PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO
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- Daniel Plaza Rojo
- hace 5 años
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1 HTML CON JAVASCRIPT PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Vamos a construir un documento en formato HTML que se pueda visualizar con un navegador y en el que incluiremos una pequeña aplicación en JavaScript que nos permita hallar automáticamente las distancias entre dos puntos, de un punto a una recta y de un punto a un plano en el espacio como se muestra en el siguiente ejemplo: Si es preciso consulta la introducción a los documentos HTML que se incluye en el documento intro.
2 CÓDIGO Introduce el siguiente documento HTML en el Bloc de notas (Notepad) o utiliza el procedimiento de copiar y pegar. Puedes guardarlo en formato solo texto con nombre distancias.htm. No olvides la extensión.htm para que sea interpretado como un documento en formato HTML y puedas visualizarlo en tu navegador (Explorer o similar). <html> <head> <title>distancias</title> <script > function m(x,y,z) { return Math.sqrt(x*x+y*y+z*z) } function calcular() { px=parsefloat(document.datos[0].value); py=parsefloat(document.datos[1].value); pz=parsefloat(document.datos[2].value); qx=parsefloat(document.datos[3].value); qy=parsefloat(document.datos[4].value); qz=parsefloat(document.datos[5].value); vx=parsefloat(document.datos[6].value); vy=parsefloat(document.datos[7].value); vz=parsefloat(document.datos[8].value); a=parsefloat(document.datos[9].value); b=parsefloat(document.datos[10].value); c=parsefloat(document.datos[11].value); d=parsefloat(document.datos[12].value); pqx=qx-px;pqy=qy-py;pqz=qz-pz; mx= vy*pqz-vz*pqy ; my=-vx*pqz+vz*pqx ; mz= vx*pqy-vy*pqx; document.datos.dpq.value= m(pqx,pqy,pqz); document.datos.dpr.value= m(mx,my,mz)/m(vx,vy,vz); document.datos.dpp.value=(a*px+b*py+c*pz+d)/ m(a,b,c); } </script> </head> <body text=white bgcolor=blue> CALCULO DE DISTANCIAS <BR> <form name="datos"> Puntos P=<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br>...q =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br> Recta (punto Q y vector de dirección v)<br>...v=<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br> Plano ( Ax+By+Cz+D=0 )<BR>...A=<input type="text" size="3">b=<input type="text" size="3">c=<input type="text" size="3"> D=<input type="text" size="3"><br> <input type="button" value="calcular" onclick="calcular()"><br><br> DISTANCIAS <BR> Distancia pto a pto.(p a Q)...=<input type="text" size="3" name="dpq"><br> Distancia pto a recta (P a r)...=<input type="text" size="3"name="dpr"><br> Distancia pto a plano (P a p)...=<input type="text" size="3"name="dpp"> </form> </body> </html>
3 DESCRIPCIÓN: Hay que distinguir dos partes: La primera es la cabecera ( incluida entre <head> y </head>) y contiene un título del documento y una construcción con JavaScript ( incluida entre <script> y </script>) que contiene una función m(,x,y,z ) que halla el módulo de un vector de coordenadas (x,y,z) y otra función calcular( ) que obtiene las distancias entre dos puntos P y Q, de un punto P a una recta r y de un punto P a un plano p a partir de los valores introducidos en el formulario que luego se describe. La función calcular( ) comienza leyendo los datos introducidos en las 13 primeras casillas del formulario datos y asignando su valor a unas variables. Cada casilla va numerada de 0 a 12. Para leer el contenido de la primera casilla (primera coordenada px del punto P) se utiliza la expresión document.datos[0].value, para la segunda casilla (coordenada py) se utiliza document.datos[1].value, etc. Se añade la función parsefloat para que el valor sea tomado como un número en vez de cómo un texto. De no ser así 5+3 aparecería como 53 en lugar de 8. Una vez leídos y almacenados los valores de las tres coordenadas del punto P, del punto Q, del vector v ( de dirección de la recta r) y los cuatro coeficientes de la ecuación del plano p, se hallan las coordenadas del vector