOS PREVIOS Para llevar a cabo el estudio de las temáticas deberás saber resolver: - Operaciones con Números Fraccionarios. - Ecuaciones lineales con una incógnita. - Simplificación de términos semejantes ACTIVIDADES INICIALES DE ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS Y MOTIVACIÓN. Actividad.- Alquilando coches

4 Necesitamos alquilar un carro durante todo un día. Pedimos presupuesto a dos agencias distintas y nos ofertan las siguientes tarifas de precios: Agencia MUNDA: pesos. fijas más pesos. por cada kilómetro que recorramos. Agencia POLEY: ptas. fijas más pesos. por cada kilómetro que recorramos. Cuánto costaría realizar un viaje de 350 km. con cada una de las agencias?, a cuánto nos sale al final cada kilómetro recorrido, durante el viaje anterior, en cada una de las agencias? Construye una tabla considerando que recorremos 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300 km, en la que se refleje el coste total del alquiler y el coste total por kilómetro recorrido en ambas agencias. Estudia las variaciones medias y comenta. Representa los valores de la tabla en cuatro gráficos diferentes. Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total del alquiler, en cada agencia, en función de los kilómetros que realicemos. Represéntalas en unos mismos ejes y compara ambas ofertas. Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total de cada kilómetro recorrido, para cada agencia, en función de los kilómetros que realicemos. Represéntalas en unos mismos ejes de coordenadas y compara ambas gráficas. 5. PALABRAS CLAVES Ecuación lineal, función lineal, pendiente, intercepto, vértice 6. DESARROLLO DEL NUCLEO TEMATICO Ecuación cuadrática.

5 Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x x - 3 De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2 Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R -> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6" Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores. f: R > R / f(x) = 2x-6 Le vamos dando valores a "x". Que valores le podemos dar? Cualquiera que este dentro del dominio. Por ejemplo, si x = 5, entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4 Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4). Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero.

6 Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta. Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5, g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = = 11 si x es 4, entonces f(4) = = 13 si x es 5, entonces f(5) = = 15 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7 si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4 si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. h: h(x) = 4 si x= 0, entonces h(0) = 4 si x= 98, entonces h(98) = 4 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

7 Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j? Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3 Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos. Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia. La representación gráfica de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos. Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante. Cuando no se especifíca el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

8 Veamos otro ejemplo: Esta función, llamada q, será lineal? Supongamos, además, que es una función de R en R. Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón. Dominio Codominio x y Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1 Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto. Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal?

9 RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es f: R > R / f(x) = a.x+b con a y b números reales. La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b. Cómo se obtiene la ecuación de una recta si conocemos 2 puntos de la misma? Joseline Figueroa ha formulado esta pregunta: Cómo se obtiene la ecuación de una recta si conocemos 2 puntos de la misma? Vamos a verlo con un ejemplo. Supongamos que tenemos que hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(3,4) Los puntos los hemos representado en este par de ejes coordenados. Para hallar la ecuación de la recta tenemos que encontrar los valores de "a" y de "b" en f(x)=ax+b. Esto lo hacemos sustituyendo por los puntos que tenemos en esta ecuación. Es lo mismo escribir y=ax+b Para el punto (2,1), cuando la x es 2, la y vale 1. Entonces 1=a.2+b Para el punto (3,4), cuando la x es 3, la y vale 4. Entonces 4=a.3+b Nos ha quedado un sistema de ecuaciones que vamos a resolverlo. Primero lo escribimos un poco mas ordenado:

10 valor de "a", podemos averiguar "b": y ahora que conocemos el Entonces y=ax+b sustituyendo por los valores de a y b nos queda y=3x-5 Vamos ahora a graficar esta función y si está bien, debería pasar por los puntos originales P y Q. 7. EVALUACIÓN Actividad Metodología Valoración Fecha Trabajo en - Realización de talleres 20% Continuamente

11 grupo - Participación en juegos Trabajo - Sustentación de ejercicios. individual - Revisión de cuaderno - Participación en juegos Trabajo individual - Participación en clase - Responsabilidad - Material para la clase - Trato a los compañeros - Atención y compromiso en clase - Participación en semilleros, grupos de estudio. - Autoevaluación formativa - Creatividad 40% 40% Continuamente continuamente 8. BIBLIOGRAFIA Guías de Aprendizaje diseñadas por el docente BALDOR,A. ALGEBRA. ED Publicaciones Cultural. OBSERVACIÓN GENERAL---- Se diseño una pagina web de matemáticas para los grados 8D, Noveno, Media Tecnica, allí se colgaran talleres, ejercicios de preparación y demás actividades que se diseñen: