Ponticia Universidad Católica de Chile Facultad de Física Electricidad y Magnetismo: Fis 153-1; Fiz 1-1 Ayudantía 17 - Soluciones Campo Magnético Profesor: Ricardo Ramirez(rramirez@puc.cl) Ayudante: Daniel Narrias (dinarria@uc.cl) Miércoles de Octubre del 8 Problema 1 Considere un alambre delgado y rígido de largo L, por el cual uye una corriente i. Si partimos el alambre por la mitad por un plano normal a él, encuentre el campo magnético sobre un punto en el plano a una distancia r del punto de intersección entre alambre y plano. Luego encuentre el campo producido por un alambre innito en todo el espacio, usando convenientemente el resultado anterior. Usemos coordenadas cilíndricas, con el alambre sobre el eje z y al origen justo en su mitad. Sean r = rˆr, r = zẑ el punto de observación según el enunciado y el vector que describe el alambre. Tenemos que el campo magnático generado por una corriente 1
diferencial di = i dl es db( r) idl ( r r ) 4π r r 3 4π = B( r) 4π i idzẑ (rˆr zẑ) L 4π irˆθ π irˆθ π iˆθ r π iˆθ π iˆθ r π iˆθ r L L rdzˆθ dz z = rtan(α) L arctan(l/r) arctan(l/r) rsec (α)dα r 3 sec 3 (α) cos(α)dα r sen(α) arctan(l/r) ( ( L/r 1 + (L/r) ) L r + L ) Ahora, para encontrar el campo magnético de un alambre innito nos basta tomar L del resultado anterior, con lo cual obtenemos B( r) π i r ˆθ campo que tiene simetría cilíndrica, como era de esperarse. Problema Considere dos alambres innitos paralelos, separados por una distancia d, con corrientes i 1,i (en el mismo sentido). a) Encuentre la fuerza por unidad de largo que se ejercen los alambres, debido a su interacción magnética. b) Considere ahora dos alambres innitamente largos con densidad lineal λ, separados una distancia d y moviéndose paralelos con velocidad v. Encuentre v tal que la atracción magnética se compense con la repulsión eléctrica.
a) Pongamos los ejes coordenados de tal forma que ẑ apunte en el sentido de las corrientes, ˆx entre en la página e ŷ vaya desde el alambre al 1. Del problema anterior, sabemos que el campo magnético generado por un alambre innito por el cual pasa una corriente i es B( r) π i r ˆθ Así, la fuerza que el campo generado por el alambre 1 ejerce sobre un elemento diferencial de corriente del alambre está dado por d F 1 = i dl B 1 = i dz ẑ µ π i1 a ˆx πa i 1i ŷdz = d F 1 dz πa i 1i ŷ De lo cual vemos que ambos alambres se atraen cuando las corrientes tienen mismo sentido y se repelen cuando tienen sentidos diferentes. b) En este caso tenemos que i = dq dt = λdz dt = λ dz dt = λv por lo que i = i 1 = i = λv Por tanto, del itém anterior, la fuerza magnética por unidad de largo sobre el alambre 1, debido a la interacción magnética, es d F m dz πa i ŷ πa (λv) ŷ La fuerza eléctrica la podemos hallar usando la ley de Gauss. Usando tal ley (se deja al lector, si no recuerda cómo hacerlo, revise mi tercera ayudantía), el campo eléctrico de un alambre de densidad lineal λ de carga uniforme es E(r) = λ ˆr πɛ r En este caso, la fuerza eléctrica sobre un elemento diferencial del alambre es 3
= d F e dz d F e = dq E(r) = λdz E(r) Por tanto, la condición que deseamos es que = λ πɛ a ŷdz = λ πɛ a ŷ lo que equivale a que df e dz + d dz F m = λ πɛ a πa (λv) = v = 1 ɛ µ = c donde c es la velocidad de la luz. Claramente vemos que este no es un resultado coherente ni práctico, pues la velocidad que necesitamos para que la interacción magnética se iguale con la eléctrica es la velocidad de la luz, velocidad que ningún cuerpo material puede alcanzar (pues necesitaria, según la relatividad especial, innita energía). Y además, el tratamiento que hemos hecho es clásico, no relativista. Lo que sí podemos desprender de esto, es que las interacciones eléctricas son mucho más fuertes que las interacciones magnéticas (de allí que en óptica, para tratar ondas electromagnéticas, se maneje el campo eléctrico al tratar con la onda). Problema 3 Considere una espira circular por la cual uye una corriente i (como indica la gura). Encuentre el campo magnético sobre el eje de simetría de la espira. 4