PQ y del producto vectorial de v x PQ. A continuación se obtiene la distancia entre P y Q como el módulo del vector PQ, la distancia de P a r como el cociente entre el módulo del producto vectorial v x PQ y el módulo de v, y la distancia de P al plano p como el resultado de sustituir las coordenadas de P en la ecuación del plano y dividir por el módulo del vector (a,b,c) perpendicular al plano. Por último se muestran los resultados asignándolos al valor de las últimas casillas del formulario. La parte final ( incluida entre <body> y </body>) contiene lo que realmente se visualiza en pantalla. Tras un título aparece el formulario datos ( definido entre <form> y </form>) que contiene 13 casillas para albergar las coordenadas de P,Q, v y los coeficientes A,B,C,D de la ecuación del plano seguidas de una casilla-botón Calcular que al ser pulsado ( OnClick) invoca la función calcular( ) para desencadenar los cálculos y muestra de resultados. Éstos se muestran en las tres últimas casillas del formulario. UTILIZACIÓN: Para abrir el documento creado basta hacer doble clic con el ratón sobre su nombre distancias y el navegador nos mostrará en pantalla el formulario en blanco. Vamos a hallar la distancia entre los puntos P(5,0,3) y Q(4,2,1). Para ello sitúa el cursor sobre la primera casilla y escribe 5, en la segunda casilla 0, y en la tercera 3. Puedes saltar a cada casilla siguiente pulsando la tecla tabulador. Introduce a continuación las coordenadas del otro punto Q. No olvides el signo si algún coeficiente es negativo. Al pulsar el botón Calcular obtendrás el resultado en la casilla correspondiente. Las casillas inferiores mostrarán un mensaje de error NaN al no poder hallarse la distancia de P a la recta r y al plano p si las casillas del vector de dirección de la recta y de la ecuación del plano están en blanco. Para hallar la distancia del punto P(5,0,3) a la recta determinada por el punto Q(4,2,1) y el vector de dirección v(1,2,2) introduce las coordenadas (1,2,2) en la tercera fila de casillas y vuelve a pulsar el botón Calcular. Para hallar la distancia del punto P(5,0,3) al plano de ecuación 3x+4z+2=0 introduce los coeficientes 3,0,4,2 de la ecuación en la cuarta fila de casillas del formulario y vuelve a pulsar Calcular. Observa que debes incluir 0 como coeficiente de y.
4 PRÁCTICA: Modifica alguna de las coordenadas de P,Q, v y observa los nuevos resultados. Hasta que no se pulsa Calcular no se actualizan los resultados. Si mantienes algún valor previo no es preciso volver a introducirlo. Comprueba que la distancia de P a Q es igual que la de Q a P ( cambia de orden las coordenadas de P y Q). Introduce en P un punto de la propia recta r y comprueba que la distancia correspondiente es 0. Puedes tomar como P el resultado de sumar a las coordenadas de Q las del vector v. Multiplica por 2 todos los coeficientes de la ecuación del plano p y observa que la distancia de P al plano no se modifica. Por qué?. Halla las correspondientes distancias con los siguientes datos: P=[1, 2, 1] Q=[-1, 1, -1] v=[0, 3, 0] p: 2x-y+2z+3=0 P=[0, 0, 0] Q=[-1, 1, -2] v=[0, 2, -1] p: 5x-12y+13=0 P=[123, 675, 432] Q=[-317, 401, -212] v=[10, 27, -19] p: 17x+12y-32z+43=0 P=[3,51; 1,37; 2,41] Q=[-1,23; 2,31; -7,22] v=[0,11; 2,43; -1,06] p: 2,3x-5,2y+7,5z+9,1=0 AMPLIACIÓN Puedes completar el documento mostrando las coordenadas del vector PQ y del producto vectorial v x PQ añadiendo en el formulario las siguientes líneas: Vector PQ...= <input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br> Prod.vectorial v x PQ= <input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br> En la construcción de la función calcular( ) debes añadir 6 expresiones de la forma document.datos [xx].value= para mostrar los correspondientes valores. Debes sustituir xx por 14 a 19 si las casillas correspondientes se muestran debajo del botón Calcular que ocupa la casilla 13. También puedes mostrar los valores de los módulos de los vectores que intervienen en los cálculos: PQ, v, v x PQ, (a,b,c).
