MATEMÀTIQUES 5é de PRIMÀRIA Professora: Estrella Piqueras UNITAT 3. MÚLTIPLES I DIVISORS ELS MÚLTIPLES D'UN NOMBRE ELS MÚLTIPLES D'UN NOMBRE natural són els nombres naturals que resulten de multiplicar aquest nombre per altres nombres naturals. Digem que un nombre és múltiple d'un altre si el conté un nombre sencer de vegades. El nombre 0 només té un múltiple, que és el 0. El nombre 0 és múltiple de tots els nombres. Tots els nombres són múltiples d'1. 1
Per a calcular els múltiples d un nombre haurem de multiplicar eixe nombre pels nombres naturals ={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Els nombres naturals tenen infinits múltiples. Múltiples de 2= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...} Múltiples de 4= {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...} Múltiples de 11= {0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132...} MÚLTIPLES COMUNS A DIFERENTS NOMBRES Calculats els conjunts dels múltiples de dos o més nombres sempre podem trobar múltiples comuns. M (3) ={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60...} M (4) ={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 42, 44, 48, 52, 56, 60, 64,...} M (8) ={0, 8, 16, 24, 32, 40, 44, 48, 56, 64, 72, 80, 88...} Múltiples comuns de 3 i 4 = {0,12, 24, 36, 48, 60...} Múltiples comuns de 3, 4 i 8 = {0, 24, 48...} 2
LA DIVISIÓ EXACTA DE NOMBRES NATURALS Ja sabem que en dividir dos nombres naturals pot succeir dos casos: 1.- que el residu siga 0, això passa perquè el dividend és múltiple del divisor, digem que és una divisió exacta. 2.- Si el residu no és 0, la divisió no és exacta. El dividend no és múltiple del divisor. DIVISIÓ EXACTA ÉS LA QUE TÉ RESIDU 0 3
ELS DIVISORS D'UN NOMBRE ELS DIVISOR D UN NOMBRE natural són els nombres naturals que el poden dividir de manera exacta, és a dir, que tenen residu 0. Ser divisor és recíproc de ser múltiple. Per exemple : Si 9 és múltiple de 3, aleshores 3 és divisor de 9. Cada nombre té una quantitat concreta de divisors. El nombre 1 té un únic divisor, ell mateix. El 0 és l'únic número que té infinits divisors, ja que tots els nombres són divisors de 0. 4
NOMBRES PRIMERS En comprovar quants divisors tenen els nombres observem que: L'1 és l'únic nombre que només té un divisor, per això és un nombre especial. El 0 té infinits divisors, ja que tots els nombres són divisors de 0, també és un nombre especial. Els nombres primers són els que només tenen dos divisors, que són l'1 i ell mateix. COM PODEM OBTINDRE NOMBRES PRIMERS? No existeix un mètode directe per obtenir sistemàticament tots els nombres primers. Aquesta és una llista amb els 25 primers nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97 5
Per esbrinar si un nombre és primer s'ha d'intentar dividir ordenadament pels nombres primers menors que ell. Si realment és primer, cap d'aquestes divisions serà exacta. En el moment en què el quocient siga igual o menor al divisor, es podrà dir sense por d'equivocar-se aquest nombre és primer. Exemple Si es vol comprovar si el nombre 157 és primer, es duran a terme les següents divisions: En aquesta segona divisió ja s'ha obtingut un quocient menor que el divisor, per tant no cal seguir dividint més: es confirma que el nombre 157 és primer. 6
