ESTADÍSTICA Hoja 1

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1 Estadística 1 ESTADÍSTICA Hoja 1 1. Para los distintos conjuntos de datos calcula los valores pedidos y contesta a las preguntas: I. Datos: 23, 12, 15, 17, 8. II. Datos: 1, 3, 1, 1, 5, 6. III. Datos: -1, -2, -7, 0, 1, 1, -1. IV. Datos: 25.1, 10.2, 10.4, 7.3, 3.6, 6.2, 5.5, 5.7. a) Media b) Mediana c) Moda d) Desviación típica e) Cuartiles f ) Rango intercuartílico g) Límites LI y LS h) 80 percentil i) Los datos atípicos j) La distribución de datos es simétrica? Comenta la asimetría. 2. Para los distintos conjuntos de datos calcula los valores pedidos y contesta a las preguntas: I. Datos: (L i 1, L i ] n i (0,10] 3 (10,20] 7 (20,40] 7 (40,50] 5 II. Datos: (L i 1, L i ] f i (0,3] 0.13 (3,6] 0.27 (6,9] 0.11 (9,12] 0.30 (12,15] 0.19

2 Estadística 2 III. Datos: (L i 1, L i ] F i (-30,-15] 0.2 (-15,0] 0.5 (0,10] 0.9 (10,20] 1.0 a) Mediana b) Cuartiles c) Rango intercuartílico d) Altura de las barras correspondientes del histograma. e) 80 percentil f ) La distribución, es campaniforme?. g) La distribución de datos es simétrica?. 3. Suponga que se dispone de la siguiente información sobre defectos estructurales en las puertas de un automóvil, para un lote de puertas: abolladuras, 4; picaduras, 4; partes ensambladas fuera de secuencia, 6; partes subajustadas, 21; falta de agujeros/ranuras, 8; partes no lubricadas, 5; partes fuera de contorno, 30 y partes con rebabas, 3. Construir un diagrama de Pareto e interpretarlo. 4. Completar la siguiente tabla, en la cual se han resumido las calificaciones medias de 60 estudiantes de 2 o curso de bachillerato de un instituto: (L i 1,L i ] n i f i a i h i Un experimento para investigar el tiempo de duración en horas de un componente electrónico consiste en colocar las partes en una celda de prueba y utilizarlas durante 100 horas bajo condiciones de temperatura elevada. (Este proceso recibe el nombre de prueba de duración acelerada.) Se prueban ocho componentes y se obtienen los siguientes tiempos de falla: 75, 63, 100 +, 36,51,45,80,90. La observación indica que la unidad continua funcionando después de 100 horas. Existe alguna medida significativa de localización de estos datos que pueda calcularse a partir de ellos?. Cuál es su valor numérico?.

3 Estadística 3 6. Da un ejemplo de una muestra en la que la media sea 5 y la varianza pertenezca al intervalo [1, 2]. 7. Las cinco primeras desviaciones con respecto a la media muestral de un conjunto de seis observaciones de medición de resistencia son: 2, 3, 7, 4 y 1. Cuál es el valor de la sexta desviación con respecto a la media? Dar una muestra que tenga las desviaciones anteriores con respecto a la media. Cuántas muestras pueden construirse con esta característica? Razonar la respuesta. 8. Dos revistas especializadas en empleo, A y B, han publicado una media de ofertas de trabajo, que requieren alta cualificación, de x A =10y x B =16, con varianzas, respectivamente s 2 A =4y s2 B mayor dispersión relativa? =9. Qué revista presenta 9. En una Escuela hay matriculados 550 alumnos en primero, 300 en segundo y 150 en tercero. El número medio de asignaturas de los alumnos de primero es de 8,2 con una varianza de 4. Elnúmero medio de asignaturas de los alumnos de segundo es de 12,4 con una varianza de 6,2. Elnúmero medio de asignaturas de los alumnos de tercero es de 6,7 con una varianza de 3,8. Hallar la media y la varianza del número de asignaturas de los alumnos de toda la Escuela. 10. Se ha observado que el número de clientes que acude diariamente a un determinado establecimiento es una variable estadística con media 200 y varianza 900. Cuál es el porcentaje máximo de días en los que acuden más de 235 clientes? y si sabemos que la distribución de los datos es, además, simétrica? 11. La recaudación media por persona en un cine el pasado martes fue de 3.9 euros. Si sabemos que el precio normal de la entrada es de 4.5 euros y el de la entrada reducida (carnet de estudiante, etc) es de 3.5 euros, cuántas personas de las 250 que asistieron al cine ese día adquirieron una entrada a precio reducido? 12. Una empresa de distribución de productos farmaceuticos desea premiar con un viaje a la mitad de sus agentes comerciales,seleccionando aquellos con mayores ventas: Ventas (u.m.) N o agentes Cuál es el nivel de ventas mínimo de los agentes comerciales premiados? 13. En un estudio publicado en el Journal of Performance of Constructed Facilities (febrero de 1990) sobre redes de distribución de agua, las lecturas de presión interna para una muestra de secciones de tubos tuvieron una media de 7.99 psi (libras por pulgada cuadrada) y una desviación estándar de 2.02 psi. a) Utiliza esa información para construir un intervalo en el que estén al menos el 95 % de las lecturas de la muestra. b) Esperarías encontrar una lectura de presión interna de 20 psi? Por qué?

