Ayudantía 2 - Soluciones Propagación de Energía Térmica

Transcripción

1 Ponticia Universidad Católica de Chile Facultad de Física Termodinámica y Teoría Cinética: Fiz 0 Ayudantía - Soluciones Propagación de Energía Térmica Profesor: Miguel Kiwi (mkiwi@puc.cl) Ayudante: Daniel Narrias (dinarria@uc.cl) Problema Un cascarón cilíndrico macizo posee radio interno r, radio externo r y largo l. El cilindro está hecho de un material homogéneo de conductividad térmica k > 0. Se pide calcular la resistencia térmica del objeto, la corriente térmica que pasa por él y el perl de temperatura cuando el ujo del calor es: a) longitudinal. b) radial. a) Podemos dividir longitudinalmente el cilindro en láminas de ancho dx y área constante A π(r r). dx Así, la resistencia de una lámina es dr kπ(r r ). Por tanto, la resistencia total es R dr l 0 dx kπ(r r ) l kπ(r r )

2 Así, tenemos que la corriente térmica es i T R kπ(r r) T l Encontremos ahora el perl de temperatura. Tenemos que i ka dt dx dt dx i ka T T (x) ( l T l ) x + T 0 b) En este caso, dividamos el cilindro en una sucesión de cilindros concéntricos de ancho radial dr. Así, la resistencia de cada cilindro innitesimal es dr dr k πrl, por lo que la resistencia total es R dr Por tanto, la corriente térmica es r Finalmente, el perl de temperatura es r dr k πrl ln(r /r ) πkl i T R πkl ln(r /r ) T Problema dt dr i ka T r ln(r /r ) T (r) ln(r/r ) ln(r /r ) T + T 0 Determine en cuál de las siguientes paredes la resistencia térmica es menor. El ancho y alto de ambas paredes es el mismo.

3 Consideremos el sistema donde las resistencias térmicas están en serie. Cada una de, donde k i A es el área de la sección transversal. Como las resistencias A están en serie, la resistencia térmica equivalente del primer arreglo es ellas es R i d/ R s R + R d/ k A + d/ k A d A k + k k k Para el segundo arreglo, donde las resistencias están en paralelo, las resistencias individuales de cada parte homogénea son R i d d. Por tanto, la resistencia k i A/ k i A térmica equivalente del segundo arregla, dado que están en paralelo, es R p i R i Por tanto, tenemos que i k i A d A d (k + k ) R p d A(k + k ) En efecto, R p R s d A(k +k ) (k + k ) d A k+k k k k k k k (k + k ) 0 k + k + k k k k 0 k + k k k 0 (k k ) lo cual es siempre verdadero. Por tanto, R p R s. Problema 3 3

4 Encuentre el tiempo necesario para formarse en la supercie de un lago una capa de hielo de cm de espesor, si la temperatura ambiental es de 6 o C. El hielo tiene conductividad térmica k 0 3 cal/(s cm oc) y densidad ρ 0,9g/cm 3. Tenemos que el calor latente que pierde el agua al transformarse en hielo una lámina de ancho dx es dq dml ρadxl Además, al uir este calor hacia el ambiente se produce una corriente térmica, de lo cual tenemos que dq idt ka T x dt y como ambos calores son los mismos, tenemos que ρadxl ka T x dt dt ρl k T xdx t(x) ρl k T x Los datos son L 80cal/g, x cm, T 6 o C, k 0 3 cal/(s cm oc) y ρ 0,9g/cm 3. Por tanto, el tiempo necesario para formar una capa de cm de espesor dadas las condiciones enunciadas es Problema t(cm) 0, () 6h9min Se unen dos recipientes llenados con líquidos a temperaturas T < T, mediante una barra de metal de conductividad térmica k, área transversal A y largo L. Las masas

5 y calores especícos de los líquidos son m, c y m, c. Encuentre el tiempo necesario para que la diferencia de temperatura se reduzca a la mitad. Podemos ver a priori que la diferencia de temperatura entre los líquidos depende del tiempo, pues a medida que el tiempo pase T T T disminuirá. Por la corriente térmica, tenemos que Además, tenemos que dq ka T L dt dq m c dt dq m c dt donde el signo menos para el líquido es debido a que él entrega el calor. De lo anterior, obtenemos que dt ka T m c L dt dt ka T m c L dt d( T ) d(t T ) ka ( + ) T dt L m c m c d( T ) ka ( + ) dt T L m c m c ( ) ( T )i ln ka ( + ) t ( T ) f L m c m c Por tanto, como queremos encontrar el tiempo necesario para que la diferencia de temperatura se reduzca a la mitad, tenemos que ( T ) f ( T ) i necesario nalmente es Problema 5 t ( ka L m c + m c )ln(), por lo que el tiempo Calcule la temperatura supercial del sol, sabiendo que la tierra recibe una intensidad de radiación de 0,W/cm y el cuociente entre la órbita de la tierra y el radio del sol es 6. Tenemos que la potencia emitida por el sol es 5

6 P P σπr T T σπr Si la órbita de la tierra es r, tenemos que la intensidad de radiación recibida por la tierra del sol es Por tanto, I r P πr 0,W/cm P 0,W/cm πr T P σπr 0,W/cm πr σπr ( ) r 0,W/cm σ r 5, , 0 K 5 0 T 586 o K Problema 6 Un cuerpo negro esférico de radio r posee temperatura absoluta T. Al rededor suyo se coloca una cáscara esférica negra delgada, de emisividad e, radio R y temperatura T (por determinar). El sistema se encuentra en una habitación muy grande de temperatura T 0. a) Calcule la potencia neta del cuerpo negro de radio r antes de poner la cáscara esférica al rededor suyo. b) Calcule la temperatura T de la cáscara esférica de radio R. c) Compare las potencias netas del cuerpo negro de radio r antes y después de colocar la cáscara al rededor suyo. a) La potencia neta es P πr σ(t T 0 ) 6

7 b) Una vez puesta la cáscara, ésta actúa como apantallamiento entre la habitación y la esfera, interactúando la esfera térmicamente con la cáscara y a su vez la habitación con la cáscara. Así, la potencia neta de la cáscara es P πr σ(t T 0 ) A su vez, la potencia neta de la esfera es P πr σ(t T ) Dado que un cuerpo negro absorve toda la energía que le llega y luego la reemite completamente, tenemos que la cáscara reemite la energía entregada por la esfera, por lo que P P πr (T T0 ) πr σ(t T ) T (R + r ) R T0 + r T T R T0 + r T R + r ( R T0 + r T T R + r ) / c) Tenemos que P P πr σ(t T ) πr σ(t T 0 ) T T T T 0 T R T 0 +r T R +r T T0 R r + R T T0 T T0 R r + R Por tanto, vemos que la cáscara reduce la taza de enfriamiento de la esfera en un factor puramente geométrico. 7