NOMBRES COMPOSTOS Els nombres compostos són els que tenen més de dos divisors, són els més freqüents. Per exemple: 10: 1,2,5,10. Per a saber un nombre és divisible per un altre sense necessitat de fer la divisió haurem de conèixer els CRITERIS DE DIVISIBILITAT Un nombre és divisible per 2 si acaba en 0 o parell (2,4,6,8). Ex: 10, 24, 62, 5.256, 90.070,... Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les xifres és múltiple de 3. Exemples: 132 ==> 1+3+2 = 6 és múltiple de 3 3729 ==> 3+7+2+9 = 21 és múltiple de 3 56745 ==> 5+6+7+4+5 = 27 és múltiple de 3 Un nombre és divisible per 4 quan les dues darreres xifres del nombres són dos zeros o un múltiple de 4. Exemples: 7824, 9800, etc Un nombre és divisible per 5 qualsevol nombre que acabe en 0 o en 5. Exemples: 270, 4895, etc 7
Un nombre és divisible per 6 qualsevol nombre que siga divisible per 2 i per 3 a la vegada. Un nombre és divisible per 7 encara que els mètodes són més llargs que fer la divisió expliquem un amb el nombre 41181. 1. Es treu la darrera xifra del nombre, es duplica i es resta del nombre que volem observar: 4118-2 1 = 4118-2 = 4116 2. Es va repetint el procés fins acabar amb una sola xifra. En aquest cas: 411 12 = 399 39 18 = 21 2 2 = 0 3. Si s'acaba en 0 o en 7 el nombre és divisible per 7. Un nombre és divisible per 8 qualsevol nombre que acabe en tres zeros o que les seues tres últimes xifres siguen un múltiple de 8. Exemples: 3416, 5000, etc Un nombre és divisible per 9 qualsevol nombre que la suma de les seues xifres fins a arribar-ne a una de sola done 9. Exemple: 457011 ==> 4+5+7+0+1+1 = 18 ==> 1+8 = 9 Un nombre és divisible per 10 qualsevol nombre que acabe en 0 8
COM PODEM OBTINDRE ELS DIVISORS D UN NOMBRE Primer es fa la descomposició en factors primers del nombre: Exemple Els divisors del nombre 27 són: 1, 3, 9 i 27 i escrivim D (27)= 1,3,9,27 27 3 1. Comencem a dividir el nombre pel divisor més 9 3 menut. 3 3 2. Continuem dividint fins aplegar a la unitat. 1 3. Anotem tots els divisors des del més menut al més gran, sense repetir. Exemple Els divisors del nombre 10 són 1,2,5 i 10 i escrivim D (10)= 1,2,5,10 10 2 5 5 1 Exemple Els divisors del nombre 35 són 1, 5, 7 i 35. i escrivim D (35)= 1,5,7,35 35 5 7 7 1 Com es veu en els exemples, els divisors d'un nombre sempre seran menors que ell. Entre ells estarà sempre l'1, pel que pot ser dividit de forma exacta qualsevol nombre. 9
EL GARBELL D'ERATÒSTENES CEIP RAFAEL ALTAMIRA Garbell és una eina que consisteix en un recipient, el fons del qual està ple de forats iguals, i que serveix per a separar objectes de grandor desigual, deixant passar els uns i retenint els altres. En castellà s'anomena criba. Eratòstenes: Astrònom, historiador, geògraf, filòsof, poeta, i matemàtic grec que va nàixer a l'actual Líbia l'any 276 a.c i va ser director de la biblioteca d'alexandria. Anem a utilizar el garbell d Eratòstenes per determinar nombres primers. Aquest procediment s anomena SEDÀS D ERATÒSTENES. Instruccions: No no tenen cap divisor, exceptuant l'1 i ells mateixos. Es col loquen els nombres naturals a partir del 2. Normalment es posen els cent primers nombres naturals. Començant pel nombre 2, el deixem, i a partir d'ell comptem de 2 en 2 i eliminem tots els nombres parells. El primer nombre dels que queden és el 3, el deixem, i des d'ell eliminem els nombres que siguen múltiples de 3. El següent nombre dels que queden és el 5, el deixem, i des d'ell eliminem els nombres que siguen múltiples de 5. Així anem avançant, quan arribem a un nombre que no ha estat eliminat el deixem, i a partir d'ell els nombres que en siguen múltiples els eliminem. Finalment hauran quedat només nombres PRIMERS. 10