4 Estadística En un conjunto de 27 valores de una muestra, aumentamos 5 unidades a los 3 valores más altos. Responder, razonadamente, cuáles de las siguientes medidas sufrirán variación a) La media aritmética b) El percentil 80 c) La mediana d)el percentil Sea X una variable estadística que toma los valores x i con frecuencias f i, i=1, 2,..., k. Sea x su media, M o su moda, Me su mediana y s x su desviación típica. Calcular estas mismas medidas para la variable tipificada: Z = X x s x 16. En la siguiente tabla se presentan las puntuaciones obtenidas por los ocho participantes en en la prueba de paralelas y por los 6 de la prueba de anillas en una competición gimnástica: Paralelas Anillas En cuál de las dos pruebas tiene mejor nivel el participante con puntuación en negrita? En qué grupo de puntuaciones existe mayor variación?. 17. Un automóvil ha recorrido cuatro trayectos t 1, t 2, t 3 y t 4 con unos consumos medios de 10, 8, 6 y 9 l/100 Km. Determinar el consumo medio en el global de los 4 trayectos, a) Si las distancias recorridas en cada uno de los 4 trayectos son 10, 20, 50 y 30 Km. respectivamente. b) Si los litros de combustible en cada trayecto son 1, 2, 3 y 2 respectivamente. 18. Dados los datos: ,-27233,-28233,-19233,-26233, a) Transformarlos sumando y multiplicando por b) Calcula la media, mediana, cuartiles y varianza de los datos transformados. c) Deduce los valores de las correspondientes medidas de los datos originales e indica, en este caso concreto, la relación entre las medidas de los datos originales y las de los transformados. d) Dibuja el diagrama de caja de unos y otros y comenta cómo afecta esta transformación a los diagramas de caja. 19. Sea X una variable estadística cuyo coeficiente de variación es 0.15 yx= 2; calcula el coeficiente de variación de Y=2X La recaudación media por persona en una tienda el pasado sábado fue de 39 euros. Si sabemos que la tienda tiene dos dependientas, que la primera hizo una recaudación media de 45 euros por persona que atendió y que la segunda hizo una recaudación media de 35 euros por persona que atendió, cuntas personas de las 50 que fueron atendidas ese día en la tienda, lo fueron por la primera dependienta?

5 Estadística Dado el siguiente histograma de frecuencias absolutas y sabiendo que el número de datos de la primera clase es 12, a) Cuál es el número total de datos? b) Determina las frecuencias relativas de cada clase. 22. De un conjunto x 1,x 2,...,x N se conocen x, Q 1 y s; cuáles de las siguientes medidas conoces también si la distribución es simétrica? Razona la respuesta. Me Mo Q 3 s 2 IQR CV Recorrido 23. El siguiente diagrama de caja representa el número de hijos de 20 matrimonios. * a) Es simétrica la distribución? b) Cuál es el recorrido de la variable Y=número de hijos? c) Cuánto valen Q 1, Q 3 y la mediana? d) Cuál es su rango intercuartílico? e) Exactamente 10 de los matrimonios tienen menos de cuántos hijos? f ) Exactamente 5 de los matrimonios tienen más de cuántos hijos? g) Cuántos matrimonios tienen hijos, pero menos de 3? h) Si ȳ =1,75 y s 2 Y =4,5 y la variable X = renta familiar en cientos de miles de euros tiene x =2ȳ y s 2 X =1,5s2 Y, qué conjunto de datos presenta una mayor variabilidad relativa?

6 Estadística Supongamos un conjunto de 1000 datos con x = 100 y s X =10. Cuál de las siguientes situaciones NO es posible de acuerdo con la desigualdad de Tchebychev? a) 930 valores están entre 92 y 108. b) 22 valores están entre 120 y 125. c) 150 valores son mayores que 130. d) 70 valores son menores que 90. La respuesta se debe razonar. 25. La Corner Convenience Store siguió la pista del número de clientes que pagaron a mediodía durante 100 días. A continuación se presentan las medidas resultantes, redondeados al entero más próximo: Media=95, Mediana=97, Moda=98, Rango Medio (semisuma del máximo y del mínimo)=93, Desviación estándar=12, Primer Cuartil=85, Tercer cuartil=107, Rango=56. a) A cuántos clientes atendió la Corner Convenience Store durante el mediodía, más a menudo que cualquier otro número? Explicar cómo determinó su respuesta. b) En cuántos días hubo entre 85 y 107 clientes que pagaron al mediodía? Explicar cómo determinó su respuesta. c) Cuál fue el mayor número de clientes que pagaron durante cualquier hora del mediodía? Explicar cómo determinó su respuesta. d) Para cuántos de los 100 días el número de clientes que pagaron está a menos de tres desviaciones estándar de la media? Explicar cómo determinó su respuesta. e) Construir, si es posible, el diagrama de caja de este conjunto de datos, comentando a partir de él la simetría de los datos. 26. Los siguientes datos representan el número de vueltas transcurridas antes de una falla para un producto de hilo: 675, 3 650, 175, 1 150, 290, 2 000, 100, 375. a) Construir un diagrama de caja y comentar la forma que tiene la distribución. b) Transformar los datos utilizando logaritmos y construir un nuevo diagrama de caja para los datos transformados. Comentar el efecto de la transformación. 27. Observar el efecto de las transformaciones X, X 2 1, X, log X, sobre el diagrama de barras de los datos:

