Método de Box Muller. Método Polar Generación de eventos en Procesos de Poisson. Método de Box-Muller. Métodos de generación de v. a.

Transcripción

1 Método de Box Muller Método Polar Generación de eventos en Procesos de Poisson Si X e Y son normales estándar indepientes, entonces R 2 = X 2 + Y 2, tan(θ) = Y X determinan variables R 2 y Θ indepientes. Patricia Kisbye (X, Y ) f X (x) = 1 2π e x 2 /2 FaMAF f Y (y) = 1 2π e y 2 /2 24 de abril, 2008 R Θ f X,Y (x, y) = 1 2π e (x 2 +y 2 )/2 R 2 = X 2 + Y 2 Θ = arctan( Y X ) Métodos de generación de v. a. normales Notar: Si X N(0, 1), entonces µ + σx N(µ, σ 2 ), por lo cual es suficiente saber generar X N(0, 1). Método de Box - Muller (1958) - Se generan dos variables normales indepientes X e Y. Estrategia: utilizar una de las dos normales como respuesta en las llamadas pares. Transformaciones de Box - Muller: utilizan funciones trigonométricas. Se recomia utilizar una combinación de generadores. Los generadores de congruencias producen puntos espiralados. Método Polar: Marsaglia and Bray (1964) - Eliminan los cálculos trigonométricos. Reducción del tiempo de ejecución en un 27%. Método de Box-Muller donde J = det f R2,Θ(d, θ) = 1 J ( d x θ x d y θ y ) R 2 E( 1 2 ) y Θ U(0, 2π). X = R cos(θ),. Método de Box-Muller Generar U 1, U 2 U(0, 1); R 2 2 log(u 1 ); Θ 2πU 2 ; X R cos(θ); Y R sen(θ) 1 2π e d/2 = π e d/2,, d = x 2 + y 2, θ = arctan(y/x) Y = R sen(θ)

2 Método de Box-Muller Transformaciones de Box-Muller: X 2 log(u 1 ) cos(2πu 2 ) Y 2 log(u 1 ) sen(2πu 2 ) El cálculo de funciones trigonométricas lo hace poco eficiente. Idea de Marsaglia: Utilizar v. a. uniformes V 1 y V 2 en el círculo unitario y utilizar nuevamente coordenadas polares. (V 1, V 2 ) (1, 1) sen Θ = V 2 R = V 2 V1 2 + V 2 2 Transformaciones de Box Muller resultan: cos Θ = V 1 R = V 1 V1 2 + V 2 2 X =( 2 log U) 1/2 V 1 (V V 2 2 )1/2 Y =( 2 log U) 1/2 V 2 (V V 2 2 )1/2 R 2 (0, 0) Θ R 2 y Θ son indepientes, luego podemos tomar U = R 2 = V V 2 2 Método polar Generar un par (V 1, V 2 ) uniformemente distribuido en el cuadrado. C = círculo unitario, P(A A C) = C 1 π I A C(x, y) dx dy Si (V 1, V 2 ) C, entonces resulta uniformemente distribuido en el círculo unitario. R 2 = V1 2 + V 2 2 resulta uniforme en (0, 1). P(R 2 < a) = 1 π π a = a. Θ = arctan V 2 /V 1 es uniforme en (0, 2π): P(Θ < α) = α 2π. Método polar Tomamos S = R 2, y obtenemos Método polar (última versión) repeat Generar V 1, V 2 U( 1, 1); S V1 2 + V 2 2 until S < 1; X Y 2 log S S V 1 ; 2 log S S V 2 X =( 2 log S) 1/2 V 1 S 1/2 Y =( 2 log S) 1/2 V 2 S 1/2 Requiere 4 pi iteraciones. Entre un 9% y 31% más rápido en FORTRAN.