5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P, Q. ÁREA DEL TRIÁNGULO DE VÉRTICES P, Q, R. VOLUMEN DEL TETRAEDRO DE VÉRTICES P, Q, R, S. ÁNGULO DE DOS VECTORES U, V. Los productos, escalar, vectorial y mixto de vectores permiten calcular distancias, áreas, volúmenes y ángulos. Vamos a construir un documento en formato HTML que se pueda visualizar con un navegador y en el que incluiremos una pequeña aplicación en JavaScript que nos permita hallar la longitud de un segmento conociendo sus extremos P y Q, el área de un triángulo conociendo sus vértices P,Q y R, el volumen del tetraedro formado por cuatro vértices P, Q, R y S, y el ángulo formado por dos vectores U y V. Lo que pretendemos construir se ilustra en la siguiente figura: Si es preciso consulta la introducción a los documentos HTML que se incluye en el documento intro.
6 CÓDIGO Introduce el siguiente documento HTML en el Bloc de notas (Notepad) o utiliza el procedimiento de copiar y pegar. Puedes guardarlo en formato solo texto con nombre problemasmetricos.htm. No olvides la extensión.htm para que sea interpretado como un documento en formato HTML y puedas visualizarlo en tu navegador (Explorer o similar). <html> <head> <title>problemas métricos</title> <script > function m(x,y,z) { return Math.sqrt(x*x+y*y+z*z) } function calcular() { px=parsefloat(document.datos[0].value); py=parsefloat(document.datos[1].value); pz=parsefloat(document.datos[2].value); qx=parsefloat(document.datos[3].value); qy=parsefloat(document.datos[4].value); qz=parsefloat(document.datos[5].value); rx=parsefloat(document.datos[6].value); ry=parsefloat(document.datos[7].value); rz=parsefloat(document.datos[8].value); sx=parsefloat(document.datos[9].value); sy=parsefloat(document.datos[10].value); sz=parsefloat(document.datos[11].value); pqx=qx-px;pqy=qy-py;pqz=qz-pz; prx=rx-px;pry=ry-py;prz=rz-pz; psx=sx-px;psy=sy-py;psz=sz-pz; pvx= pqy*prz-pqz*pry ; pvy=-pqx*prz+pqz*prx ; pvz= pqx*pry-pqy*prx; pm=(pqx*pry*psz+pqy*prz*psx+prx*psy*pqz)-(pqz*pry*psx+pqy*prx*psz+prz*psy*pqx); document.datos.distancia.value= m(pqx,pqy,pqz); document.datos.area.value= m(pvx,pvy,pvz)/2; document.datos.volumen.value=math.abs(pm)/6; } </script> </head> <body text=white bgcolor=blue> CALCULO DE DISTANCIAS, AREAS Y VOLUMENES <form name="datos"> Puntos P =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br>......q =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br>...r =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br>...s =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"> <input type="button" value="calcular" onclick="calcular()"><br> Distancia P a Q... =<input type="text" name="distancia"size="3"><br> Área del triángulo de vértices P,Q,R... =<input type="text" name="area" size="3"><br> Volumen del tetraedro de vértices P,Q,R,S =<input type="text" name="volumen" size="3"><br> </form> </body> </html>
7 DESCRIPCIÓN: Hay que distinguir dos partes: La primera es la cabecera ( incluida entre <head> y </head>) y contiene un título del documento y una construcción con JavaScript ( incluida entre <script> y </script>) que que contiene una función m(,x,y,z ) que halla el módulo de un vector de coordenadas (x,y,z) y otra función calcular( ) que obtiene la distancia, el área del triángulo y el volumen del tetraedro a partir de los valores introducidos en el formulario que luego se describe. La función calcular( ) comienza leyendo las coordenadas de los cuatro puntos P,Q,R,S de los datos introducidos en el formulario y asignándolos a variables. A continuación obtiene las coordenadas del vector PQ(pqx,pqy,pqz), las coordenadas del producto vectorial de PQxPR (pvx,pvy,pvz) y el producto mixto pm de los vectores PQ,PR,PS. Por último se muestran en las últimas casillas del formulario (13,14 y 15) la distancia entre PyQ como el módulo del vector PQ, el área del triángulo como ½ del módulo del producto vectorial PQxPR y el volumen del tetraedro como 1/6 del producto mixto pm. Se toma el valor