7 Estadística 7 x i n i Cuál da lugar a más simetríaycuál a menos?. 28. De un conjunto de datos numéricos cuyos valores x 1,x 2,...,x k con frecuencias absolutas n 1,n 2,...,n k respectivamente y cuya distribución es simétrica y unimodal, se sabe que k N = n i =40, i=1 k n i (x i a) =0, para a =10 i=1 y k n i x 2 i = i=1 Se pide: a) Hallar, de forma razonada, la media, la mediana y la moda del conjunto de datos. Calcular la varianza. b) Si se sabe que IQR= 12y el menor de los datos es 1, dibujar el diagrama de caja del conjunto de datos. 29. Se dispone del siguiente histograma correspondiente a una variable estadística X: h i 0,25 0,175 0,15 0, Se pide: a) Hallar la distribución de frecuencias relativas de la variable X. b) Calcular la media de X y una medida de dispersión relativa de X. c) Dibujar el polígono de frecuencias acumuladas de X y su mediana.

8 Estadística En un examen la nota media de los alumnos del grupo A fue de 6, con una desviación típica de 2; mientras que la nota media de los alumnos del grupo B fue de 5, con una desviación típica de 1. Un alumno del grupo A sacó un8yotro del grupo B sacó un7. Cuál de los dos obtuvo una puntuación relativa más alta? 31. A cierto número de plazas convocadas por una empresa se presentaron 222 solicitudes. Una tercera parte no se presentó al examen por diversas circunstancias y el resto obtuvo las siguientes puntuaciones: Puntuación Número de personas a) Con qué nota mínima se ha de admitir a los examinados si se quieren cubrir 37 puestos de trabajo? b) Qué porcentaje de los examinados obtuvo una nota superior a 5 y se quedó sin plaza? 32. El tiempo entre llegadas de los autobuses a una determinada parada fue el siguiente (en minutos): 63, 96, 65, 79, 33, 82, 58, 76, 98, 24, 48, 87, 74 81, 98, 75, 94, 67, 97, 103, 71, 84, 61, 87, 61. a) Construir el diagrama de tallo -hojas. b) Agrupar y clasificar los datos en clases. c) Realizar el histograma, el polígono de frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas. d) Calcular las medidas de tendencia central con datos agrupados y sin agrupar. Comparar los resultados obtenidos. e) Calcular los cuartiles (con datos agrupados y sin agrupar). f ) Calcular la varianza, el recorrido y el recorrido intercuartílico. g) Construir el diagrama de caja. 33. El siguiente diagrama de tallos y hojas representa las observaciones recogidas en una determinada variable estadística X: 1 0 representa 0,

9 Estadística 9 a) A la vista del gráfico, describe la simetría o asimetría mostrada por los datos. b) Describe la tendencia central y la dispersión mostrada por los datos empleando algún índice o índices que resuman dichas características adecuadamente. Interpreta los resultados obtenidos. c) Cuál es el primer cuartil de la variable estadística Y = 3X? 34. Se tienen tres números de los que se sabe que su mediana vale 20, su media aritmética vale 21 y su varianza 14. Hallar los tres números. 35. La siguiente tabla muestra los resultados de un examen obtenidos por 200 alumnos: Notas Número de alumnos Calcular la nota mínima para obtener las distintas calificaciones, si el profesor quiere que haya un 30 % de suspensos, un 40 % de aprobados, un 15 % de notables, un 10 % de sobresalientes y un 5 % de matrículas de honor. Qué procentaje tiene una nota inferior a 4,5? 36. Da un ejemplo de una muestra en la que Q 1 =2, Q 2 =4yQ 3 = Con un micrómetro se realizan mediciones del diámetro de un balero, que tienen una media de 4.03mm y una desviación estándar de 0.012mm; con otro micrómetro se toman mediciones de la longitud de un tornillo, que tienen una media de 1.76 pulgadas y una desviación estándar de pulgadas. Cuál de los dos micrómetros presenta mayor variabilidad relativa en las mediciones efectuadas?.