3 Generación de v. a. normales Existen otros métodos de generación de v. a. normales. Uno de ellos es el método rectangle-wedge-tail: Z, Z N(0, 1) 15 rectángulos ( 92%) 15 triángulos. 1 cola. Método de composición: 15 distr. uniformes. 16 restantes: método de rechazo. Referencia: Donald E. Knuth, Seminumerical Algorithms, p.p. 122 en adelante. Proceso de Poisson homogéneo Generación de eventos en el intervalo [0, T ] t 0, I 0; if t 1 λ log U > T then else t t 1 λ log U; S[I] t I: número de eventos. S[I]: tiempo en el que ocurre el evento I. S[1], S[2],..., están en orden creciente. Generación de un Proceso de Poisson Proceso de Poisson homogéneo En un proceso de Poisson homogéneo de razón λ, los tiempos de llegada entre eventos sucesivos son exponenciales con razón λ (media 1/λ). Para generar los primeros n eventos de un Proceso de Poisson homogéneo, generamos exponenciales X i E(λ), 1 i n: Primer evento: al tiempo X 1. j-ésimo evento: al tiempo X 1 + X X j, para 1 j n. Para generar los eventos en las primeras T unidades de tiempo, generamos eventos hasta que j + 1 excede a T. Otro método para simular los primeros eventos se fundamenta en lo siguiente: sea N(T ): el número de eventos hasta el tiempo T : Dado N(T ), la distribución de los tiempos de arribo en un Proceso de Poisson homogéneo de razón λ es uniforme en (0, T ). Luego, para generar los eventos hasta el tiempo T : Generar una v. a. Poisson de media λt, y tomar n = N(T ). Generar n v. a. uniformes U 1, U 2,..., U n. Los tiempos de arribo son: TU 1, TU 2,..., TU n. Es más eficiente? Notar que hay que ordenar los tiempos de arribo.

4 En un, con intensidad λ(t): los incrementos no son estacionarios, es decir, no depen de la longitud del intervalo, la intensidad λ(t) indica la tasa de ocurrencia de los eventos, si λ(t) λ, entonces λ(t) =λ λ(t) λ λ(t) con λ < 1, podemos considerar p(t) =λ(t)/λ como la probabilidad de ocurrencia de un evento en un Proceso de Poisson homogéneo de razón λ. Un mejora consiste en particionar el intervalo (0, T ) en subintervalos, y aplicar el algoritmo anterior en cada uno de ellos: 0 = t 0 < t 1 < < t k < t k+1 = T λ(s) λ j, si j 1 s < j Método de adelgazamiento o muestreo aleatorio Generación de eventos en el intervalo [0, T ] t 0, I 0; if t 1 λ log U > T then else t t 1 λ log U; if U < λ(t)/λ then S[I] t I: número de eventos. S[1], S[2],...,: tiempos de eventos. El algoritmo es más eficiente cuánto más cerca esté λ de λ(t). t 0; J 1; I 0; X 1 λ J log U; while t + X > t J do if J = k + 1 then X (X t J + t) λ J λ J+1 ; J J + 1 t t + X; Generar V U(0, 1); if V < λ(t)/λ J then S[I] t

5 Otra mejora sobre este algoritmo es considerar el mínimo de λ(s) en cada subintervalo. Por ejemplo, en un intervalo (t i 1, t i ): λ min = min{λ(s) s (t i 1, t i )} En este intervalo los eventos ocurren con intensidad (λ(s) λ min )+λ min, Generar eventos de un P. P. homogéneo con razón λ min. Intercalarlos con eventos de un P. P. no homogéneo con intensidad λ(s) =λ(s) λ min. Ventaja: El número promedio de uniformes a generar disminuye en λ min (t i t i 1 ). Ejemplo Describir un algoritmo para la generación de eventos de un P. P. no homogéneo con función de intensidad x 0 λ(s + y) dy = λ(t) = 1 t + 3, t 0. x 0 1 dy = log s + y + 3 F s (x) =1 s + 3 x + s + 3 = x x + s + 3. u = F s (x) x = ( x + s + 3 u(s + 3) 1 u. s + 3 ). Otro método consiste en generar directamente los sucesivos tiempos de evento. S 1, S 2,... : sucesivos tiempos de evento. Estos tiempos de evento no son indepientes. Para generar S i+1, utilizamos el valor generado S i. Dado que ha ocurrido un evento en t = S i, el tiempo hasta el próximo evento es una variable aleatoria con la siguiente distribución: F s (x) = P{ocurra un evento en (s, s + x)} = 1 P{0 eventos en (s, s + x)} ( s+x ) ( x = 1 exp λ(y) dy = 1 exp s 0 ) λ(s + y) dy Fs 1 u (u) =(s + 3) 1 u. Los sucesivos tiempos de eventos son entonces: S 1 = 3U 1 1 U 1 U 2 S 2 = S 1 +(S 1 + 3) = S 1 + 3U 2 1 U 2 1 U 2. U j 1 S j = S j 1 +(S j 1 + 3) = S j 1 + 3U j 1 U j 1 1 U j

6 Generación de eventos utilizando el método de la T. Inversa I = 0; S[0] =0; if (S[I]+3U)/(1 U) > T then else S[I] (S[I 1]+3U)/(1 U);