absoluto con Math.abs para evitar un volumen negativo. La parte final ( incluida entre <body> y </body>) contiene lo que realmente se visualiza en pantalla. Tras un título aparece el formulario datos ( definido entre <form> y </form>) que contiene 12 casillas (numeradas de 0 a 11) para albergar las coordenadas de los cuatro puntos P,Q,R,S seguidas de una casillabotón Calcular que al ser pulsado ( OnClick) invoca la función calcular( ) para desencadenar los cálculos y mostrar los resultados. Éstos se muestran en las tres últimas casillas del formulario. PRACTICA Introduce valores diversos para P,Q,R,S, y observa las correspondientes distancias, áreas, volúmenes y ángulos. Comprueba primero valores sencillos con resultados fácilmente predecibles como la distancia entre P(2,0,0) y Q(7,0,0), el área del triángulo de vértices P(0,0,0), Q(1,0,0) y R(0,1,0), el volumen del tetraedro de vértices P(0,0,0), Q(1,0,0), R(0,1,0) y S(0,0,1), etc Introduce las coordenadas de tres puntos alineados y comprueba que el área del triángulo correspondiente es 0. Haz lo mismo con el volumen de un tetraedro con los cuatro vértices en el mismo plano. Comprueba si tiene algún efecto permutar los puntos entre sí.
8 AMPLIACIÓN Puedes completar el documento para hallar el ángulo formado entre dos vectores. Podrás utilizarlo para hallar el ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección o entre dos planos a partir de sus vectores perpendiculares (coeficientes de x,y,z) o entre una recta y un plano ( teniendo en cuenta que el ángulo entre los respectivos vectores de dirección y perpendicular será complementario del ángulo buscado). Al final del formulario deberás añadir dos filas de casillas para introducir las coordenadas de los dos vectores u, v ( que puedes colocar delante de la casilla del botón calcular) y una última casilla para mostrar el ángulo que resulte. El formulario completo quedará de la siguiente forma: <form name="datos"> Puntos P =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br>......q =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br>...r =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br>...s =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br> Vector u =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><br> Vector v =<input type="text" size="3"><input type="text" size="3"><input type="text" size="3"> <input type="button" value="calcular" onclick="calcular()"><br> Distancia P a Q... =<input type="text" name="distancia"size="3"><br> Área del triángulo de vértices P,Q,R... =<input type="text" name="area" size="3"><br> Volumen del tetraedro de vértices P,Q,R,S =<input type="text" name="volumen" size="3"><br> Ángulo entre los vectores u y v...=<input type="text" name="angulo" size="3"> grados </form> Además deberás añadir nuevas líneas en la construcción de la función calcular( ) para leer las coordenadas de u,v ux=parsefloat(document.datos[12].value); uy=parsefloat(document.datos[13].value); uz=parsefloat(document.datos[14].value); vx=parsefloat(document.datos[15].value); vy=parsefloat(document.datos[16].value); vz=parsefloat(document.datos[17].value);
9 Por último debes añadir una línea para asignar al valor de la casilla angulo el valor obtenido como arco coseno del cociente entre el producto escalar de uv y el producto u v de los módulos de u y v. Esto se consigue con la expresión: document.datos.angulo.value=math.acos((ux*vx+uy*vy+uz*vz)/(m(ux,uy,uz)*m(vx,vy,vz))) Como el resultado aparecería en radianes podemos modificarlo para obtenerlo en grados: document.datos.angulo.value=math.acos((ux*vx+uy*vy+uz*vz)/(m(ux,uy,uz)*m(vx,vy,vz)))*180/math.pi; Pruébalo con algún caso sencillo como el ángulo formado por los vectores u(1,0,0) y v(5,5,0) (en la dirección de la bisectriz del plano XY), dos vectores paralelos, dos vectores perpendiculares, etc. Comprueba si forman el mismo ángulo dos vectores introducidos en distinto orden.
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