Tenemos que el campo magnético, orinado por la espira de corriente Γ, está dado por B( r) = µ idl ( r r ) 4π Γ r r 3 En este caso r = zẑ, r = Rˆρ, dl = dsˆθ = Rdθˆθ. Por tanto, B( r) = µ 4π 4π Γ π 4π ir i dl ( r r ) π r r 3 irdθˆθ (zẑ Rˆρ) (R + z ) 3/ π dθ(z ˆρ + Rẑ) (R + z ) 3/ 4π ir dθ(z ˆρ) (R + z ) + µ 3/ πẑ 4π ir (R + z ) 3/ ir ẑ (R + z ) 3/ π 4π ir dθ(rẑ) (R + z ) 3/ donde la primera integral es cero pues ˆρ = cos(θ)ˆx + sen(θ)ŷ y ambas funciones trigonométricas son cero al integrarlas sobre un período. Problema 4 Considere un disco de densidad de carga supercial σ uniformemente distribuida. El disco se pone a girar a velocidad angular w en torno a su eje de simetría. Encuentre el campo magnético que genera sobre su eje. Al ponerse a girar el disco con densidad de carga supercial σ, se produce una corriente sobre el mismo, de haces de corrientes circulares concéntricos y de origen el origen del disco. Consideraremos la corriente en el disco dividida en haces de corrientes de espiras concéntricas en el disco, cada una de las cuales genera un campo magnético. De esta forma, usando el principio de superposición del campo magnético (que se desprende de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell), encontraremos el campo total producido por el disco superponiendo los campos generados por las espiras de corrientes sucesivas. Tenemos que la densidad de carga lineal de las espiras está dado por λ = σdr. Usando esto, tenemos que i = dq dt = λds dt = λ rdθ dt = λr dθ dt = λrw 5
donde i es la corriente que pasa por cada espira innitesimal y r su radio. Del problema anterior, tenemos que el campo generado por cada espira es es d B( r) ir ẑ (r + z ) 3/ λwr 3 ẑ (r + z ) = 1 3/ µ σw r3 drẑ Por tanto, el campo magnético generado por el disco al girar con rapidez angular w B( r) = 1 µ σwẑ = 1 µ σwẑ = 1 µ σwẑ R r 3 dr u = r + z udu = rdr R +z z R +z z (u z )udu u 3 1 z ( = 1 ) R µ σwẑ + z z + z R +z u z = 1 ( ) R µ z σwẑ + z + R + z z = 1 ( ) z µ + R σwẑ R + z z u Problema 5 Considere un plano por el cual uye corriente, con densidad de corriente ( supercial) J = J ŷ. Encuentre el campo magnético en todo el espacio. Por la simetría del problema, tenemos que B(x, y, z) = B(z). Tomemos como punto de observación r = zẑ y r = xˆx + yŷ el vector que describa el plano. Tenemos que la densidad de corriente supercial está dada por J = J ŷ, por lo que la corriente se transmite en el sentido de ŷ. Así, tenemos que di = J ŷds = J ds. Por tanto, el campo magnético generado por un elementro diferencial de corriente es db( r) diŷ (zẑ xˆx yŷ) 4π (x + y + z ) 3/ 4π J (xẑ + zˆx) ds (x + y + z ) 3/ con ds = dxdy. Así, el campo magnético generado por el plano es 6
B( r) 4π J 4π J 4π J zˆx 4π J zˆx J zˆx π = 1 µ J z z ˆx (xẑ + zˆx)dxdy (x + y + z ) 3/ xẑdxdy (x + y + z ) + µ 3/ 4π J dxdy (x + y + z ) 3/ rdrdθ rdr zˆxdxdy (x + y + z ) 3/ donde la primera integral es cero pues el integrando es impar (al integrar en x) y los límites de integración son simétricos respecto. Note lo similar que es el módulo con el módulo del campo eléctrico generado por un plano de densidad supercial constante z z ẑ. σ, el cual es E( r) = σ ɛ El hecho que el campo magnético estuviera apuntando hacia ˆx era de esperarse. Para ver esto considere el plano como una sucesión innita de alambres de corriente en el sentido ŷ. Visualizando el campo magnético que genera cada uno de estos alambres innitesimales sucesivos, y aplicando superposición, es claro que el campo magnético debe estar en el sentido ˆx. ¾Logras verlo?. 7