Instruccions: Ratlla tots els múltiples de 2 exceptuant el 2, Ratlla tots els múltiples de 3 exceptuant el 3 (alguns d'ells ja els trobaràs ratllats) Els múltiples de 4 no cal que els ratlles ja que són múltiples de 2, Segueix ratllant de la mateixa manera, els múltiples de 5, de 7, d'11 i de 13. D'aquesta manera has obtingut uns nombres que no han quedat ratllats s'anomenen nombres PRIMERS. No no tenen cap divisor, exceptuant l'1 i ells mateixos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 11
EXERCICIS 1. Escriu els múltiples d aquests nombres menors que 50: M(2) =... M(10) =... M(5) =... M(13) =... M(7) =... M(4) =... 2. Escriu els divisors d aquests nombres: D(105) =... D(32) =... D(17) =... D(48) =... D(21) =... 3. Escriu els nombres primers compresos entre aquests nombres: 1 i 32:... 45 i 82:... 4. Mara reparteix 25 pomes en unes bosses on caben 6 pomes. a) És possible que haja omplert un total de cinc bosses? b) 25 és múltiple de 6? 12
5. Resol: a) Escriu els divisors de 45: b) Fixa t en la resposta de l apartat anterior i, sense fer cap operació, indica si es poden repartir 45 boles en 4 caixes de manera que a totes les caixes hi haja el mateix nombre de boles. I en 5 caixes? 6. Escriu un nombre de tres xifres i un altre de quatre xifres que acaben en 2 i comprova que siguen divisibles per 9. 7. Si sabem que 3 9 = 27, podem afirmar que 27 és un nombre primer? Justifica la resposta. 8. Dels següents nombres quins són múltiples de 6? 33, 54, 9, 88, 68, 6, 89, 53, 73, 77, 42, 3. Solució: 9. Escriu els 9 divisors de 36. Solució: 13
10. Quins dels següents nombres són divisors de 48? 4, 7, 6, 35, 10, 8, 24, 1, 3, 17, 21, 12. Solució: 11. El nombre 74652, és divisible per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Solució: 12. Acaba els nombres següents per a que siguen divisibles entre 9 a) 28 és divisible entre 9 b) 114 és divisible entre 9 c) 345 és divisible entre 9 d) 891 és divisible entre 9 13. Raonar: Amb aquestes xifres 8 9 5 4 a) El menor i major nombre de 3 xifres que siga múltiple de 2 Menor= Major= b) El menor i major nombre de 3 xifres que siga divisible per 3 Menor= Major= c) El menor i major nombre de 3 xifres que siga divisible per 9 Menor= Major= d) El major nombre de 4 xifres que siga divisible per 5 14
14. Indica quins d aquestes articles es possible pagar només en monedes de 5 cèntims i sense que ens tornen canvi. 15. Observa les divisions i completa amb les etiquetes: 21 3 21 7 0 7 0 3 MÚLTIPLE DIVISOR PRIMER COMPOST DIVISIBLE a) 21 no és un nombre... b) 21 és un nombre... c) 21 és...de 3 i de 7 d) 21 és...per 3 i de 7 e) 3 i 7 són...de 21 16. Escriu els cinc nombres següents que completen la sèrie i completa la frase. a) 2,4,6, són múltiples de b) 7,14,21, són múltiples de c) 5,10,15, són múltiples de d) 3,6,9, són múltiples de e) 4,8,12, són múltiples de 15
17. Escriu el teu número de telèfon i raona: a) És divisible per 2: b) És divisible per 5 : c) És divisible per 10: 18. Escriu el nombre natural de dues xifres més gran que és divisible per: a) 2 : b) 5 : c) 10: 19. Si cada caixa és el doble de gran que l anterior, quantes caixes A caben a la Caixa E? Solució: 20. De quantes maneres podem agrupar els 24 alumnes de la classe de 5é sense que en sobre cap? 16